高中数学不等式经典题型(精)
高中不等式经典例题
高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式， 也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。
解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴， 然后从右上开始画线顺次经过三个根， 其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为 或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。
高中不等式试题和答案
不等式一、选择题：1．不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集是 A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |x <1且x ≠－1}2．直角三角形ABC 的斜边AB ＝2，内切圆半径为r ，则r 的最大值是 A ． 2B ．1C ．22D ．2－13．给出下列三个命题 ①若1->≥b a ，则bba a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足n m ≤，则2)(n m n m ≤- ③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1． 当1)()(2121=-+-y b x a 时，圆1O 与圆2O 相切 其中假命题的个数为 A ．0B ．1C ．2D ．34．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为 A ．(1，2) B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．(2，+∞)5．如果x ，y 是实数，那么“xy ＜0”是“|x －y |＝|x |＋|y |”的 A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件6．若a ＝ln22，b ＝ln33，c ＝ln55，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．已知a 、b 、c 满足c b a <<，且a c <0，那么下列选项中不一定成立的是 A ．a b a c > B ．c b a ()-<0C ．c b a b 22< D ．0)(<-c a ac 8．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)9．某工厂第一年年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则A ．x ＝2ba + B ．x ≤2b a + C ．x ＞2b a + D ．x ≥2ba + 10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则A ．f (2)＝f (0)<f (3)B ．f (0)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)二、填空题：11．对于－1<a <1，使不等式(12)2x ax +<(12)2x +a －1成立的x 的取值范围是_______ ．12．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m ＝ ．(lg2≈0．3010)13．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 ．14．已知a ＞0，b ＞0，且2212b a +=，则的最大值是 ． 15．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaa a 111++<④aaaa111++>其中成立的是 ．三、解答题：16．(本题满分l2分)设函数f (x )|1||1|2--+=x x ，求使f (x )≥22的x 取值范围．17．（本题满分12分）已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合．18．（本题满分14分）⑴已知,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，求证：222()a b a b x y x y++≥+，指出等号成立的条件；⑵利用⑴的结论求函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值，指出取最小值时x 的值．19．（本题满分14分）设函数f(x)＝|x－m|－mx，其中m为常数且m<0．⑴解关于x的不等式f(x)<0；⑵试探求f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值．20．(本题满分14分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2．⑴当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b；⑵当b>1时，证明对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b；⑶当0<b≤1时，讨论：对任意x∈[0，1]，都有|f(x)|≤1的充要条件．21．(本题满分14分)⑴设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ．[不等]符号定，比较技巧深参考答案二、填空题11．x ≤0或x ≥2； 12．155；13．]23,(-∞； 14 15．②④ 三、解答题16．解：由于y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于|x +1|－|x －1|≥32， ① (2)分(i)当x ≥1时，|x +1|－|x －1|＝2。
高中数学不等式经典练习题1(含答案)
高中数学不等式经典练习题1(含答案) 高中数学不等式经典练题【编著】黄勇权一、选择题1、若a∈R，下列不等式恒成立的是（）A、a²+1≥a2、已知x＞y＞0，若x+y=1，则下列数中最大的是（）D、x²+y²3、a∈R，b∈R，若a²+b²=1，则a+b（）C、有最小值24、a，b为任意实数，若a＞b，则有（）A、a²＞b²5、实数a，b＞0，则a+b的最大值是。
C、36、已知x＞0，y＞0，z＞0，且x+y+z=3，则xy+xz+yz的最大值是。
B、37、已知a，b，c∈R，若a＞b，则以下不等式成立的是（）A、ac＞bc。
8、实数a≥1，b≥0，若3a²+6a+2b²=3，则（a+1）3b²+1的最大值。
D、39、已知a、b为正实数，且满足2ab=2a+b+3，则a+b/2的最小值是。
B、310、已知x，y，z为正数，若ab+bc+ca=1，则a+b+c的最小值是A、2.二、填空题1、已知实数x，y满足x+y=2xy，则xy的最小值是1/2.2、已知m＞0，n＞0，且m+n=1，则（m-1）（n-1）的最小值是1/4.3、函数y=x+2-x的最大值是2.4、已知x、y为正数，若2x+3y=4，则x/2+y/3的最小值是8/15.5、函数f（a）=a-a²的最大值是1/4.6、m、n均为正数，若m+n=1，则mn最小值是1/4.7、已知x，y，z为正数，若3x+2y+z=2，则9x²+4y²+z²的最小值是13/9.8、x+2y=4，则x/2+3y/4的最大值是8/3.9、已知a、b、c为正实数，若a+b+c=1，则ab+bc+ca的最小值为1/3.三道数学题的解答1.已知实数 $x,y,z$ 满足$x^2+y^2=2,y^2+z^2=3,z^2+x^2=3$，求$xy+yz+zx$ 的最大值。
第9讲 基本不等式9种常见题型(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)
