福建省龙岩市龙岩一中2019-2020学年度第一学期期中检测试卷-文数(Word版含答案)

龙岩市龙岩一中2019-2020学年度第一学期期中检测试卷高 三 数学（文）(考试用时：120分钟 分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝－2＋－2＋i 1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合A ＝{x |log 2x <0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫13x <3，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |x >0}D ．R3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．将函数y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )A ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π8对称B ．f (x )的最小正周期为π2C ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π3，π6上单调递增 6．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E ，为顶点的多边形为正五边形，且PTTE ＝5－12.下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B ．CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D ．AT →＋BQ →＝5－12CR →7．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为( )A ．120B ．84C ．56D ．288．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值为别为( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，79．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x >1若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[1，＋∞)10．中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年～前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm ，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)．若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为( )A ．2 cmB ．43 cmC.83cm D ．6427cm11．已知抛物线E ∶y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x12．如图，在三棱锥A BCD 中，AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，∠DAB ＝π6，∠BAC＝π4.三棱锥的外接球的表面积为16π，则该三棱锥的体积的最大值为( ) A.73 B ．433C.83D ．143二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．奇函数f (x )的图象关于点(1，0)对称，且f (3)＝2，则f (1)＝________．14．某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________．15．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．16．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线的离心率的取值范围为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(12分)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AA 1＝4，DC ＝2AB ，AB ＝AD ＝3，点M 在棱A 1B 1上，且A 1M ＝13A 1B 1.已知点E 是直线CD 上的一点，AM ∥平面BC 1E .(1)试确定点E 的位置，并说明理由； (2)求三棱锥M BC 1E 的体积．18．(12分)各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1λ，前n 项和为S n ，且S n ＋1＋S n ＝λa 2n ＋1. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝λn a n ，求{b n }的前n 项和T n .19．(12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 作一条不与坐标轴平行的直线l ，若l 交椭圆C 于A 、B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求△ABD 的面积的取值范围．20．(12分)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．21．(12分)如图是某小区2018年1月至2019年1月每月在售二手房均价(单位：万元/米2)的散点图．(图中月份代码1～13分别对应2018年1月～2019年1月)根据散点图选择y ＝a ＋b x 和y ＝c ＋d ln x 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为y ^＝0.936 9＋0.028 5x 和y ^＝0.955 4＋0.030 6ln x ，并得到以下一些统计量的值：(1)请利用相关指数R 2判断哪个模型的拟合效果更好；(2)某位购房者拟于2019年6月份购买这个小区m (70≤m ≤160)平方米的二手房(欲购房为其家庭首套房)．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年，请你利用(1)中拟合效果更好的模型解决以下问题：(ⅰ)估算该购房者应支付的购房金额；(购房金额＝房款＋税费，房屋均价精确到0.001万元/米2)(ⅱ)若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．