浦江线代数试题B
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性数学试题及答案
线性数学试题及答案线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间V的基是一组向量，它们满足以下条件：A. 线性无关B. 张成VC. 可数D. 所有上述条件答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的行向量组和列向量组的秩中较小的一个D. A的行向量组和列向量组的秩中较大的一个答案：C3. 线性变换T: V → W，如果对于任意的v ∈ V，都有T(v) = 0，则T被称为：A. 零变换B. 恒等变换C. 对称变换D. 正交变换答案：A4. 对于任意的线性变换T，下列说法正确的是：A. T是可逆的当且仅当T的核为{0}B. T是可逆的当且仅当T的像是W的基C. T是可逆的当且仅当T的核和像是{0}D. T是可逆的当且仅当T的核为{0}且T的像是W的基答案：D5. 矩阵的迹是：A. 矩阵对角线上元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 矩阵的______是矩阵所有特征值的乘积。
答案：行列式7. 一个向量空间的维数是指该空间的______的数量。
答案：基向量8. 如果线性变换T是可逆的，则T的逆变换记作______。
答案：T^{-1}9. 两个向量正交，意味着它们的______为0。
答案：点积10. 对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则x称为矩阵A的______。
答案：零空间向量三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性相关和线性无关，并给出一个例子。
答案：线性相关指的是一组向量中，至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
线性无关则意味着没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
例如，向量组{(1, 0), (0, 1)}是线性无关的，因为没有任何向量可以表示为另一个向量的倍数；而向量组{(1, 0), (2, 0)}是线性相关的，因为(2, 0)可以表示为(1, 0)的两倍。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。
复旦大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B
《线性代数》期末考试试卷B一、(30分)填空题(E 表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A | = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A − B 的行列式|A − B | =______.解: (法一) |A − B | = |α1−α2, α2−α3, α3−α1| = |α1, α2−α3, α3−α1| + |−α2, α2−α3, α3−α1|= |α1, α2−α3, α3| + |−α2, −α3, α3−α1| = |α1, α2, α3| + |−α2, −α3, −α1| = |α1, α2, α3| − |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| − |α1, α2, α3| = 0.(法二) A − B = (α1−α2, α2−α3, α3−α1) = (α1, α2, α3)101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠= AP ,其中P =101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, |P | =101110011−−−= 0, 故|A − B | = |AP | = |A ||P | = 0.2. 若矩阵A 满足A 2 = O , 则E +A 的逆矩阵(E +A )−1 = _______.解: A 2 = O ⇒ (E +A )(E −A ) = E 2 −A 2 = E ⇒ (E +A )−1 = E −A .3. 若向量组α1 = (1, t , 1), α2 = (1, 1, t ), α3 = (t , 1, 1)的秩为2, 则参数t 满足条件___________.解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A ) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ⇒111111tt t = |A | = 0 ⇒ (t +2)(t −1)2 = 0 ⇒ t = −2或1.当t = −2时, 秩(A ) = 2; 当t = 1时, 秩(A ) = 1. 故t = −2.4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1, 矩阵B = E −2A *, 其中A *是A 的伴随矩阵, 则B 的行列式|B |= _______.解: 3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1 ⇒存在P 使得P −1AP =100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠记为Λ, 而且|A | = 1×2×(−1) = −2.故P −1A −1P = (P −1AP )−1 = Λ−1 =10001/20001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 由A *A = |A |E 可得A * = |A |A −1 = −2A −1, 于是有|B | = |P |−1⋅|B |⋅|P | = |P −1|⋅|B |⋅|P | = |P −1BP | = |P −1(E −2A *)P | = |P −1EP −2P −1A *P | = |E − 2P −1A *P |= |E + 4P −1A −1P | = |E + 4Λ−1| =500030003−= −45.5. 若矩阵A =10022312x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与矩阵B =03y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似, 则(x , y ) =________.解: |A | = 2(1−x ), |B | = 0, tr(A ) = 1+x , tr(B ) = 3+y . 因为矩阵A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).由此可得x = 1, y = −1. (x , y ) = (1, −1). 6. 