人教新课标版数学高二选修1-1练习导数的运算法则

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人教新课标版数学高二数学选修1-1练习3-2-2-2导数的运算法则

第2课时导数的运算法则双基达标（限时20分钟）1．函数y ＝cos x 1－x 的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x （1－x ）2 B.x sin x －sin x －cos x （1－x ）2 C.cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2 D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2 ＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2.答案 C2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )．A.193B.103C.133D.163解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.答案 B3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1＋x，则f ′(x )等于( )． A.11＋x B ．－11＋x C.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）2解析令1x ＝t ，则f (t )＝1t 1＋1t ＝11＋t ，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2. 答案 D4．若质点的运动方程是s ＝t sin t ，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________．解析 s ′＝(t sin t )′＝sin t ＋t cos t ，∴s ′(2)＝sin 2＋2cos 2.答案 sin 2＋2cos 25．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于________．解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＝－13，f ′（－1）＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.答案 186．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．解 ∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，∴所求切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．∵切线过原点，∴－e x 0＝－x 0·e x 0，x 0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.综合提高（限时25分钟）7．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( )．A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b解析 ∵y ＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ，∴y ′＝2x －(a ＋b )，∴y ′|x ＝a ＝2a －(a ＋b )＝a －b .答案 D8．函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( )．A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －（x 2＋a 2）x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 答案 B9．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是________．解析由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2. 答案 [2，2]10．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为________．解析 f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，∴y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37.答案－3711．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ＋2cos x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； (3)y ＝lg x x .解 (1)y ′＝(x 2sin x )′＋(2cos x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＋2(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －2sin x .(2)法一 y ′＝（e x ＋1）′（e x －1）－（e x ＋1）（e x －1）′（e x －1）2＝e x （e x －1）－（e x ＋1）e x （e x －1）2＝－2e x（e x －1）2.法二 y ＝e x ＋1e x －1＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1， y ′＝－2e x（e x －1）2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x x ′＝（lg x ）′x －（lg x ）·（x ）′x 2＝ 1x ln 10·x －lg x x 2＝1－ln 10·lg x x 2·ln 10. 12．(创新拓展)已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式．解由函数f (x )的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知－1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2，由切点为M 点得f ′(－1)＝－12.∵f ′(x )＝a （x 2＋b ）－2x （ax －6）（x 2＋b ）2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，a （1＋b ）－2（a ＋6）（1＋b ）2＝－12，即⎩⎨⎧a ＝2b －4，a （1＋b ）－2（a ＋6）（1＋b ）2＝－12，解得a ＝2，b ＝3或a ＝－6，b ＝－1(由b ＋1≠0，故b ＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。

2020年高中数学新人教版选修导数公式及导数的运算法则一 Word版含解析

1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)明目标、知重点1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x2.原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．探究点一几个常用函数的导数思考1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导数．思考2 利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2， ④y ＝1x，⑤y ＝x .答 ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x (x ＋Δx )＝－1x 2(其它类同)， ⑤y ′＝12x.思考3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．(1)函数y ＝f (x )＝c (常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y ＝f (x )＝x 的导数的物理意义呢？答 (1)若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．(2)若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．思考4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y ′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率．(2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考5 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率就是导数y ′|x ＝1＝－112＝－1，故斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2.思考6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．探究点二基本初等函数的导数公式思考你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？答公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例．例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.反思与感悟对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，利用公式2求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝32x 12；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数．解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1. 探究点三导数公式的综合应用按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题： (1)可求基本初等函数图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程． (2)知切线斜率可求切点坐标．例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．解设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧AOB上的点，使△ABP的面积最大．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x 距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(e x)′＝e x，∴e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为2 2.1．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3. 其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；②y＝3x＝x13，则y′＝13·x－23≠133x；③y ＝1x2＝x －2，则y ′＝－2x －3；④由f (x )＝3x ，知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3. ∴①③④正确．2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．0，π4]∪3π4，π)B ．0，π)C ．π4，3π4]D ．0，π4]∪π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈0，π4]∪3π4，π)．4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础过关1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2xln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A 解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．曲线y ＝1x在x ＝a 处的切线的倾斜角为3π4，则a ＝____.答案134解析 y ′＝(12x -)′＝－12·32x -，∴y ′|x ＝a ＝－12·32a -＝－1，∴a ＝134.5．若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 答案 A解析 ∵y ＝12x -，∴y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a -)处的切线斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a -＝－1232a -(x －a )．令x ＝0得y ＝3212a -；令y ＝0得x ＝3a .∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64. 6．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是________．答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2.(2)y ′＝(1x 4)′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)∵y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)＝2sin x2(2cos 2x 4－1)＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x . (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.二、能力提升8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e 答案 D解析 y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0， ①y 0＝e x 0， ②k ＝e x 0， ③∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x)＝x ＋e x，则f ′(1)＝________. 答案 2解析设e x＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.10．求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝x 7；(3)y ＝－1x5；(4)y ＝ln 3；(5)y ＝x x 3(x >0)．解 (1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝7x 6.(3)y ′＝(－x －5)′＝5x －6＝5x6.(4)y ′＝(ln 3)′＝0.(5)因为y ＝x x 3，所以y ＝52x ，所以y ′＝(52x )′＝52512x -＝5232x ＝5x x 2.11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解根据题意可知，与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.三、探究与拓展13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 014(x )．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1 2 3 ＋＋－－－ (3)y′＝ x x2 x3 ′＝(x 1＋2·x 2＋3·x 3)′ 1 4 9 －－－＝－x 2－4x 3－9x 4＝－ 2－ 3－ 4. x x x xsinx－2 xsinx 2 － (4)y′＝ cosx cosx ′＝ cosx ′ ＝ xsinx－2 ′cosx＋ xsinx－2 sinx cos2x
【答案】(1)y′＝4x－3 (2)y′＝2x＋4 1 (3)y′＝cosx－sinx (4)y′＝ 2 (5)y′＝6x＋5. cos x
题目类型一、导数的四则运算法则的应用
[例 1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； 1 2 3 (3)y＝ x＋x2＋x3； 2 (4)y＝xtanx－ . cosx
第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则二）
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数
本节重点：导数的四则运算法则及其运用．本节难点：导数的四则运算法则的理解运用．
1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求导法则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律，以达到巩固知识、提升能力的目的． 2．有了函数的和、差、积、商的求导法则，以及常见函数的导数公式，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．
∴－3－x2 0＝2x0(1 －x0)，解得 x＝－1 或 x0＝3. ∴过点(1，－ 3)的该抛物线切线方程为 y－1＝－2(x ＋1) 或 y－9＝6(x－3)，即 2x＋y＋1＝0 或 6x－y－9＝0.

