高中数学必修1综合测试题
(北师大版2019课标)高中数学必修第一册 第七章综合测试(含答案)
第七章综合测试一、选择题（每小题5分，共40分） 1.下列事件是随机事件的是（ ）①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数01xy a a a =≠（＞且）在定义域上是增函数. A .①③B .①④C .②④D .③④2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的（ ） A .①②B .①③C .②③D .①②③3.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数（a ，b ，c ）称为勾股数.现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数满足2b a c =+的概率为（ ） A .25B .79C .78D .9104.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知()12P A =，()16P B =，则“出现奇数点或2点”的概率为（ ） A .16B .13C .12D .235.下列试验属于古典概型的有（ ）①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率； ②在公交车站候车不超过10分钟的概率；③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数； A .0个B .1个C .2个D .3个6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A .23B .25C .35D .9107.某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是（ ） A .115B .25C .35D .14158.一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min .则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为（ ） A .13B .227C .427D .527二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A ，B 发生的概率相等，则称A 和B 是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”，以下判断正确的是（ ）A .在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”B .若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”C .因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D .同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”10.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.A .顾客购买乙商品的概率最大B .顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2C .顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3D .顾客仅购买1种商品的概率不大于0.311.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ） A .()0.55P A =B .()0.18P B =C .()0.27P C =D .()0.55P B C +=12.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是（ ） A .任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12B .每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16C .每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12D .每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16 三、填空题（每小题5分，共20分） 13.若A ，B 是相互独立事件，且()12P A =，()23P B =，则()P AB =________，()P AB =________.14.《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题.现拟编试题如下：已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为________.15.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________.16.在一次数学考试中，第.设4名学生选做这两题的可能性均为12.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都选做第22题的概率为________.四、解答题（共70分）17.（10分）某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如表所示：（1（2）求至少有3个人培训的概率.18.（12分）用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径（单位：cm）检验，结果如表：从这100（1）事件A：螺母的直径在（6.93，6.95]内；（2）事件B：螺母的直径在（6.91，6.95]内；（3）事件C ：螺母的直径大于6.96.19.（12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）若以A 表示和为6的事件，求P （A ）；（2）现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.20.（12分）A ，B 两个箱子分别装有标号为0，1，2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.（1）从A ，B 箱中各取12x =的概率；（2）从A ，B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求0x =且2y =的概率.21.（12分）某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标如表：（1）利用表中提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.22.（12分）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2（1（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率.第七章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】②④是随机事件，①是必然事件，③是不可能事件. 2．【答案】A【解析】从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，所有的样本点为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑.除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立.除“两球都为白球”和“两球恰有一白球”外，还有其他事件，如无白球，故②与“两球都为白球”互斥但不对立.③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥. 3．【答案】A【解析】从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中满足2b a c =+的有：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（15，20，25），共4种，故所求概率为42105P ==. 4．【答案】D【解析】因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以()()111263P P A P B =+=+=. 5．【答案】B【解析】古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性，①符合两个特征，是古典概型；②中的样本点的个数无限多；对于③，出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型. 6．【答案】D【解析】事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率1911010P =-=. 7．【答案】C【解析】用列举法可得样本空间中样本点的总数为15，所求概率的事件包括的样本点的个数为9，所以93155P ==. 8．【答案】C【解析】设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为()111433327P A ⨯⨯==（1-）（1-）. 二、9．【答案】AD【解析】对于A ，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有样本点之间都是“等概率事件”，故A 正确；对于B ，如在1，3，5，7，9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B 错误；对于C ，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C 不正确；对于D ，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为38，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为38，故这两个事件是“等概率事件”，故D 正确. 10．【答案】BCD【解析】对于A ，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A 错误；对于B ，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=，故B 正确；对于C ，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=，故C 正确；对于D ，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.1830.2＜，故D 正确. 11．【答案】ABC【解析】由题意可知，()550.55100P A ==，()180.18100P B ==，事件A B +与事件C 为对立事件，且事件A ，B ，C 互斥，所以()()()()110.27P C P A B P A P B =+==---，()()()0.45P B C P B P C +=+=. 12．【答案】ACD【解析】记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品.A 选项，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，3），（2，a ），（3，a ）}，“恰有1件次品”的样本点为（1，a ），（2，a ），（3，a ），因此其概率3162P ==，A 正确；B 选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3）}，因此()12n Ω=，B 错误；C 选项，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6，其概率为12，C 正确；D 选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，a ）}，因此()16n Ω=，D 正确. 