2018届山东省济南市高三下学期2月调研数学(理)试题Word版含解析
【数学】山东省济南市2018届高三第二次模拟考试数学(理)试题
理科数学参考公式锥体的体积公式: ,其中为锥体的底面积, 为锥体的高第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先化简集合A，B，然后求交集即可.详解：由题意可得：，∴故选：D点睛：本题考查集合的交运算，理解文氏图的含义是解题的关键，属于基础题.2. 设复数满足 (其中为虚数单位),则下列说法正确的是（）A. B. 复数的虚部是C. D. 复数在复平面内所对应的点在第一象限【答案】D【解析】分析：先求出，然后依次判断模长，虚部，共轭复数，对应的点是否正确即可.详解：∴，复数的虚部是1，，复数在复平面内所对应的点为，显然在第一象限.故选：D点睛：本题考查复数的除法运算，求模长，定虚部，写共轭，及几何意义，属于基础题. 3. 已知角的终边经过点,其中,则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用三角函数定义确定与的值，即可得到结果.详解：∵角的终边经过点,其中,∴时，，，∴；时，，，∴；∴故选：B点睛：本题考查任意角的三角函数的定义，解题关键注意分析m取正还是取负，属于基础题.4. 已知分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线上一点,与轴垂直,,且虚轴长为,则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用双曲线定义及虚轴长布列方程组即可求出双曲线的标准方程.详解：由题意可知：，，,2b=由双曲线定义可得，即又b=，∴∴双曲线的标准方程为故选：D点睛：本题主要考查了双曲线定义及简单的几何性质，属于基础题.5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的个红球、个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：分别求出任意取出两球与取出的两球颜色相同的取法，然后作商即可.详解：从装有形状、大小完全相同的个红球、个蓝球的箱子中,任意取出两球共种取法，取出的两球颜色相同共种取法，∴中奖的概率为故选：C点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．6. 中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图明确几何体的形状，左视图的面积即底面直角形斜边的高×三棱柱的高即可得到结果.详解：由三视图可知，该几何体为直三棱柱，底面直角三角形斜边的高为该“堑堵”的左视图的面积为故选：C点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 记不等式组,的解集为,若,不等式恒成立,则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：不等式恒成立,即求的最小值，作出可行域，移动直线，当纵截距最小时，满足题意.详解：若,不等式恒成立,即求的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图所示：当经过A点时，最小此时∴故选：C点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8. 如图,半径为的圆中,为直径的两个端点,点在圆上运动,设,将动点到两点的距离之和表示为的函数,则在上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分成两类情况与分别求表达式即可.详解：当时，，，∴，当时，，∴故选：A点睛：本题重点考查了求函数表达式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，属于中档题.9. 如下图所示的程序框图中,表示除以所得的余数,例如:,则该程序框图的输出结果为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：执行程序框图，依次判断，当时，输出.详解：执行程序框图，不符合，不符合，，不符合，符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，不符合，，不符合，符合，，符合，输出故选：B点睛：本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；（2）观察每次累加的值的通项公式；（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；（5）输出累加（乘）值．10. 设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：的周长为，∴故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11. 已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,,则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由球的表面积明确半径，利用条件,明确△的外接圆半径，进而得到外接球半径与△的外接圆半径及ＰＡ的关系，表示三棱锥的体积，然后利用导数求最值即可．详解：设外接球的半径R，易得解得在△中，设，又,,∴，即△为等腰三角形，设△的外接圆半径为r，则2r，即r又平面,设则三棱锥的体积令，,则∴三棱锥的体积的最大值为故选：A12. 已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意构造函数，借助单调性问题转化为e x（x3﹣3x+3）﹣ae x ﹣x≤0在上有解，变量分离求最值即可．详解：由是定义在上的奇函数, 当时,满足.可设故为上的增函数，又∴e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0在上有解，∴a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣2，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故选：D．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13. 展开式中,常数项为__________．(用数字作答)【答案】80【解析】分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．详解：展开式的通项公式为令，解得：∴常数项为故答案为：80点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是__________．【答案】丙【解析】分析：利用反推法，逐一排除即可.详解：如果甲是冠军，则爸爸与妈妈均猜对，不符合；如果乙是冠军，则三人均未猜对，不符合；如果丙是冠军，则只有爸爸猜对，符合；如果丁是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；如果戊是冠军，则妈妈与孩子均猜对，不符合；故答案为：丙点睛：本题考查推理的应用，解题时要认真审题，注意统筹考虑、全面分析，属于基础题．15. 已知中,,点为所在平面内一点,满足，则__________．【答案】【解析】分析：由足，明确点为的外心，，利用数量积德几何意义求值即可．详解：∵∴点为的外心，∴∴故答案为：点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16. 在圆内接四边形中,,,则的面积的最大值为__________．【答案】详解：由,,可知为直角三角形，其中∠ACB=90°，设∠BAD=，AB=2r，则，，在中，，即，∴，∴令t=，则当，即时，的最大值为故答案为：点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. 已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明:；(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1），，∴，整理后即得结果；（2）由（1）可得，检验n=1也适合即可.详解：（1），，，，，；，（2），，相减得：，从第二项起成等比数列，即，得，若使是等比数列则，，经检验得符合题意．点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.18. 在四棱锥中,底面为菱形，.(1)证明:；(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：(1)先证明，即，又；（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.详解：证明：（1）取中点为，连结，D，底面为菱形，且为等边三角形，，平面，平面∴.（2）设，为中点，，.以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，相关各点的坐标为，，，.设的法向量为得令得，即，设二面角的平面为，由图可知，为钝角，则.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数,表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由); (2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要年才能开始盈利,求的值.参考数据:其中其中参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.【答案】(1)见解析;(2)活动推出第天使用扫码支付的人次为;(3)见解析.【解析】分析：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2）对两边取对数可得，记把方程转化为熟知的回归直线方程问题；（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：；求出相应的概率值，然后求出一名乘客一次乘车的平均费用1.66，由题意可知：，解不等式即可.详解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；（2），两边同时取常用对数得：；设，，把样本中心点代入,得:，，，关于的回归方程式：；把代入上式:；活动推出第天使用扫码支付的人次为；（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：；；；；，所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：（元）由题意可知：，所以，取；估计这批车大概需要7年才能开始盈利.点睛：：求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。
2018年全国高考新课标2卷理科数学考试(解析版)
2018年全国高考新课标2卷理科数学考试（解析版）作者:日期:2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
434 3 3 4 3 4 A ・ 一 T 一 弓 B * -5 + 5i c ∙ - 5 ' 5i D * - 5 + 5i解析：选D2. 已知集合A={(x,y) ∣χ2+y2≤3,x∈Z,y∈Z },则A 中元素的个数为( ) A. 9B. 8C. 5D ・ 4解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3. 函数f (x)=E 2的图像大致为()-、选择题：本题共12小题, 1.l+2i F r2解析：选B f(x)为奇函数，排除 A,x>0,f (x)>0,排除 D,取 x=2,f (2) = e 2-e^24 力，故选B4. 已知向量 a, b 满足 Ial=1, a ∙ b 二-1,则 a ∙ (2a~b)=( ) A. 4B. 3C. 2D.5.双曲线= I (a>0, b>0)的离心率为\龙，则其渐近线方程为( C. y=±迟X9A. y=±j∖βxB. y 二±ι∖βx=∖β C2 二 3¥ b=∖βa C √5 歹专,BC=I,AC 二 5, B. √30C 3 解析：选 A CoSo2cos 右-I= - ~ 2 5解析：选A e-6-在ΔABC 中，COS 则 AB 二() D. y=±A. 4√2 AB^AO+BC2-2AB ∙ BC ∙ COSC=322√5 AB=4√2 D.7. ................................................... 为计算S=I- 2 + 3 ^ 4 ++^ T∞,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A. i=i+lB. i 二i+2C. i 二i+3D. i 二i+4解析：选B8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数 可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的 概率是（）3为7+23, 11+19, 13+17,共3种情形，所求概率为P=FF109. 在长方体ABCD-ABc I D I 中，AB=BC=I, AAi=W 则异面直线AD】与DBl 所成角的余弦值为（D.解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。
2018年高等数学二试题及完全解析(Word版)
