§1.3-4误差的基本概念
误差理论与数据处理课第六版后答案5
例3-2 已知 x x 2.0 0.1，y y 3.0 0.2 ，相关系数 xy 0 试求 x3 y 的值及其标准差。
解： 0 x3 y 2.03 3.0 13.86
a12
2 x
a22
2 y
a1
f x
3x2
y
20.78
a2
f y
x3
1 2y
2.31
20.782 0.12 2.312 0.22 2.13
三、微小误差取舍原则
Di ai i
y D12 D22 Dn2
D1 D2 Dn y
n
i
y
n
1 ai
i
y
n
1 ai
1
10
y
Dk
1
3
y
四、 最佳测量方案的确定
1. 选择最佳函数误差公式 2.使误差传递函数 f / x或i 为0 最小
10
例3-1 求长方体体积V，直接测量各边长 a 161.6 , b 44.5 , c 11.2 已知测量的系统误差为 a 1.2, b 0.8 c 0.5 测量的极限误差 为 a 0.8, b 0.5， c 0.5 求立方体体积及其极限误差。
2）判断
2
若nx 、ny≤10,则由秩和检验表2-10查得T- 、T+
T 14 T 30 T T
故怀疑存在系统误差
8
第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
1. 一般函数形式 y f ( x1 , x2 ,, xn )
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
二、函数随机误差计算
令
f xi
g
误差与偏差的概念
误差与偏差的概念
误差指的是测量结果与真实值之间的差距。
例如，如果我们测量一条铁杆的长度，测量结果可能会与真实长度有一定的差距，这个差距就是误差。
误差可以分为随机误差和系统误差。
随机误差是由于测量仪器或者操作者的不确定性导致的误差，通常是随机分布的。
系统误差则是由于测量仪器或者操作者的常态性偏差导致的误差，通常是固定不变的。
偏差则指的是测量结果的平均值与真实值之间的差距。
例如，我们进行了多次测量，计算出平均值，如果平均值与真实值之间有一定的差距，这个差距就是偏差。
偏差可以分为正偏差和负偏差。
正偏差表示测量结果偏大，负偏差表示测量结果偏小。
在数据分析和研究中，正确理解和处理误差和偏差非常重要。
如果我们误将随机误差当成系统误差，可能会导致错误的结论。
同样，如果我们忽略了偏差，也可能会得出错误的结论。
因此，我们需要采取合适的方法来减少误差和偏差的影响，以获得准确的结果。
- 1 -。
误差的基本概念.
实验一误差的基本概念一、实验目的通过实验了解误差的定义及表示法、熟悉误差的来源、误差分类以及有效数字与数据运算。
二、实验原理1、误差的基本概念所谓误差就是测量值与真实值之间的差，可以用下式表示误差=测得值-真值（一）绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差。
绝对误差=测得值-真值（二）相对误差绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差，因测得值与真值接近，故也可以近似用绝对误差与测得值之比值作为相对误差。
相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值（三）引用误差所谓引用误差指的是一种简化和使用方便的仪器仪表表示值的相对误差，它以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得的比值称为引用误差。
引用误差=示值误差/测量范围上限2、精度反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度，它与误差大小相对应，因此可以用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。
精度可分ⅰ准确度它反映测量结果中系统误差的影响程度ⅱ精密度它反映测量结果中随机误差的影响程度ⅲ精确度它反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可以用测量的不确定度来表示。
3、有效数字与数据运算含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
数字舍入规则如下：①若舍入部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位，则末位加1。
②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。
③若舍去部分的数值，等于保留部分的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
即当末位为偶数时则末位不变，当末位为奇数时则末位加1。
三、实验内容1、用自己熟悉的语言编程实现对绝对误差和相对误差的求解。
2、按照数字舍入规则，用自己熟悉的语言编程实现对下面数据保留四位有效数字进行凑整。
第一章误差分析的基本概念
第一章 误差分析的基本概念§1 误差的来源1． 误差概念 ：精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2． 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时进行了舍入而引起的误差。
3.举例说明例1 设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在 t=0℃时的实际长度为L 0,用t l 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型：)t (L l t α+=10,其中α是由实验观察得到的常数 =α（0.0000238±0.0000001）1/℃，称t t l L -为模型误差，0.0000001/℃是α的观测误差。
