高二数学经典例题 (50)
(完整版)高二数学归纳法经典例题
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
高二数学数列的经典例题
高二数学数列的经典例题
例题一：等差数列的通项公式
已知等差数列{an} 的首项a1 = 1，公差 d = 2，求第n 项的通项公式。
解：根据等差数列的通项公式，我们有：
an = a1 + (n - 1)d
将已知条件代入公式，得：
an = 1 + (n - 1) * 2
化简得：
an = 2n - 1
例题二：等比数列的求和公式
已知等比数列{bn} 的首项b1 = 2，公比q = 3，求前n 项和Sn。
解：根据等比数列的求和公式，我们有：
Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)
将已知条件代入公式，得：
Sn = 2 * (1 - 3^n) / (1 - 3)
化简得：
Sn = (3^n - 1)
例题三：数列的综合应用
已知数列{cn} 满足c1 = 1，且对任意的n ∈ N*，都有cn+1 = 2cn + 1，求数列{cn + 1} 的前n 项和Tn。
解：首先，我们将给定的递推关系式进行变形：
cn+1 + 1 = 2(cn + 1)
这说明数列{cn + 1} 是一个等比数列，其首项为c1 + 1 = 2，公比为2。
然后，我们利用等比数列的求和公式来求{cn + 1} 的前n 项和Tn：
Tn = (c1 + 1) * (1 - 2^n) / (1 - 2)
代入已知条件，得：
Tn = 2 * (2^n - 1)
化简得：
Tn = 2^(n+1) - 2。
高二数学第一学期 能力训练(50)
1．设集合，}2,1{=A ，}4,3,2{=B ，则 )(B A U 等于（ ）A ．}2{B ．}5{C ．}4,3,2,1{D ．}5,4,3,1{2．若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是 （ ）A ．[2 ，6]B ． [2，5]C ． [3，6]D ． [3，5]3．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若甲s ，乙s ，丙s 分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）A ．丙乙甲s s s <<B ．乙丙甲s s s <<C ．丙甲乙s s s <<D ．乙甲丙s s s <<4．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品共有16件，那么此n =（ ）A ．80B ．90C ． 100D ．1205．以（5，6）和（3，－4）为直径端点的圆的方程是（ ）A ．072422=+-++y x y xB ．064822=-+++y x y x C ．092822=---+y x y x D ． 052422=-+-+y x y x 6．在一次数学测验中，统计7名学生的成绩分布茎叶图如右图所示，若这7名学生的平均成绩为77分，则x 的值为( )A.5B.6C.7D.87．已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．34-B ． 34C ．34D ．34- 8．若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为π，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(0,0) B.）（0,8πC ．）—（0,8πD ．）—（0,4π9．数列}{n a 的前n 项和为S n ，若32()n n S a n N =+∈*，则这个数列一定是（ ）A ．等比数列B ．等差数列C ．从第二项起是等比数列D ．从第二项起是等差数列10．方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ）A ．)125,0(B ．]43,31[C ．),125(+∞D ．]43,125(答案：。
高二数学经典例题
一. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q)2+(q p)2≤7成立，求实数k 的取值范围。
二. 已知.))((,1,0,xy bx ay by ax b a b a ≥++=+>求证：且三. 求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的标准方程．四. 设422+-=x y z ，式中变量y x , 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤122010x y y x ，求z 的最小值和最大值．五. 若M 为直线032:=+-y x l 上的一点，A （4，2）为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且,3=PMAP 求动点P 的轨迹方程.六. 如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.（1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.（本小题14分）七．P 为椭圆192522=+yx上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F（1）求△21PF F 的面积；（2）求P 点的坐标．（本小题12分） 配方法1. 在正项等比数列{a n }中，a 1♦a 5+2a 3♦a 5+a 3∙a 7=25，则 a 3＋a 5＝_______。
3. 已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y ＝log 12(－2x 2＋5x ＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)例1. 设非零复数a 、b 满足a 2＋ab ＋b 2=0，求(a a b+)1998＋(b a b+)1998 。
换元法1.y ＝sinx ·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________。
高二常考的三角函数的试题整理
高二常考的三角函数的试题整理经典数学题【例一】1.(2009·江苏常州一模)已知角α是第三象限角，则角-α的终边在第________象限. 2.(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示为______________.1sin 2θ3.(2010·浙江潮州月考)已知2<1，则θ所在象限为第________象限.π3π4.(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点P(-4cos α，3cos α)(<α<，则sin θ+cos θ=________.22ππ-且sin θ+cos θ=a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正5.(2010·福州调研)已知θ∈22111确的是________(填序号).①-3 ②3或③- ④-3或-3336.(2009·江西九江模拟)若角α的终边与直线y=3x重合且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|10，则m-n=________.