选修1-1第三章第2节导数公式及运算法则(文)

='])([x kf )(x f k '； =±)'(v u ''v u ±；=)'(uv u v v u '+'； =⎪⎭⎫ ⎝⎛'v u 2v uv v u '-'(0)v ≠。

知识点一：利用公式与运算法则求导数例1 求下列函数的导数：（1）cos x y e x = （2）ln 1x y x =- （3）2tan y x x =+ （4）x y xe -=思路分析：看清结构，根据公式和法则进行运算。

解答过程：（1）x e x e x e x e y x x x x sin cos )(cos cos )(-='+'=')sin (cos x x e x -=1(1)ln ln (ln )(1)(1)ln ln 1(x x x x x x xx x x--''-----21324354()()(sin )sin cos ()()(sin cos )2cos ()()(2cos )2(cos sin )()()[2(cos sin )]4sin x x xxxxxxxxxxf x f x e x e x e xf x f x e x e x e xf x f x e x e x e x f x f x e x e x e x''===+''==+=''===-''==-=-……观察规律，发现每求4次导，sin x e x 循环出现，且导数值变为上个周期的－4倍， 1234567829101112(0)(0)(0)(0)01225(0)(0)(0)(0)0(4)(8)(8)5(4)(0)(0)(0)(0)5(4)f f f f f f f f f f f f +++=+++=+++=+-+-+-=⨯-+++=⨯- …… 所以：20122502(0)55(4)5(4)...5(4)i f =+⨯-+⨯-++⨯-∑解题后的思考：与判别式法求切线相比，用导数求切线，扩大了可求切线的函数图象的范围，且运算量小。

高中数学人教版选修1-1 第三章导数及其应用导数的计算

3.2导数的计算[教材研读]预习课本P81～85，思考以下问题1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12的导数是什么？2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？[要点梳理]1．基本初等函数的导数公式2.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2等求导函数，都可以看成y ＝x α(α∈Q *)，并用其导数公式求导．( )2．y ＝ln x 在x ＝2处的切线的斜率为12.( )3．f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的方程为x －y ＋1＝0.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√题型一利用导数公式求函数的导数思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．[解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln10.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ； (3)y ＝lg5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln1010x ＝－10－x ln10. (3)∵y ＝lg5是常数函数，∴y ′＝(lg5)′＝0.(4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二利用导数的运算法则求导数(链接教材P 84例2)求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[思路导引] 尽量把解析式转化为能用和差的求导法则，减少求导法则的应用的烦索性．[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1x 2.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln10＋2x 3. 题型三利用导数公式研究曲线的切线问题点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思路导引] 分析知，与曲线相切且与y ＝x 平行的直线与曲线的切点到直线y ＝x 的距离最小．[解]如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.(1)本例中的问题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．[跟踪训练]求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．[解] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，1.本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数. (2)利用导数运算法则求导数． (3)利用导数运算研究曲线的切线问题．3．本节课的易错点是导数公式(a x )′＝a x ln a 和(log a x )′＝1x ln a 以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′的区别.1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C.19D.13[解析] ∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.[答案] B2．函数y ＝3x 2的导数为( ) A ．y ′＝3x2B ．y ′＝32xC ．y ′＝23x3D ．y ′＝233x[解析][答案] D3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e[解析][答案] D4．已知f (x )＝e x ln x ，则f ′(x )＝( ) A.e x x B ．e x＋1xC.e x (x ln x ＋1)xD.1x ＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′·ln x ＋e x·(ln x )′＝e x·ln x ＋e x·1x ＝e x (x ln x ＋1)x，所以选C.[答案] C5．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0或±3B ．0C ．±3D ．非以上答案[解析] y ′＝3x 2＋2ax ，令y ′＝0，即3x 2＋2ax ＝0，∴x ＝0或x ＝－2a 3.分别代入y ＝x 3＋ax 2－43a ，得0＝－43a ，即a ＝0；－8a 327＋4a 39－43a ＝0，即a ＝±3，∴a ＝0或a ＝±3.[答案] A6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是__________，切线的方程为__________________．[解析] y ′＝1x ，则k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，切线方程y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.[答案] 1e x －e y ＝0。