这个问题中模型误差产生的原因是：实际上t L 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
例2 已知xe 在 x=0 处展开的泰勒级数为：∑∞==n nx!n x e 为了计算近似值,可取前面有限项计算.如取前面五项计算,计算过程中与计算结果都取五位小数得e ≈1+1+1/2+1/6+1/24≈2.7083，e 取五位小数时的准确值为e ~=2.71828，于是截断误差为: 0099507083271828215...!=-≈∑∞=n n这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
误差的基本概念
误差的基本概念误差的基本概念误差是指实际值与理论值或标准值之间的差异，它是一种客观存在的量，是科学研究、工程设计和生产制造等领域中不可避免的问题。
在现代科学技术和经济管理中，误差的控制和评定是非常重要的。
一、误差的分类1. 绝对误差：指实际值与理论值或标准值之间的代数差。
2. 相对误差：指绝对误差与理论值或标准值之比。
3. 系统误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于仪器、环境等因素引起测量结果偏离真实值而形成的常规性偏离。
系统误差也被称为仪器误差或固有偏离。
4. 随机误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于各种因素引起测量结果随机地偏离真实值而形成的非常规性偏离。
随机误差也被称为非系统性偏离。
二、误差的来源1. 人为因素：如操作不当、读数不准确、观察角度不同等。
2. 仪器因素：如仪器的精度、灵敏度、分辨率等。
3. 环境因素：如温度、湿度、气压等。
4. 样品因素：如样品的形状、大小、密度等。
三、误差的控制误差的控制是科学研究和生产制造中必须重视的问题。
以下是误差控制的几个方面：1. 提高人员技能水平，加强对测量方法和仪器使用规范的培训。
2. 选用精度较高、稳定性好的仪器，并按照使用说明进行正确操作和维护。
3. 控制环境条件，确保测量环境稳定，避免外界干扰。
4. 对样品进行预处理，使其符合测量要求。
5. 采用多次测量并取平均值来减小随机误差，同时对系统误差进行校正。
四、误差评定误差评定是指对实验或生产过程中产生的误差进行判断和分析。
以下是误差评定的几个方面：1. 计算绝对误差和相对误差，并与规定标准比较，判断是否满足要求。
2. 根据测量数据的分布情况，判断随机误差的大小和分布规律。
3. 对系统误差进行校正，并对校正后的数据进行评定。
4. 通过误差分析，找出产生误差的原因并采取相应措施，以减小误差。
五、总结误差是科学研究和生产制造中不可避免的问题，它会对实验结果和产品质量产生影响。
因此，我们需要了解误差的基本概念、分类和来源，并采取相应措施进行控制和评定。
误差的基本概念
§1-3 精度
反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度，又称 精确度。 “精度”包括精密度和准确度两层含义。 （1）精密度 测量中所测得数值重现性的程度，称为精密度。 它反映偶然误差的影响程度，精密度高就表示偶然误差小。 （2）准确度 测量值与真值的偏移程度，称为准确度。它反映 系统误差的影响精度，准确度高就表示系统误差小。 （3）精确度： 它反映测量中所有系统误差和偶然误差综合的影 响程度。
绝对误差（Absolute Error）
绝对误差
＝
测得值
－
真值
绝对误差 测得值
L＝L－L0
被测量的真值，常用 约定真值代替 特点： 1) 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。 2) 给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。
误差的定义及表示法
修正值(Correction) : 为了消除固定的系统误差用代 数法而加到测量结果上的值。
在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考。
二、数字舍入规则
计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照 下述原则进行凑整： 1. 若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末 位数加1。 2. 若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末 位数不变。 3. 若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末 位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇 数时则末位加1。
33
1.1.2 数据测量的分类
（1）按计量的性质分 检定:由法定计量部门（或其他法定授权组织），为确定和 证实计量器是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作。 检测（又称为测试或实验）：对给定的产品、材料、设备、 生物体、物理现象、工艺过程，按照一定的程序确定一种或多种 特性或性能的技术操作。 校准：在规定条件下，为确定测量仪器或测量系统所指示 的量值与对应的由标准所复现的量值之间的关系的一组操作。
误差和实验数据的处理
经过计算发现两组数据的平均偏差都为0.24%，但显然第二组数据比较分散，并且有过大和过小的值，因此用平均偏差已不能反映出这两组数据的精密度的差异。
样本标准偏差
贰
总体标准偏差
壹
有限次测量 对平均值的离散
肆
体标准偏差与样本标准偏差
中位数xM：数据由小到大排列后中间的那个数（n为奇数）或中间相邻两个数据的平均值（n为偶数）。
样本大小（容量）：样本中所含测量值的数目。幻灯片 7
样本平均值与总体平均值： 在无系统误差存在的前提下，μ= xT
例如：分析濠河水总硬度，依照取样规则，从濠河中取来供分析用2000mL样品水，这2000mL样品水是供分析用的总体，如果从样品水中取出20个试样进行平行分析，得到20个分析结果，则这组分析结果就是濠河样品水的一个随机样本，样本容量为20。
设x1、xn为异常值，则统计量Q为：
x1 , x2 , …… , xn-1, xn
式中分子为异常值与其相邻的一个数值的差值，分母为整组数据的极差。Q值越大，说明xn离群越远。Q称为“舍弃商”。当Q计算>Q表时，异常值应舍去，否则应予保留。
例6：书p97：例4-11
Q检验法
1
格鲁布斯(Grubbs)法
选择合适的分析方法
4.4 提高分析结果准确度的方法
减小测量的相对误差
分析天平每次称量误差为±0.0001克。一份样品需称量两次，最大绝对误差为±0.0002克，若要求相对误差<0.1%。计算试样的最小质量。
滴定管每次读数误差为±0.01mL。一次滴定中，需读数两次，最大绝对误差为±0.02mL，若要求相对误差<0.1%。计算消耗溶液的最小体积。
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设 y f ( x ), 则 y f ( x ) ，由Taylor
* *
展开公式
e( y*) y y* f ( x ) f ( x*) f ( x*)(x x*)
（1.1） e ( y*) f ( x*)e ( x*)
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2 2
第一章 绪论
由于精确值一般是未知的,因而e*不能求出来, 但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取
值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。 定义1.2 设存在一个正数 ，使
e xx
则称
为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。
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1515
第一章 绪论
e
*
r
1 mn 10 x x* 2 1 ( n 1 ) 10 * m 1 x x1 10 2 x1
*
er
1 10( n1 ) 2 x1
1414
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第一章 绪论
有效数字与相对误差 定理1.1 若近似数x*=0.x1x2…xn10m具有n位
有效数字，则其相对误差
er
*
1 10( n1) 2 x1
证: ∵ x* = 0.x1x2…xn10m ∴ x* ≥x110 m-1 又 ∵ x*具有n位有效数字,则x- x*≤1/210 m - n
* *
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1212
第一章 绪论
例6. 当取3.141作为的近似值时
-3.141=0.3141592…101 -0.3141101
≤0.0000592 101
<0.0005 10=1/2 10-2
x x* x x* x* x* 1 1 10( n1) ( x1 1) 10m1 10m n 2( x1 1) 2
由有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕
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2323
第一章 绪论
分别取 f ( x1 , x2 ) x1 x2
* * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
x1 x1 x2 , ,可得 x2
* * * * * * ( x1 x 2 ) x1 ( x2 ) x2 ( x1 )
叫有效数字。
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1010
第一章 绪论
例5： 3.141592653 ..... 取的近似值分别为:
3.14，3.141，3.142，3.14159，3.141592时，
求其有效数字位数。
解：e =3.141592653…－3.14=0.001592653…<0.005。 所以有效位数从3.14的4开始向前数到它前面的 第一个非零数字3为止，共3位有效数字。 e =3.141592653…－3.141=0.000592653…<0.005。 所以有效位数从3.141的1的前一位4开始向前数到 它前面的第一个非零数字3为止，共3位有效数字。
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1717
第一章 绪论
定理1.2 若近似数x*=0.x1x2…xn10m相对误差
er
*
1 10( n1) 2( x1 1)
则该近似数具有n位有效数字 证:∵ x*=0.x1x2…xn10m ∴ x* ≤ (x1+1) 10m-1
m-n=1-n=-2
所以n=3具有3位有效数字
