高等代数第9章欧几里得空间习题 ppt课件
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高等代数-9第九章 欧几里得空间
3) ( , ) , ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
（线性性）
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. （非负性）
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )
大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第七节(课堂讲义)PPT课件
一条直线)上所有点的距离以垂线最短.
下面可以证
明一个固定向量和一个子空间中各向量的距离也是
以“垂线最短” .
先设一个子空间 W，它是由向量 1, 2, …, k
所生成，即 W = L(1, 2, …, k) .
说一个向量 垂
直于子空间 W，就是指向量 垂直于 W 中任何一
个向量. 容易验证 垂直于 W 的充分必要条件是
我们想找出 y 对 x 的一个近似公式.
解 把表中数值画出图来看，发现它的变化
趋势近于一条直线.
因此我们决定选取 x 的一次式
ax + b 来表达 .
当然最好能选到适当的 a , b 使得
下面的等式
3.6a + b - 1.00 = 0 , 3.7a + b - 0.9 = 0 ,
9
3.8a + b - 0.9 = 0 , 3.9a + b - 0.81 = 0 , 4.0a + b - 0.60 = 0 , 4.1a + b - 0.56 = 0 , 4.2a + b - 0.35 = 0
都成立. 实际上是不可能的.
任何 a , b 代入上面
各式都会发生些误差.
于是想找 a , b 使得上面各
式的误差的平方和最小，即找 a , b 使
10
(3.6a + b - 1.00 )2 + (3.7a + b - 0.9 )2 + (3.8a + b - 0.9 )2 + (3.9a + b - 0.81 )2 + (4.0a + b - 0.60 )2 + (4.1a + b - 0.56 )2 + (4.2a + b - 0.35 )2 最小. 这里讨论的是误差的平方即二乘方，故称为 最小二乘法. 现在转向一般的最小二乘法问题.
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.4
1 , 2 , , n 下的矩阵 为第一类的（旋转）; 2）如果 A 1 , 则称 为第二类的．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1 , 2 , , n ,
数学与计算科学学院
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1 , 2 , , n 为V的标准正交基，且
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A
即， 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A 由于当A是正交矩阵时， 1 , 2 , , n 也是V的 标准正交基， 再由 1 即得 为正交变换．
定义线性变换 为：
1 1
i i ,
i 2, 3, n .
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
一、一般欧氏空间中的正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 即 ， ( ), ( ) ( , ), , V 则称 为正交变换.
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广.
1 , 2 , , n A
当 是正交变换时，由1知， 1 , 2 , , n 也是V
的标准正交基， 而由标准正交基 1 , 2 , , n 到标准
正交基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 1 , 2 , , n ,
数学与计算科学学院
所以，A是正交矩阵．
" " 设 1 , 2 , , n 为V的标准正交基，且
1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A
即， 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n A 由于当A是正交矩阵时， 1 , 2 , , n 也是V的 标准正交基， 再由 1 即得 为正交变换．
定义线性变换 为：
1 1
i i ,
i 2, 3, n .
则 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
§9.4 正交变换
数学与计算科学学院
一、一般欧氏空间中的正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 即 ， ( ), ( ) ( , ), , V 则称 为正交变换.
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广.
1 , 2 , , n A
当 是正交变换时，由1知， 1 , 2 , , n 也是V
的标准正交基， 而由标准正交基 1 , 2 , , n 到标准
正交基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵是正交矩阵.
§9.4 正交变换
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.1
事实上，对 V ,0，即 X 0
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )
有 (,) X A X 0
A 为正定矩阵.
③ 由（10）知，在基 1,2, ,n下，向量的内积
由度量矩阵A完全确定.
*
第二十六页，共30页。
④ 对同一内积而言，不同基的度量矩阵是合同的.
证：设 1 ,2 , ,n ;1 ,2 , ,n为欧氏空间V的两组
基，它们的度量矩阵分别为A、B ，且
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
*
第七页，共30页。
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
V为欧氏空间， ,, V , k R
1 ) ( , k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
* 第九页，共30页。
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
* 第十六页，共30页。
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C (a,b) 中，f(x) 与g(x) 的内积定义为
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有
(f(x ),g (x ))f(x )g (x )
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数--第九章 欧几里得空间
反过来，如果等号成立，由以上证明
过程可以看出，或者 0 ，或者 ( , ) 0, ( , ) 也就是说 , 线性相关。
结合具体例子来看一下这个不等式是很有意 思的。对于例1的空间Rn ，(5)式是:柯西不等式
| a1b1 a2b2 an bn |
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的。
根据条件4)，对于非零向量 ，即
0 0 X 0
有
( , ) X ' AX 0,
因此，度量矩阵是正定的。 欧几里得空间以下简称为欧氏空间。 BACK
标准正交基
定义6 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它 们两两正交，就称为一正交向量组。 按定义，由单个非零向量所成的向量组也 是正交向量组。
即对于任意的向量 , 有
| ( , ) || || | . (5)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立。 证明 当 0，(5)式显然成立。以下设 0。 令t是一个实变数，作向量 t . 由4)可知，不论t取何值，一定有 ( , ) ( t , t ) 0. 即 ( , ) 2( , )t ( , )t 2 0. (6)
(m1 ,i ) ( ,i ) ki (i ,i ) (i 1,2,, m).