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二考研真题与全面解析（Word 版）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 若()212lim1xx x eax bx →++=，则 （ ）（A ）1,12a b ==- （B ）1,12a b =-=- （C ）1,12a b == （D ）1,12a b =-= 【答案】(B )【解析】由重要极限可得()()()2222222112200111lim211lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x xx x x x x e ax bx e ax bx x xe ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-•++-→=++=+++-=+++-=，因此， 222222001()12lim 0lim 0x x x x x ax bx x e ax bx x x→→++++++-=⇒=ο 22201()(1)()12lim 00,102x a x b x x a b x →++++⇒=⇒+=+=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222x x x b x x x e ax bx e ax b e a ax x ⇒=-→→→++-++++=⇒=======， 故 1,12a b ==-，选（B ）. 2. 下列函数中在0x =处不可导的是（ ）（A ）()sin f x x x = （B）()f x x =（C ）()cos f x x = （D）()f x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A. 000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-===g ，可导；B. 000()(0)lim0x x x f x f x →→→-===, 可导； C. 20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---=== ，可导；D. 20001122lim limx x x x x x→→→--== ，极限不存在。
济南市达标名校2018年高考二月调研物理试卷含解析
济南市达标名校2018年高考二月调研物理试卷一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图所示，半径为R 的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB 为直径，O 点为碗的球心．将一弹性小球（可视为质点）从AO 连线上的某点c 点沿CO 方向以某初速度水平抛出，经历时间Rt g=（重力加速度为g ）小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C 点；假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向．不计空气阻力，则C 、O 两点间的距离为（ ）A ．23R B ．3R C ．3R D ．22R 2．图甲所示为氢原子能级图，大量处于n=4激发态的氢原子向低能级跃迁时能辐射出多种不同频率的光，其中用从n=4能级向n=2能级跃迁时辐射的光照射图乙所示光电管的阴极K 时，电路中有光电流产生，则A ．改用从n=4能级向n=1能级跃迁时辐射的光，一定能使阴极K 发生光电效应B ．改用从n=3能级向n=1能级跃迁时辐射的光，不能使阴极K 发生光电效应C ．改用从n=4能级向n=1能级跃迁时辐射的光照射，逸出光电子的最大初动能不变D ．入射光的强度增大，逸出光电子的最大初动能也增大 3．核电站使用的核燃料有一种典型的核裂变方程是2351y 891920x 360U+n Ba Kr 3n →++，假设23592U 质量为m 1，10n 质量为m 2，yx Ba 质量为m 3，8936Kr 质量为m 4，光速为c ，则（ ）A ．该核反应属于人工转变B ．方程中x=56，y=142C ．核反应中释放的能量为(m 1-2m 2-m 3-m 4)c 2D ．该裂变方程可以简化为235y 89192x 360U Ba Kr 2n →++4．在匀强磁场中，一矩形金属线框绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则（ ）A．t=0.005s时线框的磁通量变化率为零B．t=0.01s时线框平面与中性面重合C．线框产生的交变电动势有效值为300VD．线框产生的交变电动势频率为100Hz5．带电粒子仅在电场力作用下，从电场中a点以初速度进入电场并沿虚线所示的轨迹运动到b点，如图所示，实线是电场线，关于粒子，下列说法正确的是A．在a点的加速度大于在b点的加速度B．在a点的电势能小于在b点的电势能C．在a点的速度小于在B点的速度D．电场中a点的电势一定比b点的电势高6．如图所示，A、B、C三球的质量分别为m、m、2m,三个小球从同一高度同时出发，其中A球有水平向右的初速度，B、C由静止释放。
2018年山东省济南市高考数学二模试卷(理科)Word版含解析
2018年山东省济南市高考二模试卷（理科数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|（4﹣x）（x+3）≤0}，集合B=（x|x﹣1＜0}，则（∁A）∩B等于（）RA．（﹣∞，﹣3] B．[﹣4，1）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）2．已知复数z=﹣3i，则|z|等于（）A．2 B．C．D．3．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号，已知从49～64这16个数中被抽到的数是58，则在第2小组17～32中被抽到的数是（）A．23 B．24 C．26 D．28（ax+4）在（1，2]上单调递减，则实数a的值可以是（）4．已知函数f（x）=log2A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣35．“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知关于x的不等式m﹣|x+1|≤|2x+1|+|x+1|的解集为R，则实数m的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．07．包括甲、乙、丙三人在内的6人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有（）A．32种B．36种C．42种D．48种8．如果实数x，y满足条件，若z=的最小值小于，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，1） D．（，+∞）9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23 D．2410．已知函数f（x）=﹣，g（x）=，实数a，b满足a＜b＜0，若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[﹣1，1]使得f（x1）=g（x2）成立，则b﹣a的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为______．12．执行如图的程序框图，若输入k的值为5，则输出S的值为______．13．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=3，设=， =， =m﹣2，是△ABC以BC为斜边的直角三角形，则m=______．14．已知函数f（x）=﹣x2+4x+a（a＞0）的图象与直线x=0，x=3及y=x所围成的平面图形的面积不小于，则曲线g（x）=ax﹣4ln（ax+1）在点（1，g（1））处的切线斜率的最小值为______．15．已知点F是椭圆T： +=1（m＞0）的上焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点．若线段FF1的中点P恰好为椭圆T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，m），m∈R（1）若m=tan，且∥，求cos2x﹣sin2x的值；（2）将函数f（x）=2（+）•﹣2m2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在[0，]上有零点，求m的取值范围．17．在如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点． （1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC=2，AB=2BB1=2，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．18．机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都“合格”者，则机动车驾驶证考试“合格”（并颁发机动车驾驶证）．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率； （2）用X 表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．19．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n+1）（n ∈N +）数列{b n }满足a n =+++…+（1）求数列{b n }的通项公式； （2）令c n =（n ∈N +），求数列{c n }的前n 项和T n ．20．过抛物线L ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 且斜率为的直线与抛物线L 在第一象限的交点为P ，且|PF|=5 （1）求抛物线L 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与抛物线L 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点． （ⅰ）若k=2，线段AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线L 于M ，N 两点，（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程；（ⅱ）若直线l 过点，且交x 轴于点C ，且=a ， =b ，对任意的直线l ，a+b 是否为定值？若是，求出a+b 的值，若不是，说明理由．21．已知函数f （x ）=bx ﹣axlnx （a ＞0）的图象在点（1，f （1））处的切线与直线平y=（1﹣a ）x 行． （1）若函数y=f （x ）在[e ，2e]上是减函数，求实数a 的最小值；（2）设g （x ）=，若存在x 1∈[e ，e 2]，使g （x 1）≤成立，求实数a 的取值范围．2018年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|（4﹣x ）（x+3）≤0}，集合B=（x|x ﹣1＜0}，则（∁R A ）∩B 等于（ ） A ．（﹣∞，﹣3] B ．[﹣4，1） C ．（﹣3，1） D ．（﹣∞，﹣3） 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A 、B ，求出∁R A 与（∁R A ）∩B 即可． 【解答】解：∵集合A={x|（4﹣x ）（x+3）≤0}={x|x ≤﹣3或x ≥4}=（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞）； 集合B={x|x ﹣1＜0}={x|x ＜1}=（﹣∞，1）， ∴∁R A=（﹣3，4）， （∁R A ）∩B=（﹣3，1）． 故选：C ．2．已知复数z=﹣3i ，则|z|等于（ ）A ．2B ．C ．D ． 【考点】复数求模．【分析】化简复数z ，求出|z|即可．【解答】解：∵复数z=﹣3i=﹣3i=﹣3i=1﹣i ，∴|z|==．故选：D ．3．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号，已知从49～64这16个数中被抽到的数是58，则在第2小组17～32中被抽到的数是（ ）A ．23B ．24C ．26D ．28 【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：∵样本间隔k==16，设从1～16中随机抽取1个数的结果是x ， ∴第k 组抽取的号码数为x+16（k ﹣1）， 又k=4时，x+16×3=58，解得x=10；∴在编号为17～32的这16个学生中抽取的一名学生， 其编号为10+16=26． 故选：C ．4．已知函数f（x）=log2（ax+4）在（1，2]上单调递减，则实数a的值可以是（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】复合函数的单调性．【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：设t=ax+4，若函数f（x）=log2（ax+4）在（1，2]上单调递减，则t=ax+4在（1，2]上单调递减且当x=2时，t＞0，即，即，得﹣2＜a＜0，则只有a=﹣1满足条件．故选：B．5．“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5，令y=0，可得：x﹣1=，可得圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长L=＞2，解得m范围即可判断出结论．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5，令y=0，可得：x﹣1=，∴圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长L=＞2，解得﹣2＜m＜2．∴“﹣1＜m＜1”是“圆（x﹣1）2+（y﹣m）2=5被x轴截得的弦长大于2”的充分不必要条件．故选：A．6．已知关于x的不等式m﹣|x+1|≤|2x+1|+|x+1|的解集为R，则实数m的最大值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得 m≤|2x+1|+|2x+2|的解集为R，再根据绝对值三角不等式求得|2x+1|+|2x+2|的最小值为1，可得实数m的最大值．【解答】解：关于x的不等式m﹣|x+1|≤|2x+1|+|x+1|的解集为R，即 m≤|2x+1|+|2x+2|的解集为R．∵|2x+1|+|2x+2|≥|2x+1﹣（2x+2）|=1，∴m≤1，∴实数m的最大值为1，故选：C．7．包括甲、乙、丙三人在内的6人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站在两端的排法有（）A．32种B．36种C．42种D．48种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】利用间接法，先求出甲与乙、丙都相邻的排法，再排除乙站在两端的排法，问题得以解决．【解答】解：甲与乙、丙都相邻的排法有A44A22=48种，其中乙站在两端的排法有C21A33=12，故满足条件的种数为48﹣12=36，故选：B．8．