|sin α||cos α|7.(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线y=-3x (x<0)上，则=________.sin αcos α8.(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=________，其中t∈[0,60].π49.(2010·泰州模拟)若0”，“<”或“=”填空).2π210.(2010·镇江模拟)已知角θ的终边上一点P(3，m)，且sin θm，求cos θ与tan θ的值.411.(2010·江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：31(1)sin α;(2)cos α.2212.(2010·佳木斯模拟)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a≠0)，角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin α·cos α+sinβ·cosβ+tan α·tan β的值.同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2010·南通模拟)cos(-174-sin(-174π)的值为___________________________.2.(2010·江苏镇江一模)设tan(5π+α)=m，则sin(α-3π)+cos(π-α)sin(-α)-cos(π+α)的值为__________.3.(2009·辽宁沈阳四校联考)已知sin α+cos αsin α-cos α=2，则sin αcos α=________.4.(2008·浙江理，8)若cos α+2sin α=-，则tan α=__________.5.(2008·四川理，5)设0≤α<2π，若sin α3cos α，则α的取值范围是____________.6.(2010·吉林长春调研)若sin α+cos α=tan α0<α<π2，则α的取值范围是__________. 7.(2009·苏州二模)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=________.8.(2010·浙江嘉兴月考)已知f(x)= 1-xπ1+xα∈(2，π)，则f(cos α)+f(-cos α)=________.9.(2009·北京)若sin θ=-45tan θ>0，则cos θ=____________________________________.10.(2010·泰州模拟)化简：(1)1-cos4α-sin4α1-cosα-sinα2sin(π4x)+6cos(π; 4-x).11.(2010·盐城模拟)已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值.12.(2009·福建宁德模拟)已知0<α<π52sin αcos α-cos α+12cos α-sin α=-5，试求1-tan α和差倍角的三角函数1.(2010·山东青岛模拟)cos 43°cos 77°+sin 43°·cos 167°的值为________. 2.(2010·南京模拟)已知α、β均为锐角，且cos(α+β)=sin(α-β)，则tan α=________.3.(2009·湖北四校联考)在△ABC中，3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1，则∠C的大小为________.4.(2009·湖南长沙调研)在锐角△ABC中，设x=sin A·sin B，y=cos A·cos B，则x，y的大小关系是________.5.(2009·广东韶关模拟)已知tan α=2，则sin 2α-cos 2α1+cosα________.6.(2010·无锡模拟)1+tan x1-tan x2 010，则1cos 2x+tan 2x的值为________.7.(2010·苏州调研)若锐角α、β满足(1+3tan α)·(13tan β)=4，则α+β=________. 8.(2009·江苏南通二模)已知sin αcos β=12，则cos αsin β的取值范围是____________.9.(2010·苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α+β)=2π1π5，tan(β-4)=4，则tan(α+4=________.10.(2008·广东)已知函数f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) (x∈R)的最大值是1，其图象经过点Mπ13，2. (1)求f(x)的解析式;(2)已知α、β∈0，π2，且f(α)=3125，f(β)=13，求f(α-β)的值.11.(2010·宿迁模拟)已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=41313(1)求cos(α-β)的值;(2)若0<α<π2，-π42β<0，且sin β=-5，求sin α的值.三角函数的图象与性质1.(2009·大连一模)y=sin(2x+π6)的最小正周期是_____________________________.2.(2010·扬州模拟)y=2-cos__________，此时x=________.3π3.(2010·盐城模拟)函数y=tan(x)的定义域是________________.4.(2009·牡丹江调研)已知函数y=2cos x(0≤x≤1 000π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________5.(2010·江苏盐城月考)已知函数y=tan ωx在(-，内是减函数，则ω的取值范围是________________.7.(2009·浙江宁波检测)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周8.(2010·连云港模拟)sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________________.9.(2008·全国Ⅱ理)若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_______.11.(2008·陕西)已知函数f(x)=2sincos+3cos.12.(2010·山东济宁第一次月考)设a=sin2b. ，cos x+sin x，b=(4sin x，cos x-sin x)，f(x)=a·4(1)求函数f(x)的解析式(3)设集合A=x6x≤3，B={x||f(x)-m|<2}，若A⊆B，求实数m的取值范围.三角函数的`最值及应用1.(2010·连云港模拟)函数y3sin(2x)-cos 2x的最小值为________.2.(2010·泰州模拟)若函数y=2cos ωx在区间[0，上递减，且有最小值1，则ω的值可以是________.3.(2010·湖北黄石调研)设函数f(x)=2sin(+.若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1-x2|的最小值为____.4.(09·湖南株州模拟)函数y=sin 2x按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos 2x+1，则模最小的一个向量a=__.5.