三、 13．【答案】16 16【解析】因为()()1223P A P B ==，，所以()()11122P A P A =-=-=1，()21133P B =-=.因为A ，B 相互独立，所以A 与B ，A 与B 相互独立，所以()()()111236P AB P A P B ==⨯=，()()()111236P AB P A P B ==⨯=.14．【答案】16【解析】依题意，所有的样本点为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的样本点数有24种，其中满足条件的样本点为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为41246=. 15．【答案】19 29【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色，则所有的样本点有：红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、蓝蓝蓝，共27个样本点，事件“3个矩形颜色都相同”所包含的样本点有：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝，共3个，所以3个矩形颜色都相同的概率是31279=.事件“3个矩形颜色都不同”所包含的样本点有：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄，共6个，所以3个矩形颜色都不同的概率是62279=. 16．【答案】12 14【解析】设事件A 表示“甲选做第22题”，事件B 表示“乙选做第22题”，则甲，乙2名学生选做同一道题的事件为“AB AB +”，且事件A ，B 相互独立，所以()()()()()111111122222P AB AB P A P B P A P B +=+=⨯+-⨯-=（）（）.所以甲、乙2名学生选做同一道题的概率为12；因为()()111224P A P B =⨯=，所以甲、乙2名学生都选做第22题的概率为14. 四、17．【答案】（1）设“有2人及以下培训”为事件A ，“有3人培训”为事件B ，“有4人培训”为事件C ，“有5人培训”为事件D ，“有6人及以上培训”为事件E ，所以“有4个人或5个人培训”的事件为事件C 或事件D ，A ，B ，C ，D ，E 为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可知()()()0.30.10.4P C D P C P D =+=+=.（2）“至少有3个人培训”的对立事件为“有2人及以下培训”，所以由对立事件的概率可知()110.10.9P P A =-=-=.18．【答案】（1）螺母的直径在（6.93，6.95]内的频数为261541A n =+=，所以事件A 的频率为410.41100=. （2）螺母的直径在（6.91，6.95]内的频数为1717261575B n =+++=.所以事件B 的频率为750.75100=.（3）螺母的直径大于6.96的频数为224C n =+=，所以事件C 的频率为40.04100=.19．【答案】（1）甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5525⨯=，事件A 包括甲、乙出的手指的情况有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）共5种情况，所以()51255P A ==. （2）B 与C 不是互斥事件.因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件.（3）这种游戏规则不公平.和为偶数的样本点的个数为13个，（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）.所以甲赢的概率为1325，乙赢的概率为1325.所以这种游戏规则不公平. 20．【答案】（1）记事件A ={从A ，B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}.样本点的总个数为6530⨯=，事件A 包含样本点的个数为5.由古典概型的概率公式得()51306P A ==.则2x =的概率为16. （2）记事件B ={从A ，B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}.事件B 包含的样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得()101303P B ==.则0x =且2y =的概率为13. 21．【答案】（1）计算10件产品的综合指标S ，如表：其中4S ≤的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为0.610=，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种.②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种.所以()62155P B ==. 22．【答案】（1）设高一女生人数为x ，由题中表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则7004030x x -=，解得300x =.因此高一女生的人数为300.（2）由题中表1和表2可得样本中身高在[165，180）的男、女生人数分别为32，10，其和为42.样本容量为70.所以样本中该校学生身高在[165，180）的概率为423705=.估计该校学生身高在[165，180）的概率为35. （3）由题中表格可知：女生身高在[165，180）的概率为13.男生身高在[165，180）的概率为45，所以这2人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率为414141131153535315⨯-+-⨯+⨯=（）（）.。
人教版A版高中数学必修第一册 第一章综合测试01试题试卷含答案 答案在前
第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜ ，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞ ，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞ 或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（） ，∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（） ，即U U U U A C A B ⊇ （）（） ，∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分） （2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分） （3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）18.【答案】（1）{=|1U A x x - ＜ 或1x ≥，{=|12U A B x x ∴（）≤≤ .（6分） （2）{}=|01A B x x ＜＜，{=|0U A Bx x ∴ （）≤ 或}1x ≥.（12分） 19.【答案】①若=A ∅，则2=240p ∆+-（）＜，解得40p -＜＜.（4分）②若方程的两个根均为非正实数，则12120=200.10.=x x p p x x ∆⎧⎪+-+⎨⎪⎩≥，（）≤，解得≥＞（10分） 综上所述，p 的取值范围是{}|4p p -＞.（12分） 20.【答案】证明：①充分性：若存在0x ∈R ，使00ay ＜，则2220004=4b ab b a y ax bx ----（） 222000=444b abx a x ay ++-200=240b ax ay +-（）＞，∴方程=0y 有两个不等实数根.（6分）②必要性：若方程=0y 有两个不等实数根. 则240b ab -＞，设0=2bx a-， 则20=22b b ay a a b c a a ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（）（） 2224==0424b b ac b ac --+＜（10分） 由①②知，“方程=0y 有两个不等实根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.（12分） 21.【答案】（1）当=2a 时，{}=|17A x x ≤≤，{}=|27AUB x x -≤≤，（3分）{R =|1A x x ＜ 或}7x ＞，{}R =|21A B x x - （）≤＜ .（6分）（2）=A B A ，A B ∴⊆.①若=A ∅，则123a a -+＞，解得4a -＜；（8分）②若A ∅≠，则12311212234.a a a a a -+⎧⎪⎪---⎨⎪+⎪⎩≤，≥，解得≤≤≤，（10分）综上可知，a 的取值范围是1|412a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＜或≤≤.（12分）22.【答案】设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示.（2分）选甲、乙而不选丙的有2924=5-（人）， 选甲、丙而不选乙的有2824=4-（人）， 选乙、丙而不选甲的有2624=2-（人），（6分） 仅选甲的有382454=5---（人）， 仅选乙的有352452=4---（人）， 仅选丙的有312442=1---（人），（8分）所以至少选一门的人数为24542541=45++++++，（10分） 所以三门均未选的人数为5045=5-.（12分）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（ ） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（ ） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（ ）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（ ） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（ ） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（ ） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（ ）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（ ）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（） 等于（ ）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（ ）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（ ）①U U A C A B ⊆ （）（） ； ②U U U U A C A B ⊇ （）（） ；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （） ；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （） ；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？。
高中数学必修一测试题
高中数学必修一测试题一. 填空题1. 已知函数 f(x) = 2x² + 3x - 5，求 f(2) 的值。
解: 将 x = 2 代入函数 f(x) 得 f(2) = 2(2)² + 3(2) - 5 = 4(4) + 6 - 5 = 16+ 6 - 5 = 17。
