(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2ab$，其中$a^2+b^2$为定值。
2、基本不等式一般形式（均值不等式）若$a,b\in R$，则$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
3、基本不等式的两个重要变形若$a,b\in R$，则$a+b\geq 2\sqrt{ab}$，其中$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当$a=b$时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5、常用结论若$x>1$，则$\frac{x+1}{2}>\sqrt{x}$（当且仅当$x=1$时取“=”）。
若$x<1$，则$\frac{x+1}{2}<-\frac{1}{x}$（当且仅当$x=-1$时取“=”）。
若$ab>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）。
若$a,b\in R$，则$a^2+b^2\geq 2ab$，$\frac{a+b}{2}\geq \frac{2ab}{a+b}$，$\frac{a+b}{2}\leq \sqrt{a^2+b^2}$。
6、柯西不等式若$a,b\in R$，则$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$。
题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设$a,b$均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{a^2+b^2}{2}$。
2、已知$a,b,c$为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$。
3、已知$a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2+\frac{9}{4}\geq 2(ab+bc+ca)$。
基本不等式完整版
基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。
2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。
3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。
2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。
总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。
2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。
3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。
5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$3、基本不等式的两个重要变形1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。
特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq\frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
6、柯西不等式1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$2) 若 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3\in R$，则$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$3) 设 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 与 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 是两组实数，则有$(a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\dots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n)^2$二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设 $a,b$ 均为正数，证明不等式：$ab\geq\frac{1}{2}(a+b)^2$2、已知 $a,b,c$ 为两两不相等的实数，求证：$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ca$3、已知 $a+b+c=1$，求证：$a^2+b^2+c^2\geq\frac{1}{3}$4、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$(1-a)(1-b)(1-c)\geq 8abc$5、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq\frac{9}{2(a+b+c)}$题型二：利用柯西不等式证明不等式1、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$2、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$3、已知 $a,b,c\in R^+$，且 $abc=1$，求证：$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$4、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$5、已知 $a,b,c\in R^+$，求证：$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{a^2-ab+b^2}\geq a+b+c$题型三：求最值1、已知 $a,b$ 均为正数，且 $a+b=1$，求 $ab$ 的最大值和最小值。
完整版)基本不等式知识点和基本题型
完整版)基本不等式知识点和基本题型基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)^2/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a^2+b^2)(1+1)≥(a+b)^2二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)^2/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a^2/(b-c)^2+b^2/(c-a)^2+c^2/(a-b)^2≥23.已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a^3+b^3≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9基本不等式专题辅导一、知识点总结1.基本不等式原始形式若a,b∈R，则a+b≥2ab若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/22.均值不等式若a,b∈R，则a+b/2≥√(ab)3.基本不等式的两个重要变形若a,b∈R，则(a+b)/2≥√(ab)若a,b∈R，则ab≤(a+b)²/4特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”5.常用结论1.x+1/x≥2 (当且仅当x=1时取“=”)2.x+1/x≤-2 (当且仅当x=-1时取“=”)3.若ab>0，则(a/b+b/a)/2≥2 (当且仅当a=b时取“=”)4.若a,b∈R，则ab≤(a²+b²)/2≤(a+b)²/2特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”6.柯西不等式若a,b∈R，则(a²+b²)(1+1)≥(a+b)²二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1.设a,b均为正数，证明不等式:ab≥(a+b)²/42.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a²/(b-c)²+b²/(c-a)²+c²/(a-b)²≥23.已知a+b+c=1，求证：a²+b²+c²+3(ab+bc+ca)≥4/34.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc5.已知a,b,c∈R，且a+b+c=1，求证：|a-b|+|b-c|+|c-a|≥4√2/3题型二：利用不等式求最值1.已知a+b=1，求证：a³+b³≥1/42.已知a,b,c>0，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c3.已知a,b,c>0，且a+b+c=1，求证：a/b+b/c+c/a≥34.已知a,b,c>0，求证：(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c)+(c²+a²)/(c+a)≥(3/2)(a+b+c)5.已知a,b,c>0，求证：(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9选修4-5：不等式选讲1.设a,b,c均为正数，且a+b+c=1，证明：Ⅰ) ab+bc+ca≤1/3；Ⅱ) a^2b+b^2c+c^2a≥1/9.2.已知a≥b>0，求证：2a-b≥2ab-b^2.3.求下列函数的值域：1) y=3x+2；2) y=x(4-x)；3) y=x+(x>2)；4) y=x+(x<2)。
基本不等式题型总结(精编)
4x?5
凑项，
x?
