基本不等式中的母题及解题技巧
基本不等式的解题方法
基本不等式的解题方法
基本不等式的解题方法如下：
1. 读懂题目：首先要仔细阅读题目，理解不等式的条件和要求。
2. 将不等式化为标准形式：将不等式进行变形，使得不等号的右边等于零，并且左边只含有一个未知数。
3. 找出未知数的范围：根据题目中给出的条件，确定未知数的范围。
4. 求解不等式：根据不等号的方向，找出未知数满足不等式的取值范围。
5. 检验解的有效性：将解代入原不等式中验证。
需要注意的是，在求解过程中可能会遇到以下几种特殊情况：
- 当不等号为>或<时，解是一个开区间；
- 当不等号为≥或≤时，解是一个闭区间；
- 当不等号两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要取反；
- 当不等号两边同时除以一个负数时，不等号的方向不变。
综上所述，以上是解题基本步骤，但针对不同类型的不等式，解题方法可能会有所不同。
因此，在解题过程中还需要根据具体情况选择合适的解题方法。
求解基本不等式技巧
求解基本不等式技巧解不等式是我们在数学学习过程中经常会遇到的一种问题，它在代数学、函数学、几何学等各个数学领域中都有广泛的应用。
解不等式的技巧主要涉及到代数计算与性质推导，下面将介绍一些常用的基本不等式解法技巧。
1. 利用性质：不等式解法中可以利用不等式的性质进行转化、合并等操作。
例如，可以利用不等式的加法性质、乘法性质，对不等式的两边做加法、减法、乘法、除法等运算，从而得到一个更简单的不等式。
常用的性质有： - 加法性质：若$a<b$，则$a+c<b+c$- 乘法性质：若$a<b$且$c>0$，则$ac<bc$- 反号性质：若$a<b$，则$-a>-b$- 绝对值性质：$|a-b|\\geq 0$，若$a-b<0$，则$|a-b|=-(a-b)$2. 利用不等式的对称性：不等式的对称性质有以下两种。
- 交换律：若$a<b$，则$b>a$- 传递律：若$a<b$且$b<c$，则$a<c$3. 利用平方意义：对于不等式中的平方项，可以利用平方的非负性，进行分析与转化。
例如，对于一元二次不等式$a(x-h)^2+k\\geq 0$，若$k<0$，则不等式左边的平方项一定大于0，不等式成立；若$k\\geq 0$，则通过对平方项进行求根可以得到$x$的取值范围。
4. 利用倒数意义：对于不等式中的倒数项，可以利用倒数的性质进行分析与转化。
例如，对于不等式$\\frac{1}{x}>k$，其中$k>0$，通过分析倒数项可以得到$x$的取值范围。
5. 利用中值不等式：中值不等式是一类常用的不等式，它可以大大简化解不等式的过程。
常用的中值不等式有： - 算术平均-几何平均不等式(AM-GM不等式)：对于非负实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$，有$\\frac{a_1+a_2+\\ldots+a_n}{n}\\geq\\sqrt[n]{a_1a_2\\ldots a_n}$- 柯西-施瓦茨不等式：对于实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$与$b_1,b_2,\\ldots,b_n$，有$(a_1^2+a_2^2+\\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\\ldo ts+b_n^2)\\geq (a_1b_1+a_2b_2+\\ldots+a_nb_n)^2$ - 三角函数不等式：对于角度为$\\theta$的三角函数$\\sin\\theta,\\cos\\theta,\\tan\\theta$，有$\\sin\\theta\\leq \\theta\\leq \\tan\\theta$，$-\\frac{\\pi}{2}\\leq \\theta\\leq \\frac{\\pi}{2}$6. 利用数轴分割：对于一元不等式，可以通过画数轴、确定不等式两边区间的取值范围，然后进行分析与合并，来得到不等式的解集。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学的重要内容之一，也是数学中的基本概念之一。
在学习基本不等式时，首先要了解不等式的概念和性质。
不等式是数学中的一种等式变种，它是用不等号表示的数学关系式。
不等式具有反身性、传递性和对称性等性质。
在解决不等式问题时，首先要理解其性质，然后根据不等式的性质来解题。
二、基本不等式的类型基本不等式可分为线性不等式、一元二次不等式和高次不等式等类型。
下面来分别介绍这几种不等式及其解题方法。
1.线性不等式线性不等式是最基本的不等式类型，它可以表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。
解决线性不等式问题时，可以通过移项、交叉乘除、取绝对值、分情况讨论等方法进行求解。
例如，要解决不等式2x+5>7，则可以通过移项得到2x>2，再除以2得到x>1，这样就得到了不等式的解集{x|x>1}。
2.一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式。
解决一元二次不等式问题时，可以通过因式分解、配方法、求导数等方法进行求解。
例如，要解决不等式x^2-4x+3<0，则可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)<0，再通过分情况讨论得到不等式的解集1<x<3。
3.高次不等式高次不等式是包括二次以上的多项式不等式，它可以表示为f(x)>0或f(x)<0的形式。
解决高次不等式问题时，可以通过因式分解、分情况讨论、取对数等方法进行求解。
例如，要解决不等式x^3-3x^2+2x>0，则可以通过因式分解得到x(x-1)(x-2)>0，再通过分情况讨论得到不等式的解集{x|x<0或1<x<2}。
三、基本不等式的解题方法解决基本不等式问题时，首先要理解不等式的类型和性质，然后根据不等式的性质来选择合适的解题方法。
基本不等式中的母题及其解答技巧
不等式在各种题型中均有出现，渗透在各类考试试卷中；基本不等式是不等式中高频考点之一，其应用、变形等是考试热点．本节将针对于基本不等式及其常见母题进行解答技巧的讲解与归纳．1．基本不等式ab ≤a ＋b2基本不等式的使用条件：① 一正：a ＞0，b ＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；② 二定：ab 或a ＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； ③ 三相等：当且仅当a ＝b 时取等号；即：等号能否取得．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．由公式a 2＋b 2≥2ab 和ab ≤a ＋b2可以引申出的常用结论 (1)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (2)b a ＋ab ≤－2(a ，b 异号)； (3)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)(或ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ＞0，y ＞0，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P ．(简记：“积定和最小”) (2)如果x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24．(简记：“和定积最大”)此类问题较为基础，利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．解答技巧一：直接应用【变式】1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4【解析】∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．【答案】C2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( ) A ．13B ．12C ．34D ．23【解析】∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．【答案】C3．(2014·成都诊断)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x ，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为__________．【解析】∵3a ＋b ＝9，∴a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，∴f (ab )＝3ab ≤3．【答案】34．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．【解析】依题意得a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20，当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号，因此|a ＋2b |的最小值是20．【答案】20此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，凑项，凑系数等．