交错轴双滚子包络环面蜗杆传动啮合分析

交错轴双滚子包络环面蜗杆传动啮合分析柳在鑫1,2，王进戈2,1, 张均富2，向中凡2（1.四川大学制造科学与工程学院，四川成都610035；2. 西华大学机械工程与自动化学院，四川成都610039）摘要：为了消除环面蜗杆传动的齿侧间隙，提高其传动的精度和效率，分析了传统消隙蜗轮副的不足，在无侧隙双滚子包络环面蜗杆传动研究基础上提出一种交错轴双滚子包络环面蜗杆传动，采取双排滚子错位布置，且滚子轴线与蜗轮径向偏转一定角度。

阐述了交错轴双滚子包络环面蜗杆传动的工作原理，依据空间齿轮啮合理论和微分几何理论，采用运动学法建立了蜗杆副的动静坐标系及接触点处的活动坐标系，推导了该新型环面蜗杆齿面方程和蜗轮齿面接触线方程，并导出了该传动的一界函数、诱导法曲率、润滑角及自转角等齿面啮合参数计算公式。

最后运用matlab软件进行了数值仿真，并分析了滚柱偏置距离c2、滚柱半径R、交错角γ等参数对该蜗杆传动啮合性能的影响。

仿真实例表明：要使该传动保持良好的接触性能和润滑性能，c2不宜超过10cm，R在8cm～15cm之间，γ在28o～50o之间。

Meshing Analysis of Non-parallel Double-roller EnvelopingHourglass Worm GearingAbstract:To eliminate the backlash of enveloping worm and improve the precision and efficiency, by analyzing the shortcomings in the existing non-backlash worm gear sets, non-parallel double-roller enveloping hourglass worm gearing was proposed based on the research of non-backlash double-roller enveloping hourglass worm gearing. Two rows of rollers were assigned to misplace and there was a certain defection angle between the roller axis and the radial. The working principle was introduced. According to the theories of differential geometry and space engagement theory, the dynamic and static coordinate system based on worm gear pair and the moving coordinate system based on the contacting point were established. The tooth surface equations of worm and contacting line equations of worm gear were deduced. The formulas of meshing limit function, induced normal curvature, lubrication angle and rotation angle of the non-parallel double-roller enveloping hourglass worm gearing were derived by means of the theory of differential geometry. The simulation was conducted using MATLAB software, c2、R and γwhich impacted the engagement performance of this transmission, were analyzed. The numerical example showed that c2 should not be more than 10 cm, R should be controlled within 8 to 15cm, γshould be controlled within 28o to 50o, for effectively improving the meshing performance of the non-parallel double-roller enveloping hourglass worm gearing.Key words:non-parallel ; double-roller; hourglass worm gearing; meshing performance收稿日期:2011-10-20基金项目:国家自然科学基金资助项目(50775190)作者简介：柳在鑫(1978—)，男，副教授，博士研究生，研究方向：机械传动. E_mail: zhanxinliu@.随着现代传动技术的发展，对蜗杆传动的啮合侧隙提出越来越高的要求。

国内外无侧隙或齿侧间隙可补偿的蜗杆传动主要有双导程圆柱蜗杆传动[1]、正平面一次包络环面蜗杆传动[2]、侧隙可调式变齿厚平面蜗轮传动[3]、无侧隙双滚子包络环面蜗杆传动[4-6]和双蜗杆传动[7]。

其中双导程圆柱蜗杆加工麻烦，通用性差；正平面一次包络环面蜗杆传动效率低，齿侧间隙调整不方便；变齿厚平面蜗轮传动仅调整传动副磨损后的侧隙，无法完全消除齿侧间隙；双蜗杆传动体积大、结构复杂，很难适用于结构紧凑的传动装置；无侧隙双滚子包络环面蜗杆传动润滑角和自转角均不理想，直接影响整体传动性能，还有滚子承载能力也有限。

本文在无侧隙双滚子包络环面蜗杆传动研究基础上提出一种交错轴双滚子包络环面蜗杆传动，滚子轴线与蜗轮径向偏转一定角度。

蜗轮齿可采用滚动轴承代替，制造方便，成本低，而且安装方便，安装误差均不会影响蜗杆的齿面形状，蜗杆齿厚相对未交错时更符合等强度原则，接触性能和润滑性能也得到明显的提高。

该传动能够用于高精度数控机床上的精密分度、精密传动和精密动力传动，还可以用于汽车、仪器、冶金机械及其他机器设备，具有十分广阔的应用前景和推广价值。

1、传动的工作原理图1 蜗轮结构图Fig.1 Construction sketch of worm gears如图1，蜗轮由周向均布有滚子的两半个蜗轮构成，每排滚子与蜗轮中间平面偏离一定位置，滚子轴线与蜗轮径向偏转一定角度，滚子可绕自身轴线转动。

蜗杆左、右齿面分别与两半个蜗轮的滚子相啮合。

单排滚子与蜗杆齿面之间存在一定齿侧间隙，保证了传动的正常工作和良好的润滑，但对整体而言，通过自动消隙装置调节两半个蜗轮轮体的错位角度[8]，使滚子与蜗杆齿面始终保持接触，消除传动的回程误差。

2、传动副的啮合分析2.1 坐标系的设置及坐标变换图2 坐标系的设置Fig.2 Location of coordinate systems 如图2所示，),('1'1111k,j,i'''OS、),(11111k,j,iOS分别为蜗杆静、动坐标系；),('2'22'2'2'k,j,iOS、),(22222k,j,iOS分别为蜗轮静、动坐标系；)(200k,j,i,OS为蜗轮滚柱柱顶与蜗轮固联的坐标系，O0点在2S中坐标为),,(222cba。

2c为滚柱偏距；α为蜗轮齿周角；γ为滚柱轴线与蜗轮径向交错角；A为中心距；1'k、2'k分别为蜗杆、蜗轮回转轴；1ϕ、2ϕ分别为蜗杆、蜗轮转角。

其中坐标系1SS→的变换关系如下：TT)1,()1,(111,z,yx,z,yx10M=（1）式中：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1044104310421041103410331032103110241023102210211014101310121011MMMMMMMMMMMMMMMM10M⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====-=+======--=-=--=---=--=-=-=-+-=+=-=-=21621521421321104410431042104110312210342221103321221032115310245231102351321022110211461014426110136241101211011D D D D ra r a D r a r a D ΜM M M Mb a M D D M D D M Ac b D a D M D D D D M D D D D M M c b D a D A M D D D D M D D D D M M ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕcos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin 10cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin 22222222 （2）2.2 相对速度 如图3，在接触点P 处设置活动坐标系),(p n ,e ,e 21O S P 。

滚柱面在坐标系0S 中的向量方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=uz θR y θR x z y x 000000sin cos 0000k j i r （3） 式中，u 和θ为柱面参数，R 为滚柱半径。

图3 活动坐标系的设置Fig.3 Location of the dynamitic coordinate system由空间啮合理论[9]，接触点 P 处的相对速度矢量)12(ν在P S 中的表达式为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=-+-+=+-+=+-+=++=-=-+=++=002000200020220220222102202202221sin )(cos )()(sin )(cos )()(cos sin sin sin cos cos x z D z y D y D z D y x Ay b x a B x a i z c B z c y b i B θB θD B θD B νDB D B νθB θD B θD B νννν2112223222131221(12)n 1122(12)231221(12)1(12)n (12)2(12)1ϕϕϕϕn e e v 21(12) （4） 式中：)12(1ν、)12(2ν、)12(nν即为相对速度矢量(12)ν在坐标系P S 中的投影。