高中数学人教A版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高训练 (1)(含答案解析)
人教A版高中同步训练数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 第1课时 指数函数的概念与图象
第1课时指数函数的概念与图象课后·训练提升基础巩固1.已知指数函数y=a x与y=b x的图象如图所示,则( )A.a<0,b<0B.a<0,b>0C.0<a<1,b>1D.0<a<1,0<b<12.已知函数f(x)=(a2-4a+4)a x是指数函数,则f(2)的值是( )A.3B.4C.9D.16{a>0,a≠1,a2-4a+4=1,解得a=3,故f(2)=9.3.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的取值范围为( )A.(-89,8] B.[-89,8]C.(19,9) D.[19,9]y=3-x=(13)x的图象(图略)可知,当-2≤x<2时,19<3-x ≤9,所以-89<3-x -1≤8.故所求取值范围为(-89,8].4.函数f(x)=3x -4+√2x -4的定义域为( )A.[2,4)B.[2,4)∪(4,+∞)C.(2,4)∪(4,+∞)D.[2,+∞){x -4≠0,2x -4≥0,解得x≥2,且x≠4,所以函数f(x)的定义域是[2,4)∪(4,+∞).5.若指数函数y=a x (a>0,且a≠1)经过点(-1,3),则a 的值为 .a -1=3,即1a =3.所以a=13.6.已知函数f(x)=(12)ax,a 为常数,且函数f(x)的图象过点(-1,2),则a= ,若g(x)=4-x -2,且g(x)=f(x),则x= .-1f(x)的图象过点(-1,2),所以(12)-a=2,所以a=1,所以f(x)=(12)x,g(x)=f(x)可变形为4-x -2-x -2=0,解得2-x =2,所以x=-1.7.若函数y=(4-3a)x 是指数函数,求实数a 的取值范围.y=(4-3a)x 是指数函数, 得{4-3a >0,4-3a ≠1,解得a<43,且a≠1,故a 的取值范围为{a |a <43,且a ≠1}.8.(1)函数f(x)=√a x -1(a>0,且a≠1)的定义域是(-∞,0],求实数a 的取值范围. (2)求函数y=1-22x +1的定义域与值域.由题意知,当x≤0时,a x ≥1=a 0,所以0<a<1,故实数a 的取值范围是(0,1).(2)函数的定义域为R. 由2x >0得2x +1>1,∴0<12x +1<1, 从而-2<-22x +1<0,则-1<1-22x +1<1,故函数的值域为(-1,1).能力提升1.已知函数f(x)={a ·2x ,x ≥0,2-x ,x <0,若f(f(-1))=1,则a=( )A.14B.12C.1D.2f(-1)=21=2,则f(f(-1))=f(2)=a·22=1,解得a=14.故选A.2.函数y=8-23-x (x≥0)的值域是( ) A.[0,8) B.(0,8)C.[0,8]D.(0,8]-x≤0,∴3-x≤3, ∴0<23-x ≤8,∴0≤8-23-x <8,∴函数y=8-23-x 的值域为[0,8).3.(多选题)函数y=a x -1a (a>0,a≠1)的图象可能是( )a>1时,1a∈(0,1),因此x=0时,0<y=1-1a<1,x=-1时,y=1a−1a=0,且y=a x -1a在R 上单调递增,故C 符合;当0<a<1时,1a>1,因此x=0时,y<0,x=-1时,y=1a−1a=0,且y=a x -1a在R 上单调递减,故D 符合.故选CD.4.若定义运算a*b={a (a ≤b ),b (a >b ),例如1*2=1,则函数y=1*2x 的值域为( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.[1,+∞)D.(0,1]1≤2x ,即x≥0时,函数y=1*2x =1;当1>2x ,即x<0时,函数y=1*2x =2x ,∴y={1(x ≥0),2x(x <0).函数图象如图所示,则函数y=1*2in{a,b,c}为a,b,c 中的最小值,设M=min{(12)x ,14的最大值是( )A.14B.12C.1D.2y=(12)x,y=14x-14,y=8-ax =(12)2=14.6.函数f(x)=2·3x 3x +1的值域是 .f(x)=2·3x 3x +1=2(3x +1)-23x +1=2-23x +1.∵3x >0,∴3x +1>1,∴0<13x +1<1,∴-2<-23x +1<0, ∴0<2-23x +1<2.故f(x)的值域为(0,2). 7.已知f(x)=12x -1+a 是奇函数,求a 的值及函数的值域.f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对定义域内的每一个x 都成立,即12-x -1+a=-(12x -1+a),∴2a=-12-x -1−12x -1=1,∴a=12.∵2x -1≠0,∴x≠0.∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).∵2x >0,且2x ≠1, ∴2x -1>-1,且2x -1≠0, ∴12x -1<-1或12x -1>0,∴12x -1+12<-12或12x -1+12>12.∴f(x)的值域为(-∞,-12)∪(12,+∞).8.设f(x)=4x 4x +2.(1)若0<a<1,试求f(a)+f(1-a)的值; (2)求f (11001)+f (21001)+f(31001)+…+f (10001001)的值. (1)f(a)+f(1-a)=4a 4a +2+41-a 41-a +2=4a 4a +2+44a 44a+2=4a 4a +2+44+2·4a=4a 4a +2+22+4a=4a +24a +2=1.(2)由(1)可知,f (11001)+f (21001)+f (31001)+…+f (10001001) =[f (11001)+f (10001001)]+[f (21001)+f (9991001)]+…+[f(5001001)+f(5011001)]=500×1=500.。
人教A版高中数学必修第一册课后习题 第4章指数函数与对数函数 4.1 指数
6.已知 f()=
.
解析:因为
f(m)= 3m-1
3m+1
=
3,所以
4
f(-m)=33--mm+-11
=
1-3m =-3m-1 =-3.