不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大、凑积为定值求和最小．解答技巧二：拆项解答技巧三：凑项【变式】1．函数y ＝x 2＋2x －1(x ＞1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2【解析】∵x >1，∴x －1>0．∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎫3x －1＋2＝23＋2．当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．【答案】A2．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________．【解析】∵x ＞1，∴x －1＞0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立．则a ≤3，所以a 的最大值为3．【答案】33．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．【解析】a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22．当且仅当a －b ＝2时，取等号．【答案】2 24．已知函数f (x )＝2xx 2＋6．(1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＜－2}，求k 的值； (2)对任意x ＜0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 【解】(1)f (x )＜k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0．由已知{x |x ＜－3，或x ＜－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2． 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25．(2)因为x ＜0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞．利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．技巧五：换衣(“1”)(或整体代换)【变式】1．本例的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________． 【解析】⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9．当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 【答案】92．本例的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1b ＝4，则a ＋b 的最小值为________．【解析】由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b ＝1．∴a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ＋a4b ＝1．当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】13．若本例条件变为：已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．【解析】由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b 3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83．当且仅当a ＝2b ＝32时，取等号．【答案】834．本例的条件变为：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．【解析】∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋ca ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9．当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 【答案】95．若本例变为：已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m ·a n ＝22a 1，则1m ＋4n的最小值为________．【解析】设公比为q (q ＞0)，由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2．a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m－1·a 12n－1＝8a 21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5，则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95，当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立．【答案】956．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【解析】∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1．∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 【答案】57．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ，∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立，故a ＋1≥3，a ≥4．【答案】B技巧六：构造一元二次不等式在运用该方式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．思考方式还能以保留“和(a ＋b )”还是“积(ab )”来确定公式的运用方向．【变式】1．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得2xy ＝－(x ＋2y )＋8≤⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A ．23 B ．223C ．33D ．233【解析】对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13(1x －x )，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当2x 3＝13x，即x ＝22时等号成立)． 【答案】B3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【解析】x 2＋y 2＋xy ＝1⇔(x ＋y )2－xy ＝1⇔(x ＋y )2－1＝xy ≤(x ＋y 2)2，解得－233≤x ＋y ≤233．【答案】2331．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．【解析】设x 为仓库与车站距离，由已知y 1＝20x ，y 2＝0.8x ．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x＝8，当且仅当0．8x ＝20x，即x ＝5时“＝”成立．【答案】52．(创新题)规定记号“⊙”表示一种运算，即a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊙k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊙xx的最小值为________．【解析】1⊙k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，∴k ＝1或k ＝－2(舍)，∴k ＝1． f (x )＝k ⊙x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立． 【答案】1；33．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)(a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4B ．92C ．8D ．9【解析】∵AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．若A ，B ，C 三点共线，则有AB →∥AC →， ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ×2a b ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立． 