第9讲基本不等式9种常见题型【考点分析】考点一：重要不等式若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；考点二：基本不等式若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号.其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．考点三：几个常见重要的不等式①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).【题型目录】题型一：直接利用基本不等式求最值题型二：“1”的代换，乘1法题型三：常规凑配法题型四：换元法题型五：消参法题型六:双换元题型七：齐次化题型八：和、积、平方和的转化题型九：多选题【典型例题】题型一直接利用基本不等式求最值【例1】（2021·湖南邵阳市）若正实数y x ,满足12=+y x .则xy 的最大值为（）A ．14B ．18C ．19D ．116【答案】B【解析】1218x y xy +≥≥≤ 当且仅当122x y ==时取等号，即xy 的最大值为18故选：B 【例2】（2021·六安市裕安区新安中学）已知01x <<，则)(33x x -的最大值为（）A ．12B ．14C ．23D ．34【答案】D【解析】因为01x <<，所以10,0x x ->>，所以()1x x +-≥，当且仅当1x x =-，即12x =时，等号成立，所以1≤，整理得()114x x -≤，即3(33)4x x -≤.所以(33)x x -的最大值为34.故选：D.【题型专练】1.（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C【解析】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=，当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立.故选：C ．2.（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（）A ．4-B ．4C ．8D ．8-【答案】B【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B 题型二“1”的代换，乘1法1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．【例1】（2021·上海市大同中学）设b a ,为正数，且1a b +=，则ba 11+的最小值为_______.【答案】4【解析】因为b a ,为正数，且1a b +=，所以11111111124a b a b a b a b a b b a +=+⨯=+⨯+=+++≥+=()()(),当且仅当a=b=1时取等号即11a b+的最小值为4.故答案为：4【例2】（2021·河北石家庄市）已知0,0x y >>，且350x y xy +-=，则34x y +的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】B【解析】由350x y xy +-=，得135y x+=，所以1131312134(34)13(135555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当11,2x y ==，取等号.故选：B.【例3】（2021·北京师范大学万宁附属中学）已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为（）A ．3222-B ．3222+C ．3-D ．3+【答案】B【解析】因为0a >，0b >，且122a b+=，所以()112121322332222b a a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b =即212a +=，222b +=时，a b +有最小值3222+.故选：B.【例4】（2021·浙江高一期末）0a >，0b >，且21a b +=，不等式1102m b a b+-≥+恒成立，则m 的范围为_______.【答案】32m ≤【解析】因为21a b +=，所以1111()22a b b b a b b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭1122a b b b a b +=++++322a b b b a b+=+++333222≥+=+=当且仅当2a b bb a b+=+，即1)a b =-时，取等号，因为不等式1102m b a b +-≥+恒成立，所以m 小于等于112b a b++最小值，所以32m ≤【例5】（2021·浙江）当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立，因为104x <<，所以140x ->，所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++-5≥+549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.所以9m ≤，所以m 的最大值为9.故选：C【例6】若1,0m n >>，3m n +=，则211m n+-的最小值为__________．【答案】232+【解析】因为3=+n m ，所以21=+-n m ，所以1221=+-nm ，所以232232112212111221112112+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-n m m n n m m n n m n m n m 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-3211n m n m m n，等号成立.【例7】若b a ,是正实数，且1a b +=，则11a ab+的最小值为．【答案】322+【解析】因为1=+b a ，所以()b a b a b a a b a ab b a a ab a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=++=++=+1212111111322322122+=+⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+++=b a a b b a a b ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=12b a b aa b ，等号成立.【例8】设2=+b a ，0>b ，则ba a ||||21+的最小值是．【答案】43【解析】因为2=+b a ，所以14412444421+=+≥++=++=+aa a ab a a b a a b a a b a b a a ，当0>a 时，45141||||21=+≥+b a a ，当当0<a 时，43141||||21=+-≥+b a a 【题型专练】1.（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】C 【解析】【分析】依题意可得2xy x y =+，则4362xy x y x y --=+，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；【详解】解：由0x >，0y >且211x y+=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y--=+--=+()2142448y x x y x y x y ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即4x =，2y =时取等号．故选：C2.（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a ba b +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】【分析】对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解【详解】()()232111a b a b +=⇒-+-=因为12a >，1b >，所以210a ->，10b ->又221111112211211211a b a b a b a b a b -+-++=+=++------所以()()1111211211211a b a b a b ⎛⎫+=+-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦----⎝⎭21122224121a b b a --=++≥+=+=--当且仅当23211121a b a b b a +=⎧⎪--⎨=⎪--⎩即34a =，32b =时，取等号所以21126211211a b a b a b +=++≥----故选：A3.（2022·四川·石室中学三模（文））已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是()A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】B 【解析】【分析】将1a 中分子1替换为a +b ，将8b中分子8替换为8(a +b )，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值．【详解】由已知，得188********a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭916262650b a a b =++≥+=，当且仅当916b a a b =，即37a =，47b =时等号成立．