5.1.2定积分的定义
定积分的定义及几何意义
精品文档 定 积 分教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解．1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f nξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()ba S f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b af x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）积分的几何意义：曲边图形面积：()ba S f x dx =⎰； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()ba W F r dr =⎰ 2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1a b dx b a -=⎰1 性质2 ⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）精品文档 性质31212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()bc b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中例题：求曲线2x y =与0,1==y x 所围成的区域的面积 解：（1）分割:将区间[]0,1等分成n 个小区间：11i i t n n n-∆=-= （2）近似代替：2)1(1n i n s i -=∆ （3）求和： 1ni i S S ==∆∑ 从而得到S 的近似值 )12)(11(61n n s --= （4）取极限：1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 例1．利用定积分的定义计算dx x )1(210+⎰的值。
第5.1节 定积分的概念及性质
§5.1 定积分的概念及性质一、定积分的定义5.1.1 定积分： 设)(x f 是定义在],[b a 上的有界函数，在],[b a 上任取一组分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=−L L 110，这些分点将],[b a 分为n 个小区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x −记每个小区间的长度为：),,2,1(1n i x x x i i i L =−=∆−，并记},,,max{21n x x x ∆∆∆=L λ再任取点),,2,1(],[1n i x x i i i L =∈−ξ，作和式：∑=∆ni i i x f 1)(ξ，若和式的极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ存在，则称)(x f 在区间],[b a 上可积，并称该极限为)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记为∫b adx x f )(，即∑∫=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间。
注：（1）定积分∫b adx x f )(表示一个常数值，它与被积函数)(x f 和积分区间],[b a 有关；（2）定积分的本质是一个和式的极限，该极限与区间的划分以及点i ξ的取法无关；5.1.2 函数可积的条件：（1）若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积； （2）若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； （3）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上可积； （4）有界不一定可积，可积一定有界，无界函数一定不可积。
5.1.3 定积分的几何意义：∫b adx x f )(表示以)(x f y =为曲边，以b x a x ==,为侧边，x 轴上区间],[b a 为底边的曲边梯形面积的代数和。
§5.1 定积分的概念与性质
f (i )xi lim x 0
i 1
n
1 3
8
6
5.1.3 定积分的基本性质
( 线 性 性 质 性质1.
b
a b
kf ( x)dx k f ( x)dx
a
b
性质2.
a
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx
a a
3
2
1
解（1）因为在[1, 2]上, x x ,
x dx
2 1
2
2
x dx
2
3
1
（2）因为在[1, 2]上, ln x (ln x) ,
ln xdx (ln x) dx
2 1 1
2
2
14
1i n
n
若极限 lim
x 0
f ( )x 存在,
i i i 1
n
则称函数 f (x) 在[a,b]上可积,
此极限值为函数f (x)在[a,b]上的定积分. 记作: 即
b
f ( x)dx
a
b
f ( x)dx lim
a
x 0
f ( )x
i i 1
n
i
5
1. 曲边梯形的面积
y
a f ( x)dx
c
b
c
a
f ( x)dx f ( x)dx
c
b
（2）若 a b c , 由(1)知
a b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a b
b
c
o a
《定积分定义》课件
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并 对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在 某个区间上的面积，特别是当这 些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计 算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变 力在某个区间上做的功、曲线运动 的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加 速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如 ，在分析质点的运动时，可以利用定积分计 算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性 体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性 体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结 果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等 。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥 了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算 。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例 如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等 旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通 过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用 定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得 到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词
5.1 定积分的定义
• 可把
a f ( x ) dx
ba
b
f ( )
因
1 n lim f ( i )ห้องสมุดไป่ตู้n n i 1
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例 7 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x
x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在
区间[ a , b ]上可积.
三、定积分的几何意义
f ( x ) 0, f ( x ) 0,
a f ( x )dx A a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积 的负值
A1
A3 A2
A4
a f ( x )dx A1 A2
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
3.变力做功
二、定积分定义 (P225 )
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0
i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
则 f ( x )dx 0 .
a
(a b )
证
f ( x ) 0, f ( i ) 0 , ( i 1,2, , n )
x i 0,
f ( i ) x i 0,
i 1
n
max{ x1 , x 2 , , x n }
5.1 定积分的概念与性质
【案例5.1】曲边梯形面积如何计算?