2. 已知平行四边形 ABCD 的边长分别为 AB = 5cm，BC = 8cm，CD = 5cm，求对角线 AC 的长度。
解: 由平行四边形的性质可知，对角线互相平分且相等，因此 AC的长度等于 BD 的长度。
而 BD = AB = 5cm，所以 AC 的长度也为 5cm。
3. 解方程 2x + 3 = 7。
解: 通过移项和化简得 2x = 7 - 3 = 4，再除以 2 得 x = 2。
二. 计算题1. 计算3π + 2π - π。
解: 合并同类项得3π + 2π - π = 4π - π = 3π。
2. 简化下列代数式：(3x - 2y)²。
解: 将代数式展开得 (3x - 2y)² = (3x - 2y)(3x - 2y) = (3x)(3x) + (3x)(-2y) + (-2y)(3x) + (-2y)(-2y)= 9x² - 6xy - 6xy + 4y² = 9x² - 12xy + 4y²。
三. 解答题1. 解方程组：{ x - y = 5,2x + y = 9.解: 方程组可通过消元法求解。
首先将第一条方程两边同乘以 2，得到 2x - 2y = 10。
然后将第二条方程与该式相加，消去 y，得到 (2x + y) + (2x - 2y) = 9 + 10即 4x = 19，再除以 4 得 x = 19/4。
将 x 的值代入第一条方程得 (19/4) - y = 5，移项得 y = (19/4) - 5 = 19/4 - 20/4 = -1/4。
人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第三章 函数的概念与性质 综合测试(附答案与解析)
第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。
期末复习综合测试题(1)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册
模块一测试题一一．选择题（共10小题）1．设集合2{|10}A x x =-=，则( ) A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{1-，1}A ∈2．命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．1a <B ．2aC ．3aD ．4a3．若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围( ) A ．[4-，3]-B ．(,4)-∞-C ．[4-，)+∞D ．[4-，0]4．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为1x ，2x ，则1212ax x x x ++的最小值为( ) A ．8B ．6C ．4D ．25．已知动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C．D ．46．设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，若2020m n +=，(2)(2)2m n f f -+-=，则(a = ) A ．1011 B ．1009C ．1009-D ．1011-7．已知(2πθ∈-，0)，且3cos2cos()02πθθ++=，则sin()(4πθ+= ) ABCD8．已知函数()sin()cos()(06f x x x πωϕωϕω=++++>，0)3πϕ-<<，若点11(12π，0)为函数()f x 的对称中心，直线6x π=为函数()f x 的对称轴，并且函数()f x 在区间4(3π，3)2π上单调，则(2)(f ωϕ= )A ．1-B ．3C ．12 D ．12-二．多选题（共4小题）9．设集合{|4}x M y y e ==-+，{|[(2)(3)]}N x y lg x x ==+-，则下列关系正确的是( )A ．R RM N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =∅D ．RN M ⊆10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD ．下面不能由OD CD 直接证明的不等式为( )A (0,0)2a baba b +>> B 2(0,0)ababa b a b>>+C ．222(0,0)a bab a b +>>D ．22(0,0)22a b a b a b ++>> 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x 时，2()2f x x x =+，则可作为方程()(1)f x f x =-实根的有( )A 13-- B ．12C 13-+D 33+ 12．给出下列四个结论，其中正确的结论是( ) A ．sin()sin παα+=-成立的条件是角α是锐角B ．若1cos()()3n n Z πα-=∈，则1cos 3α=C ．若()2Z πα≠∈，则1tan()2tan παα-+=D ．若sin cos 1αα+=，则sin cos 1n n αα+= 三．填空题（共4小题）13．对于正数a ，a a a 可以用有理数指数幂的形式表示为 ．14．若函数12|1|log (1),1021,0x x x y x m---<⎧⎪=⎨⎪-⎩的值域为[1-，1]，则实数m 的取值范围为 ．15．已知22log log 16sincos1212a b ππ+=⋅，则a b +的最小值为 ．16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ，则a 的最大值为 ．四．解答题（共8小题）17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：)m ，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？18．已知a ，(0,)b ∈+∞，且24a 2b =．（Ⅰ）求21a b+的最小值； （Ⅱ）若存在a ，(0,)b ∈+∞，使得不等式21|1|3x a b-++成立，求实数x 的取值范围．19．已知函数212log (1)&0()log (1)&0x x f x x x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数1x 、2x ，且120x x +>，求证：12()()0f x f x +>；（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 取值范围．20．已知函数()sin (cos )f x x x x =+． （1）求()3f π的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若[12x π∀∈，]2π，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合．21．已知函数()sin()(0f x A x B A ωϕ=++>，0ω>，||)2πϕ<在一个周期内的最高点和最低点分别为(2,1)，(8,3)-． （1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()f x 在区间[0，6]的最大值和最小值；（3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6tπ倍(0)t >，纵坐标不变，再向上平移1个单位得到()y g x =的图象．若函数()y g x =在[0，]π内恰有4个零点，求t 的取值范围．22．已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．（1）求()3f π的值；（2）求函数()y g x =的解析式；（3）若0()2x f =0()g x ．模块一测试题一参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．设集合2{|10}A x x =-=，则( ) A ．A ∅∈B ．1A ∈C ．{1}A -∈D ．{1-，1}A ∈【分析】根据题意，用列举法表示集合A ，据此判断各选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，2{|10}{1A x x =-==-，1}， 对于A ，A ∅⊆，A 错误， 对于B ，1A ∈，B 正确， 对于C ，{1}A -⊆，C 错误， 对于D ，{1-，1}A =，D 错误， 故选：B ．【点评】本题考查元素与集合的关系，涉及集合的表示方法，属于基础题． 2．命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．1a <B ．2aC ．3aD ．4a【分析】求出函数恒成立的充要条件，根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：若[1x ∀∈，2]，220x a -恒成立，则2(2)2min a x =，故命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的充要条件是2a ， 而(-∞，1)(⊆-∞，2]，故命题“[1x ∀∈，2]，220x a -”为真命题的一个充分不必要条件是1a <， 故选：A ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及函数恒成立问题，是一道基础题．3．若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围( ) A ．[4-，3]-B ．(,4)-∞-C ．[4-，)+∞D ．[4-，0]【分析】根据全称命题是假命题，得到命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解即可． 【解答】解：若命题“[1x ∀∈，4]时，240x x m --≠”是假命题，则命题“[1x ∃∈，4]时，240x x m --=”是真命题 则24m x x =-，设22()4(2)4f x x x x =-=--， 当14x 时，4()0f x - 则40m -， 故选：D ．【点评】本题主要考查命题真假的应用，利用全称命题的否定是特称命题转化为特称命题是解决本题的关键．难度中等．4．已知函数22()4(0)f x x ax a a =-+>的两个零点分别为1x ，2x ，则1212ax x x x ++的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【分析】由韦达定理求出124x x a +=，212x x a =，再根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：由题意得：124x x a +=，212x x a =，故1212114244a x x a a x x a a ++=+⋅=， 当且仅当12a =时“=”成立， 故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道基础题． 5．已知动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．D ．4【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：动点(,)a b 的轨迹为直线:124x yl +=在第一象限内的部分， 所以124a b+=， 由基本不等式122424a b a b=+，解得2ab ， 当且仅当1242a b ==时，等号成立，故ab 的最大值为2． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：基本不等号式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．设函数()f x 的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，若2020m n +=，(2)(2)2m n f f -+-=，则(a = ) A ．1011B ．1009C ．1009-D ．1011-【分析】在函数()y f x =的图象上取点(,)x y ，则关于直线y x =-对称点为(,)y x --，代入2x a y +=，结合题目条件可得答案．