5,? 4
5?4x?0，?
y?4x?2?
4x1?5?????5?4x?
5?14x????3?
?2?3?1
当且仅5当?4x? 5?14x，即x?1时，上式等号成立x?1，时故，y当max?1。
凑系数
3、变量分离法
求y?x2?7x?1(0x??1的) 值域。
x?1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨x＋将1）分的子项配，方再凑将出 分离。
同学们，这样解对吗？
正确解法：
：x?0y,?01x,?9y?1，?x?y??x?y????1x?9y????xy?9yx?10?6?10?16
当且仅y?9x当时，上式等1号?9?成1，立可x，?得4y,又?12时?，x?y? ?16。
xy
xy
min
6、利用函数单调性
? 求函数
练习
7、放缩法
8、平方
当 ,即 时,y?2（x?1)? 4 ?5?9（当且仅x＝当1时取“＝”。号）
x?1
? 还可以怎样做？除法变量分离。
4、换元法
解析二：本题看似无法运t用=＋x1，均化值简不原等式式在，分可离先求换最元
y?(t?12)?7t(?1）+1=0t2?5t?4?t?4?5
t
tt
当 ,即t= 时,y?2t?4?5?9（t当=即2x＝1时取“＝”号）。
t
评注：分式函求最值，通常直接将分子配凑后将
即化y?m为(xg)? A?B(A?0B,?0，) g(恒x)正或恒负的形式，然后运用均
g(x)
(完整版)高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式（1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>；【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 .【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 .【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则1||2||a a b +的最小值为 .【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足211a b +=，则2a b +的最小值为 .【变式】已知正实数,a b 满足211a b+=，则2a b ab ++的最小值为 .【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则8x y xy +的最小值为 .【例5】已知0,0a b >>，若不等式212m a b a b+≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则2212a b +的最小值为 .【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则11a b+的最小值为 .【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22214e e +的最小值为【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则 ）A ．6B ．5 C【例10】已知函数()4141x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .【例2】设,x y R ∈，1,1a b >>，若2x y a b ==，28a b +=，则11x y+的最大值为_______.【例3】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值为 .【例4】（2013年南开一模）已知正实数,a b 满足21a b ab ++=，则a b +的最小值为 .【例5】设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）（A ）1⎡⎣ （B ）(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ）2⎡-+⎣ （D ）(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y 成等比数列，则xy 的最小值为 .【例7】（2015天津）已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【例8】（2011年天津）已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为 .【例9】下列说法正确的是（ ）ABCD【例10】设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是（ ）A ．10 B。
基本不等式高一数学精典题型
基本不等式高一数学精典题型在高中数学中，不等式是一个重要的概念，而基本不等式作为不等式的基础，也是高一数学中的重点内容之一。
下面将介绍一些基本不等式的经典题型，帮助大家更好地掌握这一知识点。
1. 单变量一次不等式首先，我们来看最简单的单变量一次不等式。
形如ax + b > 0的不等式，其中a、b为常数。
解这种不等式的关键是找到变量x的取值范围。
以ax + b > 0为例，如果a > 0，则当x > -b/a时不等式成立；如果a < 0，则当x < -b/a时不等式成立。
我们以一个实例来说明。
解不等式2x - 3 > 0。
首先，我们找到x的取值范围。
由于系数2大于0，所以不等式的解是x > 3/2。
2. 二次不等式其次，我们来看二次不等式的解法。
二次不等式的形式为ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为常数。
解二次不等式的方法一般包括图像法和因式分解法。
以求解不等式x^2 - 5x + 6 > 0为例，我们可以利用因式分解法。
首先，找到不等式的解，即求出方程x^2 - 5x + 6 = 0的解，得到x1 = 2和x2 = 3。
然后，根据二次函数的图像，我们可以确定不等式的解集为x < 2或x > 3，即解为(-∞, 2)∪(3, +∞)。
3. 绝对值不等式接下来，我们介绍绝对值不等式的解法。