如果实数x，y满足条件，若z=的最小值小于，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（，1） D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=的几何意义，即点P（﹣1，1）与可行域内点的连线的斜率列式求得a的范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由题意判断a＞0，z=的几何意义表示点P（﹣1，1）与可行域内点的连线的斜率，则当取正弦x=a与2x+y﹣2=0的交点（a，2﹣2a）时，z有最小值，得，解得a．故选：D．9．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23 D．24【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出直观图，几何体为三棱锥与四棱锥的组合体．【解答】解：作出几何体的直观图如图所示，则几何体为四棱锥C﹣ABNM和三棱锥M﹣ACD组合体．由三视图可知BC⊥平面ABNM，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，NB=2，MA=4，∴几何体的体积V=+=．故选A．10．已知函数f（x）=﹣，g（x）=，实数a，b满足a＜b＜0，若∀x1∈[a，b]，∃x2∈[﹣1，1]使得f（x1）=g（x2）成立，则b﹣a的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简g（x）==x﹣，从而判断单调性及取值范围，化简f（x）=﹣=﹣2﹣（x+），从而判断单调性，从而解得．【解答】解：g（x）==x﹣在[﹣1，1]上单调递增，故g（﹣1）≤g（x）≤g（1），即﹣≤g（x）≤3，f（x）=﹣=﹣2﹣（x+），故f（x）在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数；f（﹣2）=﹣2+4=2，令f（x）=3解得，x=﹣1或x=﹣4；故b的最大值为﹣1，a的最小值为﹣4，故b﹣a的最大值为3，故选A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．在△ABC中，A=，b2sinC=sinB，则△ABC的面积为 2 ．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出．【解答】解：∵b2sinC=sinB，∴b2c=4b，即bc=4．∴S=bcsinA==2．△ABC故答案为：2．12．执行如图的程序框图，若输入k的值为5，则输出S的值为30 ．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；输入k=5，n=0，S=﹣1，满足条件S＜kn；n=1，S=﹣1+1=0，满足条件S＜kn；n=2，S=0+2=2，满足条件S＜kn；n=3，S=2+22=6，满足条件S＜kn；n=4，S=6+23=14，满足条件S＜kn；n=5，S=14+24=30，不满足条件S＜kn；终止循环，输出S=30．故答案为：30．13．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=3，设=， =， =m﹣2，是△ABC以BC为斜边的直角三角形，则m= ﹣11 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，根据列方程解出m即可．【解答】解： ==， ==（m﹣1）﹣2．∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴，∴．即（）•[（m﹣1）﹣2]=（1﹣m）﹣2+（m+1）=0．∵=4， =9， =2×3×cos60°=3，∴4（1﹣m）﹣18+3（m+1）=0，解得m=﹣11．故答案为：﹣11．14．已知函数f（x）=﹣x2+4x+a（a＞0）的图象与直线x=0，x=3及y=x所围成的平面图形的面积不小于，则曲线g（x）=ax﹣4ln（ax+1）在点（1，g（1））处的切线斜率的最小值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】当x∈[0，3]时，y=f（x）的图象在直线y=x的上方，则围成的平面图形的面积为（﹣x2+3x+a）dx，运用定积分运算可得+3a，再由条件可得a的范围，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+﹣5，求出导数，判断单调性可得最小值．【解答】解：当x∈[0，3]时，f（x）﹣x=﹣x2+3x+a＞0，即有y=f（x）的图象在直线y=x的上方，则围成的平面图形的面积为（﹣x2+3x+a）dx=（﹣x3+x2+ax）|=+3a，由题意可得+3a≥，解得a≥2．g（x）=ax﹣4ln（ax+1）的导数为g′（x）=a﹣，可得在点（1，g（1））处的切线斜率为a﹣=（a+1）+﹣5，令t=a+1（t≥3），则h（t）=t+﹣5，h′（t）=1﹣＞0，可得h（t）在[3，+∞）递增，即有h（t）≥h（3）=3+﹣5=﹣，则当a=2时，取得最小值﹣．故答案为：﹣．15．已知点F 是椭圆T ： +=1（m ＞0）的上焦点，F 1是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点．若线段FF 1的中点P 恰好为椭圆T 与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率为．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求出中点P 的坐标，根据点P 在椭圆上建立方程关系求出a ，b 的关系即可得到结论．【解答】解：设F 1（c ，0），由椭圆方程得F （0，2m ），则线段FF 1的中点P （，m ），∵点P 在椭圆上，∴，得m=c ，∵P （，c ）在双曲线渐近线y=x 上，则=，则离心率e====，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知向量=（sinx ，﹣1），=（cosx ，m ），m ∈R（1）若m=tan ，且∥，求cos 2x ﹣sin2x 的值；（2）将函数f （x ）=2（+）•﹣2m 2﹣1的图象向右平移个单位得到函数g （x ）的图象，若函数g （x ）在[0，]上有零点，求m 的取值范围．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用诱导公式可求m ，利用平面向量共线的坐标表示可求tanx ，利用同角三角函数基本关系式即可化简求值．（2）由平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求函数f （x ）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g （x ），根据x 的范围，可求2sin （2x ﹣）的范围，令g （x ）=0即可解得m 的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵m=，∥，…∴3sinx+cosx=0，得tanx=﹣，…∴cos 2x ﹣sin2x===…（2）∵f （x ）=2（+）•﹣2m 2﹣1=2sinxcosx+2cos 2x ﹣2m ﹣1=sin2x+cos2x ﹣2m=2sin （2x+）﹣2m ，…∴g （x ）=2sin （2x ﹣+）﹣2m=2sin （2x ﹣）﹣2m ，…∵x ∈[0，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，则2sin （2x ﹣）∈[﹣1，2]，…令g （x ）=0，可得2m=2sin （2x ﹣）， ∴2m ∈[﹣1，2]，…∴m 的取值范围是[﹣，1]…17．在如图所示的几何体中，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1⊥平面ABC ，A 1B 1∥AB ，AB=2A 1B 1，E 是AC 的中点．（1）求证：A 1E ∥平面BB 1C 1C ；（2）若AC=BC=2，AB=2BB 1=2，求二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB 的中点F ，连结EF ，A 1F ，推导出FA 1∥BB 1，EF ∥CB ，由此能证明平面A 1EF ∥平面BB 1C 1C ．（2）连结CF ，则CF ⊥AB ，以F 为原点，FC 为x 轴，FB 为y 轴，FA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A ﹣BA 1﹣E 的余弦值．【解答】证明：（1）取AB 的中点F ，连结EF ，A 1F ，∵AB=2A 1B 1，∴BF=A 1B 1，∵A 1B 1∥AB ，∴FA 1∥BB 1，∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥CB ，∵EF∩FA 1=F ，∴平面A 1EF ∥平面BB 1C 1C ．解：（2）连结CF ，则CF ⊥AB ，以F 为原点，FC 为x 轴，FB 为y 轴，FA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），A 1（0，0，1），B （0，1，0），C （，0，0），∴E （，﹣，0），=（0，﹣1，1），=（，﹣，0），设平面A 1BE 的一个法向量为=（x ，y ，z ），则，取y=1，得=（，1，1），平面ABA的法向量=（0，0，1），1﹣E的平面角为θ，设二面角A﹣BA1则cosθ===．﹣E的余弦值为．∴二面角A﹣BA118．机动车驾驶证考试分理论考试和实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分都“合格”者，则机动车驾驶证考试“合格”（并颁发机动车驾驶证）．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率；（2）用X表示甲、乙、丙三人在理论考试中合格的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记“甲获得《机动车驾驶证》”为事件A《“乙获得《机动车驾驶证》”为事件B，“丙获得《机动车驾驶证》”为事件C，“这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）”为事件D，由P（D）=P（AB）+P（A C）+P（BC），能求出这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）的概率．（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“甲获得《机动车驾驶证》”为事件A《“乙获得《机动车驾驶证》”为事件B，“丙获得《机动车驾驶证》”为事件C，“这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得（机动车驾驶证）”为事件D，则P（A）==，P（B）==，P（C）==，则P（D）=P（AB）+P（A C）+P（BC）=++=．（2）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P （X=2）=++=，P （X=3）==， 0 2 3E （X ）==．19．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n （n+1）（n ∈N +）数列{b n }满足a n =+++…+ （1）求数列{b n }的通项公式；（2）令c n =（n ∈N +），求数列{c n }的前n 项和T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n ≥2时利用a n =S n ﹣S n ﹣1计算，进而可知a n =2n ，进而利用作差可知=2，计算即得结论；（2）通过（1）可知c n ==n+n•3n （n ∈N +），利用错位相减法计算可知数列{n•3n }的前n 项和Q n =，进而利用分组求和法计算即得结论． 【解答】解：（1）依题意，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n （n+1）﹣（n ﹣1）n=2n ，又∵当n=1时，a 1=S 1=2满足上式，∴a n =2n ，∵a n =+++…+，∴当n ≥2时，a n ﹣1=+++…+，两式相减得： =2n ﹣2（n ﹣1）=2，又∵=2满足上式，∴=2，b n =2+2•3n ；（2）由（1）可知c n ==n+n•3n （n ∈N +），令Q n 为数列{n•3n }的前n 项和，则Q n =1•3+2•32+3•33+…+n•3n ，3Q n =1•32+2•33+…+（n ﹣1）•3n +n•3n+1，两式相减得：﹣2Q n =3+32+33+…+3n ﹣n•3n+1 =﹣n•3n+1，∴Q n =，∴数列{c n }的前n 项和T n =Q n +=+．20．过抛物线L ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 且斜率为的直线与抛物线L 在第一象限的交点为P ，且|PF|=5（1）求抛物线L 的方程；（2）设直线l ：y=kx+m 与抛物线L 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（ⅰ）若k=2，线段AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线L 于M ，N 两点，（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程；（ⅱ）若直线l 过点，且交x 轴于点C ，且=a ， =b ，对任意的直线l ，a+b 是否为定值？若是，求出a+b 的值，若不是，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）过P 作PA ⊥y 轴于点A ，则cos ，由抛物线的定义得，由此能求出抛物线方程．（2）（i ）直线l 的方程为y=2x+m ，联立，得x 2﹣8x ﹣4m=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l 的方程．（ii ）由题意直线l 的方程为y=kx+1，l 与x 轴交点为C （﹣，0），由，得x 2﹣4kx ﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出对任意的直线l ，a+b 为定值﹣1．