【答案】D4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1C ．94D ．3【解析】由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)，则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1． 【答案】B5．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y 恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t ．设f (t )＝t ＋1t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，376． 【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，376 【总结】对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用对勾函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性．1．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ．∵a ＜b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab 2ab ＝ab ．又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b＝0，∴v ＞a ． 【答案】A2．函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值是( )A ．2 3B ．2C ．3D ．5【解析】y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1＝(x 2＋1)2＋(x 2＋1)＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2＋1＝3，当且仅当(x 2＋1)＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号． 【答案】C3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 【解析】⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时，等号成立．【答案】94．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m ＝(2,1)，n ＝(1－b ，a )(a ＞0，b ＞0)．若m ∥n ，则ab 的最大值为__________．【解析】依题意得2a ＝1－b ，即2a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)，因此1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ＝12时取等号，因此ab 的最大值是18．【答案】185．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．【解】(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． ∴xy 的最小值为64．(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8yx＝18． 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18．1．(2012·福建)下列不等式一定成立的是 ( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1＞1(x ∈R )【解析】当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】C2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解析】依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92．【答案】C3．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是 ( )A ．43B ．53C ．2D ．54【解析】由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2．【答案】C4．已知a ＞b ＞0，则a 2＋16b (a －b )的最小值是________．【解析】∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16．【答案】165．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000， 因为x ∈[400,600]，所以S ∈[－80 000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．1．函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值是( )A ．9B ．2 3C ．10D ．2【解析】∵x ＞－1，∴x ＋1＞0．∴y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)⎝⎛⎭⎫4x ＋1＋5＝9．当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，取等号．【答案】A2．(2015·金华十校模拟)已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4．【答案】B3．(2015·西安模拟)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12【解析】由a x ＝b y ＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3．又a ＞1，b＞1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．【答案】C4．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_____________．【解析】∵1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4xy ≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝12，x ＝14时，等号成立． 【答案】C5．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20． (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．【解】(1)∵x ＞0，y ＞0，由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy ．∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10．∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1．∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1．(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020．1．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【解析】依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4．【答案】B2．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是( ) A ．0B ．1C ．2D ．52【解析】∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0．lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1．当且仅当a ＝b ＝10时取等号．【答案】B3．已知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则2m ＋1n的最小值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．9D ．12【解析】易知不等式x ＋2x ＋1＜0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1,2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n的最小值为9． 【答案】C4．(2014·成都诊断)函数f (x )＝lgx 2－x，若f (a )＋f (b )＝0，则3a ＋1b 的最小值为_________．