取
( , i ) ki (i 1,2,, m). ( i , i )
有
( i , m1 ) 0 (i 1,2,, m).
m1 0 。因此 1 , 2 ,, m , m1 由 的选择可知， 1 , 2 ,, m , 是一正交向量组，根据归纳法假定， m1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩 充正交向量组的方法。
高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...
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α
α 是一个单位向量. 是一个单位向量.
在欧氏空间V中 定义 在欧氏空间 中, 任意两个非零向量 之间的夹角 夹角定义为 α, β之间的夹角定义为 (α , β ) θ =< α , β >= arccos
α β
显然有0≤ ≤π． 注(1) 显然有 ≤ <α, β > ≤π． (2)由C-S不等式 上述定义有意义 不等式,上述定义有意义 由 不等式 上述定义有意义. 是欧氏空间, 定义 设V是欧氏空间 对α, β∈V, 如果 是欧氏空间 (α , β ) = 0 正交, 则称α与β 正交 记作α⊥β. 零向量0与任何向量正交 与任何向量正交. 零向量 与任何向量正交.
第9章 欧几里得空间习题课 §1 §2 §3 §4 §5 §6 定义与基本性质 标准正交基的定义及求法 正交变换，对称变换 正交变换， 子空间的正交补 实对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离
§1
定义
定义与基本性质
是实数域R上的线性空间 设V是实数域 上的线性空间 在V上 是实数域 上的线性空间,在 上 定义了一个二元实函数 即对于V中任意两个 定义了一个二元实函数, 即对于 中任意两个 函数 向量α, β, 都有惟一确定的实数与之对应, 都有惟一确定的实数与之对应 该实数记作( 它满足如下性质: 该实数记作 α, β), 它满足如下性质: (1)(α, β)=(β, α ); (2)(α+β, γ)= (α, γ) + (β, γ); (3) (kα, β)= k(α, β ); (4) (α, α)≥0, (α, α)=0当且仅当α=0. 当且仅当α
欧氏空间中，下述式子成立： 定理 在欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式 |α+β| ≤ |α|+|β| ; 三角形不等式: | (2) 勾股定理 当α⊥β 时, |α+β|2=|α|2+|β|2. 勾股定理: | |
高等代数课件北大版第九章欧式空间ppt.ppt
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
2.向量到子空间的距离
(1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间W , 记作 W.
注:
如果 W L(1,2 , ,k ), 则 W i , i 1,2, ,k.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
一、向量到子空间的距离
1. 向量间的距离
定义 长度 称为向量 和 的距离，
记为 d , .
基本性质
（i）d , d , （ii）d , 0, 并且仅当 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d , d , d , .
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
实际上是不可能的．任何a,b 代入上面各式都发生 些误差.于是想找到 a,b 使得上面各式的误差的平方 和最小，即找 a,b 使 (3.6a b 1.00)2 (3.7a b 0.9)2 (3.8a b 0.9)2 (3.9a b 0.81)2 (4.0a b 0.60)2 (4.1a b 0.56)2 (4.2a b 0.35)2 最小.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
解：把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线．因此我们决定选取 x 的一次式 ax b 来表达．当然最好能选到适当的 a,b, 使得下面的等式
3.6a b 1.00 0, 3.7a b 0.9 0 3.8a b 0.9 0, 3.9a b 0.81 0, 4.0a b 0.60 0, 4.1a b 0.56 0, 4.2a b 0.35 0 都成立.
2.向量到子空间的距离
(1) 设 为一固定向量 ，如果 与子空间 W 中 每个向量垂直， 称 垂直于子空间W , 记作 W.
注:
如果 W L(1,2 , ,k ), 则 W i , i 1,2, ,k.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
一、向量到子空间的距离
1. 向量间的距离
定义 长度 称为向量 和 的距离，
记为 d , .
基本性质
（i）d , d , （ii）d , 0, 并且仅当 的等号才成立； （iii）(三角形不等式) d , d , d , .
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
实际上是不可能的．任何a,b 代入上面各式都发生 些误差.于是想找到 a,b 使得上面各式的误差的平方 和最小，即找 a,b 使 (3.6a b 1.00)2 (3.7a b 0.9)2 (3.8a b 0.9)2 (3.9a b 0.81)2 (4.0a b 0.60)2 (4.1a b 0.56)2 (4.2a b 0.35)2 最小.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
解：把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线．因此我们决定选取 x 的一次式 ax b 来表达．当然最好能选到适当的 a,b, 使得下面的等式
3.6a b 1.00 0, 3.7a b 0.9 0 3.8a b 0.9 0, 3.9a b 0.81 0, 4.0a b 0.60 0, 4.1a b 0.56 0, 4.2a b 0.35 0 都成立.
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j1
j 1, ..., m
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19
然后将正交向量组1,2,,m单位化
向量, , 都有惟一确定的实数与之对应, 该实数记作(, ), 它满足如下性质:
(1)(, )=(, );
(2)(+, )= (, ) + (, );
(3) (k, )= k(, ); (4) (, )0, (, )=0当且仅当=0.