【解答】解：因为函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，令(2)m f p -=，(2)n f q -=，则2p q +=；故(p -，2)m ，(q -，2)n 在2x a y +=的图象上，所以22m p a -+=，22n q a -+=，即m p an q a =-+⎧⎨=-+⎩，两式相加得()2m n p q a +=-++， 所以2202022022a m n p q =+++=+=， 解得1011a =， 故选：A ．【点评】本题考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 7．已知(2πθ∈-，0)，且3cos2cos()02πθθ++=，则sin()(4πθ+= )A B C D 【分析】由已知结合二倍角公式可先求sin θ，进而可求cos θ，然后结合两角和的正弦公式可求．【解答】解：因为(2πθ∈-，0)，且3cos2cos()02πθθ++=，所以cos2sin 0θθ+=， 即22sin sin 10θθ-++=，解得，sin 1θ=（舍)或1sin 2θ=-，所以cos θ=则sin()cos )4πθθθ+=+=故选：A ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角平方关系，和差角公式在三角求值中的应用，属于基础题．8．已知函数()sin()cos()(06f x x x πωϕωϕω=++++>，0)3πϕ-<<，若点11(12π，0)为函数()f x 的对称中心，直线6x π=为函数()f x 的对称轴，并且函数()f x 在区间4(3π，3)2π上单调，则(2)(f ωϕ= )A ．1- BC ．12 D ．12-【分析】利用两角和差和辅助角公式化简函数函数()sin()cos()sin()63f x x x x ππωϕωϕωϕ=++++=++，再利用三角函数的单调性、周期性和对称性可得2(21)3ω=+，N ∈．66l ππϕωπ=-+，I Z ∈．又因为03πϕ-<<，且06ω<．解得解得：26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即4(33ππϕ++，3)(3236πππωϕπ++=-，3)6ππ+符合单调性条件，所以函数()sin(2)6f x x π=+，即可得21(2)()32f f πωϕ=-=．【解答】解：函数()sin()cos()sin()63f x x x x ππωϕωϕωϕ=++++=++，并且函数()f x 在区间4(3π，3)2π上单调，因此62T ππω=，所以06ω<． 又因为点11(12π，0)为函数()f x 的对称中心，直线6x π=为函数()f x 的对称轴，因此113126442T Tπππ-==+，N ∈， 所以2321T ππω==+， 解得2(21)3ω=+，N ∈．将6x π=代入函数()f x 时函数有最值，即632m πππωϕπ++=+，m Z ∈，即66m ππϕωπ=-+，m Z ∈．又因为03πϕ-<<，且06ω<．解得：26ωπϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即4(33ππϕ++，3)(3236πππωϕπ++=-，3)6ππ+符合单调性条件， 所以函数()sin(2)6f x x π=+，则21(2)()32f f πωϕ=-=，故选：C ．【点评】本题考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、二倍角公式，考查推理论证能力和运算求解能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养． 二．多选题（共4小题）9．设集合{|4}x M y y e ==-+，{|[(2)(3)]}N x y lg x x ==+-，则下列关系正确的是( )A ．R RM N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =∅D ．RN M ⊆【分析】由指数函数的性质求出函数的值域即集合A ，由对数函数的性质即真数大于0，解一元二次不等式得到集合B ，判断两个集合的关系，结合选项可得正确答案． 【解答】解：集合{|4}{|4}(,4)x M y y e y y ==-+=<=-∞，集合{|[(2)(3)]}{|(2)(3)0}{|(2)(3)0}(2N x y lg x x x x x x x x ==+-=+->=+-<=-，3)，N M ∴⊆，即RM RN C C ⊆，故选：AB ．【点评】本题考查了集合间的关系，以及指数函数和对数函数的性质，属于基础题． 10．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．如图，在AB 上取一点C ，使得AC a =，BC b =，过点C 作CD AB ⊥交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD ．下面不能由OD CD 直接证明的不等式为( )A ．(0,0)2a baba b +>> B ．2(0,0)ababa b a b>>+C ．222(0,0)a bab a b +>>D ．22(0,0)22a b a b a b ++>> 【分析】由题意得，1()2OD a b =+，然后结合射影定理可得，2CD AC BC ab =⋅=，从而可判断．【解答】解：因为AC a =，BC b =， 所以1()2OD a b =+，由题意得，90ADB ∠=︒，由射影定理可得，2CD AC BC ab =⋅=，由OD CD ，得1()2a b ab +，当且仅当a b =时取等号，A 正确，B ，C ，D 不正确．故选：BCD ．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理，属于基础题．11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x 时，2()2f x x x =+，则可作为方程()(1)f x f x =-实根的有( )AB ．12CD【分析】由已知求得函数解析式，得到(1)f x -，进一步写出分段函数()()(1)g x f x f x =--，求解方程()0g x =得答案． 【解答】解：()()0f x f x -+=，()f x ∴为定义在R 上的奇函数，当0x 时，2()2f x x x =+，设0x >，则0x -<，得2()2()f x x x f x -=-=-，即2()2f x x x =-+．222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+∴=⎨-+>⎩，则221,1(1)2,1x x f x x x x ⎧-+<-=⎨-+⎩，令22263,1()()(1)21,01221,0x x x g x f x f x x x x x x ⎧-+-⎪=--=-<<⎨⎪+-⎩，当()0g x =时，解得x =或12x =或x =． 故选：ABD ．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．12．给出下列四个结论，其中正确的结论是( )A ．sin()sin παα+=-成立的条件是角α是锐角B ．若1cos()()3n n Z πα-=∈，则1cos 3α=C ．若()2Z πα≠∈，则1tan()2tan παα-+=D ．若sin cos 1αα+=，则sin cos 1n n αα+=【分析】由诱导公式二即可判断A ；分类讨论，利用诱导公式即可判断B ；利用同角三角函数基本关系式即可判断C ；将已知等式两边平方，可得sin 0α=，或cos 0α=，分类讨论即可判断D ．【解答】解：由诱导公式二，可得R α∈时，sin()sin παα+=-，故A 错误； 当2n =，Z ∈时，cos()cos()cos n πααα-=-=，此时1cos 3α=， 当21n =+，Z ∈时，cos()cos[(21)]cos()cos n παπαπαα-=+-=-=-，此时1cos 3α=-，故B 错误；若2πα≠，Z ∈，则sin()cos 12tan()2sin tan cos()2παπααπααα++===--+，故C 正确；将sin cos 1αα+=，两边平方，可得sin cos 0αα=，所以sin 0α=，或cos 0α=， 若sin 0α=，则cos 1α=，此时22sin cos 1αα+=；若cos 0α=，则sin 1α=，此时22sin cos 1αα+=，故sin cos 1n n αα+=，故D 正确． 故选：CD ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了函数思想和分类讨论思想，属于中档题． 三．填空题（共4小题）13．对于正数a可以用有理数指数幂的形式表示为 78a ．【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．【解答】解：原式7111311317182222224242(())(())()()a a a a a a a a a =⋅==⋅==．故答案为：78a ．【点评】本题考查了指数幂的运算法则，属于基础题．14．若函数12|1|log (1),1021,0x x x y x m---<⎧⎪=⎨⎪-⎩的值域为[1-，1]，则实数m 的取值范围为 [1，2] ．【分析】可求出10x -<时，10y -<，然后根据原函数的值域为[1-，1]可得出0x m 时，0|1|1x -，01y ，这样即可求出m 的范围．【解答】解：10x -<时，112x <-，121(1)0log x --<，且原函数的值域为[1-，1]，0x m ∴时，0|1|1x -，即02x ， 12m ∴，m ∴的取值范围为：[1，2]．故答案为：[1，2]．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于中档题．15．已知22log log 16sincos1212a b ππ+=⋅，则a b +的最小值为 8 ．【分析】由已知结合对数的运算性质及二倍角公式进行化简可求ab ，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为22log log 16sincos8sin412126a b πππ+=⋅==，所以2log 4ab =， 故16ab =，则28a b ab +=，当且仅当4a b ==时取等号，a b +的最小值8． 故答案为：8．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，二倍角公式及基本不等式，属于基础题． 16．用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ，则a 的最大值为98π． ． 【分析】分a 在不同区间进行讨论，得出符合条件的a 取值范围，即可求得a 的最大值．【解答】解：当[0a ∈，]2π时，2[0a ∈，]π，[0,]sin a M a =，[,2]1a a M =，由[0,][,2]2a a a M M ，得sin 2a，此时不成立；当[2a π∈，]π时，2[a π∈，2]π，[0,]1a M =，[,2]sin a a M a =，由[0,][,2]2a a a M M ，得12sin a ，即2sin a ，所以34a ππ；当[a π∈，3]2π时，2[2a π∈，3]π，[0,]1a M =，[,2]sin 2a a M a =或1， 由[0,][,2]2a a a M M ，得12sin 2a ，即2sin 2a且222a ππ+，解得98a ππ； 当3[2a π∈，)+∞时，2[3a π∈，)+∞，[0,]1a M =，[,2]1a a M =，不合题意． 综上，a 得最大值为98π． 故答案为：98π． 【点评】本题主要考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想，考查计算能力，属于中档题．四．解答题（共8小题）17．