设(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A 不可逆,则A 的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A 有非零二重特征值而且A 不可逆 ⇒ A 的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 正交, 即ξ为12130x x x x −=⎧⎨−=⎩的非零解向量. 由此可得A 的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T .7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T , 则Ax = b 的通解是_______________.解: 3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2 ⇒ Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量 ⇒ A (α2 + α3 − 2α1) = A α2 + A α3 − 2A α1 = b + b − 2b = 0. α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T ⇒ α2 + α3 − 2α1 = (0, 2, 4)T . 可见ξ = (0, 2, 4)T 是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b 的通解是x = k (0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T , 其中k 为任意实数. 8. 若4阶方阵A , B 的秩都等于1, 则矩阵A +B 的行列式|A +B | = ________.解: 4阶方阵A , B 的秩都等于1 ⇒ 秩(A +B ) ≤ 秩(A )+秩(B ) = 2 < 4 ⇒ |A +B | = 0. 9. 若矩阵A =211x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠与矩阵B =1221⎛⎞⎜⎟−⎝⎠合同, 则参数x 满足条件___________.解: 设λ1, λ2为A 的特征值, µ1, µ2为B 的特征值.µ1µ2 = |B | = −5 < 0 ⇒ µ1, µ2异号 ⇒ B 的秩为2, 正惯性指数为1.A 与B 合同 ⇒ A 的秩为2, 正惯性指数为1 ⇒ λ1, λ2异号 ⇒ 2x − 1 = |A | = λ1λ2 < 0 ⇒ x < 1/2.二、(10分)计算下述行列式的值: D =111+11111+11111111x x x x −−. 解: +1111+111111111111x x x x −−=1111+111111111111x x x −−+1111+11000111111x x x x−−=0000001111x x x−−+ x111+111111x x x −− =000000x x x −−+ x 111+111111x x x −−= x 3 + x 2111+00x x x x x −−= x 3 + x 22111+000x x x x x−= x 3 + (x 4 − x 3) = x 4. 三、(15分)设线性方程组1231231233032314x x x x x x x x x λµ++=⎧⎪++=−⎨⎪−++=⎩. 问: 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.解: 该方程组的增广矩阵(A , b ) =1310(3)1323114λµ×−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→13100701071λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+⎝⎠→131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠. (1) 当λ ≠ −1, µ为任意实数时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = −1, µ = 1时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多组解,131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠=1713100701()0000⎛⎞⎜⎟−−×−⎜⎟⎝⎠→171310010(3)0000⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎝⎠→37171010100000−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠由此可得3137127x x x +=−⎧⎨=⎩, 即3137127x x x =−−⎧⎨=⎩. 故通解为x = k (−1, 0, 1)T + (−37,17, 0)T , 其中k 为任意实数.四、(12分)设矩阵A =101012001⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, C =103101⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, 矩阵X 满足A −1X = A *C + 2X , 其中A *是A 的伴随矩阵,求X .解: |A | = −1, 在A −1X = A *C + 2X 两边同时左乘以A 得X = −C + 2AX . 故(E −2A )X = −C .(E −2A , −C ) =10210(1)0343100101(1)−−−×−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟−−×−⎝⎠→1021003431001014(2)⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟××−⎝⎠→13100120303500101−⎛⎞⎜⎟−×⎜⎟⎝⎠→5312100010100101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可得X =5312101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 五、(10分)已知向量组η1, η2, η3线性无关, 问: 参数a , b , c 满足什么条件时, 向量组a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1线性相关?解: (a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) = (η1, η2, η3)011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 令P =011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则|P | = abc + 1. 