【解答】解：（1）设P （x 0，y 0），过P 作PA ⊥y 轴于点A ，∵直线PF 的斜率为，∴cos，∵|PF|=5，∴|AF|=3，即，由抛物线的定义得，解得p=2， ∴抛物线方程为x 2=4y ．（2）（i ）直线l 的方程为y=2x+m ，联立，消y 得x 2﹣8x ﹣4m=0，令△=64+16m ＞0，解得m ＞﹣4，∴x 1+x 2=8，x 1x 2=﹣4m ，∴，∴AB 的中点坐标为Q （4，8+m ），∴AB 的垂直平分线方程为y=﹣（8+m ）=﹣（x ﹣4），∴M （0，m+10），∵四边形AMBN 在菱形，M ，N 关于Q （4，8+m ）对称，∴N 点坐标为N （8，m+6），且N 点在抛物线上，∴64=4（m+6），即m=10．∴直线l 的方程为y=2x+10．（ii ）由题意直线l 的斜率一定不为0，其方程为y=kx+1，则直线l 与x 轴交点为C （﹣，0），由，得x 2﹣4kx ﹣4=0，∴△=（4k ）2﹣（﹣16）=16（k 2+1）＞0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，由，得（，y 1）=a （﹣x 1，1﹣y 1），∴=﹣，同理，得b=﹣，∴a+b=﹣（+）=﹣（2+）=﹣1，∴对任意的直线l ，a+b 为定值﹣1．21．已知函数f （x ）=bx ﹣axlnx （a ＞0）的图象在点（1，f （1））处的切线与直线平y=（1﹣a ）x 行．（1）若函数y=f （x ）在[e ，2e]上是减函数，求实数a 的最小值；（2）设g （x ）=，若存在x 1∈[e ，e 2]，使g （x 1）≤成立，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，得到b ﹣a=1﹣a ，解出b ，求出函数的解析式，问题转化为a ≥在[e ，2e]上恒成立，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）问题等价于x 1∈[e ，e 2]时，有g （x ）min ≤成立，通过讨论a 的范围结合函数的单调性求出a 的具体范围即可．【解答】解：f′（x ）=b ﹣a ﹣alnx ，∴f′（1）=b ﹣a ，∴b ﹣a=1﹣a ，b=1，∴f （x ）=x ﹣axlnx ，（1）函数y=f （x ）在[e ，2e]上是减函数，∴f′（x ）=1﹣a ﹣alnx ≤0在[e ，2e]上恒成立，即a ≥在[e ，2e]上恒成立，∵h （x ）=在[e ，2e]上递减，∴h （x ）的最大值是，∴实数a 的最小值是；（2）∵g （x ）==﹣ax ，∴g′（x ）==﹣+﹣a ，故当=即x=e 2时，g′（x ）max =﹣a ，若存在x 1∈[e ，e 2]，使g （x 1）≤成立，等价于x 1∈[e ，e 2]时，有g （x ）min ≤成立，当a ≥时，g （x ）在[e ，e 2]上递减，∴g （x ）min =g （e 2）=﹣ae 2≤，故a ≥﹣，当0＜a ＜时，由于g′（x ）在[e ，2e]上递增，故g′（x ）的值域是[﹣a ，﹣a]，由g′（x ）的单调性和值域知：存在x 0∈[e ，e 2]，使g′（x ）=0，且满足：x ∈[e ，x 0），g′（x ）＜0，g （x ）递减，x ∈（x 0，e 2]，g′（x ）＞0，g （x ）递增，∴g （x ）min =g （x 0）=≤，x 0∈（e ，e 2），∴a≥﹣＞﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意，综上：a≥﹣．。
山东省济南市2018届高考第二次模拟考试数学试题(理)-有答案
山东省济南市2018届高考第二次模拟考试数学试题(理)参考公式锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =,集合{}10A x x =-≤,集合{}260B x x x =--<则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}3x x < B ．{}31x x -<≤ C ．{}2x x < D ．{}21x x -<≤2.设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（ ） A ．2z = B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限3.已知角α的终边经过点(),2m m -,其中0m ≠,则sin cos αα+等于（ ）A ．．5± C ．35- D ．35±4.已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上一点,2PF 与x 轴垂直,1230PF F ∠=,且虚轴长为22则双曲线的标准方程为（ ）A ．22142x y -= B ．22132x y -= C.22148x y -= D ．2212y x -= 5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（ ） A ．15 B ．310 C. 25 D ．356.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）A．．18318227227.记不等式组1,50,210,x x y x x ⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D ,若(),x y D ∀∈,不等式2a x y ≤+恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞ C. (],6-∞ D ．(],8-∞8. 如图,半径为1的圆O 中,,A B 为直径的两个端点,点P 在圆上运动,设BOP x ∠=,将动点P 到,A B 两点的距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[]0,2π上的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．9.如下图所示的程序框图中,()Mod ,m n 表示m 除以n 所得的余数,例如:()Mod 5,21=,则该程序框图的输出结果为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.设椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2 B ．22C. 12 D ．3311.已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30BAC ∠=,3AC =,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（ ） A ．818 B ．24332 C.8132D ．81 12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,记()f x 的导函数为'()f x ,当0x ≥时,满足'()()0f x f x ->.若[)2,x ∃∈-+∞使不等式()333x f e x x ⎡⎤-+⎣⎦(a x)x f e ≤+成立,则实数a 的最小值为（ ） A ．21e - B ．22e - C. 212e + D ．11e- 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.52x x ⎛ ⎝展开式中,常数项为．(用数字作答)14.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊. 比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．15.已知ABC ∆中,4,AC 5AB ==,点O 为ABC ∆所在平面内一点,满足OA OB OC ==，则OA BC ⋅=．16.在圆内接四边形ABCD 中,8,2AC AB AD ==,60BAD ∠=,则BCD ∆的面积的最大值为． 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:17. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数. (1)证明:12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 18. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==.(1)证明:BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数,y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,y a bx =+与x c d ⋅(,c d 均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付 的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的 人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要()N n n n ∈年才能开始盈利,求n 的值.参考数据:其中其中7111,7i i i i gy υυυ===∑参考公式:对于一组数据()()()22,,,,,,i i n n u u u υυυ,其回归直线+a u υβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1221,ni i i nii u nu unuυυβ==-=-∑∑a u β=-.20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:20C x py p =>,斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 焦点,且与C 交于,A B 两点满足34OA OB ⋅=-.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于,M N 两点,R 为线段MN 的中点,记点R 到直线AB 的距离为d ,若22d AB =k 的值. 21.已知函数()2()1n 1f x x ax x =++-. (1)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范；(2)若函数()()g x f x x =+有两个极值点12,x x ,且12x x <,求证:()211n22g x >-. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C 交于A,B 两点 (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为224π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =- .(1)解不等式()()259f x f x x ++≥+； (2)若0,0a b >>，且142a b +=,证明:9()()2f x a f x b ++-≥，并求9()()2f x a f x b ++-=时，,a b 的值.2018 届高三教学质量调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1-5: BDBDC 6-10:CCABA 11、12：AD 二、填空题13. 80； 14. 丙； 15.92； 16.63三、解答题 17.【解析】 （1）11n n n a S S ++=-，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--()1120n n n S S S λ++∴--= 10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=； 12n n S S λ+∴-+（2）12n n S S λ+=+，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列， 212S S λ=+即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-， ()21,12,n n a λ-⎧⎪∴=⎨+⎪⎩,1,,2n n =≥ 若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+1λ∴=经检验得符合题意．18. 【解析】 证明：（1）取AD 中点为E ，连结,,PE BE BDPA P = PE A ⊥底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=ABD ∴∆为等边三角形， BE A ∴⊥,PE BE ,PE BE ⊂平面PBEAD P ∴⊥,AD BC BC PB ∴⊥∥.（2）设2AB =2AD PB ==，2BE =,PA A E ⊥为AD 中点1PE ∴=22PE BE P +=PE B ∴⊥.以E 为坐标原点，分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 相关各点的坐标为()()1,0,0,3,0A B ()(),0,0,1,3,0P C -()3,0AB ∴=-，()1,0,1AP =-，()0,3,1BP =-，()2,0,0BC =-.设PAB 的法向量为()1222,,n x y z =2200n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2223020z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令21y =-得220,3x z ==-()10,1,3n =--121227n n n n ⋅∴=-⋅ 设二面角A PB C --的平面为θ，由图可知，θ为钝角， 则27cos θ=19. 