因此，1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是50．故选：B ．4.（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.【答案】9【解析】【分析】由0ab a b --=得111a b +=，则()4141a a b b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+，展开利用基本不等式可求得最值.【详解】由0ab a b --=得111a b +=，所以()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，即32a =，3b =时取等号，故4a b +的最小值为9.故答案为：95.（2022·天津·南开中学模拟预测）设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．1.【解析】【分析】两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果.【详解】因为1x y +=，所以2211122222222x x x y x x x y x yxy xy y y x y y x+++++==++=++1122222x x y y y x =++++1112x y y x =++≥=当且仅当1,2x y ==212x xy+1，1.6．（2022·重庆·三模）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.【答案】4【解析】【分析】由题得313a b b a+=+，再利用基本不等式求出2(3)a b +的最小值即得解.【详解】解：由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+=.(当且仅当1a b ==时取等)因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4.故答案为：4题型三常规凑配法【例1】（2021·云南文山壮族苗族自治州）已知(3,)x ∈+∞，函数43y x x =+-的最小值为（）A ．4B ．7C ．2D ．8【答案】B【解析】因为3()x ∈+∞，，所以43003x x ->>-，，44(3)33=733y x x x x =+=-++≥+--当且仅当43=3x x --即5x =时取等号，所以43y x x =+-的最小值为7.故选：B 【例2】（2021·安徽省泗县第一中学）函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（）A ．134B ．3C ．72D ．94【答案】A【解析】因为1x >，所以10x ->，所以9191113()(1)4141444x f x x x x =+=-+++=-- ，当且仅当1941x x -=-，即7x =时等号成立，所以()f x 的最小值为134.故选：A ．【例3】若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立,则a 的取值范围是__________.【答案】51≥a 【解析】max221313⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⇔++≥x x x a x x x a ，因51131132≤++=++xx x x x ，所以51≥a 【例4】设0abc >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（A ）2（B ）4（C）（D ）5【答案】4【解析】原式()()()()()22251212251011c a b a a b a a ab ab c ac a b a a b a a ab ab -+-⋅-+⋅≥+-+-+-++=4022=++=【例5】（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<<，则22222x x y x -+=-有（）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A 【题型专练】1.（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（）A ．4B ．3C ．D ．3【答案】D 【解析】由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥+-3=，当且仅当()1311x x -=-，即13x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3.故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（）A ．3B ．52+C ．3D ．3+【答案】D 【解析】【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x y x y +--并借助均值不等式求解即得.【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >，由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥+=------，当且仅当2111x y =--，即112x y =+=+“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+故选：D3.（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3【解析】【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值.【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.题型四换元法【例1】（2021·永丰县永丰中学高一期末）函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．5【答案】B【解析】因为1x >，设01>-=x t ，所以1+=t x 所以()()332333311122+≥++=++=++++=tt t t t t t t t f ，当且仅当tt 3=，即3=t ，所以1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+B【例2】（2021·全国高一课时练习）函数2y =___________.【答案】4【解析】令1t =≥，则244y t t==+≥，当且仅当2t =，即x =时，min 4y =.所以函数2y =4.故答案为：4题型五消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！【例1】已知22451()x y y x y +=∈R ，，则22x y +的最小值是．【答案】54【解析】因22451x y y +=，所以42215y x y-=，所以422222222211142425555555y y y x y y y y y y -+=+=-+=+≥=⨯=当且仅当221455y y =，即212y =时取等号【例2】若实数x ，y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为．【答案】8【解析】因33xy x +=，所以33x y =+，所以33y x=+，因此311133668333y y x y y y +=++=-++≥+=---当且仅当133y y -=-时取等号【题型专练】1.（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=.【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =，则0t >21262t a b =+++++由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立.故答案为：2.（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22114343xy xy x y z x xy y y x ==-++-，当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+ ，当且仅当1y =时取等号，即212x y z+-的最大值是1．故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.3.（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B．