高中数学选修1-1 26.导数的运算法则

26.导数的运算法则
教学目标班级____姓名________
1.熟记导数的运算法则.
2.能够熟练运用导数的运算法则求导数.
教学过程
一、导数的运算法则.（设两个函数分别为)(x f 和)(x g ）
注意事项：
（1）有相同导数的函数不一定是同一函数；
（2）两个函数相差一个常数，则它们有相同的导数.
二、例题分析.
例1：已知函数x x x f cos sin )(-=，则____________)('=x f .
练1-1：求下列函数的导数：
（1）323
+-=x x y ；
（2）)1)(1(2-+=x x y ；
（3）x y x lg 3-=.
练1-2：求下列函数的导数：
（1）x x f tan )(=；
（2）2sin
22)(2x x f -=；（3）1
1)(+-=x x x f ；（4）x
x x f sin 1sin )(+=.
例2：（1）曲线322--=x x y 在点)3,2(-处的切线方程为_________________.
（2）曲线3103+-=x x y 在第二象限的点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为__________.
作业：
1.求曲线12++=x xe y x 在点)1,0(处的切线方程.
2.求曲线2
+=
x x y 在点)1,1(--处的切线方程.。

人教A版高中数学高二选修1-1 导数概念与运算基础知识总结

导数概念与运算基础知识总结知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;nn xnx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();xxe e '=⑥()ln xxa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

高中数学选修1-1--导数的计算

则f (x)=2x ；
04
1
若�� 则��′ ��
= �� , =−
1 ��2
;
05
若�� = ��，
则��′ ��
1 = 2 �� .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推广
导数的计算
�� = �� = ��(��∗ሻ
导数的计算
人教版高中选修一
探究
y
画出函数��
=
�� 的图象
2
1
根据图象,描述它的变化情
况,并求出曲线在点(1,1)
= 2�� + ∆��
-2 -1 -1
12
x
处的切线方程.
-2
导数的计算
人教版高中选修一
05 函数 �� = �� = ��的导数
y O
y= ��
= 2�� + ∆��
x
∆�� + ∆�� − ��(��ሻ �� + ∆�� − ��
∆�� =
∆��
=
∆��
( �� + ∆�� − ��ሻ( �� + ∆�� + ��ሻ =
∆��→��
O
x

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课时跟踪检测（十六）导数的运算法则层级一学业水平达标1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．－1 D ．0解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ，又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x －2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：选C ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134. 5．设曲线y ＝ax －ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1，由题意得y ′|x ＝1＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝07．已知曲线y 1＝2－1x与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1. 答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.答案：19．求下列函数的导数(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝x 2sin x ； (4)y ＝x ＋3x 2＋3. 解析：(1)y ′＝(x －ln x )′ ＝(x )′－(ln x )′＝12x －1x. (2)y ′＝[(x 2＋1)(x －1)]′＝(x 3－x 2＋x －1)′＝(x 3)′－(x 2)′＋(x )′－(1)′＝3x 2－2x ＋1.(3)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. (4)y ′＝1·(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2. 10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1. 层级二应试能力达标1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．曲线y ＝x 2e x 在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．3eD ．1解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝e x (x 2＋2x )．当x ＝1时，f ′(1)＝3e ，即曲线y ＝x 2e x 在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝3e ，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＞0，整理得(x ＋1)(x －2)x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，又因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＞2.5．直线l 是曲线y ＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)的切线，当直线l 的斜率最小时，与直线10x ＋y ＝6平行，则a ＝________.解析：∵y ′＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－9－a 2，∴斜率的最小值为－9－a 2＝－10，得a ＝1.答案：16．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是____________．解析：y ′＝－1(2x －1)2，则y ′| x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－17．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. 由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，或y 0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.8．设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2.(1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n3n ＋1. 解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1. 所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，② ①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，所以f n ′(2)＝(n －1)·2n ＋1.(2)因为f (0)＝－1＜0，f n ⎝⎛⎭⎫23＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝⎛⎭⎫23n ≥1－2×⎝⎛⎭⎫232＞0，因为x ≥0，n ≥2.所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1为增函数，所以f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内单调递增，因此f n (x )在⎝⎛⎭⎫0， 23内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n －1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23. 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝⎛⎭⎫23n ＋1＝2n 3n ＋1.。