【解析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型； （2）x y c d =⋅，两边同时取常用对数得：()11x gy g c d =⋅11gc gd x =+⋅；设1,gy v =11v gc gd x ∴=+⋅4, 1.55,x v ==721140ii X==∑，717221717i i i i i x v xvgd x x==-∴==-∑∑250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯， 把样本中心点()4,1.54代入11v gc gd x =+⋅,得:10.54gd =，0.540.25v x ∴=+，10.540.25gy x ∴=+，y ∴关于x 的回归方程式：()()0.540.250.540.540.54101010 3.4710xxx y +===；把8x =代入上式:0.540.25810y +⨯∴== 2.5420.54101010347=⨯=；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470； （3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ， 则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4；()20.1P Z ==；()11.80.30.152P Z ==⨯=； ()1.6P Z ==10.60.30.73+⨯=；()11.40.30.056P Z ==⨯= 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：20.1 1.80.15 1.6⨯+⨯+0.7 1.40.05 1.66⨯+⨯=（元）由题意可知：1.66112n ⨯⨯⋅-0.6612800n ⨯⋅->203n >，所以，n 取7； 估计这批车大概需要7年才能开始盈利.20.【解析】（1）由已知，l 的方程：2p y kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ， 由222x py py kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得：2220x pkx p --=()*212x x p =-，1222212224x x p y y p p ==， 1212OA OB x x y y ⋅=+222344p p p =-+=-， 由已知得：233,144p p -=-=， ∴抛物线方程2:2C x y =；（2）由第（1）题知，21,:2,p C x y ==1:2l y kx =+， 方程()*即：2210x kx --=， 122x x k +=，121x x =-设AB 的中点()00,D x y ， 则：()01212x x x k =+=，2001122y kx k =+=+， 所以AB 的中垂线MN 的方程：()2112y k x k k ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，即21302x y k k +--= 将MN 的方程与2:2C x y =联立得：222230x x k k+--=， 设()()3344,,,M x y N x y ，则3434,22x x y y R ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 341,2x x k +∴=-3412y y k +=-2342x x k +⎛⎫++ ⎪⎝⎭2231322k k =++ R 点到AB ：102kx y -+=的距离222121k k d k +++12AB x -()22121214k x x x x =++-()22214421k k k =+++ 所以()2222212112k k d k k AB k ++++= 由已知得：221222k k +=，得1k =±. 21. 【解析】（1）【解法一】1()211f x ax x =+-=+()22212211x ax a ax ax x x x+-+-=++，[)0,x ∈+∞ 设()221h x ax a =-①0a ≤时，()0,()h x f x <∴在[)0,+∞上单调递减，()(0)0f x f ≤=，不合题意，舍；②当0a >时，（i ）若210a -≥，即12a ≥时，当()0,()h x f x ≥∴在[)0,+∞上单调递增，()(0)0f x f ≥=，符合题意； （ii ）若210a -<，即102a <<时，当120,2a x a -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0,()h x f x <单调递减：当12,2a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x >，()f x 单调递增；12(0)02a f f a -⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，不合题意，舍； 综上：12a ≥； 【解法二】若0a ≤,而(1)1n 210f a =+-<,不合题意,故0a >；易知:(0)0f =,1'()211f x ax x =+-+,[)0,,'(0)0x f ∈+∞= 设1()211x ax x =+-+，()21'()21h x a x =-++，'(0)21h a =- 若210a -≥,即12a ≥时,'()h x 在[)0,+∞上单调递增, '()'(0)210h x h a ∴≥=-≥,'()h x 在[)0,+∞上单调递增,'()'(0)0h x h ∴≥=,符合题意；若210a -<,即102a <<时,'()h x 在[)0,+∞上是单调递增函数， 令'()0h x =,记0112x a=，当[)00,x x ∈时,'()0h x <， '()h x ∴在[)00,x 上是单调递减函数,'()'(0)0h x h ∴≤=,()f x ∴在[)00,x 上是单调递减函数，()(0)0f x f ∴≤=,不合题意:综上:12a ≥； (2)【解法一】()()21n 1g x x ax -++,()1'21g x ax x =++22+2+1=1ax ax x +， 设()2221x ax ax ϕ=++, 若()0,10a x ϕ==>,()'0g x ∴>,()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意:当0a <时,()()101ϕϕ-==，()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意:当0a >时,()()101ϕϕ-==,要使方程()22210x ax ax ϕ=++=有两个实根12,x x ， 只需2480,102a a ϕ⎧⎪∆=->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩即0a >， ()()101ϕϕ-==，11022a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增,在()12,x x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增；()g x ∴在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=()()2222=1n 1g x x ax ∴++()222211n 122x x x =+-+()2221n 1x x ⋅=+2122x -+ 设()()1=1n 122m t t t +-+，1,02t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'=1m t t -+()()2212102121t t t +=>++， ()m t ∴在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数,()1111=1n +=1n22222m t m ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()211n22g x ∴>-. 【解法二】()()2=1n 1g x x ax ++，()1'=1g x x ∴++222121ax ax ax x ++=+， 设()2221x ax ax ϕ=++, 若()0,10a x ϕ==>，()'0g x ∴>，()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意；当0a <时,()()101ϕϕ-==,()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意；当0a >时,()()101ϕϕ-==,要使方程()222+1=0x ax ax ϕ=+有两个实根12x x ，, 只需2=480102a a ϕ⎧⎪∆->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即2a >()()101ϕϕ-==，11022a ϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭，21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增，在()12,x x 单调递减，在()2,x +∞上单调递增；()g x ∴在1x x =处取最大值，在2x x =处取最小值，符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=设22ax t =，则210tx t ++=，()212,11t x ∴=-∈--+， ()()221n 1g x x ∴=+()221n ax t +=---()1,2,122t t -∈-- 设()()11n 2m t t =---(),2,12t t -∈--，()11'2m t t =--202t t+=->， ()m t ∴在()2,1--单调递增，()()121n22m t m ∴>-=- ()211n22g x ∴>-. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程]解:(1)l 的普通方程为:10x y +-=；又222sin 2ρρθ+=,2222x y y ∴++=即曲线C 的直角坐标方程为:2212x y += (2)解法一:11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上,直线l 的参数方程为''1222122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩('t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程得2'122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭2'122202⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即'2'325024t -=, PA PB ⋅=''''121256t t t t ⋅==. 解法二:22122y x x y =-⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩2340x x -⇒1240,3x x ⇒== ()410,1,,33A B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 221120122PA ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，224111523232PB ⎛⎫⎛⎫∴=-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2525266PA PB ⋅== 23.[选修4-5:不等式选]解:(1)()(25)f x f x ++=1249x x x -++≥+当2x ≤-时,不等式为4123x x ≤-⇒≤-,(],3x ∴∈-∞-；当21x -<<时,不等式为59≥,不成立；当1x ≥时,不等式为263x x ≥⇒≥,(],3x ∴∈-∞-,综上所述,不等式的解集为(][),33,-∞-+∞；（2）解法一:()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--≥()11x a x b a b +----=+，()()a b a b a b +=+=+1252222b a a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭5922≥+= 当且仅当22b a a b =，即2b a =时“=”成立；由21212b aa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==. 解法二：()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--，当1x a ≤-时，()()f x a f x b ++-=1x a x b --+-+122x a b a b +=-+-+≥+； 当11a x b -<<+时，()()f x a f x b x a ++-=+11x b a b --++=+；当1x b ≥+时，()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--=22x a b a b -+-≥+ ()()f x a f x b ∴++-的最小值为a b +，()()122a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭525222b a a b =++≥29222b a a b +⋅=， 当且仅当22b a b=，即2b a =时“=”成立； 由21212b aa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==.。
【济南二模】济南市2018届高三高考针对性练习理科数学(含答案)(2018.05)
把 x 8 代入上式: y 10
0.54 0.258
10 2.54 10 2 100.54 347 ；
活动推出第 8 天使用扫码支付的人次为 3470 ； （3）记一名乘客乘车支付的费用为 Z ， 则 Z 的取值可能为： 2,1.8,1.6,1.4 ；
P Z 2 0.1 ； 1 0.15 ； 2 1 P Z 1.6 0.6 0.3 0.7 ； 3 1 P Z 1.4 0.3 0.05 6 P Z 1.8 0.3
0.54 ， 把样本中心点 4,1.54 代入 v 1gc 1gd x ,得: 1gd 0.54 0.25 x ，1g y 0.54 0.25 x ， v
x x y 100.54 0.25 x 100.54 100.54 3.47 100.54 ； y 关于 x 的回归方程式：
n2 BP 0 3 y2 z2 0 得 n BC 0 2 x2 0 2
令 y2 1 得 x2 0, z2 3 ，即 n1 0, 1, 3
n1 n2 2 7 7 n1 n2
（2）设 AB 2
AD PB 2 ， BE 2 PA A, E 为 AD 中点 PE 1
PE 2 BE 2 P PE B .