2C．2D ．6【答案】B 【解析】【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842，用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解.【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++88422224222 ，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号.故选：B.题型六双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．【例1】若00a b >>，，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为．【答案】1【解析】设21a b x b y +=⎧⎨+=⎩，则121x y a b y --⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以111x y =+，因此21223a b x y y x y =--+-=+-+因()111124x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以2431a b ≥-=+【例2】已知0x y >，，求44x yx y x y+++的最大值.【答案】1【解析】设4x y a x y b +=⎧⎨+=⎩，则343a b x b a y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，因此441453343333333a b b ax y b a b a x y x y a b a b a b --⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++⎝⎭因2333b a a b +≥=所以421433x x y x y +≥-=++【例3】（2022·浙江省江山中学高三）设0a >，0b >，若221a b +=2ab -的最大值为（）A．3B．C．1D．2+【答案】D 【解析】【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()124a b b -+=进而根据三角换元得5cos ,(062sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可.【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()124a b b -+=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧+>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.【题型专练】1.（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】【分析】令2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，由此可将4a b a b c+++变形为421m n +-，结合基本不等式，即可求得答案。
高中不等式例题(超全超经典)
技巧一：凑项例1：已知 ，求函数 的最大值。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
技巧三：分离例3.求 的值域。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为__________（答：（－1,2））
例2.(1)求函数 的最大和最小值；
(2)设 ，函数 .
若 ，求 的最大值
1．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；
6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如
（1）若 ，则 的取值范围是__________（答： 或 ）；
（2）解不等式
（答： 时， ； 时， 或 ； 时， 或 ）
1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法
3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现 的符号变化规律，写出不等式的解集。如
高中不等式试题及答案解析
高中不等式试题及答案解析试题一：已知不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \)，其中 \( a < 0 \)，求 x 的取值范围。
答案解析：由于 \( a < 0 \)，二次函数 \( ax^2 + bx + c \) 的图像是一个开口向下的抛物线。
不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 表示函数值在 x 轴上方的区域。
要找到 x 的取值范围，我们需要找到抛物线的根，即解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)。
设 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 是方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的两个根，根据韦达定理，我们有：\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \]\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]由于 \( a < 0 \)，\( x_1 \) 和 \( x_2 \) 必定异号，这意味着\( x_1 x_2 < 0 \)。
因此，不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集是 \( x \in (x_1, x_2) \)。
试题二：若 \( x > 0 \)，求不等式 \( \frac{1}{x} + x \geq 2 \) 成立的条件。
答案解析：我们可以使用 AM-GM 不等式（算术平均数-几何平均数不等式）来解决这个问题。
对于任意正数 \( a \) 和 \( b \)，有：\[ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \]令 \( a = \frac{1}{x} \) 和 \( b = x \)，我们得到：\[ \frac{\frac{1}{x} + x}{2} \geq \sqrt{\frac{1}{x} \cdot x} \]\[ \frac{1}{2x} + \frac{x}{2} \geq 1 \]两边乘以 2，得到：\[ \frac{1}{x} + x \geq 2 \]当且仅当 \( a = b \) 时，AM-GM 不等式取等号，即 \( \frac{1}{x} = x \)。
高中数学经典题型-不等式第1专辑(含详细答案)
故：选项 A 排除
C、
2a+b a+2b
＞
a b 选项 D、
a+b 2
＞
2ab a+b
解
去分母，两边同时乘以 b（a+2b）得
2ab+b²＞a²+2ab
把右边的全部移到左边，得：
解
去分母，两边同时乘以 2（a+b）得 （a+b）²＞4ab 左边展开， a²+2ab+b²＞4ab 把左边的 2ab 移到右边，得 a²+b²＞4ab - 2ab 即 a²+b²＞ 2ab 这是不等式的基本公式，是成立的。
A
答案：选 A
第 8 题
设 a＞ b ＞0，那么 2a² A、2 B、4
8 b²-ab C、8
的最小值是（ D、16
）
A12
本题有一定的难度，请同学们自己先做一 遍，实在做不出来，再看后面的答案
题目：求 2a²
仔细观察 8 b²-ab
-
8 b²-ab
解
的最小值 a² 4
因为 a=（a-b）+b ≥2 即：a≥2
2ab +b²
- a² - 2ab＞ 0
化简得：
b²
- a²＞0，
即（b-a）（a+b）＞0------① a、b 是正数，则 a+b 为正。 a > b，所以 b-a 为负，故：①不成立
故：选项 C 排除
选D
经典结论：类似这种讨论 a 与 b 的关系，采取去分母的办法， 既简单，又快捷。
第 5 题
同理： 三式相加得， （ 1 a + 1 b +
1 b
高中数学经典代数不等式100题及解答
x2 y 2 x y 2 xy xy 2 2 x y
x y x y
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7 : a, b, c 0, prove : solution one : S .O.S .