由条件可知:a η1+η2,b η2+η3,c η3+η1线性相关 ⇔ 秩(a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) < 3 ⇔ 秩(P ) < 3 ⇔ |P | = 0 ⇔ abc = −1. 六、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + 2x 22 + x 32 − 2x 1x 3.1. 写出二次型f 的矩阵;2. 求一正交变换x = Qy , 将f 变成其标准形(并写出f 的相应的标准形)；3. 求当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3)的最大值.解: 1. 二次型f 的矩阵A =101020101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.2. |λE −A | =101020101λλλ−−−= (λ−2)2λ, 可见A 的特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 0.解(2E −A )x = 0得对应于λ1 = λ2 = 2的两个正交的特征向量ξ1 = (1, 0, −1)T , ξ2 = (0, 1, 0)T ,解(0E −A )x = 0得对应于λ3 = 0的一个特征向量ξ3 = (1, 0, 1)T .令Q = (11||||ξξ,22||||ξξ,33||||ξξ) =1/00101/0⎛⎜⎜⎜−⎝, 则正交变换x = Qy 将f 变成标准形2y 12 + 2y 22.3. x T x = 1 ⇔ (Qy )T (Qy ) = 1 ⇔ y T Q T Qy = 1 ⇔ y T y = 1 ⇔ y 12 + y 22 + y 32 = 1, 此时y 12 + y 22 ≤ 1. 故当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3) = 2y 12 + 2y 22的最大值为2.七、(8分)证明题.1. 设向量组α1, α2, α3, α4中, α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, 证明: α1能由α2, α3, α4线性表示. 证明: 因为α1, α2, α3线性相关, 所以α1, α2, α3, α4线性相关.又因为α2, α3, α4线性无关, 所以α1能由α2, α3, α4线性表示.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: 矩阵A +A −1−E 也是正定矩阵.证明: 设λ1, …, λn 为A 的特征值, Λ =1n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠O . A 是n 阶正定矩阵 ⇒ 存在可逆矩阵P 使得P −1AP = Λ, 其中λ1, …, λn > 0⇒ P −1(A +A −1−E )P = P −1AP + P −1A −1P − P −1EP = Λ + Λ−1 − E =111111n n λλλλ+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠O, 其中 λ1+11λ−1, …, λn +1n λ−1> 0 ⇒ A +A −1−E 也是正定矩阵.。
线性代数期末考试(B卷)及答案
北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。
南京工业大学浦江学院 线性代数 试题(B)卷
3 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
南京工业大学浦江学院
第3页共6页
七、（16 分）已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 4x22 5x32 4x1x3 ，试回答下列问题 1） 写出此二次型的矩阵 A ； 2） 利用正交变换 X QY 该二次型化为标准型，并给出所使用的正交变换和标准型；
五、（12 分）求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组
线性表示. 1 (1,1,1, 1),2 (1,1, 1, 1),3 (1, 1, 1,1),4 (1, 1, 1,1).
六、（13分）求线性非齐次方程组的通解.
x1 5x2 x3 x4 1
3x1x128xx2 2xx3 33xx44
0 0
＝ (1)n1 (n 1)! ――――――12 分 2
0
0 0 n 1 (n 1)
四（12 分）解：由 AB=A+2B，可见(A－2E)B=A，因此 B=(A－2E)－1A ―――――――4 分
2 2 3
1 4 3
又
(
A
2E)
1
1
0
，其逆矩阵
(A
2 E ) 1
1
5 3 ―
――――――16 分
3 5
南京工业大学浦江学院
第6页共6页
( A) R( A) 5 (B) R( A) 4 (C) R( A) 3 (D) R( A) 2
5．若矩阵 A 的秩为 r，则（
）。
（A）A 中至少存在一个 r 阶子式不为零
（C）A 中所有 r－1 阶子式均不为零
（B）A 中存在一个 r+1 阶子式不等于零 （D）A 中只有一个 r 阶子式不为零
线性代数B期末试卷及答案
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷3．设方阵B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则。
4。
设向量组线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组β的秩为。
5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =．６．设的两组基为,,;T ,,则由基到基 的过渡矩阵为。
6小题,每小题3分，满分18分) n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是［ ］。
（A ）D n 中有两行元素对应成比例; (B ） D n 中各行元素之和为零； （C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ线性无关，α,β，σ线性相关,则[ ］。
（A)α必可由β，γ，σ 线性表示； （B) β必可由α，γ，σ 线性表示; （C)σ必可由β,γ，α 线性表示; （D ）γ必可由β，α,σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝（P 1,P 2，P 3），则P －1AP ＝[ ］。
(A ）；（B ）；（C) ； （D ）．４．设α1,α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ]。