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1313
第一章 绪论
①
②
③ ④
关于有效数字说明 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为的近似值 有4位有效数字，而3.141为3位有效数字。 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差限不一样 x- x1* =x- 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345≤0.0005=1/210-3 把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数。 准确值具有无穷多位有效数字
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1111
第一章 绪论
定义1.5
' *
设近似数x 有规格化形式 x 10 0.a1a 2 a 3 ...a n ...
m
*
其中m 和a i ( i 1,2,...,n,...)是整数且 a1 0,0 a i 9。如果x *的绝对误差满足 1 | e( x ) || x x | 10m n 2 * 则称x 为x的具有n位有效数的近似数。
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5 5
第一章 绪论
误差限不是唯一的，但越小越好。 通常我们在取误差限的时候，为了讨论的方便， 在尽可能小的范围内取做某一位上的半个单位。
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* *
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*
* * e ( x ) 称为相对误差，r 简记为er
7 7
第一章 绪论
相对误差越小,精度就越高,实际计算时,x通常是 不知道的,因此可用下列公式计算相对误差
e xx e * * x x
* r *
3 3
第一章 绪论
实际应用中经常使用 这个量来衡量误差限, 这 就是说, 如果近似数 x 的误差限为 , 则表明准确 值x必落在 x , x 上, 常采用下面的写法
x x x
x x
来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。
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第三节 误差的基本概念
1
第一章 绪论
Hale Waihona Puke 1.3.1 误差和误差限定义1.1 称
设x为准确数，x *为x的一个近似数, e( x * ) x * x
为近似数x *的绝对误差,简称误差。 ( 也记为e * )
误差为正时近似数为强近似数，为负时为弱近似数
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* * * * x1 ( x2 ) x2 ( x1 )
x ( ) x
* 1 * 2
x
* 2
2
( x 0)
* 2
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2424
第一章 绪论
例10： 测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的 近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*b* 的绝对误差限与相对误差限。 解: 面积s=ab,在公式中,将 y f ( x1 , x 2 ) 换为 s=ab, 则
1919
第一章 绪论
初值误差传播：假设每一步都是准确计算，
即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍
入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。 –研究方法： • 泰勒（Taylor）方法
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2020
第一章 绪论
1. 一元函数情形
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2222
第一章 绪论
2. 多元函数情形 设 y f ( x1 , x2 , , xn ) 则，y* f ( x1*, x2*, , x n*)
由多元函数的Taylor展开公式类似可得
1 e 0.1 0 0 1000
* r
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9 9
第一章 绪论
1.3.3 有效数字 定义1.5 如果一个数 x 的近似值 x 的误差限
不超过某一位的半个单位，则从 x的这一位开始， 直到它前面的第一个非零数字为止的所有数字，
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1616
第一章 绪论
一般应用中可以取r*=1/（2x1）10-(n-1),n越大 ,r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7：取3.14作为的四舍五入的近似值时，求其 相对误差 解：3.14=0.314 101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 r*=1/2x1 10-(n-1)=1/2 3 10-2=17%