2(a 3 b3 c 3 ) 9(a b c) 2 2 33 abc (a b 2 c 2 )
2(a 3 b3 c 3 ) 9(a b c) 2 6 27 2 abc (a b 2 c 2 ) 9 abc 2 a b2 c2 abc solution two : pqr 做代换 : p a b c, q ab bc ca, r abc
8 : x, y, z 0, prove : 3 xyz
x yz 3 3 2x 2z x y z x y 不妨x y z , 原不等式 3 xyz 3 xyz z 3 3 3 3 x y y 注意到 : 3 xyz 3 y 2 z z , done. 3 3 3
x y yz zx
9 : a, b, c, x, y, z 0, prove : 3 (a x)(b y )(c z ) 3 abc 3 xyz
3 a b c abc 3 3 ( a x )(b y )(c z ) a x b y c z 注意到 : 3 xyz y z x 3 a x b y c z 3 ( a x )(b y )(c z ) 两式相加整理得原不等式
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一．不等式的性质：1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则a b c d>）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >或>4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b>。
如（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若；⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；（3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则ac的取值范围是______（答：12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭）二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。
其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
如（1）设0,10>≠>t a a 且，比较21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22a at t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11log log 22a at t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）；（3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ）三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。
如 （1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是2B、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-（答：C ）；（2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______（答：）；（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______（答：3+）；4.常用不等式有：（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c==时，取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
如如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
).常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--=<<=如（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++；（5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++；(6)若*n N ∈，求证：(1)n +<n ；(7)已知||||a b ≠，求证：||||||||||||a b a b a b a b -+≤-+；（8）求证：2221111223n++++<。
六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
如 （1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。
（答：{|1x x ≥或2}x =-）；（2）不等式(0x -的解集是____（答：{|3x x ≥或1}x =-）；（3）设函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{|12}x x ≤<，()0g x ≥的解集为∅，则不等式()()0f x g x >的解集为______（答：(,1)[2,)-∞+∞）；（4）要使满足关于x 的不等式0922<+-a x x （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和中的一个，则实数a 的取值范围是______.（答：81[7,)8）七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
如（1）解不等式25123xx x -<--- （答：(1,1)(2,3)-）；（2）关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为____________ （答：),2()1,(+∞--∞ ）.八．绝对值不等式的解法：1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|21|2|432|+-≥-x x （答：x R ∈）；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|||1|3x x +->（答：(,1)(2,)-∞-+∞）（4）两边平方：如若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。
（答：4{}3）九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。
注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若2log 13a <，则a 的取值范围是__________（答：1a >或203a <<）；（2）解不等式2()1ax x a R ax >∈- （答：0a =时，{|x 0}x <；0a >时，1{|x x a >或0}x <；0a <时，1{|0}x x a<<或0}x <）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
如关于x 的不等式0>-b ax 的解集为)1,(-∞，则不等式02>+-bax x 的解集为__________（答：（－1,2））十一．含绝对值不等式的性质：a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 如设2()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+ 十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 如（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______（答：)1,+∞）；（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____ （答：1a <）； （3）若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））； （4）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____（答：3[2,)2-）；（5）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：12m >-）2). 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.如已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____（答：1a >）3). 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .。