高中数学经典例题、错题详解

【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（）

M N

A M N

B

M N

C

M N

D

1 2 3

e

g

h

1

2

3

e

g

h

1

2

3

e

g

h

1

2

3

e

g

h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合

A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。

函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：

函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。

映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。

映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射

方向性

上题答案应选C

【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。

本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素

【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1

【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（）

高中数学经典例题、错题详解

【分析】如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则集合A 到集合B 的映射共有n m 个；集合B 到集合A 的映射共有m n 个，所以答案为23=9；32=8【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x ﹥0时，f(x)=x-1,则当x ﹤0时，有（）A 、f(x)﹥0B 、f(x)﹤0C 、f(x)·f(-x)≤0D 、f(x)-f(-x)﹥0奇函数性质：1、图象关于原点对称；2、满足f(-x)=-f(x)；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）偶函数性质：

1、图象关于y 轴对称；

2、满足f(-x)=f(x)；

3、关于原点对称的区间上单调性相反；

4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；

5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）基本性质：

唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x ，f(x)=0)。通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x +x 2。两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。两个偶函数的乘积为一个偶函数。两个奇函数的乘积为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。两个偶函数的商为一个偶函数。两个奇函数的商为一个偶函数。

一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。一个偶函数的导数为一个奇函数。一个奇函数的导数为一个偶函数。

两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数

【分析】f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)，

当X ﹤0时，f(x)=-f(-x)=-[-(-x)–1]=-x+1>0,所以A 正确，B 错误；f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C 错误；f(x)-f(-x)=（x-1）-（-x+1）﹤0,故D 错误

【例5】已知函数f(x)是偶函数，且x ≤0时，f(x)=

x

x

-+11，求：（1）f(5)的值；（2）f(x)=0时x 的值；（3）当x ＞0时，f(x)的解析式【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题，函数的性质及应用【分析及解答】

（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)=f(-x)，可得f(5)=f(-5)=

）（）（5--15-1+=—

3

2

（2）当x ≤0时，f(x)=0可求x ，然后结合f(x)=f(-x)，即可求解满足条件的x ，即当x ≤0时，

x

x

-+11=0可得x=—1；又f(1)=f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1

（3）当x ＞0时，根据偶函数性质f(x)=f(-x)=

)(1)(1x x ---+=

x

x

+-11【例6】若f(x)=e x +ae -x 为偶函数，则f(x-1)＜e

e 1

2+的解集为（

）

A.（2，+∞）

B.（0,2）

C.（-∞，2）

D.（-∞，0）∪（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析及解答】

根据函数奇偶性的性质先求出a 值，结合函数单调性的性质求解即可∵f(x)=e x +ae -x 为偶函数，∴f(-x)=e -x +ae x =f(x)=e x +ae -x ，∴a=1，∴f(x)=e x +e -x 在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，

则由f(x-1)＜e e 12+=e+e

1

，∴-1＜x-1＜1，求得0＜x ＜2故B 正确

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a 值是解题关键

【例7】函数f(x)=

2

1x

b ax ++是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(21

)=52，（1）确定函数f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+f(x)＜0

【考点】函数奇偶性与单调性的综合【专题】函数的性质及应用【分析及解答】

（1）因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，

由f(2

1)=52，所以2)

2

1(121+a

=52，得出a=1，所以f(x)=2

1x x +（2）根据函数单调性的定义即可证明

任取-1＜x 1＜x 2＜1，f(x 1)—f(x 2)=

2

1

11x x +—

2

2

21x x +=

)

1)(1()1)((2

22

12121x x x x x x ++--因为-1＜x 1＜x 2＜1，所以x 1-x 2＜0，1—x 1x 2＞0，所以f(x 1)—f(x 2)＜0，得出f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)在(-1,1)上为增函数

（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”，再考虑到定义域可得一

不等式组，解出即可：f(2x-1)+f(x)=＜0，f(2x-1)＜—f(x)，由于f(x)为奇函数，

所以f(2x-1)＜f(—x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1＜—x ○

1，因为-1＜2x-1＜1○

2，-1＜x ＜1○3，联立○1○2○3得0＜x ＜3

1

，所以解不等式f(2x-1)+f(x)＜0的解集为（0，

3

1

）【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。【例8】

定义在R 上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，又f(-3)=0，则不等式