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2
则
(, )=XTAY,
其中X,Y为,的坐标列向量。
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11
（3）度量矩阵是正定矩阵. 因为 关于X0,
(,)= XTAX>0.
（4）不同基的度量矩阵是合同的。 （5）每一个n阶正定矩阵都可作为Rn中 某个基的度量矩阵（见习题1）。
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12
§2 标准正交基的定义与求法
一. 正交向量组
定义 设1,2,…,s是一组非零实向量,
如果它们两两正交,则称为正交向量组; 如果其中每个向量的长度都是1,则称 为正交单位向量组(或标准正交向量组).
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13
事实 向量组1, 2, …, s是一个
标准正交向量组, 当且仅当
1
(i , j )
0
i j, i j.
则 Rn是一个欧几里得空间, 仍用Rn来表示．
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3
内积的性质
(1) (, k)=(k, )= k( ,)= k(, ); (2) (, + )= ( + ,)= ( , ) + ( ,);
= (, ) + ( ,); (3) (, 0)=0.
定理 设1, 2,…, n是n维欧氏空间V的 一组标准正交基, 对, V,设向量 ,的
坐标分别是X=(x1,x2,…,xn)T, Y=(y1,y2,…,yn)T 则
(1) xi = (, i )
i=1,2,…,n
(2) (, )=XTY=x1y1+x2y2+…+xnyn.。
n
m
nm
(4) ( ki i , l j j )
ki l j (i , j ).
i 1
j1
i1 j1
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4
二. 长度与夹角
由于(, )0, 在欧氏空间可引进向量的
长度的概念．
定义 在欧氏空间中,非负实数 (,)
称为向量的长度, 记作．
且等号成立当且仅当与 线性相关。
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6
定义 在欧氏空间V中, 任意两个非零向量
, 之间的夹角定义为 , arccos ( , )
注(1) 显然有0 <, > ．
(2)由C-S不等式,上述定义有意义.
定义 设V是欧氏空间, 对, V, 如果
第9章 欧几里得空间习题课
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基的定义及求法 §3 正交变换，对称变换 §4 子空间的正交补 §5 实对称矩阵的标准形 §6 向量到子空间的距离
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1
§1 定义与基本性质
定义 设V是实数域R上的线性空间,在V上 定义了一个二元实函数, 即对于V中任意两个
设1,2,…,s两两正交，
则
1+2+…+s 2 = 12+ 22 +… + s 2
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9
三. 度量矩阵
定义 设1,2,…,n是n维欧氏空间V
的一组基, 作矩阵
(1,1) (1, 2 ) (1, n )
ABiblioteka (2,
1
(, ) = 0
则称与 正交, 记作.
零向量0与任何向p量pt课件 正交.
7
定理 在欧氏空间中，下述式子成立：
(1) 三角形不等式: + + ; (2) 勾股定理: 当⊥ 时, +2=2+2.
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8
定理 在欧氏空间中勾股定理成立：
1, 2, , i
等价( i = 1, 2, …, m )．
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18
令1=1, 若已构作出正交向量组1,2,,j-1,
则令
j
j
( j , 1 ) (1, 1)
1
( j , 2 ) (2 , 2 )
2
( j , ( j1
j1 ) , j1 )
由于(, )0,所以向量的长度一般
是非负数, 有且仅有零向量的长度才是零． 长度为１的向量称为单位向量.
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5
如果 0,
则
1
是一个单位向量.
通常称此过程为把 单位化．
定理(Cauchy-Schwarz不等式)
设V是欧氏空间，则关于任意, V，有
(, ) ,
其中, , 都是V中向量, k为任意实数. 则称(, )为向量与的内积 ．
定义了内积的实线性空间称为 欧几里得空间．
例1 在线性空间Rn中，对于向量
=(a1, a2, …, an)， = (b1, b2, …, bn) 定义 (, ) = a1b1+a2b2+…+anbn
)
( 2, 2 )
( 2, n )
( n,1) ( n, 2) ( n, n )
称A为基1, 2, …, n的度量矩阵．
ppt课件
10
度量矩阵性质
（1）度量矩阵是对称矩阵
（2）设A为基1，n的度量矩阵。 若=x11++xnn, =y11++ynn,
ppt课件
14
定理 正交向量组是线性无关的． 推论 n维欧氏空间V中, 两两正交的非零 向量的个数不会超过n．
二. 正交基
定义 在n维欧氏空间中, 由n个两两
正交的非零向量构成的向量组称为
正交基.
由单位向量组成的正交基称为
标准正交基.
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一组基是标准正交基当且仅当它的度
量矩阵是单位矩阵.
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三. 求标准正交基的办法： Schmidt正交化方法
定理 n维欧氏空间中任一个正交向量 组都能扩充成一组正交基.
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定理 设1, 2, , m是欧氏空间
V中一组线性无关的向量,则一定存在
一个正交单位向量组1, 2, , m,
使得
1, 2, , i
与