以 E 为坐标原点，分别以 EA, EB, EP 所在直线为 x, y , z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 相关各点的坐标为 A 1, 0, 0 , B 0, 3, 0
, P 0, 0,1 , C 2, 3, 0
2018年山东省济南市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x﹣1≤0}，集合B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}则下图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＜3}B．{x|﹣3＜x≤1}C．{x|x＜2}D．{x|﹣2＜x≤1} 2．（5分）设复数z满足z（1﹣i）＝2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．|z|＝2B．复数z的虚部是iC．D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限3．（5分）已知角α的终边经过点（m，﹣2m），其中m≠0，则sinα+cosα等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）记不等式组，的解集为D，若∀（x，y）∈D，不等式a≤2x+y恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，8] 8．（5分）如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP ＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）如图所示的程序框图中，Mod（m，n）表示m除以n所得的余数，例如：Mod （5，2）＝1，则该程序框图的输出结果为（）A．2B．3C．4D．510．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中P A⊥平面ABC，∠BAC ＝30°，，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．8112．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，记f（x）的导函数为f'（x），当x≥0时，满足f'（x）﹣f（x）＞0．若∃x∈[﹣2，+∞）使不等式f[e x（x3﹣3x+3）]≤f（ae x+x）成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．1+2e2D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）展开式中，常数项为．（用数字作答）14．（5分）2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是．15．（5分）已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足，则＝．16．（5分）在圆内接四边形ABCD中，AC＝8，AB＝2AD，∠BAD＝60°，则△BCD的面积的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD．（1）证明：BC⊥PB；（2）若P A⊥PD，PB＝AB，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表2：车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n（n∈N n）年才能开始盈利，求n的值．参考数据：x i y i x i u i其中其中参考公式：对于一组数据（u i，υi），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0），斜率为k（k≠0）的直线l经过C焦点，且与C交于A，B两点满足．（1）求抛物线C的方程；（2）已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R 到直线AB的距离为d，若，求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝1n（x+1）+ax2﹣x．（1）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范；（2）若函数g（x）＝f（x）+x有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线ll的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，求|P A|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（2x+5）≥x+9；（2）若a＞0，b＞0，且，证明：，并求时，a，b的值．2018年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x﹣1≤0}，集合B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}则下图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＜3}B．{x|﹣3＜x≤1}C．{x|x＜2}D．{x|﹣2＜x≤1}【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|x﹣1≤0}＝{x|x≤1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}．故选：D．2．（5分）设复数z满足z（1﹣i）＝2（其中i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A．|z|＝2B．复数z的虚部是iC．D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限【解答】解：∵z（1﹣i）＝2，∴．∴|z|＝，复数z的虚部为1，，复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，1），在第一象限．∴说法正确的是D．故选：D．3．（5分）已知角α的终边经过点（m，﹣2m），其中m≠0，则sinα+cosα等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点（m，﹣2m），其中m≠0，则当m＞0时，x＝m，y＝﹣2m，r＝|m|＝m，sinα＝＝＝﹣，cosα＝＝＝，sinα+cosα＝﹣．当m＜0时，x＝m，y＝﹣2m，r＝|m|＝﹣m，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝﹣，sinα+cosα＝．综上可得，sinα+cosα＝±，故选：B．4．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，虚轴长为，则2b＝2，解得b＝，∵F2（c，0），设P（c，y），∴﹣＝1，解得y＝±＝±，∴|PF2|＝，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|＝，∵|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴﹣＝2a，解得a＝1，∴双曲线的标准方程为x2﹣＝1，故选：D．5．（5分）某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，若取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中，任意取出两球，基本事件总数n＝＝10，取出的两球颜色相同包含的基本事件个数m＝，取出的两球颜色相同则中奖，否则不中奖．则中奖的概率为p＝．故选：C．6．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体的直观图与侧视图如图：俯视图是直角三角形，可得俯视图的三角形的高为：＝3．即侧视图的底边为：3，高为6，侧视图的面积为：18．故选：C．7．（5分）记不等式组，的解集为D，若∀（x，y）∈D，不等式a≤2x+y恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．[3，+∞）C．（﹣∞，6]D．（﹣∞，8]【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，由图可知，可行域内的解集为D，∀（x，y）∈D，不等式a≤2x+y恒成立，只需求解2x+y的最小值，平移直线2x+y＝0，平移到A（1，4）时，2x+y取得最小值，最小值为：6．不等式a≤2x+y恒成立，则a的取值范围是：（﹣∞，6]．故选：C．8．（5分）如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，2π]上的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP ＝x，在△POB中，由余弦定理可得PB2＝OB2+OP2﹣2OP•OB cos x＝2﹣2cos x＝2﹣2（2cos2﹣1）＝4cos2，即|PB|＝2|cos|，∴P A2＝AB2﹣PB2＝4﹣4cos2＝4sin2，即|P A|＝2|sin|，∴f（x）＝2|sin|+2|cos|，当0≤x≤π时，0＜＜，∴f（x）＝2sin+2cos＝2sin（+），当x＝时，f（x）max＝2＜3，当π＜x≤2π时，＜＜π，∴f（x）＝2sin﹣2cos＝2sin（﹣），当x＝时，f（x）max＝2＜3，故只有A符合，故选：A．9．（5分）如图所示的程序框图中，Mod（m，n）表示m除以n所得的余数，例如：Mod （5，2）＝1，则该程序框图的输出结果为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，y＝1，i＝0，n＝1z＝2不满足条件n＞10，不满足条件mod（2，3）＝0，x＝1，y＝2，n＝2，z＝3不满足条件n＞10，满足条件mod（3，3）＝0，i＝1，x＝2，y＝3，n＝3，z＝5不满足条件n＞10，不满足条件mod（5，3）＝0，x＝3，y＝5，n＝4，z＝8不满足条件n＞10，不满足条件mod（8，3）＝0，x＝5，y＝8，n＝5，z＝13不满足条件n＞10，不满足条件mod（13，3）＝0，x＝8，y＝13，n＝6，z＝21不满足条件n＞10，满足条件mod（21，3）＝0，i＝2，x＝13，y＝21，n＝7，z＝34不满足条件n＞10，不满足条件mod（34，3）＝0，x＝21，y＝34，n＝8，z＝55不满足条件n＞10，不满足条件mod（55，3）＝0，x＝34，y＝55，n＝9，z＝89不满足条件n＞10，不满足条件mod（89，3）＝0，x＝55，y＝89，n＝10，z＝144不满足条件n＞10，满足条件mod（144，3）＝0，i＝3，x＝89，y＝144，n＝11，z＝233此时，满足条件n＞10，退出循环，输出i的值为3．故选：B．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|＝|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4b，∴a＝2b，∴e＝＝＝，故选：A．11．