河北工程大学高等数学下同步练习

第七章 空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

1),,(zyx,),,(zyx,),,(zyx;),,(zyx,),,(zyx,),,(zyx;),,(zyx

2 )0,0,(0x；)0,,(00yx；0zz

3 )0,0,22(a、)0,22,0(a、)0,0,22(a、)0,22,0(a、

),0,22(aa、),22,0(aa、),0,22(aa、),22,0(aa

4 3,3,1；19；)3,3,1(191

5 )0,23,4(

第二节 数量积 向量积

1 )31,38,38(,4)(2121MMPP

2 2

3 )52(301kji

4 解：)3132()3132(|3132||)(31|babababaa

332913132294bbbaaa

5 解： )1,2,0(AB，)0,2,2(AC

kjikjiACAB422022120

6||21sin||||21ACABAACABSABC

第三节 曲面及其方程

1 xzy322，旋转抛物面；)(cot2222yxz，圆锥面；

25)(9222zyx和259222yzx，旋转双叶双曲面和旋转单叶双曲面

2 64315)813()83()87(222zyx 即01126614288822zyxzyx

第四节 空间曲线及其方程

1 21yz

2

0cos:0sin:0:222ybzaxzoxxbzayyozzayxxoy

3

)2cos2(sin2cossin1zyx或

cos22sincos1zyx

第五节 平面及其方程

1 （1） z=3； （2） 02yx； （3） 02zx； （4）0)()()(czcbybaxa

2 解：平面与向量a和b都平行，则平面的法线向量n与a和b都垂直，所以

kjikjiban2011102

所以平面的点法式方程为：

0)3(2)1()2(zyx

即 032zyx

3 解：平面的法线向量

所以平面的点法式方程为：

0)1(3)1(9)1(6zyx

即 0396zyx kjikjiACABn396310333

第六节 空间直线及其方程

1 311121zyx，tztytx31121

2

061822yzx

3 0)1()1(2zyx

4

011221zyx

5 解：

方法1：

过点M作平面和直线L垂直的平面方程，此平面的法线向量为

kjkjin111112

则此平面方程为 01zy

平面与直线L的交点P由方程组0101042zyzyxzyx求得)23,21,1(P

所以点M与直线L之间的距离223||PMd

方法2：

如图所示：

直线上有一点)1,1,1(A 则向量),1,0,2(AM

直线L的方向向量)3,3,0(s

所以距离223||||||sin||||sin||||ssAMssAMAMPMdA P



s ML

方法3：

直线L的参数方程为：tztyx31311，则垂足的坐标)31,31,1(ttP

则向量)13,3,2(ttMP

而sMP，所以0sMP 即61,0399ttt

所以223||MPd

6 解：平面过原点，所以可设平面的一般方程为

0CzByAx （1）

已知的两个平面的交线0250832zyxzyx上 有点 )54,0,514(),3,1,0(QP

则点QP,在平面上，将QP,坐标代入（1）中，有

CBCA3,72

所以方程（1）为：

0372CzCyCx

即平面方程为 07212zyx

综合题

1、 解：如图

A B

O

D C

AB=AO+OB=AC21+DB21，DC=DO+OC=AC21+DB21,ABDC//

故四边形ABCD为平行四边形。

2、

3、解：22014310cos•baba

（1） 当0<cos<1，即6310且时，a与b夹角是锐角。

（2） 当-1<cos<0，即310时，a与b夹角是钝角。

（3） 当cos=0，即310时，a与b垂直。

（4） 当=0，即6时，a与b同向。

（5） 当或0，即6时，a与b平行。

6、解：过两平面交线L的平面束方程为0)323(532zyxzyx，即

35)3()12()32(zyx，L的方向向量)3,12,32(n。

两个平面的法向量为)3,1,2(1n，)1,2,3(2n，由nnnnnnnn2211••，求得1。

角平分面方程为：0825Zyx。

7、解：平面的法向量为1n=511111kji=kji246

直线的方向向量为2n=kji23，故1n=22n，所以直线与平面垂直。

8、解：直线的方向向量为1n=10302kji=kji32

平面的法向量为2n=kji2

（1）若平行，1n与2n垂直，数量积为0，得到1。L：023012zxyx，：12zyx

取L上一点P（0，1，2），过P点垂直于的直线l方程为：12211zyx，

与L的交点为（61，34，611），则61)612()134()610(222d

（2）当1时，相交。12023012zyxzxyx，求得交点坐标为（)1(423，)1(42，)1(42）

第七章 测验题

1、 填空题

（1）（1017，0，0）

（2）（1，2，4），（8，4，2）

（3）7；72，76，73

（4）25

（5）22

（6）0)3()2(zyx

（7）134zyx

（8）01zyxzy

（9）

（10）29525422xyz

2、证明: CDBCBD=(2182ee)+)(321ee=)(521ee=AB5 DBA,,共线。

3、证明：由)1,1,1(AD，)1,1,1(CB，则AD//CB，所以DCBA,,,共面。

)0,1,1(AB，)1,2,0(AC，设平面的法向量为n，则可取

n=ACAB=120011kji=kji2

所求平面方程为0)1(2)1()1(zyx。

4、解：过L的平面束方程为0)4(5zxzyx，即04)1(5)1(zyx，平面的法向量为)1,5,1(1n。原平面的法向量为)8,4,1(2n，则21214cosnnnn•=22，求得43。将43代入平面束方程，可得所求平面方程为012720zyx。

5、解：设所求点为),,(000zyxM，记直线1l：00yx，直线2l：10yz，M到1l距离的

平方为2020yx。2l的方向向量为)0,0,1(，过M垂直于2l的平面1为00xx，

1与2l的交点为0,1,0zyxx。M到2l的距离平方为2020200)1()(zyxx，得2020yx=2020200)1()(zyxx，整理得1220200zxy。轨迹方程为1222zxy，双曲抛物面。

6、解：过点M且平行于平面的平面方程为0)3(2)2(zyx,取1L上的点)0,3,1(1M，)2,4,2(2M，则)0,0,1(1MM，)2,1,4(2MM，过1L和L的平面的法向量可取n=1MM2MM214001kji=kj2，过1L和L的平面方成为：0)3(2zy。L的方程为0)3(20)3(2)2(zyzyx。

7、解：直线记为L，点记为M，L的方向向量（即过点M且垂直L的平面的法向量）为n102111kji=kji23，平面的方程：0)3(2)2(3)1(zyx。求出L与的交点为)2,25,21(，222)23()225()211(d=26。

8、解：yoz坐标平面上的投影曲线为202zyyx

zox坐标平面上的投影曲线为xzxy2)24(02

xoy坐标平面上的投影曲线为xyz220

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第九章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念