(精确到1平方米)附注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收．(计税价格＝房款)征收方式见下表：19≈4.36.参考公式：相关指数R 2＝1－错误!.(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≥0)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2，C 3的极坐标方程分别为ρ2－2ρcos θ－45＝0，ρ(cos θ＋sin θ)＝75.(1)判断C 2，C 3的位置关系，并说明理由；(2)若tan α＝34(0≤α＜π)，C 1分别与C 2，C 3交于M ，N 两点，求|MN |.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋5|－|x －4|. (1)解关于x 的不等式f (x )≥x ＋1；(2)若函数f (x )的最大值为M ，设a ，b 为正实数，且(a ＋1)(b ＋1)＝M ，求ab 的最大值．高 三 数学（文）答案和解析1．解析：选B.解法一：因为z ＝－2（1＋2i ）－2＋i 1＋2i ＝（－4－3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝－2＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(－2，1)，该点在第二象限．解法二：因为z ＝－2＋－2＋i 1＋2i ＝－2＋2i 2＋i 1＋2i ＝－2＋i （2i ＋1）1＋2i ＝－2＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(－2，1)，该点在第二象限．2．解析：选B.解法一：A ＝{x |log 2x <0}＝{x |0<x <1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫13x <3＝{x |x >－1}，所以A ∩B＝{x |0<x <1}，故选B.解法二：因为0∉A ，所以0∉A ∩B ，故排除A ，D ；又2∉A ，所以2∉A ∩B ，故排除C ，故选B.3．解析：选C.根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.4．解析：选B.结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β⇒/α∥β，当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．故选B.5．解析：选D.将函数y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin x 的图象，其图象关于直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称，关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称，f (x )的最小正周期为2π，故A ，B ，C 错误；又函数f (x )＝sin x 的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且⎝⎛⎭⎫－π3，π6∈(－π2，π2)，故D 正确．故选D. 6．解析：选A.由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT TE ＝5－12，所以SE →＝5＋12RS →，故A 正确；CQ →＋TP →＝P A →－PT →＝TA →＝5＋12ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD →＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12CR→成立，则SD →＝0.不合题意，故D 错误．故选A.7．解析：选B.初始值i ＝0，n ＝0，S ＝0，第一次循环，i ＝1，n ＝1，S ＝1；第二次循环，i ＝2，n ＝3，S ＝4；第三次循环，i ＝3，n ＝6，S ＝10；第四次循环，i ＝4，n ＝10，S＝20；第五次循环，i ＝5，n ＝15，S ＝35，第六次循环，i ＝6，n ＝21，S ＝56，第七次循环，i ＝7，n ＝28，S ＝84，此时退出循环，输出S ＝84，故选B.8．解析：选A.由茎叶图，可得甲组数据的中位数为65，从而乙组数据的中位数也是65，所以y ＝5.由乙组数据59，61，67，65，78，可得乙组数据的平均值为66，故甲组数据的平均值也为66，从而有56＋62＋65＋74＋70＋x5＝66，解得x ＝3.故选A.9．解析：选C.解法一：当a ＝0时，函数f (x )的最小值是f (0)，不符合题意，排除选项A ，B ；当a ＝3时，函数f (x )无最小值，排除选项D ，故选C.解法二：∵f (1)是f (x )的最小值，∴f (x )＝2|x －a |在(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，2|1－a |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，|1－a |≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0≤a ≤2，， ∴1≤a ≤2，故选C.10．解析：选D.由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H ＝23×8＝163，底面圆的半径r ＝23×4＝83，故细沙的体积V ＝13πr 2H ＝13×π×⎝⎛⎭⎫832×163＝1 024π81，当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4，设高为H ′，则13π×42×H ′＝1 024π81，得H ′＝6427，故此锥形沙堆的高为6427cm.11.解析：选C.由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝x －p 2.如图，四边形CMNF 为梯形，且MN ∥FC ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2p ，所以x 1＋x 2＝y 1＋y 2＋p ＝3p ，所以x M ＝x 1＋x 22＝3p 2，y M ＝y 1＋y 22＝p .因为MC ⊥AB ，所以k MC＝－1，所以直线MC 的方程为y －p ＝－⎝⎛⎭⎫x －3p 2，即y ＝－x ＋5p 2，所以x C ＝5p2，所以四边形CMNF 的面积为12(x M ＋|FC |)·y M ＝12⎝⎛⎭⎫3p 2＋2p ·p ＝7，得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x ，故选C.12．解析：选B.