高中数学典型例题分析
高中数学典型例题解析(第七章平面解析几何
[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为正解：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,∴所求直线为综上，满足条件的直线为：[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.错解：曲线C：可化为①，联立，得：，由Δ＝0,得.错因：方程①与原方程并不等价，应加上.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：∴，又∵∴正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使| | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.设P ( x, y ), C ( ) , 则 D (),由A、C、P三点共线得①由D、B、P三点共线得②①×②得③又, ∴，代入③得，即点P在双曲线上，故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使| | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为=1.，③设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得或(1)或(2)或=1 ，或 =1.[例6]已知椭圆C1：＝1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。
高三数学 函数的单调性和最值典型例题解析之一
高三数学函数的单调性和最值典型例题解析1．由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得()f x 的最小值，解不等式112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得所求范围. 【详解】（1）由2040x a a x ->⎧⎨->⎩可得24a x a <<，则()f x 的定义域为()2,4a a ，()log (2)log (4)log (2)(4)a a a f x x a a x x a a x =-+-=--22log (3)a x a a ⎡⎤=--+⎣⎦，当1a >时，()f x 的增区间为()2,3a a ，减区间为()3,4a a .证明：设()22()3g x x a a =--+，()g x 的增区间为(),3a -∞，减区间为()3,a +∞，当1a >时，设1223a x x a <<<，可得()()12g x g x <，()()12log log []a a g x g x <⎡⎤⎣⎦，即()()12f x f x <，可得()f x 在()2,3a a 递增；设1234a x x a <<<，可得()()12g x g x >，()()12log log []a a g x g x >⎡⎤⎣⎦， 即()()12f x f x >，可得()f x 在()3,4a a 递减.（2）由01a <<，()2223x a a a --+≤，可得2()log 2a f x a ≥=，所以112log 48a a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，即为211048a a --≤，解得102a <≤，即a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.2. 已知定义域为R 的函数12()12xxf x -=+. （1）试判断函数12()12xxf x -=+在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）若对于任意t ∈R ，不等式22(2)()0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 在R 上单调递减，证明见解析；（2）1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【详解】（1）函数12()12xx f x -=+在R 上单调递减.证明如下：任取12,x x ∈R ，且12x x <，122112*********(22)()()1212(12)(12)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++，因为12x x <，所以1222x x <，1120x +>，2120x +>，即12()()f x f x >，故函数12()12xxf x -=+在R 上单调递减. （2）因为1221()()1221x x x x f x f x -----===-++，故12()12xxf x -=+为奇函数，所以222(2)()()f t t f t k f k t -<--=-， 由（1）知，函数()f x 在R 上单调递减，故222t t k t ->-，即2220t t k -->对于任意t ∈R 恒成立，所以222k t t <-，令()222g t t t =-，则()min k g t <，因为()22111222222g t t t t ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，所以()min 12g t =-，所以12k <-，即实数k 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.3.下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是（） A ．22y x =-B ．2y x=C ．1||||y x x =+D ．2||x y x =【答案】AD 【详解】A ，因为()()()2222f x x x f x -=--=-=，22y x =-是偶函数，在区间(0,1)上为增函数，符合题意；B ，因为()()22x x f x f x =--=--=，2y x=是奇函数，且在区间(0,1)上为减函数，不符合题意； C ，因为()()11||||||||f x x x f x x x -=-+=+=-，1||(0)||y x x x =+≠是偶函数，当(0,1)x ∈时，1y x x=+单调递减，不符合题意；D ，因为()()22||||x x f x f x x x -===-，2(0)||x y x x =≠是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数，符合题意. 故选：AD4.定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >. 【解析】试题解析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）第一步，由()()0f m f n m n+>+得出031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ：∵11()023+-≠，031213121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， ∵03121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ， 第二步，由奇偶性得出结论： ∵11()()23f f >--∵11()()23f f >. （2）第一步，取值、作差： 任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.第二步，判断符号：∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∵21()()0f x f x ->，第三步，下结论：∵函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数. （3）4a >.考点：函数奇偶性与单调性的综合问题. 5.已知函数()21xf x x =+. （1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断当()1,1x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）若()f x 定义域为()1,1-，解不等式()()210f x f x -+<. 【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）1{|0}3x x <<【解析】试题解析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x ，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。
高中数学最小二乘估计-典型例题解析