1+3m 3m+1 4
第4页 共5页
答案:-3
4
7.已知
a=3,求
1
1
1+a4
+
1
1
1-a4
+
2
1
1+a2
+
4 的值.
1+a
解:因为
a=3,所以
1
1
1+a4
+
1
1
第1页 共5页
解析: a2
√a· 3√a2
=
a2 √a·a23
=
a2 √a53
=
aa53×212=a2·a-56
=
a2-56
=
7
a6.
答案:C
4.若 2<a<3,则化简√(2-a)2 + 4√(3-a)4的结果是( )
A.5-2a
B.2a-5 C.1
D.-1
解析:因为 2<a<3,所以 a-2>0,a-3<0,所以√(2-a)2 + 4√(3-a)4=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1. 答案:C
÷
(a-1-12
b-12-1
-2
)3
=
a b 23+12
1-1
23
÷
(a-32b
-3
2
-2
)3
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、若2x=3，2y=4，则2x+y的值为（）A．7B．10C．12D．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x=3，2y=4，所以2x+y=2x⋅2y=3×4=12，故选：C2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.3、已知函数f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n)，则函数g(x)=n−m x不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C解析：利用指数函数的性质求出m，n，得出g(x)的解析式，从而得出结论．∵f(x)=a x−2+1(a>0,a≠1)恒过定点(2,2)，∴m=n=2，∴g(x)=2−2x ，∴g(x)为减函数，且过点(0,1)， ∴g(x)的函数图象不经过第三象限． 故选：C ．4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果. 由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确. 故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3， 答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果.v =v 0 lnM m=1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、下列函数中是偶函数且在区间(0,+∞)单调递减的函数是（ ） A ．f(x)=1|x |B ．f(x)=(13)xC ．f(x)=lg |x |D ．f(x)=x −13答案：A分析：利用幂指对函数的性质逐一分析给定四个函数的单调性和奇偶性，可得结论． 解：f(x)=1|x |是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，满足条件；f(x)=(13)x是非奇非 偶函数，不满足条件；f(x)=lg |x |是偶函数，但在区间(0,+∞)上单调递增，不满足条件； f(x)=x −13是奇函数不是偶函数，不合题意. 故选：A ．8、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（ ）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示， 函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．多选题9、已知函数f(x)=lg(x2+ax−a−1)，下列结论中正确的是（）A．当a=0时，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)B．f(x)一定有最小值C．当a=0时，f(x)的值域为RD．若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}答案：AC分析：A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)，令x 2−1>0，解得x <−1或x >1，则f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A 正确；对于B 、C ，当a =0时，f (x )=lg (x 2−1)的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则y =x 2+ax −a −1在[2,+∞)上单调递增，且当x =2时，y >0，则{−a2≤24+2a −a −1>0 ，解得a >−3，故D 错误． 故选：AC ．10、已知n <m ，函数f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤n22−|x−1|−3,n <x ≤m 的值域是[−1,1]，则下列结论正确的是（ ） A ．当n =0时，m ∈(12,2]B ．当n ∈[0,12)时，m ∈(n,2] C ．当n ∈[0,12)时，m ∈[1,2]D ．当n =12时，m ∈(12,2]答案：CD分析：先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出y =log 12(1−x )，x ≥−1和y =22−|x−1|−3，x ≥−1的图象，n =0时，由图可得m 的范围，可判断A ；当n ∈[0,12)时先求出y =log 12(1−x )，−1≤x ≤n 的值域，进而可判断x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即可得m 的范围，可判断B ，C ；当n =12时，先计算f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上的值域，即可得y =22−|x−1|−3，n <x ≤m 的范围，进而可得m 的范围，可判断D ．当x >1时，x −1>0，此时y =22−|x−1|−3=22−x+1−3=23−x −3单调递减，当−1<x <1时，x −1<0，此时y =22−|x−1|−3=22+x−1−3=21+x −3单调递增，所以y =22−|x−1|−3在(−1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x =1时，y =22−|x−1|−3取得最大值，为22−3=1．作出y =log 12(1−x )与y =22−|x−1|−3在[−1,+∞)上的图象如图所示：对于A ，当n =0时，f (x )={log 12(1−x ),−1≤x ≤022−|x−1|−3,0<x ≤m，因为f (x )的值域为[−1,1]，结合图象知m ∈[1,2]，故A 不正确；对于B ，当n ∈[0,12)，x ∈[−1,n ]时，1−x ∈[1−n,2]，此时f (x )=log 12(1−x )∈[−1,log 12(1−n )]，此时−1≤f (x )≤log 12(1−n )<1，因为f (x )的值域为[−1,1]，则x ∈(n,m ]时，f (x )=1必有解，即22−|x−1|−3=1，解得x =1，由图知m ∈[1,2]，故B 不正确，C 正确；对于D ，当n =12时，f (x )=log 12(1−x )在[−1,12]上单调递增，此时f (x )的最小值为f (−1)=log 122=−1，f (x )的最大值为f (12)=log 12(1−12)=1，要使f (x )的值域为[−1,1]，由图知m ∈(12,2]，故D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据题意作出f(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题 11、已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．1x +12y=1zB ．3x >4y >6zC ．xy >2z 2D ．x +y >(√32+√2)z答案：ACD分析：将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，设3x =4y =6z =t (t >1)， 则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 6t ．对于A ，1x +12y =log t 3+12log t 4=log t 6=1z ，故A 正确； 对于B ，3x =3log 3t ，4y =4log 4t ，6z =6log 6t ， ∵3x 4y =3log 3t 4log 4t=34log 34<1，∴3x <4y ， ∵4y 6z=4log 4t 6log 6t=23log 46<1，∴4y <6z ，∴3x <4y <6z ，故B 错误；对于C ，由1z=1x+12y>2√12xy（x ≠2y ），两边平方，可得xy >2z 2，故C 正确；对于D ，由xy >2z 2，可得x +y >2√xy >2√2z 2=2√2z >(√32+√2)z （x ≠y ），故D 正确． 故选：ACD 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0 ，若f (a 2−2a )≤f (a −1)，则实数a 的取值范围是_________．答案：[3−√52,+∞)分析：根据函数单调性分段处理即可得解.