设外接球的半径为R ，由题意得，4πR 2＝16π，解得R ＝2.由题意知△ADB ，△ABC 都是直角三角形，所以三棱锥ABCD 的外接球的球心为AB 的中点，且AB ＝4.由∠DAB ＝π6，∠BAC ＝π4，可求得AD ＝23，BD ＝2，AC ＝BC ＝2 2.当三棱锥ABCD的体积最大时，平面ADB ⊥平面ABC .所以三棱锥的体积的最大值为V三棱锥A BCD ＝V三棱锥CABD＝13×12×2×23×2＝433.故选B. 13．解析：解法一：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 因为f (x )的图象关于点(1，0)对称，所以f (2＋x )＋f (－x )＝0， 从而有f (2＋x )＝f (x )，所以2为f (x )的周期，所以f (1)＝f (3)＝2.解法二：因为f (x )的图象关于点(1，0)对称，所以f (3)＋f (－1)＝0，所以f (－1)＝－f (3)＝－2.因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝2.答案：214．解析：三名男生分别记为1，2，3，两名女生分别记为4，5，则从该小分队中任选两名同学的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．设“恰是一男一女”为事件A ，则A 包含的基本事件为(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6个．故所求的概率为P (A )＝610＝35.答案：3515.解析：依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC ，由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14， 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC＝12×2×2×154＝152， 因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10， 由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.答案：152；10416．解析：由通径公式得|AB |＝2b 2a，由题意，不妨设A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ，D (0，b )，则AB →＝⎝⎛⎭⎫0，－2b 2a ，AD →＝⎝⎛⎭⎫－c ，b －b 2a ，DA →＝⎝⎛⎭⎫c ，b 2a －b ，DB →＝⎝⎛⎭⎫c ，－b －b 2a .分类讨论：①若∠DAB 为钝角，则AB →·AD →＝⎝⎛⎭⎫b －b 2a ⎝⎛⎭⎫－2b 2a <0，解得a >b ，所以a 2>b 2＝c 2－a 2， 即2a 2>c 2，此时1<e <2；②若∠ADB 为钝角，则DA →·DB →＝c 2－b 4a 2＋b 2<0，∴a 2＋2b 2<b 4a2，令t ＝b 2a 2，得t 2－2t －1>0，解得t >1＋2，∴e ＝1＋t >2＋ 2.综上，e 的取值范围为(1，2)∪(2＋2，＋∞) 答案：(1，2)∪(2＋2，＋∞)17．解：(1)点E 在线段CD 上且EC ＝1，理由如下． 在棱C 1D 1上取点N ，使得D 1N ＝A 1M ＝1，连接MN ，DN ， 又D 1N ∥A 1M ，所以MN 綊A 1D 1綊AD .所以四边形AMND 为平行四边形，所以AM ∥DN . 因为CE ＝1，所以易知DN ∥EC 1，所以AM ∥EC 1， 又AM ⊄平面BC 1E ，EC 1⊂平面BC 1E ，所以AM ∥平面BC 1E . 故点E 在线段CD 上且EC ＝1. (2)由(1)知，AM ∥平面BC 1E ， 所以V 三棱锥M BC 1E ＝V 三棱锥A BC 1E ＝V 三棱锥C 1ABE ＝13×(12×3×3)×4＝6.18．解：(1)因为S n ＋1＋S n ＝λa 2n ＋1，①所以当n ≥2时，S n ＋S n －1＝λa 2n ，②①－②得，a n ＋1＋a n ＝λa 2n ＋1－λa 2n ，即a n ＋1＋a n ＝λ(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )，因为{a n }的各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，且λ>0， 所以a n ＋1－a n ＝1λ(n ≥2)．由①知，S 2＋S 1＝λa 22，即2a 1＋a 2＝λa 22，又a 1＝1λ，所以a 2＝2λ. 所以a 2－a 1＝1λ.故a n ＋1－a n ＝1λ(n ∈N *)， 所以数列{a n }是首项为1λ，公差为1λ的等差数列， 所以a n ＝1λ＋(n －1)·1λ＝n λ. (2)由(1)得a n ＝n λ，所以b n ＝n ·λn －1， 所以T n ＝1＋2λ＋3λ2＋…＋(n －1)λn －2＋nλn －1，③ λT n ＝λ＋2λ2＋3λ3＋…＋(n －1)λn －1＋nλn ，④ ③－④得(1－λ)T n ＝1＋λ＋λ2＋…＋λn －1－nλn ， 当λ>0且λ≠1时，(1－λ)T n ＝1－λn1－λ－nλn ， 得T n ＝1－λn （1－λ）2－nλn1－λ， 当λ＝1时，由③得T n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n （n ＋1）2＝n 2＋n 2. 综上，数列{b n }的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋n 2，λ＝1，1－λn （1－λ）2－nλn1－λ，λ>0且λ≠1. 19．解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12， ∴2a ＝4，e ＝c a ＝12，又a 2－b 2＝c 2， ∴a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵D 是点A 关于原点的对称点，∴原点O 是线段AD 的中点，则S △ABD ＝2S △ABO ＝2×12×|AB |×d 0＝|AB |×d 0(d 0为点O 到直线l 的距离)， 由直线l 过右焦点F ，且不与坐标轴平行，可设直线l ∶x ＝my ＋1，m ≠0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，得|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12（m 2＋1）3m 2＋4. 又d 0＝1m 2＋1， 则S △ABD ＝12（m 2＋1）3m 2＋4×1m 2＋1＝12m 2＋13m 2＋4 ＝12m 2＋13（m 2＋1）＋1＝123m 2＋1＋1m 2＋1， 令t ＝m 2＋1∈(1，＋∞)，则y ＝3t ＋1t 在(1，＋∞)上单调递增，则3t ＋1t∈(4，＋∞)， 则S △ABD ＝123m 2＋1＋1m 2＋1∈(0，3)，则△ABD 的面积的取值范围为(0，3)． 