(2009·广东惠州二模)函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<在同一单调区间内的x=x29291小值-________________________.2a+b，ab≤0，6.(2010·广西南宁检测)定义运算a*b=a则函数f(x)=(sin x)*(cos x)的最小值为________.， ab>0，b7.(2010·苏州调研)一半径为10的水轮，水轮的圆心距水面7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ω+φ)+7(A>0，ω>0)，则A=________，ω=________. 8.(2009·徐州二模)函数y=(sin x-a)2+1，当sin x=a时有最小值，当sin x=1时有最大值，则a的取值范围是_______. 9.(2009·江苏)函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω=10.(2010·镇江模拟)已知函数f(x)=cos(2ωx+2φ) (A>0，ω>0,0<φ<)，且y=f(x)的最大值为2，其图象上相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ;(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 008).11.( 10·辽宁瓦房店月考)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.12.(2010·吉林延吉模拟)如图，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为3 m的球形工件吊起平放到6 m高的平台上，工地上有一个吊臂长DF=12 m的吊车，吊车底座FG高1.5 m.当物件与吊臂接触后，钢索CD的长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触.求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上?解三角形1.(2010·江苏靖江调研)在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A=________.2.(2010·宿迁模拟)在△ABC中，已知acos A=bcos B，则△ABC的形状为____________. 3.(2010·江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为____________. 4.(2010·浙江绍兴模拟)△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=__________.25b，A=2B，则cos B=________. 26.(2010·南通模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.7.(2009·福建泉州二模)如图所示，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C处和D处，已知CD=6 000 m，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°，∠BDC=15°，则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号).8.(2009·江西宜泰模拟)线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小. 9.(2009·广东改编)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a=c=6+2，且∠A=75°，则b=________.10.(2009·安徽)在△ABC中，C-A=sin B=23(1)求sin A的值;(2)设AC=6，求△ABC的面积.11.(2009·山东泰安第二次月考)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处3-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间.5.(2008·四川，7)△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=三角函数的综合应用1.(2009·济宁期末)已知a=(cos 2α，sin α)，b=(1,2sin α-1)，α∈π)，若a·b=，则25πtan(α+的值为________.2.(2008·江苏)若AB=2，AC2BC，则S△ABC的最大值是________.3.(2009·肇庆期末)定义运算a*b=a2-ab-b2，则sin=________.4.(2009·广州第二次联考)已知a，b，x，y∈R，a2+b2=4，ax+by=6，则x2+y2的最小值为________.5.(2010·宿州模拟)若函数f(x)=sin(x+α)-2cos(x-α)是偶函数，则cos2α=________.6.(2010·泰州调研)函数f(x)=(sin2x+(cos2x+)的最小值是________. 2 009sinx2 009cosx7.(2009·福建文)已知锐角△ABC的面积为33，BC=4，CA=3，则角C的大小为________.8.(2010·苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形2π波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y1=sin t和y2=sin(t+来描3述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式______________. 9.(2010·南通模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____________.经典数学题【例二】知识考点：本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sina、cosa、tana、cota准确表示出直角三角形中两边的比(a为锐角)，考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。
高二数学选择题（50题含答案）