绝对值不等式是形如|ax + b| > c的不等式，其中a、b、c为常数。
解绝对值不等式的关键是将其转化为两个含有绝对值的等式。
举例来说，我们来解不等式|2x - 1| > 5。
首先，我们根据不等式的定义，得到两个等式：2x - 1 > 5和2x - 1 < -5。
解这两个等式，得到x > 3和x < -2。
将解集合并，得到x < -2或x > 3。
因此，不等式的解是(-∞, -2)∪(3, +∞)。
基本不等式-题型总结(经典-非常好-学生评价高)复习课程
基本不等式-题型总结(经典-非常好-学生评价高)基本不等式一. 基本不等式①公式：(0,0)2a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】 基本不等式求最值求最值使用原则：一正 二定 三相等一正： 指的是注意,a b 范围为正数。
二定： 指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b =典型例题：例1 .求1(0)2y x x x=+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q12x x ∴-+≥=-12x x∴+≤得到(,y ∈-∞例2 .求12(3)3y x x x =+>-的值域 解：123y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63x x =+-+-330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴+-≥-6y ∴≥， 即)6,y ⎡∈+∞⎣例3.求2sin (0)sin y x x xπ=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 的值是不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈，2y t t=+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t +>，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
例4．求221(2)2x x y x x ++=>-+的值域 分析：先换元，令2,0t x t =+>，其中2x t =- 解：22(2)2(2)16116t t t t y t t t t-+-+++===++ 110268t t t t t>∴+≥∴++≥Q [8,)y ∴∈+∞ 总之：形如2(0,0)cx dx f y a c ax b++=≠≠+的函数，一般可通过换元法等价变形化为p y t t=+()p 为常数型函数，要注意t 的取值范围； 【失误与防范】1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．【题型2】 条件是a b +或ab 为定值，求最值（值域）（简）例5．若0,0x y >>且18x y +=，则xy 的最大值是________．解析：由于0,0x y >>，则x y +≥18≤，则xy 的最大值为81 例6．已知,x y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为________．解析：43x y +≥Q12≤，3xy ∴≤当且仅当434312x y x y =⎧⎨+=⎩即322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，xy 取得最大值3.例7．已知0,0m n >>，且81mn =，则m n +的最小值为________．解析：Q 0,0m n >>，18m n ∴+≥=，当且仅当9m n ==时，等号成立．总结：此种题型：和定积最大，积定和最小【题型3】 条件是a b +或11a b+为定值，求最值（范围）（难） 方法：将1整体代入例8.已知0,0x y >>且1x y +=，则11x y+的最小值是________________ 解析：1x y +=Q1111()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+= 所以最小值是4例9. 已知0,0a b >>，2a b +=，则14y a b=+的最小值是________． 解析：212a b a b ++=∴=Q则141412()()2222a b b a a b a b a b++=+=+++52592222b a a b =++≥+= 所以最小值是92例10.已知0,0x y >>，且121,x y+=求2x y +的最小值是____________ 解析：Q 121,x y+=则12222()(2)14y x x y x y x y x y +=++=+++59=+= 从而最小值为9【题型4】 已知a b +与ab 关系式，求取值范围例11. 若正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 及a b +的取值范围．解析：把ab 与a b +看成两个未知数，先要用基本不等式消元解：⑴求ab 的范围 （需要消去a b +：①孤立条件的a b +②a b +≥③将a b +替换）①3ab a b =++Q 3a b ab ∴+=-，②a b +≥③3ab ⇒-≥a b +结束，下面把ab 看成整体，换元，求ab 范围）令(0)t t =>，则3ab -≥232t t -≥解得3t ≥或1t ≤-（舍去），从而9ab ≥⑵求a b +的范围 （需要消去ab ：①孤立条件的ab ②2()2a b ab +≤ ③将ab 替换）3ab a b =++Q 2,2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ∴232a b a b +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭（消ab 结束，下面把a b +看成整体，换元，求a b +范围） 令(0)t a b t =+> 则有232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，2412t t +≤，24120t t --≥，得到6t ≥或2t ≤-（舍去） 得到6a b +≥。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式