（5分）已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中P A⊥平面ABC，∠BAC ＝30°，，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．81【解答】解：点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，可得球的半径为：＝，∠BAC＝30°，AC＝AB，可得BC＝＝AB．外接圆的半径为：r＝＝AB．三棱锥的高P A＝2 ．则三棱锥P﹣ABC的体积：V＝×AB•AC sin30°•2＝AB2•，令AB2＝x，则V2＝•x•x•（﹣x）≤＝，可得V≤．当且仅当x＝，即AB＝时取等号．故选：A．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，记f（x）的导函数为f'（x），当x≥0时，满足f'（x）﹣f（x）＞0．若∃x∈[﹣2，+∞）使不等式f[e x（x3﹣3x+3）]≤f（ae x+x）成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．1+2e2D．【解答】解：令g（x）＝（x≥0），则g′（x）＝＞0，可得g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＝e x g（x），∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在[﹣2，+∞）上为增函数，∵f[e x（x3﹣3x+3）]≤f（ae x+x），∴x3﹣3x+3≤a+在[﹣2，+∞）成立，∴a≥x3﹣3x+3﹣在[﹣2，+∞）成立，设h（x）＝x3﹣3x+3﹣，x∈[﹣2，+∞），∴h′（x）＝3x2﹣3+＝（x﹣1）（3x+3+），令m（x）＝3x+3+，∴m′（x）＝3﹣，令m′（x）＝0，解得x＝﹣ln3，当x∈[﹣2，﹣ln3）时，m′（x）＜0，函数m（x）单调递减，当x∈[﹣ln3，+∞）时，m′（x）＞0，函数m（x）单调递减增，∴m（x）≥m（﹣ln3）＝﹣3ln3+3+3＝3（2﹣ln3）＞0，令h′（x）＝0，解得x＝1∴当x∈[﹣2，1）时，h′（x）＜0，当x∈[1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）min＝h（1）＝1﹣3+3﹣＝1﹣，∴a≥1﹣．故实数a的最小值为1﹣．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）展开式中，常数项为80．（用数字作答）【解答】解：根据题意，（x2﹣）5的展开式的通项为T r+1＝C5r（x2）5﹣r（﹣）r＝（﹣2）r C5r，令＝0可得，r＝4，则有T5＝（﹣2）4C54＝80，即其常数项为80；故答案为：8014．（5分）2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是丙．【解答】解：假设爸爸是正确的，冠军是甲或者丙，冠军只有一个，（1）如果冠军是甲，则妈妈说冠军一定不是乙和丙，就是说有可能是甲或丁或戊；则妈妈猜的也对，这与题干矛盾．故冠军不会是甲．（2）如果冠军是丙，那么甲乙丁戊都不是冠军．妈妈说一定不是乙和丙就是错的，孩子说冠军是丁和戊就是错的．这样爸爸的猜测就是对的．故冠军是丙．故答案为丙15．（5分）已知△ABC中，AB＝4，AC＝5，点O为△ABC所在平面内一点，满足，则＝．【解答】解：取BC的中点D，O为△ABC的外心，则：，且，所以：＝，＝，＝，＝，＝，所以：＝，故答案为：．16．（5分）在圆内接四边形ABCD中，AC＝8，AB＝2AD，∠BAD＝60°，则△BCD的面积的最大值为6．【解答】解：设AB＝2AD＝2x，∠BAD＝60°，可得BD2＝x2+4x2﹣2•x•2x•＝3x2，即有BD＝x，由AD2+BD2＝AB2，可得AD⊥BD，AC⊥BC，圆内接四边形ABCD的半径为x，由AC＝8，可得2x＞8，即x＞4，且BC＝，设∠CAB＝α，则sinα＝，cosα＝，即有DC＝2x sin（60°﹣α）＝x cosα﹣x sinα＝4﹣，则△BCD的面积为S＝BC•DC•sin∠BCD＝×2×（4﹣）×＝（4•﹣（x2﹣16）），设t＝，可得S＝（4t﹣t2）＝﹣（t﹣2）2+6，当t＝2即x＝2时，△BCD的面积取得最大值6．故答案为：6．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＞0，，其中λ为常数．（1）证明：S n+1＝2S n+λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵a n+1＝S n+1﹣S n，，∴，∴S n+1（S n+1﹣2S n﹣λ）＝0，∴a n＞0，∴S n+1＞0，∴S n+1﹣2S n﹣λ＝0；∴S n+1﹣2S n+λ（2）解：∵S n+1＝2S n+λ，S n＝2S n﹣1+λ（n≥2），相减得：a n+1＝2a n（n≥2），∴{a n}从第二项起成等比数列，∵S2＝2S1+λ即a2+a1＝2a1+λ，∴a2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n＝，若使{a n}是等比数列则，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，P A＝PD．（1）证明：BC⊥PB；（2）若P A⊥PD，PB＝AB，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）取AD中点为E，连结PE，BE，BD，∵P A＝PD，∵PE⊥AD，∵底面ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BE⊥AD，∵PE∩BE，PE，BE⊂平面PBE，∴AD⊥平面PEB，∵AD∥BC，∴BC⊥PB．（2）设AB＝2，∵AD＝PB＝2，，∵P A⊥PD，E为AD中点，∴PE＝1，∵PE2+BE2＝PB2，∴PE⊥PB．以E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，相关各点的坐标为，∴，，，．设P AB的法向量为∵得，令x1＝，可得y1＝1，z1＝，即，设PCB的法向量为，∵得，令y 2＝﹣1得，即，∴设二面角A﹣PB﹣C的平面为θ，由图可知，θ为钝角，则．19．（12分）近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表2：车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n（n∈N n）年才能开始盈利，求n的值．参考数据：x i y i x i u i其中其中参考公式：对于一组数据（u i，υi），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；（2）∵y＝c•d x，两边同时取常用对数得：1gy＝1g（c•d x）＝1gc+1gd•x；设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x，∵，，∴＝，把样本中心点（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：lgd＝0.54，∴，∴1gy＝0.54+0.25x，∴y关于x的回归方程式：；把x＝8代入上式：∴＝102.54＝102×100.54＝347；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；P（Z＝2）＝0.1；；P（Z＝1.6）＝；所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1+1.8×0.15+1.6×0.7+1.4×0.05＝1.66（元）由题意可知：1.66×1×12•n﹣0.66×12•n﹣80＞0，，所以，n取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py（p＞0），斜率为k（k≠0）的直线l经过C焦点，且与C交于A，B两点满足．（1）求抛物线C的方程；（2）已知线段AB的垂直平分线与抛物线C交于M，N两点，R为线段MN的中点，记点R 到直线AB的距离为d，若，求k的值．【解答】解：（1）由已知，l的方程：，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得：x2﹣2pkx﹣p2＝0（*），，，＝，由已知得：，∴抛物线方程C：x2＝2y；（2）由第（1）题知，p＝1，C：x2＝2y，，方程（*）即：x2﹣2kx﹣1＝0，x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1设AB的中点D（x0，y0），则：，，所以AB的中垂线MN的方程：，即将MN的方程与C：x2＝2y联立得：，设M（x3，y3），N（x4，y4），则，∴，，R点到AB：的距离：＝＝所以，由已知得：，得k＝±1．21．（12分）已知函数f（x）＝1n（x+1）+ax2﹣x．（1）当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范；（2）若函数g（x）＝f（x）+x有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．【解答】解：（1）【解法一】∵f′（x）＝+2ax﹣1＝，x∈[0，+∞）设h（x）＝2ax+2a﹣1①a≤0时，h（x）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0）＝0，不合题意，舍去；②当a＞0时，（i）若2a﹣1≥0，即时，当h（x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0，符合题意；（ii）若2a﹣1＜0，即时，当时，h（x）＜0，f（x）单调递减：当时，h（x）＞0，f（x）单调递增；∴，不合题意，舍去；综上：；【解法二】若a≤0，而f（1）＝1n2+a﹣1＜0，不合题意，故a＞0；易知：f（0）＝0，，x∈[0，+∞），f'（0）＝0设h，，h'（0）＝2a﹣1若2a﹣1≥0，即时，∵h'（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h'（x）≥h'（0）＝2a﹣1≥0，∵h'（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h'（x）≥h'（0）＝0，符合题意；若2a﹣1＜0，即时，∵h'（x）在[0，+∞）上是单调递增函数，令h'（x）＝0，记，当x∈[0，x0）时，h'（x）＜0，∴h'（x）在[0，x0）上是单调递减函数，∴h'（x）≤h'（0）＝0，∴f（x）在[0，x0）上是单调递减函数，∴f（x）≤f（0）＝0，不合题意：综上：；证明：（2）【解法一】g（x）﹣1n（1+x）+ax2，∴＝，设φ（x）＝2ax2+2ax+1，若a＝0，φ（x）＝1＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不合题意：当a＜0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，∴φ（x）＝0在（﹣1，+∞）上只有一个根，不合题意：当a＞0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，要使方程φ（x）＝2ax2+2ax+1＝0有两个实根x1，x2，只需，即a＞2，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，，∴，∴，∴g（x）在（﹣1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；∴g（x）在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，符合题意；∵，∴＝设，，，∴m（t）在上是增函数，∴，∴．【解法二】g（x）＝1n（1+x）+ax2，∴，设φ（x）＝2ax2+2ax+1，若a＝0，φ（x）＝1＞0，∴g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不合题意；当a＜0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，∴φ（x）＝0在（﹣1，+∞）上只有一个根，不合题意；当a＞0时，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，要使方程φ（x）＝2ax2+2ax+1＝0有两个实根x1，x2，只需，即a＞2，∵φ（﹣1）＝φ（0）＝1，，∴，∴，∴g（x）在（﹣1，x1）上单调递增，在（x1，x2）单调递减，在（x2，+∞）上单调递增；∴g（x）在x＝x1处取最大值，在x＝x2处取最小值，符合题意；∵设2ax2＝t，则tx2+t+1＝0，∴，∴g（x2）＝1n（1+x2）设，＝，∴m（t）在（﹣2，﹣1）单调递增，∴，∴．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线ll的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，求|P A|•|PB|的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴l的普通方程为：x+y﹣1＝0；又∵曲线C的极坐标方程为，即ρ2+ρ2sin2θ＝2，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2+y2＝2，即曲线C的直角坐标方程为：．（2）解法一：在直线l上，直线l的参数方程为（t′为参数），代入曲线C的直角坐标方程得，即，∴|P A|•|PB|＝．解法二：联立，得3x2﹣4x＝0，解得x1＝0，x2＝，∴，∴，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（2x+5）≥x+9；（2）若a＞0，b＞0，且，证明：，并求时，a，b的值．【解答】[选修4﹣5：不等式选]解：（1）f（x）+f（2x+5）＝|x﹣1|+|2x+4|≥x+9当x≤﹣2时，不等式为4x≤﹣12⇒x≤﹣3，∴x∈（﹣∞，﹣3]；当﹣2＜x＜1时，不等式为5≥9，不成立；当x≥1时，不等式为2x≥6⇒x≥3，∴x∈（﹣∞，﹣3]，综上所述，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）；（2）证明：解法一f（x+a）+f（x﹣b）＝|x+a﹣1|+|x﹣b﹣1|≥x+a﹣1﹣（x﹣b﹣1）＝|a+b|，|a+b|＝（a+b）＝（a+b）当且仅当，即b＝2a时“＝”成立；由可得：．解法二：f（x+a）+f（x﹣b）＝|x+a﹣1|+|x﹣b﹣1|，当x≤1﹣a时，f（x+a）+f（x﹣b）＝﹣x﹣a+1﹣x+b+1＝﹣2x+2﹣a+b≥a+b；当1﹣a＜x＜1+b时，f（x+a）+f（x﹣b）＝x+a﹣1﹣x+b+1＝a+b；当x≥1+b时，f（x+a）+f（x﹣b）＝x+a﹣1+x﹣b﹣1＝2x﹣2+a﹣b≥a+b∴f（x+a）+f（x﹣b）的最小值为a+b，＝，当且仅当，即b＝2a时“＝”成立；由可得：．。
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2018届山东省济南市高三下学期2月调研试题
（理科数学）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合{|M x y ==，集合{|1}N x y x ==+，则M N =
A ．{|24}x x -≤≤
B ．{|1}x x ≥
C ．{|14}x x ≤≤
D ．{|2}x x ≥-
2、若复数z 满足(4)53(z i i i -=+为虚数单位），则z 为
A ．1i -
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i --
3、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2位周期，则“()f x 在[]0,1上为增函数”是“()f x 在[]3,4 上为减函数”的
A ．充分必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4、右图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为16,20，则输出的a 为
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14
5、已知(3,0),(0,3),(cos ,sin ),A B C AC BC αα⊥ ，则sin 2α的值为
A ．89
B ．89-
C ．3
D ．3
- 6、在学生身体素质检查中，为了解山东省高中男生的身体发育状况，抽查了1000名男生的体重情况，抽查的结果表明他们的体重()X kg 服从正态分布2
(,2)N u ，
正态分布密度曲线如图所示，若体重落在区间(58.5,62,5)属于
正常情况，则在这1000名男生中不属于正常情况的人数是
附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N u σ，
则()0.683,(22)0.954P u X u P u X u σσσσ-<<+=-<<+=
A ．954
B ．819
C ．683
D ．317
7、某三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为
A ．2π
B
C ．6π
D
．
8、已知实数,x y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
，函数()log (2)1(0,1)c f x x c c =+->≠的图像恒过定点
(),A a b ，则y b z x a
-=-的取值范围是 A ．1[,2]3 B ．2[,1]5 C ．13[,]22 D ．35[,]22
9、已知点P 在直线60x y +-=上移动，过点P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，相切于点Q ，则切线长PQ 的最小值为
A
1 B ．1 C
10、已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠时，其导数()f x '满足
()()2xf x f x ''>，若24a <<，则
A ．2ln ln (2)()[()]x
a a f f f a a << B ．2ln ln ()[()](2)x a a f f f a a
<< C ．2ln ln ()(2)[()]x a a f f f a a << D ．2ln ln (2)[()]()x a a f f f a a <<
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
11、2521(1)x x
⋅- 的展开式的常数项为 （用数字作答） 12
、定积分11cos(2)]2x dx π
--⎰的值为 13、在[]0,1上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与函数ln y x = 的图像有2个公共点”发生的概率为
14、已知抛物线2
8y x =的准线过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，则当2241a b +
取得最小值时，
双曲线的离心率为
15、在实数集R 中定义一种运算“* ”，对任意,,a b R a b ∈*为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对于任意,0a R a a ∈*=；（2）对任意,,(0)(0)a b R a b ab a b ∈*=+*+*.
关于函数()1x x
f x e e =+的性质，有如下说法： ① 函数()f x 的最小值为3；②函数()f x 为偶函数；③函数()f x 的单调递增区间为(,0]-∞， 其中所有正确说法的序号为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
双十一期间某电商准备矩形促销市场调查，该电商决定活动，市场调查，该电商决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.
（1）试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率；
（2）电商对选出的某商品采用促销方案是有奖销售，顾客购买该商品，一共有3次抽奖的机会，若中奖，则每次都活动数额为40元的奖券，假设顾客每次抽奖时中奖的概率都是
12
，且每次中奖互不影响，设一位顾客中奖金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望.
17、（本小题满分12分）
已知向量(2cos ,1),cos ,2)m wx n wx wx =-=+ ，函数()1f x m n =⋅+ ，若函数()f x 图像的两个相邻的对称轴间的距离为2
π. （1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若ABC ∆满足()1,3,f A a BC ==边上的中线长为3，求ABC ∆的面积.
18、（本小题满分12分）
四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2,AB BC E ==为BC 的中点，连接,AE BD ，交点,H PH ⊥平面ABCD ，M 为PD 的中点.
（1）取证：平面MAE ⊥平面PBD ；
（2）设1PE =，求二面角M AE C --的余弦值
.
19、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且223T S b ==.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）令241(1)
1
n n n n T c b -=--，求数列{}n c 的前n 项和n R .
20、（本小题满分12分）
已知动员过定点(0,1)F ，且与定直线:1l y =-相切.
（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）若点00(,)A x y 是直线40x y --=上的动点，过点A 作曲线C 的切线，切点记为,M N . ①求证：直线MN 恒过定点；
② AMN ∆的面积S 的最小值.
21、（本小题满分12分）
已知函数()(,x f x x me m R e =-∈为自然对数的底数） （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()2x
f x e ≤对x R ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围； （3）设1212,()x x x x ≠是函数()f x 的两个两点，求证122x x +>
2018届山东省济南市高三下学期2月调研
数学（理）试题答案。