由题函数f (x )={2x +1,x ≤02,x >0在(−∞,0]单调递增，在(0,+∞)为常数函数，且f(0)=2若f(a2−2a)≤f(a−1)则a2−2a≤a−1≤0或a2−2a≤0≤a−1或{a 2−2a≥0a−1≥0则{a 2−3a+1≤0a≤1或{a2−2a≤00≤a−1或{a2−2a≥0a−1≥0解得：3−√52≤a≤1或1≤a≤2或a≥2，综上所述：a∈[3−√52,+∞)所以答案是：[3−√52,+∞)14、设x>0，y>0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底数），则x2、y2的算术平均值的最小值为__________.答案：1分析：利用指数的运算性质可得出x+y=2，再利用基本不等式可求得结果.由已知条件可得e x⋅e y=e x+y=e2，所以，x+y=2，因为x>0，y>0，由基本不等式可得x2+y2≥2xy，即2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=4，所以，x2+y22≥1，当且仅当x=y=1时，等号成立.因此，x2、y2的算术平均值的最小值为1.所以答案是：1.解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么log a M n=nlog a M(n∈R);(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值;(3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305)答案：(1)见解析(2)1712(3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可.(3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可.(1)方法一:设x=log a M所以M=a x所以M n=(a x)n=a nx所以log a M n=nx=nlog a M,得证.方法二:设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33)=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3) =lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.(3)方法一:设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)
人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c <b D ． a <b <c4. 已知当 x ∈[0,1] 时，函数 y =(mx −1)2 的图象与 y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (0,1]∪[2√3,+∞) B ． (0,1]∪[3,+∞) C ． (0,√2]∪[2√3,+∞) D ． (0,√2]∪[3,+∞)5. 已知函数 f (x )={15x +1,x ≤1lnx,x >1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为 ．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是 ．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ． 试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)． 故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ； 当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合． 【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14． 由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0． 若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12． 因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)． 由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)． 所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14； 若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形， 此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形， 去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形， 此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6， 综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）． 所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0， 所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0． 所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。
人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测培优卷(含详细解析)
第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在下面四个等式运算中，正确的是A ．22133aa -=B ．2133a a ÷=C ．342=D 8=-2．若实数x 、y 满足x y a b ab ==（0a >，0b >且a b ¹），则11x y+的值为A ．2-B ．2C ．1-D ．13．三个数3log 0.3a =，3log 2b =，12c =的大小顺序是A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b<<D ．b c a<<4．已知函数2log y x =与函数3x y -=的图象有两个交点，交点的横坐标分别为m 、n ，则以下结论中正确的是A ．0mn <B ．01mn <<C ．1mn =D ．1mn >5．若a ､b ､c 都是正数，且469a b c ==，那么A ．2ac bc ab +=B ．ac bc ac +=C ．221c a b=+D ．121c b a=-6．若直线2y a =与函数21xy =-的图象有两个公共点，则a 的取值可以是A ．14B ．12C ．2D ．47．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()2xg x a b =+-的图象是A．B．C．D．8．已知()1313logf x x x=-时，当0a b c<<<时，满足()()()0f a f b f c⋅⋅<，则关于以下两个结论正确的判断是①函数()y f x=只有一个零点；②函数()y f x=的零点必定在区间（a，b）内．A．①②均对B．①对，②错C．①错，②对D．①②均错二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若0a>，且1a≠，Rx∈，Ry∈，且0xy>，则下列各式不恒成立的是①2log2loga ax x=；②2log2loga ax x=；③()log log loga a axy x y=+；④()log log loga a axy x y+＝．A．①B．②C．③D．④10．已知23a =，3log 2b =，则A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b-+=D ．()911log 122a b a++=11．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是A ．函数()log (21)1a f x x =--的图象过定点(1,0)B ．化简2log312lg5log lg 23+++的结果为25C ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是()1,2D ．若22ln ln()x y x y -->--（0x >，0y <），则0x y +<12．已知函数()12log ,0410,4x x f x x x⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若方程()f x a =有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则A ．121=x x B ．实数a 的取值范围为50,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．312x x x 的取值范围为[)5,+∞D ．()2f x >的解集为()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数2322xx y -+=的单调递增区间为__________．14．已知0x >，y R ∈，定义*y x y x =，则(13*22⎛⎫= ⎪⎝⎭__________．15．已知[x ]表示不超过x 的最大整数，定义函数f (x )=x -[x ]．有下列结论：①函数的图象是一条直线；②函数f (x )的值域为[0，1)；③方程f (x )=12有无数个解；④函数是R 上的增函数．其中正确的是__________．(填序号)16．已知()41,0121,1x x x f x x -<<⎧=⎨-≥⎩，设0b a >>，若()()f a f b =，则()a f b ⋅的取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）化简与求值．（1）化简：3142111136431645x yx y x y ----⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（x ，0y >）；（2）已知()110a a a --=>，求()()22442a a a a --+--的值．18．（12分）（1123182-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）已知102m =，103n =，求32210m n-的值．19．（12分）在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4（即22）架又是第2架的80%；第8（即32）架又是第4架的80%；……这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k 个工时，进步率为r ，试求出制造第x 架飞机与需用的工时数y 之间的函数表达式．20．（12分）设正整数a 、b 、c 满足：对任意的正整数n ，都有1n n n a b c ++=成立．（1）求证：a b c +≥；（2）求出所有满足题设的a 、b 、c 的值．21．（12分）函数()()4122x xf x a a =-+⋅-+．（1）当3a =时，求函数()f x 在区间[]0,2上的最值；（2）已知方程()0f x =的两个实数根1x ，2x ，满足1201x x <<<，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数()y f x =，()2log 2ax f x x -=+，其中0a >且1a ≠．（1）求()()()()()()2020101050550510102020f f f f f f -+-+-+++；（2）若对于[]4,3x ∈--，()()2log 59a f x a a >-+恒成立，求实数a 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设全集为R，函数f(x)=0√2−x的定义域为M，则∁RM=( )A．{x∣ x≥2}B．{x∣ x<2且x≠−1}C．{x∣ x≥2或x=−1}D．{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A．1，3B．−1，1C．−1，3D．−1，1，33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，则mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数，且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1，则f(1)等于( )A．1+√52B．1−√52C．1+√52或1−√52D．√56.定义在R上的函数f(x)满足：f(x−2)的对称轴为x=2，f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0)，且f(x)在区间(1,2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A．f(sinα)>f(cosβ)B．f(sinα)<f(cosβ)C．f(sinα)=f(cosβ)D．以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，下列说法一定正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A．(−∞,−2)∪(−2,3]B．[−11,3]C．[−72,−2]D．[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式f(x)≤0的解集为( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]∪[0,2]C．(−∞,−2]∪[2,+∞)D．[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为( )A．−1B．0C．1D．2二、填空题（共6题）11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是．12.已知f(x)=x3+3x，x∈R，且f(a−2)+f(a2)<0，则实数a的取值范围是．13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，g(x)=x2⋅f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是．14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得．15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(a+1)≤f(4)，则实数a的取值范围是．16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a，b满足的条件为．三、解答题（共6题）17.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域．18.中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值．（精确到0.01）(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．5B．7C．1019.解答下列问题：(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数y=f(x)（x∈D1），y=g(x)（x∈D2），设D=D1∩D2，并且D不是空集，那么当x∈D时，y=f(x)与y=g(x)都有意义．于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积．(2) 如何研究和函数与积函数．20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．21.对于函数y=f(x)与常数a，b，若f(2x)=af(x)+b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”，设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(1)=3．(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a，b的值；(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，且f(x)在[1,2]上单调递增，求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值；(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时，f(x)=k−∣2x−3∣，求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值．22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1，所以M={x∣ x<2且x≠−1}，故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数，当α=−1时定义域不是R，所以α=1,3．【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数，所以x=−b2≤0，即b≥0．【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时，抛物线的对称轴为x=−n−8m−2．据题意，当m>2时，−n−8m−2≥2即2m+n≤12．因为√2m⋅n≤2m+n2≤6，所以mn≤18．由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，−n−8m−2≤12即m+2n≤18．因为√2n⋅m≤2n+m2≤9，所以mn≤812．由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2,n>8)．所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16，所以最大值为18．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值5. 【答案】B【解析】令x=1，得f(1)f(f(1)+1)=1，令t=f(1)，则tf(t+1)=1，所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1， 所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数， 所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0， 解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1， 令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1， 所以 f (s +12)=1s ， 令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)． 