【分析】
须借助于现有的规则图形面积计算公式，采用以直代曲、局 部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想，分步骤地求出 曲边梯形面积。
下面我们分四步进行具体介绍。 1）分割
在区间 [a,b]内任意插入 n 1 个分点
对于函数的可积性，我们有下列重要结论：
定理 5.1
如果 f (x) 在区间[a,b] 上有界，且最多有有限个
间断点，则 f (x) 在区间[a,b] 上一定可积。
注意：
b
a f (x)dx
的值与区间 [a, b]
的分法以及点 i
的取法无关。
因为定积分
b
a
f
(x)dx
是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，
0
2
2
例5.1.2 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值。
（2） 1 1 x 2 dx 1
解：
（2）因为定积分
1
1
1 x2 dx 就是单位圆在
x
轴上方部分
的面积（如图5.6（2）所示），
所以 1 1 x2 dx 1 12
1
2
2
5.1.4 定积分的简单性质
性质1 两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，
即
b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
推广：有限个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和。即
b
a
f1
(
x)
f2 (x)
5.1定积分的概念和性质
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 ,, xn xn xn1
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; y 每个小曲边梯形的面积为 Ai 曲边梯形的面积
Ai
xi 1
o a x1
xi
2) 取近似. 在第i 个小曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得
b
a
a
a
f ( x)dx 0
2.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 y 0 a
y
a
0
b
b x
曲边梯形面积的负值
y
A1 a c
b
A3 A2
d
e
A4
A5 f b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
A1 ( A2 ) A3 ( A4 ) A5
y
o a x1
xi 1
i
xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
3) 求和.
将n个小矩形的面积之和作为所求曲 边梯形面积的近似值
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A Ai
i 1
( a b)
8. 积分中值定理 则至少存在一点
使
a f ( x) dx f ( )(b a)
b
5.2 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限函数
定积分的概念与性质(1)
a = x0 < x1 < x 2 < ⋯ < xi −1 < xi < ⋯ < x n −1 < x n = b
把曲边梯形的底[a,b]分成 个小区间 ： [ xi −1 , xi ] 分成n个小区间 把曲边梯形的底 分成 小区间长度记为： ∆x i = x i − x i −1 (i = 1,2,3, ⋯ , n ) 过各分点作垂直于x轴的直线段， 过各分点作垂直于 轴的直线段，把整个曲边梯形分 轴的直线段 个小曲边梯形， 成n个小曲边梯形，其中第 个小曲边梯形的面积记为 ∆ A i 个小曲边梯形 其中第i个小曲边梯形的面积记为 y y=f(x)
确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 上的定积分 定积分， 在区间[a , b ]上的定积分， 记为
积分上限
积分和
∫a f ( x )dx = I = lim ∑ f (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
积分 限
b
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
[a , b] 积分
∫a f ( x )dx = A
b
曲边梯形的面积
∫a
b
f ( x )dx = − A 曲边梯形的面积
的负值
17
一般情形, 一般情形
∫
b
a
的几何意义为： f ( x)dx 的几何意义为：
它是介于 x 轴、函数 f ( x )及两条直线 x = a , x = b 之间的各部分面积的代 数和． 数和． 轴上方的面积取正号； 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号． 积取负号．
1≤i≤n
对上述和式取极限就得物体以变速v(t)从时刻 到时刻 这段 对上述和式取极限就得物体以变速 从时刻a到时刻 从时刻 到时刻b这段 时间内运动的距离s, 时间内运动的距离 即
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y
yx
O
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2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
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1x
结束
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
A1 a
b
A3 A2 O A4
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
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【例题】用定积分几何意义，求
2
2 2
4 x 2 dx
解 被积函数是 y 4 x ， x [－2, 2] 是 x 轴上方 的半圆，如图 5．根据定积分的几何意义， 所求定积分为阴影部分的面积，即
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
第五章
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任一种分法
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
注. 当n 较大时, 此值可作为 1 2 x dx 的近似值
0
1 2 x 0
dx lim i xi
2
n
0 i 1
y
lim
1 3
yx
O
注 目录 上页
2
n
i n
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练习1. 利用定义计算定积分
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定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
a a
b
b
（2）积分上限可以小于下限，并且
（3） a
a
b a
f ( x)dx f ( x)dx ．
b
a
f ( x)dx 0 ．
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可积的充分条件: 定理1. 定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
2 2
4 x dx 2
2
y 4 x2
2
o
2
x
图5
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a b
在区间
即
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
b
n
O a x1
i xi 1 xi b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
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【注意】
（1）定积分 f ( x)dx 的值只与积分区间 a, b 和 被积函数 f ( x) 有关，与 a, b 的分法和 的取法 无关，与积分变量的符号无关。
b a
i
b a
f ( x)dx f (t )dt f (u )du