1、若a<1,那么那么 （ ）（A ）a1>1, (B)|a|<1, (C)a 2<1, (D)a 3<1 2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b的最小值为（的最小值为（） （A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x ≥0, (D)(x-3)(2-x)>0 4、直线3x+2y+6=0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则，则 （ ）(A)k=－23,b=3 (B)k=,b=3 (B)k=－－32,b=-2 (C)k=(C)k=－－23,b=-3 (D) k=,b=-3 (D) k=－－32,b=-3 5、如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么a 等于等于 （ ） （A ）－）－33， （B ）－）－66， （C ）－23， （D ）32 6、已知L 1:x :x––3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, :x+2y+4=0, 下列说法正确的是下列说法正确的是下列说法正确的是 （（ ）） （A ）L 1到L 2的角为p 43， （（B ）L 1到L 2的角为4p（C ）L 2到L 1的角为43p ， （（D ）L 1到L 2的夹角为p 43 7、和直线3x 3x––4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是轴对称的直线方程是 （（ ））（A ）3x+4y 3x+4y––5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y (C)-3x+4y––5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x2截得线段的中点到原点的距离是（ ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）229 9、直线y=x –1上的点到圆x 2+y 2+4x –2y+4=0上的点的最近距离是上的点的最近距离是 （ ） （A ）22 （B ）2－１－１ （C ）22－１－１ （D ）1 10、椭圆252x +92y =1上一点p 到一个焦点的距离为5，则p 到另一个焦点的距离为（到另一个焦点的距离为（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）4 （D ）10 11、双曲线：、双曲线：的准线方程是191622=-x y （ ）（Ａ）y=±716 (B)x= (B)x=±±516 (C)X= (C)X=±±716(D)Y= (D)Y=±±516 1212、抛物线：、抛物线：、抛物线：y=4ax y=4ax 2的焦点坐标为的焦点坐标为 （ ） （A ）（a41，0） （（B ）（0, a161） (C)(0, -a161) (D) (a161,0)13、下列命题中为真命题的是（下列命题中为真命题的是（ ）A ．若11x y=，则x y =. B ．若21x =，则1x =.C ．若x y =，则x y =. D ．若x y <，则22x y <. 14、已知00<<<<d c b a ，，那么下列判断中正确的是（，那么下列判断中正确的是（ ）A ．ac b d -<- B ．a c b d >C ． a d bc< D ．a d b c > 15、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +³ìï-³-íï-£î.则目标函数z=2x+3y 的最小值为的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 16、 在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知A =3p, 3=a , 1=b ，则=c ( ) A ．1 B ．2 C ．3－1 D ．317、已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（的取值范围是（ ） A ．11k -<< B ．0k > C ．0k ³ D ．11k k ><-或18、一元二次方程2210(0),ax x a ++=¹有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a >19、若双曲线122=-y x 的右支上一点P （a ,b ,b）到直线）到直线x y =的距离为a 则,2+b 的值（的值（ ））A ．21-B ．21 C ．－．－2 2 D ．220、如图F 1，F 2分别是椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB D 是等边三角形，则椭圆的离心率为：是等边三角形，则椭圆的离心率为：A ．32 B ．12 C ．22D ．31-2121、数列、数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n = A ．13 B ．10 C ．9 D ．6 22、在ABC D 中，若cos a B c =，则ABC D 的形状一定是（的形状一定是（ ）A ．锐角三角形．锐角三角形B B B．钝角三角形．钝角三角形．钝角三角形C C C．直角三角形．直角三角形．直角三角形D D D．等腰三角形．等腰三角形．等腰三角形2323、已知数列、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n A ．有最大值63 B ．有最小值63 C ．有最大值32 D ．有最小值32 24、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=×AB OQ ，则P 点的轨迹方程是（点的轨迹方程是（ ）A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y xC. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x25．在回归直线方程表示回归系数中b bx a y,ˆ+= （ ）A ．当0x =时，y 的平均值的平均值B ．当x 变动一个单位时，y 的实际变动量的实际变动量C ．当y 变动一个单位时，x 的平均变动量D ．当x 变动一个单位时，y 的平均变动量的平均变动量26．下面几种推理是类比推理的是下面几种推理是类比推理的是 （ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A Ð和B Ð是两条平行直线的同旁内角，则是两条平行直线的同旁内角，则 180=Ð+ÐB AB ．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质C ．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员位团员 D ．一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除整除27．若,1a >则1a 1a -+的最小值是的最小值是（ ）A ．2 B ．aC ．3 D ．1a a2- 28．在对分类变量X, Y 进行独立性检验时,算得k 2=7有以下四种判断有以下四种判断(1) 有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(2)有99﹪的把握认为X 与Y 无关;(3)在假设H 0:X 与Y 无关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(4)在假设H 1: : X X 与Y 有关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 无关.以上4个判断正确的是正确的是（ ） A ． (1)、(2) B ． (1)、(3) C ． (2)、(4) D ． (3)、(4) A B C D I H G F E 4 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 4 1 1 3 5 29．不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是的解集是（ ）A ．{}10<£x xB ．{}1,0-¹<x x xC ．{}11<<-x xD ．{}1,1-¹<x x x 30．已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值的值（ ）A ．大于零．大于零B ．小于零．小于零C ．不大于零．不大于零D ．不小于零．不小于零31．把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是 （ ） A ．3aB ．4aC ．5aD ．6a32．的最小值求且已知y x x a R b a y x +=+Î+1,y b ,,,, （ ）A ．b a +B ．ba 11+C ．b a +D ． 2)(b a +33．如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…) 则在第n 个图形中共有（个图形中共有（ ）个顶点. （ ）A ．(n+1)(n+2) B ． (n+2)(n+3) C ．2nD ．n 34．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ） A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和 D ．相关指数R2 35．设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=.记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =， 则2006(2006)f =（ ）A ．20 B ．4 C ．42 D ．145 36．某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算之间拟建立信息联网工程，实际测算 的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不请观察图形，可以不建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通 （直接或中转），则最少的建网费用（万元）是（，则最少的建网费用（万元）是（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 37．化简°-160sin 1的结果是的结果是 （ ） A ．°80cos B ．°-160cosC ．°-°80sin 80cosD ．°-°80cos 80sin38．下列命题：①00a = ；②()()a b c a b c =；③若,a b 共线同向，则a b a b = ；④0,0a b ¹¹ ，则0a b ¹ ；⑤a b a b = ；⑥若,a b 均为单位向量，则22a b = ，正确的个数是（，正确的个数是（ ）A ．③⑥．③⑥B ．③⑤．③⑤C ．②③④．②③④D ．①②⑤⑥．①②⑤⑥ 39．已知在ABC D 中，cos cos c Cb B=，则此三角形为( ) A ．直角三角形．直角三角形B ．等腰直角三角形．等腰直角三角形C ．等腰三角形．等腰三角形D ．等腰或直角三角形．等腰或直角三角形40．已知向量()()()2,0,2,2,2cos ,2sin OB OC CA a a ===，则OA 与OB 夹角的范围是( ) A ．0,4p éùêúëû B ．5,412p p éùêúëû C ．5,1212p p éùêúëûD ．5,122p p éùêúëû 41．函数()lg(1)f x x =+的定义域是（的定义域是（ ）A ．(,1)-¥-B ．(--1]¥，C ．(1)-+¥，D ．[1,)-+¥ 42. 点A （1，2，3）关于xOy 平面对称的点B 坐标是（坐标是（ ）A ．（-1，2，3）B ．（1，-2，3）C ．（1，2，-3）D ．（-1，-2，3）43. 设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833Î=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定．不能确定 44．利用斜二测画法得到的．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形④菱形的直观图是菱形 以上结论，正确的是（以上结论，正确的是（ ）A ．①②．①② B. ① C ．③④．③④ D. ①②③④①②③④45．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A ．()f x +|()|g x 偶函数偶函数B ．()f x -|()|g x 是奇函数是奇函数C ．|()f x | +()g x 是偶函数是偶函数D ． |()f x |- ()g x 是奇函数是奇函数 46．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．12πC ．24πD ．48π 47．在下列命题中, 错误的是（错误的是（ ）A ．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合B ．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行C ．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直．如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行48. 直线l 经过抛物线2-31y x x =+与y 轴的交点，且与直线20x y +=平行，则直线l 的方程是（的方程是（ ）A ．2-20x y +=B ．2-20x y -=C ．+220x y +=D ．+220x y -= 49．在30°的二面角l a b --中，P ∈a ，PQ ⊥b ， 垂足为Q ，PQ =2，则点Q 到平面a 的 距离QH 为（为（ ） A ．3 B ．32C ．1 D ．332 50. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (2m )与时间t (月)的关系: ty a =,有以下叙述：有以下叙述：① 这个指数函数的底数是2；② 第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ； ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 恰好经过1.5个月；个月； ④ 浮萍每个月增加的面积都相等；其中正确的是浮萍每个月增加的面积都相等；其中正确的是 ( ) A ．①②．①② B . ①②③①②③ C . ②③④②③④ D . ①②③④①②③④DBBCB ABDCA DBABB BACBD DCBAD BCBDA DDDBD BDACC CCBAA BCDAA 2 1 t /月2 1 y /m 8 0 4 3 。
高二数学例题大全