所以 1s +22s+1=2，所以 4s 2−2s −1=0， 解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)， 所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一：对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，取x1=x2=0得f(0)=−1，取x1=x，x2=−x得，f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1]，所以f(x)+1为奇函数．方法二：由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，设x1=x2=0，则f(0)=2f(0)+1，解得：f(0)=−1，又设x1=x，x2=−x，则x1+x2=x−x=0，所以f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)+1+1=0，所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，由奇函数定义可知，f(x)+1为奇函数．【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1]，所以−6≤x≤1，，因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2，≤x≤0且x≠−2，所以−72,−2)∪(−2,0]．所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，所以当x∈(−∞,−2]时，f(x)≤0；当x∈(−2,0)时，f(x)>0．又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，f(0)=0，且f(2)=0，所以当x∈(0,2]时，f(x)≤0；当x∈(2,+∞)时，f(x)>0．所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2]．故选B．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下，对称轴为直线x=2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)=−2，即a=−2，于是最大值为f(1)=−1+4−2=1．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共6题）11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上，所以n=−12m2，所以∀x∈[m−1,m+1]，都有y∈[−12m2−1,12m2+1]，即都有y max≤12m2+1，y min≥12m2−1，所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时，y的最值，① m≤−1时，m+1≤0，所以单调减，所以y max=−12(m+1)2，y min=−12(m−1)2，所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解．② −1<m≤0时，0<m+1≤1，−2<m−1≤−1，所以y max=0，y min=−12(m−1)2(取不到)，所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0．③ 0<m≤1时，1<m+1≤2，−1<m−1≤0，所以y max=0，y min=−12(m+1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1，函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数， 可得 f (x )=f (∣x ∣)，则f(a+1)≤f(4)，即为f(∣a+1∣)≤f(4)，可得∣a+1∣≤4，即−4≤a+1≤4，解得−5≤a≤3，则实数a的取值范围是[−5,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0，b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题（共6题）17. 【答案】AB=2x，CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0，即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0，t=1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为θ0=19∘C，选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971，即k=ln79−ln712≈0.05；选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966，即k=ln79−ln663.4≈0.05；选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961，即k=ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05．(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ．理由如下：由（1）得 t =20ln 79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )（x ∈D ）(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1．当 m =2 时，f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数；当 m =−1 时，f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求．故 f (x )=x 3．【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=f (x )+1，所以 f (2)=f (1)+1=4，f (4)=f (2)+1=5，f (8)=f (4)+1=6．因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以当 x ∈[1,2] 时，f (x )max =f (2)=4，f (x )min =f (1)=3，所以当 x ∈[1,2] 时，3≤f (x )≤4；当 x ∈[2,4] 时，x 2∈[1,2]，3≤f (x 2)≤4，所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5；当 x ∈[4,8] 时，x 2∈[2,4]，4≤f (x 2)≤5， 所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6．综上，当 x ∈[1,8] 时，3≤f (x )≤6．故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．(3) 当 x ∈[1,2) 时，f (x )=k−∣2x −3∣，令 x =1，可得 f (1)=k −1=3，解得 k =4， 所以 x ∈[1,2) 时，f (x )=4−∣2x −3∣，故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]．又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立，当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时，x 2k−1∈[1,2)，f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1)，故 k 为奇数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1]；当 k 为偶数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1]．所以当 n =1 时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1，最小值为 −2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 −2n+1．【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120， 又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20， 当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。
高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (1)(解析版)