一. 基本不等式
①公式：(0,0)2
a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭
,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版
二．考试题型
【题型1】 基本不等式求最值
求最值使用原则：一正 二定 三相等
一正： 指的是注意,a b 范围为正数。
二定： 指的是ab 是定值为常数
三相等：指的是取到最值时a b =
典型例题：
例1 .求1(0)2y x x x
=+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->
1
2x x ∴-+≥=-1
2x x
∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3
y x x x =+>-的值域 解：123
y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63
x x =+-+-
330x x >∴-> 12(3)3x x ∴
+-≥-
6y ∴≥， 即)6,y ⎡∈+∞⎣
例3.求2sin (0)sin y x x x
π=+<<的值域
分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内
解：令sin (0,1)t x t =∈，
2y t t
=+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t +
>，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞
注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，
如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
例4．求221(2)2
x x y x x ++=>-+的值域 分析：先换元，令2,0t x t =+>，其中2x t =- 解：22(2)2(2)16116t t t t y t t t t
-+-+++===++ 110268t t t t t
>∴+≥∴++≥ [8,)y ∴∈+∞ 总之：形如2(0,0)cx dx f y a c ax b ++=≠≠+的函数，一般可通过换元法等价变形化为p y t t
=+()p 为常数型函数，要注意t 的取值范围；
【失误与防范】
1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
【题型2】 条件是a b +或ab 为定值，求最值（值域）（简）
例5．若0,0x y >>且18x y +=，则xy 的最大值是________．
解析：由于0,0x y >>
，则x y +≥
，所以18≤，则xy 的最大值为81
例6．已知,x y 为正实数，且满足4312x y +=，则xy 的最大值为________．
解析：43x y +≥
12≤，3xy ∴≤当且仅当434312x y x y =⎧⎨+=⎩即322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩
时，xy 取得最大值3.
例7．已知0,0m n >>，且81mn =，则m n +的最小值为________． 解析：0,0m n >>
，18m n ∴+≥=，当且仅当9m n ==时，等号成立． 总结：此种题型：和定积最大，积定和最小
【题型3】 条件是a b +或11a b
+为定值，求最值（范围）（难） 方法：将1整体代入
例8.已知0,0x y >>且1x y +=，则11x y
+的最小值是________________ 解析：1x y +=
1111()()224y x x y x y x y x y ∴+=++=++≥+= 所以最小值是4
例9. 已知0,0a b >>，2a b +=，则14y a b
=+的最小值是________． 解析：212
a b a b ++=∴=
则141412()()2222a b b a a b a b a b
++=+=+++52592222b a a b =++≥+= 所以最小值是
92 例10.已知0,0x y >>，且121,x y
+=求2x y +的最小值是____________ 解析：121,x y
+=
则1
2222()(2)14y x x y x y x y x y +=+
+=+++59=+= 从而最小值为9
【题型4】 已知a b +与ab 关系式，求取值范围
例11. 若正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 及a b +的取值范围．
解析：把ab 与a b +看成两个未知数，先要用基本不等式消元
解：⑴求ab 的范围 （需要消去a b +：①孤立条件的a b +②a b +≥③将a b +替换） ①3ab a b =++ 3a b ab ∴+=-，
②a b +≥
③3ab ⇒-≥a b +结束，下面把ab 看成整体，换元，求ab 范围）
令(0)t t =>，则3ab -≥变成232t t -≥
解得3t ≥或1t ≤-（舍去），从而9ab ≥
⑵求a b +的范围 （需要消去ab ：①孤立条件的ab ②2()2
a b ab +≤ ③将ab 替换） 3ab a b =++ 2,2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
， ∴232a b a b +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭
（消ab 结束，下面把a b +看成整体，换元，求a b +范围） 令(0)t a b t =+> 则有232t t ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭
，2412t t +≤，24120t t --≥，得到6t ≥或2t ≤-（舍去） 得到6a b +≥。