1、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3, -2)，若将点A向上平移4个单位，再向左平移2个单位，得到点B，则点B的坐标为：A. (1, 2) （答案）B. (5, -6)C. (1, -6)D. (5, 2)2、已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A与B的交集为：A. {1, 4}B. {2, 3} （答案）C. {1, 2, 3, 4}D. 空集3、若直线l经过点(2, -1)且斜率为-2，则直线l的方程为：A. y = -2x + 3B. y = -2x - 5 （答案）C. y = 2x - 5D. y = 2x + 34、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 9，则a3 =：A. 4B. 5 （答案）C. 6D. 75、在三角形ABC中，若角A = 60°，b = 4，c = 2√3，则三角形ABC的面积为：A. 6√3B. 6C. 3√3D. 12 （答案）6、已知圆C的方程为(x - 1)2 + (y - 2)2 = 4，则圆心C的坐标和半径r分别为：A. (1, 2)，4B. (1, 2)，2 （答案）C. (-1, -2)，4D. (-1, -2)，27、设随机变量X服从二项分布B(3, 0.5)，则P(X = 2)等于：A. 1/8B. 3/8 （答案）C. 5/8D. 7/88、在复平面内，复数z = 1 + i对应的点位于：A. 第一象限（答案）B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限9、若直线x + y + k = 0与圆x2 + y2 = 4相交于M，N两点，且|MN| = 2√2，则k的值为：A. ±√2B. ±2 （答案）C. ±√3D. ±310、已知向量a = (1, 2)，b = (2, -1)，则向量a与b的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°（答案）D. 90°。
高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)-
FAEOB DM(第2题图)A 1B 1C 1DA BCDE高二文科数学《立体几何》大题训练试题1．(本小题满分14分)如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 22AD DE AB ===，F 为CD 的中点．（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE 。
2．(本小题满分14分)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.(1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；(3)求三棱锥F －CBE 的体积.3.（本小题满分14分）如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=o ，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：//AC 平面BEF ；（Ⅱ）求四面体BDEF 的体积.4．如图,长方体1111D C B A ABCD -中，11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.(Ⅰ)求证：直线//1BB 平面DE D 1；(Ⅱ)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1；(Ⅲ)求三棱锥DE A A 1-的体积.5．（本题满分14分）如图，己知BCD ∆中，090BCD ∠=，1,BC CD AB BCD ==⊥平面，060,,AC,AD ADB E F ∠=分别是上的动点，且AE AF==,(0<<1)AC ADλλ （1）求证：不论λ为何值，总有EF ABC;⊥平面（2）若1=,2λ求三棱锥A-BEF 的体积．6.(本小题满分13分)如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点， D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． (1)求证：DM ∥平面APC ；AB C DFEB AEDCFABCD图2BCD 图1(2)求证： BC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．7、（本小题满分14分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,2,1AB AD CD ===.将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.(1) 求证:BC ⊥平面ACD ；(2) 求几何体D ABC -的体积.8、（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD - (图5) 的三视图如图6所示，PBC ∆为正三角形，PA 垂直底面ABCD ，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P ABCD -的体积；（3）求证：AC ⊥平面PAB ；参考答案1．(本小题满分14分) （1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =．∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ．又12AB DE =，∴GF AB =． …………3分∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．……………5分∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分（2）证明：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥…………9分∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ⊂平面，∴DE AF ⊥．……………10分又CD DE D ⋂=，∴AF ⊥平面CDE ．……………………………12分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ．…………………………………13分 ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分2．解：（1）Θ平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥,平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB ∴⊥平面ABEF ， ∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥，……… 2分又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF . ……… 4分B AEDC FG（2）设DF 的中点为N ，则MN//12CD ，又AO //12CD ， 则MN//AO ，四边形MNAO 为平行四边形，∴//OM AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，∴//OM 平面DAF . …… 8分（3）∵BC ⊥面BEF ，∴13F CBE C BEF BEF V V S BC --∆==⨯⨯，B 到EF 的距离等于O 到EF 的距离，过点O 作OGEF ⊥于G ，连结OE 、OF ， ∴OEF ∆为正三角形，∴OG 为正OEF ∆的高，∴OG==……… 11分∴13F CBEC BEF BEFV V S BC --∆==⨯⨯ ……12分1111113232EF OG BC =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=。