高中数学必修一 第四章 指数函数与对数函数 测试题 (1)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且满足f(x)=−|log 2(−x)|，x <0，若函数y =f(x)−a 有两个零点，其中0<a <1，分别记为x 1,x 2(x 1<x 2)，则4x 1+x 2的取值范围是( )A. [4,5)B. (4,5)C. (2,52]D. (2,52) 2. 已知函数f(x)=log a |x +1|，其中a >0且a ≠1，若f(1)<0，则( )A. f(a)>f(a −2)B. f(a)<f(a −2)C. f(a)=f(a −2)D. f(a)，f(a −2)的大小关系不确定3. 下列函数中，与函数y =x 3的值域相同的函数为( )A. y =(12)x+1B. y =ln(x +1)C. y =x+1xD. y =x +1x 4. 若图象上恰存在两个点关于y 轴对称，则实数k 的取值范围是( ) A. (1,1+1e ]B. C. {1}D. (1,+∞) 5. 已知函数f(x)=ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围为 A. (2,+∞) B. (−∞,−2) C. (1,+∞) D. (−∞,−1)6. 已知集合A ={x ∈R |log 2x <2}，集合B =(x ∈R ||x −1|<2)，则A ∩B =A. (0,3)B. (−1,3)C. (0,4)D. (−∞,3)7. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−1f(x)，且在(0,1)上f(x)=3x ，则f(log 354) 的值为( ) A. 32B. 23C. −32D. −23 8. 已知，并且α,β是方程的两根，则实数的大小关系可能是( ) A. a <m <n <βB. m <α<β<nC. m <α<n <βD. α<m <β<n二、不定项选择题（本大题共5小题，共20.0分）9. 以下命题正确的有( )A. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21；B. 函数f(x)=x 13−(12)x 的零点在区间(13,12)内；C. cosα≠0是α≠2kπ+π2(k ∈Z)的充分必要条件D. l 是一条直线，α，β是两个平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α // β10. 设x 3+ax +b =0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( )A. a =−3，b =2；B. a =−3，b >2；C. a =−3,b =−1；D. a >0,b <0．11. 若0<x <y <1，0<a <1，则下列不等式错误的是( ) A. log a x 2<log a y3 B. cos(ax)<cos(ay)C. a x <a yD. x a <y a12. 下列表述正确的是( ) A. (lgx +4lgx )min =4(x ∈(1,20))；B. 若a >b >0，则ln b a <0；C. 若x ，y ，z 均是正数，且3x =4y =12z ，x+y z ∈(n,n +1)(n ∈N)，则n 的值是4； D. 若正实数x ，y 满足x +y +15=1x +9y ，且x +y ≤1，则x ，y 均为定值13. 对任意实数a ，b 定义运算“⊙”，a ⊙b ={b,a ⩾b,a,a <b，设f(x)=|2−x 2|)⊙(4−|x|)，有下列四个结论其中正确结论有( )A. f(x)最大値为2；B. f(x)有3个单调递减区间；C. f(x)在[−32,−1]是减函数；D. f(x)图象与直线y =m 有四个交点，则0≤m <2三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）14. 不等式log 2(4x −2x +2)>2的解集为_________．15. 已知函数f(x)={ln x,x ⩾12x 3−3x 2+1,x <1，则x ∈[−1,e]时，f(x)最小值为_____； 设g(x)=[f(x)]2−f(x)+a ，若函数g(x)有6个零点，则实数a 的取值范围是_____．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知函数f(x)=log 2(a x −b x +2)，且f(1)=2,f(2)=1+log 27.(1)求a,b 的值；(2)当x ∈[−2,2]时，求f(x)的最小值．17. 已知函数f(x)=13x 3−12(a −1)x 2−ax −1，a >0．(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)存在三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，试确定a的取值范围，并证明：x1+x2>−2；(3)若对任意x∈(−∞,3]，都有f(x)≤|x−a|−12x2−a，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=e x−x−a(a∈R)．(1)当a=0时，求证：f(x)>x；(2)讨论函数f(x)零点的个数．19.已知正实数x，y满足等式2x+5y=20．(1)求u=lgx+lgy的最大值；(2)若不等式10x +1y≥m2+4m恒成立，求实数m的取值范围．20.已知△ABC的顶点B(−1,−3)，AB边上的高CE所在直线的方程为4x+3y−7=0，BC边上的中线AD所在直线的方程为x−3y−3=0．(1)求直线AB的方程；(2)求点C的坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查函数的性质与图象的应用，考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．根据条件作出函数f(x)与直线y=a的图象，可得到两个零点满足x1x2=1,x1∈(0,1),x2∈(1,2)，于是4x1+x2=4x2+x2,x2∈(1,2)，根据函数y=x+4x的单调性即可求出结果．【解答】解：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且满足f(x)=−|log2 (−x)|，x<0，所以当x>0时，f(x)=|log2 x|．因为函数y=f(x)−a有两个零点x1,x2(x1<x2)，其中0<a<1，所以作出函数f(x)与直线y=a的图象，如图所示：所以有：|log2x1|=|log2x2|⇒x1x2=1，因此4x1+x2=4x2+x2,x2∈(1,2)，因为函数y=x+4x在(1,2)上单调递减，所以4x1+x2=4x2+x2∈(4,5)．故选B．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查含绝对值的对数函数的图象和性质等，考查考生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想．先根据f(x)得到函数f(x)的定义域及其图象的对称性，再根据f(1)<0判断a的取值范围，得到f(x)的单调性，并据此判断f(a)，f(a−2)的大小关系．。
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(66)
人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为( )A．y=[x10]B．y=[x+310]C．y=[x+410]D．y=[x+510]2.函数y=e x−e−xe x+e−x的图象大致为( ) A．B．C ．D ．3. 人们用分贝（dB ）来划分声音的等级，声音的等级 d (x )（单位：dB ）与声音强度 x （单位：W/m 2）满足 d (x )=9lgx 1×10−13，一般两人小声交谈时，声音的等级约为 54 dB ，在有 40 人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的 10 倍，则老师声音的等级约为 ( ) A ． 36 dB B ． 63 dB C ． 72 dB D ． 81 dB4. 给出下列各式：① √a n n =a ；② (a 2−3a +3)0=1；③ √−33=√−326．其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 35. 下列函数是幂函数的是 ( ) A ． y =2x 2 B ． y =x 3+x C ． y =3xD ． y =x 126. 化简 √(log 23)2−4log 23+4+log 213 得 ( ) A ． 2B ． 2−2log 23C ． −2D ． 2log 23−27. 已知 a =(13)13，b =(12)12，c =log 2π4，则 ( )A ． a >b >cB ． b >a >cC ． c >b >aD ． c >a >b8. 对于 a >0，a ≠1，下列结论中： （1）a m +a n =a m+n ； （2）(a m )n =a m n；（3）若 M =N ，则 log a M =log a N ； （4）若 log a M 2=log a N 2，则 M =N ． 正确的结论有 ( ) A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个9. 已知 a =0.72021，b =20210.7，c =log 0.72021，则 a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ． a >b >cB ． a >c >bC ． b >a >cD ． b >c >a10. 计算 (2a −3b −23)×(−3a −1b )÷(4a −4b −53)= ( ) A ． −32b 2B ． 32b 2C ． −32b 73D ． 32b 73二、填空题（共6题）11. 若函数 f (x )=∣2x −2∣−b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ．12. 823×(1681)−34= ．13. 某商品降价 10%，欲恢复原价，应提价的百分比是 ． 14. 3log 34−2723= ．15. 已知 1≤lg (xy )≤4，−1≤lg xy ≤2，则 lg x 2y 的取值范围是 ．16. 已知方程 2x 2+x −5=0 的两个实根为 x 1，x 2，则 ∣x 1−x 2∣=三、解答题（共6题）17. 把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．(1) 5−2=125； (2) 8x =30； (3) 3x =1； (4) log 139=−2；(5) x =log 610； (6) x =ln 13；(7) 3=lgx ．18. 已知函数 f (x )={∣x +1∣,x ≤0(x −1)2,x >0．(1) 在平面直角坐标系内作出函数 y =f (x ) 的大致图象；(2) 试找出一组 b 和 c 的值，使得关于 x 的方程 f 2(x )+b ⋅f (x )+c =0 有 7 个不同的实数解，并说明理由．19. 我国个人所得税法规定，公民全月收入所得不超过 5000 元不必纳税，超过 5000 元的部分为全月应纳税金额．若应纳税金额在 (0,3000]（元）之间税率为 3%，在 (3000,12000]（元）之间税率为 10%．某职工某月纳税 160 元，求他的当月工资收入．20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP 公司可供选择．公司A 每小时收费 1.5 元；公司B 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少 0.1 元（若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算）．假设该同学一次上网时间总和小于 17 小时，那么该同学如何选择ISP 公司较省钱？22. 有一条长为 120 米的步行道 OA ，A 是垃圾投放点 ω1，若以 O 为原点，OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B (x,0)，现要建设另一座垃圾投放点 ω2(t,0)，函数 f t (x ) 表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离．(1) 若 t =60，求 f 60(10)，f 60(80)，f 60(95) 的值，并写出 f 60(x ) 的函数解析式；(2) 若可以通过 f t (x ) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点ω2建在何处才能比建在中点时更加便利？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】根据规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，即余数分别为 7，8，9 时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为 y =[x+310]． 故选B ．【知识点】建立函数表达式模型2. 【答案】B【解析】因为 f (−x )=e −x −e x e −x +e x =−e x −e −xe −x +e x =−f (x )，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除A ．当 x =1 时，y >0，所以排除C ． 因为 y =e x −e −x e −x +e x =e x +e −x −2e −xe −x +e x=1−2e −xe −x +e x =1−2e 2x +1，所以当 x →+∞ 时，y →1，所以排除D ．故选：B ．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质3. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算4. 【答案】B【解析】对于① √a n n=a ，当 n 为偶数时，结果应该是 ∣a ∣；当 n 为奇数时，结果是 a ，故错误．对于② (a 2−3a +3)0=1，因为 a 2−3a +3>0 恒成立，所以等式成立，故正确． 对于③ √−33=√−326，偶数次根式下被开方数不能是负数，故错误． 【知识点】幂的概念与运算5. 【答案】D【解析】 y =2x 2，y =x 3+x 不是幂函数；y =3x是指数函数；y =x 12是幂函数． 【知识点】指数函数及其性质6. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算7. 【答案】B【解析】因为 a =3−13，b =2−12，ab=3−132−12<3−132−13=(23)13<1，所以 a <b ，因为 c =log 2π4<log 21=0， 故 b >a >c ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算9. 【答案】C【解析】因为 0<0.72021<0.70=1，20210.7>20210=1，log 0.72021<log 0.71=0， 所以 b >a >c ．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质10. 【答案】A【解析】 原式=−6a −4b 134a −4b −53=−32b 2．【知识点】幂的概念与运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (0,2)【解析】由 f (x )=∣2x −2∣−b =0，得 ∣2x −2∣=b ．在同一平面直角坐标系中画出 y =∣2x −2∣ 与 y =b 的图象，如图所示，则当 0<b <2 时，两函数图象有两个交点，从而函数 f (x )=∣2x −2∣−b 有两个零点． 【知识点】函数的零点分布12. 【答案】272【解析】 823×(1681)−34=(23)23×(23)4×(−34)=22×(23)3=272.【知识点】幂的概念与运算13. 【答案】11.1%【解析】由题知所求百分比为 (11−0.1−1)×10%≈11.1%． 【知识点】函数模型的综合应用14. 【答案】 −5【解析】本题考查对数指数运算，原式=4−9=−5 . 【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算15. 【答案】 [−1,5]【解析】由 1≤lg (xy )≤4，−1≤lg xy ≤2 得 1≤lgx +lgy ≤4，−1≤lgx −lgy ≤2， 而 lgx 2y=2lgx −lgy =12(lgx +lgy )+32(lgx −lgy )，所以 −1≤lg x 2y≤5．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】√412【知识点】函数的零点分布三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −2=log 5125； (2) x =log 830； (3) x =log 31； (4) (13)−2=9；(5) 6x =10； (6) e x =13；(7) 103=x ．【知识点】对数的概念与运算18. 【答案】(1) 如图：(2) b =−32，c =12 满足条件．设 f (x )=t ，则 t 2+bt +c =0，故必有一个解为 t =1，另一个解在区间 (0,1) 上，才有方程 f 2(x )+b ⋅f (x )+c =0 有 7 个不同的实数解．其中 f (x )=1 有 3 个解，f (x )=a ∈(0,1) 有 4 个解．令 t 1=1，t 2=12，可得方程 x 2−32x +12=0，则 b =−32，c =12．【知识点】函数的零点分布、函数图象19. 【答案】设月工资收入为 x 元，则纳税额 y 与月工资 x 之间的函数表达式为y ={0,0≤x ≤5000(x −5000)×3%,5000<x ≤8000(x −8000)×10%+3000×3%,8000<x ≤17000， 所以当 y =160 时，x =8700 元．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】（1）当函数 y =f (x ) 同时满足：①函数的图象在 [a,b ] 上是连续曲线；② f (a )⋅f (b )<0．则可判定函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有 1 个、 2 个、 3 个、 4 个、 ⋯⋯ 零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数 y =f (x ) 的图象在 [a,b ] 上是连续的曲线，但是不满足 f (a )⋅f (b )<0 时，函数 y =f (x ) 在区间 (a,b ) 内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】假设一次上网 x 小时，则公司A 收取的费用为 1.5x 元，公司B 收取的费用为x (35−x )20元．若能够保证选择A 比选择B 费用少，则x (35−x )20>1.5x (0<x <17)，整理得 x 2−5x <0，解得 0<x <5，所以当一次上网时间在 5 小时以内时，选择公司A 的费用少；超过 5 小时，选择公司B 的费用少；上网 5 小时，公司A ，B 的费用一样． 【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】(1) 投放点 ω1(120,0)，ω2(60,0)，f 60(10) 表示与 B (10,0) 距离最近的投放点（即 ω2）的距离， 所以 f 60(10)=∣60−10∣=50，同理分析：f 60(80)=∣60−80∣=20，f 60(95)=∣120−95∣=25． 由题意，f 60(x )={∣ 60−x∣ ,∣ 120−x ∣}min ，所以分类讨论，当 ∣60−x ∣≤∣120−x ∣，即 x ≤90 时，f 60(x )=∣60−x ∣； 当 ∣60−x ∣>∣120−x ∣，即 x >90 时，f 60(x )=∣120−x ∣； 综上，f 60(x )={∣60−x ∣,x ≤90∣120−x ∣,x >90．(2) 由题意，f t (x )={∣ t −x∣ ,∣ 120−x ∣}min ， 所以 f t (x )={∣t −x ∣,x ≤0.5(120+t )∣120−x ∣,x >0.5(120+t )，f t (x ) 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示， 所以 S =12t 2+14(120−t )2=34t 2−60t +3600， 由题意，S <S (60)，即 34t 2−60t +3600<2700，解得 20<t <60，即垃圾投放点 ω2 建在 (20,0) 与 (60,0) 之间时，比建在中点时更加便利． 【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用。