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m，东西的人行通道宽4m，如图所示（图中单位：)m，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【分析】设矩形车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为1200mx，人行道占地面积为12007200(6)(8)1200848S x xx x=++-=++，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：设矩形车场南北侧边长为xm，则其东西侧边长为1200mx，人行道占地面积为120072007200(6)(8)1200848284896S x x xx x x=++-=++⋅=，当且仅当72008xx=，即30()x m=时取等号，296()minS m=，此时120040()mx=，所以矩形停车场的南北侧边长为30m，则其东西侧边长为40m，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是2528m．【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，体现了转化思想的应用．18．已知a，(0,)b∈+∞，且24a2b=．（Ⅰ）求21a b+的最小值；（Ⅱ）若存在a，(0,)b∈+∞，使得不等式21|1|3xa b-++成立，求实数x的取值范围．【分析】()I由已知结合指数的运算性质可得，21a b+=，然后结合2121()(2)a ba b a b+=++，展开后利用基本不等式可求，()II 存在a ，(0,)b ∈+∞，使得21|1|3x a b-++成立，则结合()I 得|1|34x -+成立，解不等式可求．【解答】解：因为a ，(0,)b ∈+∞，且24a 222b a b +==， 所以21a b +=，212144()()(2)4428b a b I a b a b a b a b a +=++=+++=， 当且仅当4b a a b =且21a b +=，即14b =，12a =时取等号，故21a b+的最小值8， ()II 由21()I a b+的最小值4，又存在a ，(0,)b ∈+∞，使得21|1|3x a b-++成立， 所以|1|34x -+>， 所以|1|1x ->， 解得，2x >或0x <， 故x 的范围{|2x x >或0}x <．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化关系的应用，属于中档题．19．已知函数212log (1)&0()log (1)&0x x f x x x +⎧⎪=⎨-<⎪⎩．（1）判断函数()y f x =的奇偶性；（2）对任意的实数1x 、2x ，且120x x +>，求证：12()()0f x f x +>；（3）若关于x 的方程23[()]()04f x af x a +-+-=有两个不相等的正根，求实数a 取值范围．【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；（2）证明函数2log (1)y x =+在[0，)+∞上是严格增函数，结合函数的奇偶性可得12(1)y log x =-在(,0)-∞上也是严格增函数，从而()y f x =在R 上是严格增函数，由120x x +>，即可证明12()()0f x f x +>；（3）由（1）知，()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=，把原方程有两个不等正根转化为关于a 的不等式组求解． 【解答】解：（1）2(0)log (10)0f =+=．当0x >时，0x -<，有122()[1()](1)()f x log x log x f x -=--=-+=-，即()()f x f x -=-．当0x <时，0x ->，有212()[1()](1)()f x log x log x f x -=+-=--=-，即()()f x f x -=-．综上，函数()f x 是R 上的奇函数；证明：（2）函数2log y x =是(0,)+∞上的严格增函数，函数1u x =+在R 上也是严格增函数，故函数2log (1)y x =+在[0，)+∞上是严格增函数． 由（1）知，函数()y f x =在R 上为奇函数，由奇函数的单调性可知，12(1)y log x =-在(,0)-∞上也是严格增函数，从而()y f x =在R 上是严格增函数． 由120x x +>，得12x x >-，122()()()f x f x f x ∴>-=-，即12()()0f x f x +>；解：（3）由（1）知，()y f x =是R 上的奇函数，故原方程可化为23[()]()04f x af x a -+-=． 令()f x t =，则当0x >时，()0t f x =>，于是，原方程有两个不等正根等价于： 关于t 的方程23()04t at a -+-=有两个不等的正根．即234()04034a a a a ⎧=-->⎪⎪>⎨⎪⎪->⎩⇔1,3034a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪>⎩或⇔314a <<或3a >． 因此，实数a 的取值范围是3(4，1)(3⋃，)+∞．【点评】本题考查函数奇偶性的判定及应用，考查函数的单调性，考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想，是中档题．20．已知函数()sin (cos )f x x x x =+． （1）求()3f π的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若[12x π∀∈，]2π，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，代入计算可求()3f π的值，结合正弦函数的单调性列出不等式解出单调区间；（2）求出()f x 在[12π，]2π上的值域，根据题意列出不等式组即可解出m 的范围．【解答】解：（1）211cos2()sin (cos )sin cos sin 2sin(2)223x f x x x x x x x x x π-====-，()sin(2)sin 3333f ππππ∴=⨯-==， 令222232x πππππ-+-+，解得51212xππππ-++，Z ∈．()f x ∴的单调递增区间是[12ππ-+，5]12ππ+，Z ∈． （2）[12x π∈，]2π，可得2[36x ππ-∈-，2]3π，∴当232x ππ-=时，()f x 取得最大值1，当236x ππ-=-时，()f x 取得最小值12-． ()2m f x m <<+恒成立，∴1221m m ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112m -<<-．∴实数m 的取值范围是1(2-，1)-．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的单调性，三角函数的值域，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．21．已知函数()sin()(0f x A x B A ωϕ=++>，0ω>，||)2πϕ<在一个周期内的最高点和最低点分别为(2,1)，(8,3)-． （1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()f x 在区间[0，6]的最大值和最小值；（3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6tπ倍(0)t >，纵坐标不变，再向上平移1个单位得到()y g x =的图象．若函数()y g x =在[0，]π内恰有4个零点，求t 的取值范围． 【分析】（1）由最值求出A 、B ，由周期求ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．（3）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的性值，求得t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，1A B +=，3A B -+=-，故2A =，1B =-．12822πω⋅=-，6πω∴=．根据五点法作图，262ππϕ⨯+=，6πϕ∴=，()2sin()166f x x ππ=+-． （2）[0x ∈，6]，∴7[]6666x ππππ+∈， 故当662x πππ+=时，()f x 取得最大值为211-=；当7666x πππ+=时，()f x 取得最小值为12()122⨯--=-． （3）将()y f x =图象上的点的横坐标变为原来的6t π倍(0)t >，纵坐标不变， 可得62sin()12sin()1666t y x tx ππππ=⨯+-=+-的图象； 再向上平移1个单位得到()2sin()6y g x tx π==+的图象． 当[0x ∈，]π，[66tx ππ+∈，]6t ππ+， 若函数()y g x =在[0，]π内恰有4个零点，则456t ππππ+<， 求得232966t <． 【点评】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．22．已知函数()4cos sin()1()6f x x x x R π=-+∈，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．（1）求()3f π的值； （2）求函数()yg x =的解析式；（3）若0()2x f =0()g x ． 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，可得()3f π的值．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．（3）由题意求得0sin()6x π-的值，再利用诱导公式、二倍角公式，求得0()g x 的值． 【解答】解：（1）函数2()4cos sin()1cos 2cos 12cos22sin(2)66f x x x x x x x x x ππ=-+=-+=-=-， 故()2sin 232f ππ==． （2）将函数()2sin(2)6y f x x π==- 的图象向左平移6π个单位， 得到函数()2sin(2)6y g x x π==+的图象，（3）若00()2sin()26x f x π==-，则0sin()6x π-= 000()2sin(2)2cos(2)2cos(63g x x x ππ∴=+=-=2002)2[12sin ()]36x x ππ-=⨯-- 32[12]14=-⨯=-． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题．。
高中数学必修1综合测试题之三
高中数学必修1综合测试题之三一、选择题【共15道小题】（有答案）1、集合P={x||x|＜2}，Q={x+x＜2}则（）A.P∩Q=(0,2)B.P∩Q=［0，2］C.P QD.P Q2、设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、已知集合A={x|x2-5x+6≤0}，集合B={x||2x-1|＞3}，则集合A∩B=（）A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x＜3}C.{x|2＜x≤3}D.{x|-1＜x＜3}4、设f是从集合A到集合B的映射，下列四个说法，其中正确的是（）①集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应②集合B中的每一个元素在集合A中也都有元素与之对应③集合A中不同的元素在集合B中的对应元素也不同④集合B中不同的元素在集合A中的对应元素也不同A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④5、下列各图中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是（）6、下列各等式中，正确的是（）A.=|a|B.C.a0=1D.7、已知二次函数图象的对称轴是x=2，又经过点（2，3），且与一次函数y=3x+b的图象交于点（0，-1），则过一次函数与二次函数的图象的另一个交点的坐标是（）A.（1，2）B.（2，1）C.（-1，2）D.（1，-2）8、某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（）A.10%B.9%C.11%D.1119%9、函数y=的值域是（）A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x≤1}C.{x|x＞0}D.{x|x≥0}10、以下命题正确的是（）①幂函数的图象都经过（1，1）②幂函数的图象不可能出现在第四象限③当n=0时，函数y=x n 的图象是一条直线④若y=x n（n＜0）是奇函数，则y=x n在定义域内为减函数A.②③B.①②C.②④D.①③11、甲乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快.若某人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各人的图象只能是（）A.甲是图①，乙是图②B.甲是图①，乙是图④C.甲是图③，乙是图②D.甲是图③，乙是图④12、已知集合A={m1,m2},B={n1,n2,n3},则从A到B的不同映射共有…（）A.3个B.6个C.9个D.12个13、设函数f(x)=的定义域为{x|x≥-2}，则实数a的值为（）A. B.0 C. D.不存在14、已知对不同的a值，函数f(x)=2+a x-1(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是（）A.（0，3）B.（0，2）C.（1，3）D.（1，2）15、已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.(0,)C.［,)D.［,1)二、填空题【共4道小题】1、已知函数f(x)=的定义域是F，函数g(x)= log12(2+x-6x2)的定义域是G，全集U=R，那么F∩G=____________________.2、①已知函数y=(x2-2x+a)定义域为R，则a的取值范围是_____________，②已知函数y=(x2-2x+a)值域为R，则a的取值范围是________________.3、已知气压p（百帕）与海拔高度h(m)满足关系式 p=1 000，则海拔9 000 m高处的气压为________________百帕.4、设函数f(x)=+lnx在［1,+∞)上是增函数,则正实数a的取值范围是____________.三、解答题【共6道小题】1、（1）某西瓜摊卖西瓜，6斤以下每斤4角，6斤以上每斤6角.请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系.并画出图象.（2）一班有45名同学，每名同学都有一个确定的身高，把每个同学的学号当自变量，每个同学的身高当函数值，如下列表,画出它的图象来.2、已知y=,a＞0,a≠1,试把y+用含x的式子表示出来,并化简.3、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+∞)上为减函数，若f()＞f(2a-1)，求实数a的取值范围.4、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＜-2x的解集为(1,3).（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最小值为负数，求a的取值范围.5、已知xy＜0，并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由.6、有一个人在他死后,只留下一千英镑的遗产,可令人惊讶的是,他竟留下一份分配几百万英镑的遗嘱,遗嘱的内容是这样的:“……一千英镑赠给波士顿的居民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息,这款子过了100年后,用100 000英镑建立一所公共建筑物,剩下的继续生息100年,在第二个100年末,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理……”请你分析一下,这个人的遗嘱能实现吗？一、答案：1B2B3C4D5D6D7A8D9A10B11B12C13C14C15A二、填空题【共4道小题】1、已知函数f(x)=的定义域是F，函数g(x)= log12(2+x-6x2)的定义域是G，全集U=R，那么F∩G=____________________.参考答案与解析:解析：本题考查求一个函数的定义域以及在全集基础上的集合间的求“补”运算和集合间的求“交”运算,所以要分别求出集合F和G以及G的补集，最后求F∩G.解：∵1-x2＞0,∴-1＜x＜1,∴F=(-1,1).∵2+x-6x2＞0,∴-＜x＜,∴G=(-，),∴ G=（-∞,-）∪［,+∞］,∴F∩G=(-1,-)∩［,1］.主要考察知识点:集合,函数2、①已知函数y=(x2-2x+a)定义域为R，则a的取值范围是_____________，②已知函数y=(x2-2x+a)值域为R，则a的取值范围是________________.参考答案与解析:解析：两题乍一看似乎一样，但若仔细分析，其设问角度不同，解题方法也有区别.①对x∈R,x2-2x+a＞0恒成立，②由于当t∈(0,+∞)时,t∈R故要求x2-2x+a取遍每一个正实数,换言之,若x2-2x+a的取值范围为D,则(0,+∞)∈D.①x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故只要a-1＞0则x∈R时,x2-2x+a＞0恒成立.因此，填a＞1；②x2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故x2-2x+a的取值范围为［a-1, +∞)，要求(0,+∞)［a-1, +∞)只要a-1≤0.因此，填a≤1.答案：a＞1 a≤1主要考察知识点:对数与对数函数3、已知气压p（百帕）与海拔高度h(m)满足关系式 p=1 000，则海拔9 000 m高处的气压为________________百帕.参考答案与解析:解析：本题是与物理学有关系的一道给定函数关系式的题目，关键是理解所给公式中的各个量的含义,尤其是是“9000”对应的字母要准确.根据题意，得P=1 000=0.343.因此，填0.343.答案：0.343主要考察知识点:函数的应用4、设函数f(x)=+lnx在［1,+∞)上是增函数,则正实数a的取值范围是____________.参考答案与解析:解析：本题是函数单调性知识的逆向应用，即已知函数单调性，确定函数解析式或解析式中的待定系数.此题用到函数的导数的性质，即增区间内函数的导数非负，减区间内的函数导数非正.∴对函数进行求导后便可建立关于a的不等式.解：f′(x)=≥0对x∈［1，+∞)恒成立，∴a≥对x∈［1,+∞)恒成立，又≤1，∴a≥1为所求.答案：a≥1主要考察知识点:函数三、解答题【共6道小题】1、（1）某西瓜摊卖西瓜，6斤以下每斤4角，6斤以上每斤6角.请表示出西瓜重量x与售价y的函数关系.并画出图象.（2）一班有45名同学，每名同学都有一个确定的身高，把每个同学的学号当自变量，每个同学的参考答案与解析:解析：（1）要分情况表示.分成6斤以下,以上两种情况,这种函数叫分段函数.（2）这个问题中的自变量(学号)与变量(身高)有明确的对应关系，但这个对应关系无法用一个等式表示出来，我们采用列表法或图象法就比较简单.解：（1）这个函数的解析表示应分两种情况：y=如图：（2）图象法：主要考察知识点:函数的应用2、已知y=,a＞0,a≠1,试把y+用含x的式子表示出来,并化简.参考答案与解析:解析：此题把y+用含x的式子表示出来并不难，复杂的地方在于化简，由于在化简时涉及指数式的变换和分类讨论的使用.因此分类要细致，讨论要全面.解：由y=,可知y2=(a2x+a-2x+2),y2-1=(a2x+a-2x-2)=(ax-a-x)2,∴y+=+|ax-a-x|.当x＞0时,若a＞1,则ax＞a-x,此时y+=ax,若0＜a＜1,则ax＜a-x,此时y+=a-x.当x=0时，y+=1.当x＜0时，若a＞1,则ax＜a-x,此时y+=a-x,若0＜a＜1,则ax＞a-x,此时y+=ax.主要考察知识点:指数与指数函数3、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在［0,+∞)上为减函数，若f()＞f(2a-1)，求实数a的取值范围.参考答案与解析:解析：本题的解题关键是如何使用已知条件f()＞f(2a-1)，即如何把这个已知条件转化成关于a的不等式，也就是把自变量“部分”要化到一个单调区间内，才能根据函数的单调性达到转化的目的.这时我们想到了“若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)=f(|x|).”于是f(2a-1)=f(|2a-1|).解：由f(x)是偶函数,且f()＞f(2a-1)等价于f()＞f(|2a-1|)，又f(x)在［0,+∞)上是减函数，∴解得a≤-1或a≥2.主要考察知识点:函数4、已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＜-2x的解集为(1,3).（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最小值为负数，求a的取值范围.参考答案与解析:解析：本题综合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系及其性质，重点是互相之间的转化.在（1）中，通过不等式f(x)＜-2x的解集为(1,3)，用二次函数的标根式把不等式转化成函数，再根据韦达定理将问题转化成关于a的方程.在（2）中，既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式，也可以用配方法求最值.解：（1）Qf(x)+2x＜0的解集为（1，3）.∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),则a＞0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a ①由方程f(x)|+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0 ②∵方程②有两个相等的根，∴Δ=［-（2+4a)］2-4a·9a=0，即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a＞0,舍去a=-.将a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x2-6x+3.（2）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-及a＞0,可得f(x)的最小值为-.由题意可得，解得a＞0.故当f(x)的最小值为负数时，实数a的取值范围是a＞0.主要考察知识点:函数5、已知xy＜0，并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由.参考答案与解析:解析：4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？看看y的值是否是唯一确定的.解：xy＜0或因为4x2-9y2=36,故y2=x2-4.又x＞3;或x＜-3.∴y=f(x)=因此能确定一个函数关系y=f(x)．其解析式为y=f(x)=其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，+∞)．主要考察知识点:函数6、有一个人在他死后,只留下一千英镑的遗产,可令人惊讶的是,他竟留下一份分配几百万英镑的遗嘱,遗嘱的内容是这样的:“……一千英镑赠给波士顿的居民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息,这款子过了100年后,用100 000英镑建立一所公共建筑物,剩下的继续生息100年,在第二个100年末,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理……”请你分析一下,这个人的遗嘱能实现吗？参考答案与解析:解析：以上的这个遗嘱就是美国著名的科学家,一生为科学和民主革命而工作的富兰克林所写的.很显然作为一个科学家是不会在遗嘱中开玩笑的.从富兰克林的遗嘱中我们可以深刻地感受到“指数爆炸”的效应，微薄的资金,低廉的利率,在神秘的“指数爆炸”效应下,可以变得令人瞠目结舌,这就是富兰克林的故事给人的启示.增加到131 000英镑,这笔款增加到4 061 000英镑,解：让我们按富兰克林非凡的设想实际计算一下,故事中实际上是指数函数y=1 000(1+5%)x值的变化,不难算得,当x=1时,y=1 050,当x=3时y=1 158,当x=100时,y=1 000(1+5%)100≈131 501,这意味着上面的故事中在头一个100年末富兰克林的财产应当增加到131 501英镑,用100 000英镑建立一所公共建筑物后,还剩31 501英镑,在第二个100年末,他拥有的财产为y=31 501(1+5%)100≈4 142 421,其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民支配,而其余的3 000 000英镑让马萨诸州的公众来管理,还剩81 421英镑.可见富兰克林的遗嘱在科学上是站得住脚的.遗嘱是能够实现的.主要考察知识点:函数的应用。