20．解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )．(ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(ⅱ)设a ＜0时，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e )≥0，当且仅当x ＝1时等号成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a ＞－e 2，则ln(－2a )＜1， 故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a )，1)上单调递减．③若a ＜－e 2，则ln(－2a )＞1， 故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a ))上单调递减．(2)(ⅰ)设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2， 则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a (b 2－32b )＞0.所以f (x )有两个零点．(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a ＜0，若a ≥－e 2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 又当x ≤1时f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－e 2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减， 在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增，又当x ≤1时f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．21．解：(1)设模型y ^＝0.936 9＋0.028 5 x 和y ^＝0.955 4＋0.030 6×ln x 的相关指数分别为R 21和R 22，则R 21＝1－0.000 5910.006 050，R 22＝1－0.000 1640.006 050， 因为0.000 591＞0.000 164，所以R 21＜R 22，所以模型y ^＝0.955 4＋0.030 6ln x 的拟合效果更好．(2)由(1)知，模型y ^＝0.955 4＋0.030 6ln x 的拟合效果更好，利用该模型预测可得，这个小区2019年6月份的在售二手房均价为y ^＝0.955 4＋0.030 6×ln 18＝0.955 4＋0.0306×(ln 2＋2ln 3)≈1.044(万元/米2)．(ⅰ)设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以 ①当70≤m ≤90时，契税为计税价格的1%，故h ＝m ×1.044×(1%＋1)＝1.054 44m ；②当90＜m ≤144时，契税为计税价格的1.5%，故h ＝m ×1.044×(1.5%＋1)＝1.059 66m ；③当144＜m ≤160时，契税为计税价格的3%，故h ＝m ×1.044×(3%＋1)＝1.075 32m .故h ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.054 44m ，70≤m ≤90，1.059 66m ，90＜m ≤144，1.075 32m ，144＜m ≤160.所以当70≤m ≤90时，购房金额为1.054 44m 万元；当90＜m ≤144时，购房金额为1.059 66m 万元；当144＜m ≤160时，购房金额为1.075 32m 万元．(ⅱ)设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t 平方米，由(ⅰ)知，当70≤t ≤90时，应支付的购房金额为1.054 44t 万元，又1.054 44t ≤1.054 44×90＜100，所以t ＞90，又房屋均价约为1.044万元/米2，所以t ＜100，所以90＜t ＜100.由1.059 66t ≤100，解得t ≤1001.059 66，因为1001.059 66≈94.4， 所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．22．解：(1)由C 2：ρ2－2ρcos θ－45＝0，可得x 2＋y 2－2x －45＝0， 即C 2是圆心为(1，0)，半径为355的圆． 由C 3：ρ(cos θ＋sin θ)＝75可得x ＋y －75＝0，即C 3是一条直线， 圆C 2的圆心(1，0)到直线C 3的距离d ＝|1＋0－75|2＝25＜355，即d ＜r ，所以圆C 2与直线C 3相交．(2)由tan α＝34(0≤α≤π)，得sin α＝35，cos α＝45， 由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α（ρ≥0）ρ2－2ρcos θ－45＝0，得ρ2－85ρ－45＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝－25(舍去)， 由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α（ρ≥0）ρ（cos θ＋sin θ）＝75，得ρ⎝⎛⎭⎫35＋45＝75，解得ρ3＝1， 故|MN |＝|ρ1－ρ3|＝1.23．解析：(1)f (x )＝|x ＋5|－|x －4|≥x ＋1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－5－（x ＋5）＋（x －4）≥x ＋1 或⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ＜4（x ＋5）＋（x －4）≥x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4（x ＋5）－（x －4）≥x ＋1 解得x ≤－10或0≤x ＜4或4≤x ≤8.于是原不等式的解集为(－∞，－10]∪[0，8]．(2)易知|x ＋5|－|x －4|≤|(x ＋5)－(x －4)|＝9，即M ＝9.所以(a ＋1)(b ＋1)＝9，即9＝(a ＋1)(b ＋1)＝[(a )2＋1][(b )2＋1]≥(ab ＋1)2，于是ab ＋1≤3，解得ab ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，即ab 的最大值为4.。