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高中数学人教A 版必修一第四章《指数函数与对数函数》解答题提高
训练 (1)
一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）
1. 计算：(1)化简√(3−π)44+(0.008)−
1
3−(0.25)1
2×(1√2
)−4
；
(2)已知x =1
2(51n −5−1
n ),x ∈N ∗，求(x +√1+x 2)n
的值；
2. 如图，是一个半圆柱与多面体ABB 1A 1C 构成的几何体，平面ABC 与
半圆柱的下底面共面，且AC ⊥BC ，P 为弧A 1B 1⏜上(不与A 1，B 1重合)的动点．
(1)证明：PA 1⊥平面PBB 1；
(2)若四边形ABB 1A 1为正方形，且AC =BC ，∠PB 1A 1=π
4，求二面角P −A 1B 1−C 的余弦值．
3.已知函数f(x)=lnx+a
．
x
(1)若函数f(x)有极值，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处的导数值相等，证明：f(x1)+f(x2)>1+2ln2；
(3)若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点x3，x4(x3≠x4)，证明：x3+x4>2
．
e
4.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益f(x)与投资额
x成正比，投资股票等风险型产品的收益g(x)与投资额x的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，
其最大收益为多少万元？
5. 已知函数f(x)=x 2e −ax −1(a 是常数)．
(1)求函数y =f(x)的单调区间；
(2)当x ∈(0,16)时，函数f(x)有零点，求a 的取值范围．
6. 计算下列各式的值
(1)823
⋅
(13)3
⋅
(1681)−34
(2)log 535+2log 12
√2−log 5
150
−log 514．
7. 已知函数f(x)=−3x +a
3+b ．
(1)当a =b =1时，求方程f(x)=3x 的解； (2)当a =1，b =3时，
①判断函数f(x)的奇偶性并证明你的结论；
②若任意t∈R，不等式f(t2−2t)+f(k−2t2)>0恒成立，求实数k的取值范围；
(3−x−3x)，若不等式g(2x)≥mg(x)−11对任意x∈R恒
③函数g(x)满足f(x)⋅[g(x)+2]=1
3
成立，求实数m的取值范围．
8.已知函数f(x)=2x．
(1)试求函数的最大值；
(2)若存在，使|af(x)−f(2x)|>1成立，试求a的取值范围；
(3)当a>0,且x∈[0,15]时，不等式f(x+1)⩽f[(2x+a)2]恒成立，求a的取值范围．
9.在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．
(1)如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射点
的纬度，φ为当地的纬度值，那么这三个量满足θ=90°−|φ−δ|．
某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移
的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值(太
阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值).下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地太阳高度角数据：
观测站
A B C
观测站所在纬度φ/度40.000023.43930.0000
观测站正午太阳高度角θ/度66.387082.946473.6141
太阳直射点的纬度δ/度
太阳直射点的纬度平均值/
度
请根据数据完成上面的表格(计算结果精确到0.0001)；
(2)设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y.该科技小组通过对数据的整理和分析，推断y与x 近似满足函数y=Asinωx，其中A为北回归线的纬度值，约为23.4392911，试利用(1)中的数据，估计ω的值(精确到10−8)；
(3)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年，求一个回归年对应的天数(精确到0.0001)；
(4)利用(3)的结果，估计每400年中，应设定多少个闰年，可使这400年与400个回归年所含的天数最为接近(精确到1)
10.已知函数g(x)=4x−a
2x
是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．
(1)求a和b的值；
(2)说明函数g(x)的单调性；若对任意的t∈[0,+∞)，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
(3)设ℎ(x)=f(x)+1
2
x，若存在x∈(−∞,1]，使不等式g(x)>ℎ[lg(10a+9)]成立，求实数a 的取值范围．
11.某地第一年旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预
计今后旅游业的收入每年会比上一年增加1
4
．
(1)求n年内旅游业的总收入；
(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8000万元
12.在寒冷的冬季，羽绒服是人们抵御严寒的必要物资，某羽绒服生产商今年推出了新款羽绒服，
经过前期的市场调研发现该款羽绒服在市场上非常受欢迎，该厂商决定加大产量．已知生产该羽绒服的固定成本为1000万元，每生产x千件需另投入成本为W(x)万元，已知当产量不足80
千件时，W(x)=1
2x2+10x(万元)；当产量不小于80千件时，W(x)=81x+10000
x
−2605(万
元)，现每件羽绒服定价为800元且生产的羽绒服可以全部售完．(Ⅰ)求羽绒服生产商生产该款羽绒服的利润f(x)的解析式；
(Ⅱ)求产量为多少千件时，该羽绒服生产商可以获得最大利润，并求出最大利润．
13.已知log a3>log a2(a>0且a≠1).若函数f(x)=log a x在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差
为1．
(1)求实数a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y=(log a x)2−log a√x+2的值域．
14.已知函数f(x)=x2+x−2，g(x)=|f(x)|−f(x)
．
2
(Ⅰ)写出函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)若直线y=kx+1与曲线y=g(x)有三个不同的交点，求a的取值范围；
(Ⅲ)若直线y=ax+b与曲线y=f(x)在x∈[−2,1]内有交点，求(a−1)2+(b+3)2的取值范围．
15.已知函数f(x)=x2+3
．
x+1
(1)求函数f(x)在区间[0,2]上的最值；
(2)若关于x的方程(x+1)f(x)−ax=0在区间(1,4)内有两个不等实根，求实数a的取值范围．16.设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x)，x∈[1
,9]
9
(Ⅰ)若m=log3x，求m的取值范围；
(Ⅱ)求f(x)的最值，并给出取最值时对应的x的值．
17.设函数f(x)=cos2x+asinx+a.
]上的值域；
(1)当a=1时，求函数f(x)在区间[0,π
3
(2)设函数φ(x)的定义域为I，若x0∈I，且φ(x0)=1，则称x0为函数y=φ(x)的“壹点”.已知
f(x)在区间[0,2π]上有4个不同的“壹点”，求实数a的取值范围．
18.已知函数f(x)=√x(1−lnx
)．
2
(I)求f(x)极大值；
(II)求证：ln2+ln3+⋯+lnn>2(√n−1)2，其中n∈N+，n≥2．
(III)若方程f(x)=t有两个不同的零点x1,x2，求证：x1+x2>2
19.设函数f(x)=3x−a⋅2x
为奇函数．
3+2
(1)求实数a的值；
(2)当x∈[1,+∞)时，求f(x)的值域．。