高一数学必修一期中备考综合测试01(A卷)(解析版).docx
班级 ________ 姓名___________ .学号__________ 分数《必修一期中备考综合测试卷（一）》（A卷）（测试时问：120分钟满分：150分）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列给出的命题正确的是（）A.高中数学课本中的难题可以构成集合B.有理数集Q是最大的数集C.空集是任何非空集合的真子集D.自然数集N中最小的数是1【答案】C【解析】难题不具有确定性，不能构造集合，A错误；实数集R就比有理数集Q犬，疗错误；空集是任何非空集合的真子集，C正确；自然数集N中最小的数是0, D错误；故选C・2.若P={x|x<l）,Q={x|x>-l},则（）A. PcQB. QcpC. C（! P cQD. Qc Q, P【答案】C【解析】C v P={x|x^l}，而Q二{x|x>T},故有C v PCQ故选C.3.已知集合N, P为全集U的子集，且满足McpcN,则下列结论不正确的是（）A. [uNcQPB. C N P C GMC. （C U P） AM=0D. （（>M） AN=0【答案】D【解析】因为PUN,所以C V N C QP,故A正确;因为Mcp,所以C N P C C N M,故B正确;因为MCP,所以（CiP） AM=0,故C正确;因为MG N,所以（C U M）DNH0.故D不正确. 故选D.4.[2018届黑龙江省佳木斯市鸡东县第二中学高三第一次月考】若集合A = {l,2,4,8},B = {x|2x<5}, 则A c B =（）A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {1,2,3}【答案】C【解析】B = {x|2A <5} =（^o,log25）/.AnB = {l,2},选B.5.【2018届福建省数学基地校高三联考】下列函数屮，定义域是R且为增函数的是（）A. y = e~xB. y = x^C. y = larD. y = x【答案】B【解析】分别画出四个函数的图象，如图：故选B.6.【2018届广西钦州市高三第一次检测】已知集合A = {1, 2, 3, 4},集合B = {3,4, 5, 6},集合C=AnB, 则集合C的子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】2, 3, 4}, B={3, 4, 5, 6},/.C=AnB={l, 2, 3, 410（3, 4, 5, 6} = {3, 4打•:集合C的子集为0, {3}，⑷,{3, 4} f共4个.故选:D・7.集合A= {-1,0,1}, A的子集中含有元素0的子集共有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个【答案】B【解析】含有元素0的子集有{0}, {0,-1}, {0,1}, {0,-1, 1},共4个.故选B.8.[2018届福建省数学基地校高三联考】函数/（对二 _ 的定义域为（）71og2x-lA. （0,2）B.「（0,2]C. （2,4W）D. [2,-H X））【答案】C【解析】因为log 2x>l=>x>2,所以选C.X 2,XG [-1,0]9. 函数/(%) = { 1 ([的最值情况为()-,xe(O,ll x A.最小值0,最大值1 B.最小值0,无最大值 C.最小值0,最大值5 D.最小值1,最大值5【答案】B【解析1 xe [-1,0], f(x)的最大值为1,最小值为0； xe(o,l]时,f(x)e [1,+8)无最大值，有最小{Hl,所以f(x)有最小值0,无最大值.故选B.10. 若函数/(尢)的定义域为[—2,2],则函数/(x+l) + /(l-2x)的定义域为() 1 ~| [ 1 ~| 1~ 3~A. —, 1B. —, 2C. [—2,21rD. —3,—_ 2」 L 2」 L 」|_ 2_【答案】A【解析】因为函数/(x)的定义域为[-2=2],所以函数/(x+l)+/(l-2x)中有:-2<x+l<2 -2<l-2x<2故选A.( )A. 4B. —4C. 1 r 1 _D.―一 4 4【答案】 C【解析】 /(-2)= 2-2 =1 _ 4故选C.即函数/(x+l) + /(l-2x)的定义域为11.【2018届新疆呼图壁县第一屮学高三9月】设/(x) = {-J x + 22Xx>0 x<0,求f(-2)的值12. 【2018届甘肃省武威市第六屮学高三第一次】若a 满足a + lga = 4, b 满足b + 10b = 4,函数 f （x ）=F + （a ；：）：：2zO 则关于x 的方程f （x ）=x 解的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】Ta 满足a + 1駅=4, b 满足b + 10b = 4,.・・a, b 分别为函数y = 4-泻函数y = lgx, y = 10週象 交点的横坐标，由于y = x^y = 4-X @象交点的横坐标为2,函数y = lgx, y = 10啲图象关于y = x 对称, y2 1 Ay -L 0 丈 V・・.a + b = 4, .I 函数f （x ）=' 一 ，当XMO 时，关于x 的方程f （x ） = x,即P + 4X+2二須 2, x> 0即疋+ 3x4-2=0, /.X = -2或x = -1,满足题鼠 当x > 0时,关于x 的方程f （x ） = x,即x = 2,满足题意, ・•・关于x 的方程f （x ） = x 的解的个数是3,故选C.第II 卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 【2018届浙江省温州市高三9月测试】（J log2S = ___________ ・【答案】；【解析】@10§23= 2』諮=210g23 = |,故答案为*（1 \14.【2018届河北省石家庄二中八月模拟】已知幕函数/（兀）的图彖经过点-,V2，M/（x ） = 丿_1【答案】x 4[ 1 1V2=>c^ = --,所以/(x) = x 4,应填答案兀J 15. 【2018届宁夏育才中学高三第一次月考】函数y = lo&（x+l ） + 2（d>0且dHl ）恒过定点A,则A 的坐【解析】由题意- 丿标为____ .【答案】（0, 2）【解析】log 」=0.・.x = 0R 寸y = 2，即A 的坐标为（0, 2）.（3X - 1 x > 016. [2018届贵•州省贵阳市第一中学高三月考一】已知函，数f （x ）=L ；x2_；；；：0'若方程£（*）=皿有3个不等的实根，则实数m 的取值范围是 __________ . 【答案】（0, 2）【解析】画出函数图像，得二次函数最高•点位（-12）,常函数y = m 和曲线有三个交点，则位于x 轴上方, 最高点「下方即可•故得m e （0,2）.三、解答题（本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・）17. （本小题 10 分）计算：（1）（0.064戶 + （-2）‘ 3+16_0-75+（0.25）251 19 【答案】（1） —；（2）—16 4【解析】试题分析：（1）主要利用指数幕的运算法则（a ,n ）n =a ,,ut 即可得出；（2）利用对数的运算法则、换 底公式即可得出.2 2 16 8 2 16(2)原式ulogQ 石+lgl00+2 +些•坐=—丄 + 4 + 1= —lg2 21g3 4418. (本小题12分)已知函数/(x) = {x 2+l,-l<x<l2x + 3,x v -1(1) 求 /(/(/(-2)))的值。
(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)
（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =， 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（ ）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（ ） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值： （1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞， 即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =； 当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+； 当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==； 当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（ ）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，； 函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。
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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16}D ．{1,2}2. 已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－12) C ．(－1,0)D ．(12，1)3．在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x －1x －1 B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1－x －1，x <－1C ．f (x )＝x ＋2，x ∈R ，g (x )＝x ＋2，x ∈ZD ．f (x )＝x 2，g (x )＝x |x | 4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2-xD ．y ＝(x ＋1)5．函数y ＝ln x ＋2x －6的零点，必定位于如下哪一个区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)D ．(4,5)6．已知f (x )是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f (x )>f (2－x )，则x 的取值范围是( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．0<x <2D ．1<x <27．设y 1＝，y 2＝，y 3＝(12)，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，log a 3) D ．(log a 3，＋∞)9．若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)10．