【解析】依题意得0＜a ＜2，0＜b ＜2，且lg ⎝⎛⎭⎫a 2－a ·b 2－b ＝0，即ab ＝(2－a )(2－b )，a ＋b 2＝1，3a ＋1b ＝a ＋b 2⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫4＋3b a ＋a b ≥12(4＋23)＝2＋3，当且仅当3b a ＝ab ，即a ＝3－3，b ＝3－1时取等号，因此3a ＋1b的最小值是2＋3． 【答案】2＋ 35．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)【解】(1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50(0＜x ≤10，x ∈N )， 即y ＝－x 2＋20x －50(0＜x ≤10，x ∈N )，由－x 2＋20x －50＞0，解得10－52＜x ＜10＋52．而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y ＝1x [y ＋(25－x )]＝1x (－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， 而19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时等号成立， 即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．1．若a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b ＞2abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2＞2ab【解析】∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0．由基本不等式得b a ＋a b ≥2，当且仅当b a ＝ab ，即a ＝b 时等号成立．【答案】C2． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4mn ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．【答案】C3．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．【解析】由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时等号成立，所以x ＋y 的最大值为233．【答案】2334．已知x ＞0，y ＞0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y4时取等号． 【答案】35．(2014·重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________．【解析】由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴4a ＋3b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋(3a b ＋4ba)≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4ba时取等号． 【答案】7＋4 3。
基本不等式的题型和解题技巧
基本不等式的题型和解题技巧基本不等式的题型和解题技巧什么是基本不等式基本不等式是数学中的一个重要概念，用于描述数的大小关系。
通过基本不等式的运用，可以解决各种实际问题和数学题目。
不等式的种类一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，可以用来表示一个变量的取值范围。
解这种不等式时，可以通过加减乘除等运算来推导出结果。
一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程在不等式形式下的表达。
解这种不等式时，可以先通过求解一元二次方程来找到其零点，然后根据零点的位置和曲线的凹凸性判断不等式的解集。
绝对值不等式绝对值不等式是以绝对值符号“| |”表示的不等式。
解这种不等式时，需要根据绝对值的性质将不等式分解成两个不等式，并分别求解。
分式不等式分式不等式是分子和分母中含有变量，并以不等式形式给出的不等式。
解这种不等式时，可以通过通分和分类讨论的方法，求解满足不等式的变量范围。
不等式解题的技巧画数轴对于一元一次不等式和一元二次不等式，可以画出数轴来帮助理解和解题。
将不等式中的变量取值范围标记在数轴上，可以更直观地找到不等式的解集。
利用性质不等式有许多性质，如加法性、乘法性、绝对值性质等，可以利用这些性质简化不等式的求解过程。
例如，对于一元一次不等式，可以通过加或减一个数使其变为一个已知的不等式，从而求解。
分类讨论对于复杂的不等式，可以将其分解成几个简单的不等式，并分别求解。
然后根据每个简单不等式的解集，确定整个不等式的解集。
图像法对于一元二次不等式，可以通过绘制抛物线的图像，根据抛物线的凹凸性和与x轴的交点来判断不等式的解集。
反证法如果无法直接求解不等式，可以尝试使用反证法。
假设不等式的解集存在某种矛盾，然后通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而可以得到正确的解集。
总结不等式是数学中重要的概念之一，掌握解不等式的技巧对于解决实际问题和应付各种数学题目都非常重要。
通过运用画数轴、利用性质、分类讨论、图像法和反证法等技巧，我们可以更轻松地解决各种类型的基本不等式题目。
基本不等式的解题技巧
基本不等式的解题技巧
解基本不等式的关键是要确定不等号的方向，并对变量进行适当的操作以便得到解。
以下是解基本不等式的一些常用技巧：
1. 如果不等式的形式是 "ax + b > 0" 或 "ax + b < 0"，则可以通
过将方程两边同时减去 b，再除以 a 来得到 x 的解。
例如：对于不等式 3x + 4 > 0，可以将其转化为 3x > -4，然后
将两边都除以 3，得到 x > -4/3。
2. 如果不等式的形式是"ax + b ≥ 0" 或"ax + b ≤ 0"，则需要考
虑等号的情况。
当不等号加上一个等号时，解的范围会发生改变。
例如：对于不等式 2x - 5 ≥ 3，可以通过将其转化为2x ≥ 8，然后将两边都除以 2，得到x ≥ 4。
3. 如果不等式中包含绝对值表达式 |ax + b|，则需要分别讨论 x + b ≥ 0 和 x + b < 0 两种情况。
例如：对于不等式 |2x - 3| < 5，可以将其分解为两个不等式 2x - 3 < 5 和 2x - 3 > -5，然后求解这两个不等式得到的解的交集。
4. 如果不等式中有多个变量，则可以尝试通过移项和因式分解的方法来化简不等式。
例如：对于不等式 x^2 + 4x - 12 > 0，可以将其转化为 (x + 6)(x - 2) > 0，然后使用符号代表法来求解。
这些是解基本不等式常用的技巧，具体问题需要根据具体情况进行分析和求解。
利用基本不等式求范围的四个典例 教师版
1
1
2 6 (3 y
8
32
)
4
2 ，当且仅当 x 2
2 1, y 3 2
2 取等号
3 y
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解.
28k 2 40k 4 2 4k 6k 2 2
，令 g (k)
0 ，得k
4
2 5 ， 7
∵ g(k) 在(0, 4 2 5) 上递减，在( 4 2 5 ,1) 上递增，
7
7
∴g k
g(4
2 5) 3 2
2
，∴
2
1
32 2
的最小值
；
min
7
4
x 3y x y
2
；
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，再用单调性或基本
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不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考 虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行.
点评：换元更好：令 x 3y m,
1 b
1，则 1 a 1
4 的最小值为 b 1
.
答案：4 ； 1 1 1，得a b 4 ，∴[(a 1) (b 1)]( 1 4 ) 5 b 1 4(a 1) 9 ，
ab
a 1 b 1
a 1 b 1
好像不对？
点评：如果a b 4 ，则可以做；
基本不等式的解题方法与技巧
4.验证答案：使用得到的结论验证原始ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ不等式是否成立，特别注意符号的正确性。
需要注意的是，基本不等式虽然是一个很有用的数学工具，但并不是所有的不等式都可以使用基本不等式来解决，还需要结合具体的问题和场景，选择适当的数学方法和工具来求解
基本不等式是初中数学中一个重要的不等式定理，解题方法和技巧如下：
1.确定变量范围：首先需要明确不等式中变量的范围，常用的有正数、非负数、实数等范围，以便后续的推导和证明。
2.根据基本不等式化简式子：根据基本不等式SGM（平均值不等式）和C-S（柯西-施瓦茨不等式）的不等式形式，将需要求解的式子化为对应的形式，使其符合基本不等式的形式。