(A)α1，α2,α3 - α1； （B)α1，α1+α2，α1+α3； （C)α1+α2,α2+α3，α3+α1; （D)α1-α2，α2-α3，α3—α1。
５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0,则A 的秩Ｒ（）=[ ］.(A ）1;(B ）2； （C ）3；(D ）4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是［ ]。
（A ） A 的特征值全大于零； （B ） A 的负惯性指数为零； （C) ｜A | 〉 0 ；（D ）R （A ） = n 。
三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） . ２.求向量组,，，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出。
线性代数试题（B）
线性代数试题（B）第一篇：线性代数试题(B)(101)北京理工大学远程教育学院2007-2008学年第一学期《线性代数》期末试卷(A卷)教学站学号姓名成绩一．填空题（每小题4分，共20分）⎛x1⎫⎛2-1⎫1．已知A=，则XTAX=_______； ,X=⎪⎪⎝-13⎭⎝x2⎭2．设向量α1=(0,1,1),α2=(0,t,2)线性相关，则t= _____；3．设A是秩为1的3阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0 的基础解系含_____个解；⎛111⎫⎪4．已知矩阵 001⎪，则其秩为__________；001⎪⎝⎭5．已知2是矩阵A的一个特征值，则 |2E-A|= __________。
二．选择题（每小题4分，共20分）1．设A与B是两个同阶可逆矩阵，则（）；A．(A+B)-1=A-1+B-1B．|A||B|=|B||A|C．|A+B|=|A|+|B| D．AB=BA2．设A是1⨯2矩阵，B是2阶方阵，C是2⨯1矩阵，则（）A．ABC是1阶方阵B．ABC是2⨯1阶矩阵C．ABC是2阶方阵D．ABC是1⨯2阶矩阵3．已知向量组α1,α2,α3满足α3=k1α1+k2α2，则（）A．k1,k2不全为零B．α1,α2线性无关 C．α3≠0D．α1,α2,α3线性相关4．设ξ1,ξ2是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下述说法不正确的是（）； A．ξ1-ξ2是导出组AX=0的1解B．(ξ1-ξ2)是AX=0的解21C．ξ1+ξ2是AX=b的解D．(ξ1+ξ2)是AX=b的解5．设A是一个方阵，则（）；A．由| A | = 0可得 A = 0B．由| A | = 0可得 0是A的一个特征值C．由| A | = 1可得 A = ED．由| A | = 1可得 1是A的一个特征值三．计算题（每小题10分，共50分）131．计算行列式3233333333342．求解下列线性方程组⎧ x1-5x2+2x3=-3⎪⎨-3x1+ x2-4x3=2⎪ 5x+3x+6x=-1123⎩用导出组的基础解系表示通解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南京工业大学 线 性 代 数 试题（B ）卷（闭）
2008--2009学年第 一 学期 使用班级 浦江各专业本科生 班级 学号 姓名
1．设)2,1,2(,121-=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=Q P ，则=QP ，=PQ 。
2．设n 阶方阵A 满足2A A E
-=, 则=-1A 。
3．设A 为实对称矩阵，1(1,1,3)α=与2(4,
5,
)a α=分别属于A 的不同特征值的特
征向量，则a = 。
4. 设()16,2,0,4α=-, ()23,1,5,7,α=-则1232αα-= 。
5．2
2
221
1
1
a
ab b
a
a b b +＝ 。
二、选择题（每题3分，共15分）
1．方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++0
003333
22221111d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 表示空间三平面，若系数矩阵的秩为3，则三平面的
位置关系是( )
(A) 三平面重合 (B)三平面无公共交点 (C) 三平面交于一点 (D) 无法确定它们的位置关系
2．设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）
)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值
B E A E
C -=-λλ)( )(
D A 与B 均可对角化
3．设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）.
()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵） ()C AA ' ()
()D A A
B ' （B 为任意n 阶方阵）
4. 设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）
)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定
5.若矩阵A 的秩为r ，则（ ）。
（A ）A 中所有r 阶子式均不为零； （B ）A 中所有r+1阶子式均等于零； （C ）A 中所有r －1阶子式均不为零； （D ）A 中只有一个r 阶子式不为零。
三、(12分)计算行列式
)
1(1
00220
00011
1321------n n n n
四、(10分) 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛---=42
0011
003
A ，且有关系式X E AX A 242+=+，求矩阵X .
五、 (14分) 求向量组),4,2,1,0(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321====αααα )7,0,3,1(5--=α的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大
线性无关组的线性组合。
六、(14分) 判别非齐次线性方程组
123412341
2341
23451233
3819377
x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪
-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪-++=⎩ 是否有解，若有解，求其通解。
七、（14分）已知二次型222
12312313(,,)2454f x x x x x x x x =++-。
（1）写出二次型f 的矩阵A ；
（2）用正交变换把二次型f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵； （3）判别二次型的正定性。
八、（6分）设A 为对称正定矩阵，证明：1A E +>.。