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，“好点”的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________.12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥12x ，x <1的值域为________．13．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．14．已知f (x 6)＝log 2x ，则f (8)＝________.15．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设全集U 为R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，求A ∪B .17．(本小题满分12分)(1)不用计算器计算：log 327＋lg25＋lg4＋7log 72＋(－0(2)如果f (x －1x )＝(x ＋1x )2，求f (x ＋1)．18．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f (x )为减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)>0，求实数a 的取值范围．(2)定义在[－2,2]上的偶函数g (x )，当x ≥0时，g (x )为减函数，若g (1－m )<g (m )成立，求m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，并且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x .(1)求f (log 213)的值； (2)求f (x )的解析式．20．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和一次函数g (x )＝－bx (b ≠0)，其中a ，b ，c 满足a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )．(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；(2)求证：方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2.21．(本小题满分14分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比； (2)至今年为止，该森林已砍伐了多少年 (3)今后最多还能砍伐多少年刘老师辅导·高中数学必修1综合测试题解析1. A[解析] 先求集合B ，再进行交集运算．∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }， ∴B ＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}． 2．B[解析] 本题考查复合函数定义域的求法． f (x )的定义域为(－1,0) ∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12. 3．B[解析] 若两个函数表示同一函数，则它们的解析式、定义域必须相同，A 中g (x )要求x ≠选项定义域不同，D 选项对应法则不同．故选B.4．A[解析] ∵y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x ＋1在(0，＋∞)上为增函数． 5．B[解析] 令f (x )＝ln x ＋2x －6，设f (x 0)＝0， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0， 又f (2)＝ln2－2<0，f (2)·f (3)<0， ∴x 0∈(2,3)． 6．D[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >02－x >0x >2－x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0x <2x >1，∴x ∈(1,2)，故选D. 7．D[解析] ∵y 1＝＝， y 2＝＝(23)＝，y 3＝，又∵函数y ＝2x 是增函数，且>>. ∴y 1>y 3>y 2. 8．C[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a 2x －2a x －2>1得a x >3，∴x <log a 3. 9．D[解析] 考查函数的奇偶性、单调性和方程的思想． ∵f (x )－g (x )＝e x ，(x ∈R )①f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－x )－g (－x )＝e －x . 即－f (x )－g (x )＝e －x ， ②由①、②得f (x )＝12(e x －e －x )， g (x )＝－12(e x ＋e －x )，∴g (0)＝－1. 又f (x )为增函数，∴0<f (2)<f (3)， ∴g (0)<f (2)<f (3)． 10．C[解析] ∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与y ＝x 没有交点， ∴指数函数不过(1,1)，(2,1)点，对数函数不过点(1,2)，∴点M 、N 、P 一定不是好点．可验证：点Q (2,2)是指数函数y ＝(2)x 和对数函数y ＝log 2x 的交点，点G (2，12)在指数函数y ＝(22)x 上，且在对数函数y ＝log 4x 上．故选C.11． {6,8}[解析] 本题考查的是集合的运算．由条件知∁U A ＝{6,8}，B ＝{2,6,8}，∴(∁U A )∩B ＝{6,8}． 12．(－∞，2)[解析] 可利用指数函数、对数函数的性质求解． 当x ≥1时，log 12 x ≤log 12 1＝0.∴当x ≥1时，f (x )≤0当x <1时，0<2x <21，即0<f (x )<2， 因此函数f (x )的值域为(－∞，2)． 13． (12，1)[解析] 设f (x )＝x 3－6x 2＋4， 显然f (0)>0，f (1)<0， 又f (12)＝(12)3－6×(12)2＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为(12，1)． 14． 12[解析] ∵f (x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，∴f (x )＝16log 2x ，∴f (8)＝16log 28＝16log 223＝12. 15． (－∞，16][解析] 任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，需使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立． ∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4>0， ∴a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a ≤16， 即a 的取值范围是(－∞，16]．16.[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}， ∴2∈B,2∉A,4∈A,4∉B ，根据元素与集合的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 42＋4p ＋12＝022－10＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝6.∴A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，经检验符合题意． ∴A ∪B ＝{2,3,4}．17．[解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg(25×4)＋2＋1＝32＋2＋3＝132. (2)∵f (x －1x )＝(x ＋1x )2 ＝x 2＋1x 2＋2＝(x 2＋1x 2－2)＋4 ＝(x －1x )2＋4 ∴f (x )＝x 2＋4 ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋4 ＝x 2＋2x ＋5.18．[解析] (1)∵f (1－a )＋f (1－a 2)>0， ∴f (1－a )>－f (1－a 2)． ∵f (x )是奇函数，∴f (1－a )>f (a 2－1)．又∵f (x )在(－1,1)上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <a 2－1，－1<1－a <1，－1<1－a 2<1，解得1<a < 2. (2)因为函数g (x )在[－2,2]上是偶函数， 则由g (1－m )<g (m )可得g (|1－m |)<g (|m |)． 又当x ≥0时，g (x )为减函数，得到 ⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |≤2，|m |≤2，|1－m |>|m |， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，1－m 2>m 2， 解之得－1≤m <12.19．[解析] (1)因为f (x )为奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ， 所以f (log 213)＝f (－log 23)＝－f (log 23) ＝－2log 23＝－3.(2)设任意的x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)， 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝2x ，所以f (－x )＝2－x ， 又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x ， 即当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2－x ； 又因为f (0)＝－f (0)，所以f (0)＝0， 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >00，x ＝0－2－x ，x <0.20．[解析] (1)若f (x )－g (x )＝0，则ax 2＋2bx ＋c ＝0， ∵Δ＝4b 2－4ac ＝4(－a －c )2－4ac ＝4[(a －c 2)2＋34c 2]>0，故两函数的图像交于不同的两点．(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ax 2＋2bx ＋c ，令h (x )＝0可得ax 2＋2bx ＋c ＝0.由(1)可知，Δ>0. ∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R )，∴a >0，c <0， ∴h (2)＝4a ＋4b ＋c ＝4(－b －c )＋4b ＋c ＝－3c >0， －2b 2a ＝－b a ＝a ＋c a ＝1＋ca <2，即有⎩⎨⎧Δ>0a >0h 2>0－2b 2a <2，结合二次函数的图像可知，方程f (x )－g (x )＝0的两个实数根都小于2. 21．[解析] (1)设每年砍伐的百分比为x (0<x <1)． 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12， 解得x ＝1－(12)110 .(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ， 即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n ， 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．|。