小学奥数六年级奥数天天练(高难度)

学而思奥数网天天练周练习（六年级）
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第二题：求面积
右图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积。

第一题：阴影面积
如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC 的面积和最大。

答：
答：
第三题：正方形
如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而F 是BC 的中点。

以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -（其中m 、n 为正整数），请问m n +之值为何？
第四题：追击问题
如下图，甲从A 出发，不断往返于AB 之间行走。

乙从C 出发，沿C —E —F —D —C 围绕矩形不断行走。

甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离D 点____________米。

AC=80米，CD=EF=120米，CE=DF=30米，DB=100米
F E
D
C
B
A
第五题：平均数
有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：_______．
答：答：
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第一题答案：
解答：
两弯月形面积＝
22211111
88822
AC BC AB AB BC AC BC πππ⨯+⨯-⨯+⨯⨯=⨯⨯本题即AC ×BC 何时有最大值.因为
222AC BC AB +=，当22AC BC =时，2
2
2
2
()AC BC AC BC ⨯=⨯有最大值，此
时AC ×BC 有最大值，即AC BC =时，阴影面积最大.
第二题答案：
解答：如图，易知蓝边正方形面积为15
，△ABD 面积为
18，△BCD 面积为1
20
， 所以△ABC 面积为113
82040
-=，可证
AE ∶EB ＝1∶4，
黄色三角形面积为△ABC 的
1
9
，等于1
120，由此可得，所求八边形的面积是：111451206
-⨯=. 至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.
【又解】设O 为正方形中心（对角线交点），连接OE 、OF ，分别与AF 、BG 交于M 、N ，设AF 与EC 的交点为P ，连接OP ，△MOF 的面积为正方形面积的
1
16
，N 为OF 中点，△OPN 面积等于△FPN 面积，又△OPN 面积与△OPM 面积相等，所以△OPN 面积为△MOF 面积的
13，为正方形面积的148
，八边形面积等于△OPM 面积的8倍，为正方
形面积的16
.
第三题答案：
解答：（法1）2
248FCDE S cm =⨯=，
21
444BCD S ππ=⨯⨯=扇形2(cm )，
221
=2=cm 4
BFH S ππ⨯⨯扇形（）
而
12=4--8
FCDE BCD BFH S S S S S ππ-=--扇形扇形3π8=-2(cm )，
所以3m =，8n =，3811m n +=+=． （法2）如右上图，
1S S +=
BFEA BFH
S S -扇形2422π48π⨯-⨯⨯÷=-2(cm )，
1244444164ABCD BCD
S S S S ππ+=-=⨯-⨯⨯÷=-扇形2(cm )，
所以，
12(8π)(164π)3π8S S -=---=-2(cm )，
故3811m n +=+=．
第四题答案：
解答：若甲要从背后追上乙，只有甲从
D C →时才有可能，且当甲到达D 时，在DC 上乙离D 的距离不能超过1201205424-÷⨯=米．
而甲第一次以上述行走方向到达D 时，要用(80120100100)580+++÷=秒，以后每隔(80120100)25120++⨯÷=秒到达一次． 乙走一圈的距离为(12030)2300+⨯=米． 设当甲第x 次以上述行走方向到达D 时，乙在DC 上离D 的距离不超过24米．
由于此时甲共走了[80120(1)]x +-秒，所以乙走了4[80120(1)]x ⨯+-米，而乙走的路程比300米的整数倍多出来的部分在302120180⨯+=米和18024204+=米之间，所以有4[80120(1)]x ⨯+-除以300的余数在180到204之间，即(480160)x -除以300的余数在180~204之间．
即480x 除以300的余数在40~64之间，也即180x 除以300的余数在40~64之间． 显然当2x =时，360300÷的余数为60，在40~64之间．
这时，乙走了4[80120(21)]800⨯+⨯-=米，离D 点800300218020-⨯-=米．那么当甲追上乙时离D 点20(54)5100÷-⨯=米．
第五题答案：
解答：一般而言，4个不同的数字共可组成4424P =个不同的4位数．
如果只能组成18个不同的4位数，说明其
中必有0，这样才会组成332118⨯⨯⨯= 个
不同的4位数．
在这四个不同的数中，则设最小的数
20a bc m =，倒数第二个则是20cb a n =，两
数正好是一对反序数．
根据完全平方数的特点，a 、c 两数必是1、4、5、6、9之中的两个，且b 在a 、c 之间． 可以分为以下4类：
⑴当4c =时，在1024、1034中，只有1024为完全平方数，但4201不是；
⑵当5c =时，在1025、1035、1045中没有完全平方数；
⑶当6c =时，在1026、1036、1046、1056、4056中也没有完全平方数；
⑷当9c =时，在形为109b 的数中，只有2331089=， 而2980199=，符合题意；在
形为409b 的数中，由于2633969=，2674489=，均不符合；
在形为509b 的数中，由于2735329=，不符合；
在形为609b 的数中，由于2775929=，不符合．
所以，符合条件的数只能是由1、0、8、9四个数组成的四位数．
求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，另一种是概率法． 概率法的大致思路如下：对于没有0的四位数a ，b ，c ，d 排列成互不相同的四位数时，共有24个数，每个数字在每个数位上出现的概率是一样的，所以，每个数字在每个数位上都出现2446÷=次．则总和为：
()61111a b c d +++⨯⨯．
而其中如果有一个数是0，则在此基础上，
考虑0作首位的部分要排除．即为：
()()()()061111631116444
a b c a b c a b c +++⨯⨯-++⨯÷⨯=++⨯所以，本题中18个数的总和为
()1896444++⨯，所以，这18个数的平均
数为()1896444186444++⨯÷=．。