最小二乘估计-典型例题解析规律发现 【例1】有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：（1）画出散点图；（2）你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？ （3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数. 解：（1）散点图如图1－9－8所示.图1－9－8（2）从图1－9－8中看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式①求出回归方程的系数.利用计算器容易求得回归方程为yˆ=－2.352x +147.767. （4）当x =2时，y ˆ=143.063.因此，某天的气温为2℃时，这天大约可以卖出143杯热饮.【例2】一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组数据.（1）画出散点图；（2）求月成本y 与月产量x 之间的回归直线方程. 解：利用计算器计算得x =125.18=1.5417，y =2.8225，2121i i x =∑=29.808，2121i i y =∑=97.7681，i i i y x 121=∑ =53.86.利用公式求得b ≈1.2770，a =y －b x ≈0.8537. 因此所求回归直线方程为y =1.2770x +0.8537.首先根据数据作出散点图，判断它们是否有线性关系.从图中可看出这些点都在一条直线周围，具有线性关系.本题充分体现了最小二乘估计的应用.从散点图能看出它们有较好的线性关系.从图中我们看出321月产量/万件图1－9－9 该月产量与总成本符合方程y=1.2770x+0.8537，很好地反映了它们之间的关系，我们可以根据要达到的产量来确定需要的总成本.。
高中数学排列组合中的典型例题与分析(一)
列与组合的八大典型错误、24 种解题技巧三大模型一、知识点归纳二、基本题型讲解三、排列组合解题备忘录1.分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的 8 大典型错误1．没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6.未考虑特殊情况出错7．题意的理解偏差出错8. 解题策略的选择不当出错五、排列组合 24 种解题技巧1.排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2.分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3.排列组合中的解题技巧至多至少间接法染色问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染色问题n n n A n n n n n n n n n n m 分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，。
一．知识点归纳1. 排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一．定．的．顺．序．排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一．个．排．列．2. 排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号 A m表示3．排列数公式： A m= n (n -1)(n - 2) (n - m +1) （ m , n ∈ N *, m ≤ n ） 4 阶乘： n !表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘规定0! = 1．5．排列数的另一个计算公式： A m=n !(n - m )!6 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合7. 组合数的概念：从n 个不同元素中取出 m(m ≤ n ) 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用符号C m 表示．．．．nA m8. 组合数公式： C m = n = n (n -1)(n - 2) (n - m +1) nmm !或C m= n !m !(n - m )!(n , m ∈ N * ,且m ≤ n )9 组合数的性质 1： C m = C n -m ．规定： C 0 = 1 ；n10. 组合数的性质 2： C m nn＝ C m + C m -1 n +1 n nC 0 + C 2 + C 4 + = C 1 + C 3 + C 5 + = 2n -1 ; C 0 + C 1 + C n = 2n11. “16 字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：12. “２4 个技巧”是迅速解决排列组合的捷径二．基本题型讲解例 1 分别求出符合下列要求的不同排法的种数,（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；（2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3） 从 6 名运动员中选出 4 人参加 4×100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻； （5）6 人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻） .6 45 46 97 97 3 97 3 解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为 A 6 = 720（2） 甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有 A 1 种选法，然后其他 5 人选，有A 5 种选法，故排法种数为 A 1 A 5 = 48054 5（3） 有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为 A 3 ；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有 A 1 种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外， 也有 A 1 种选法，其余两棒次不受限制，故有 A 1 A 1 A 2种排法， 4 4 4 2由分类计数原理，共有 A 3 + A 1 A 1 A 2 = 252 种排法54 4 4（4） 将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他 4 人一起作全排列共有 A 2 A 5 = 240 种排2 5法（5） 甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余 4 人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的 4 人的左、右及之间的空挡插位，共有 A 4 A 2 （或用 6 人的排列数减去问题（2）后排列4 5数为 A 6 - 240 = 480 ）（6） 三人的顺序定，实质是从 6 个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余 3 人在 3 个位置上全排列，故有排法C 3 A 3 = 120 种6 3点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻 例 2 假设在 100 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求下列抽取方法各多少种？（1） 没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 5 件的抽法，共有C 5= 64446024 种（2） 恰有 2 件是次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽 2 件的抽法，共有C 3 C 2 = 442320 种97 3（3） 至少有 2 件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽取 2 件，有C 3 C 2种第二类从 97 件正品中抽取 2 件，并将 3 件次品全部抽取，有C 2 C 3种按分类计数原理有C 3 C 2 + C 2 C 3 = 446976 种97 397 3点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的左= +n -1 n -1 n -1 m + 1)!(n - m - 1)(m - 1) (n - m + 1)! m (n - m )!m + 1)!(n - m + 1)!(m + 1)!(n - m + 1)! n +2 = 元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从 3 件次品抽取 2 件（以保证至少有 2 件是 次品），再从余下的 98 件产品中任意抽取 3 件的抽法，那么所得结果是C 2C 3 = 466288 种，398其结论是错误的，错在“重复”：假设 3 件次品是 A 、B 、C ，第一步先抽 A 、B 第二步再抽 C 和其余 2 件正品，与第一步先抽 A 、C （或 B 、C ），第二步再抽 B （或 A ）和其余 2 件正 品是同一种抽法，但在算式C 2C 3 中算作 3 种不同抽法398例 3 求证：① A m + mA m -1 = A m ；② C m +1 + C m -1 + 2C m = C m +1 n -1 n -1 n n n nn +2证明：①利用排列数公式(n -1) ! (n - m -1) ! m ⋅ (n -1)!(n - m )! (n - m )(n -1) !+ m ⋅ (n -1)!n ! m=(n - m ) !=(n - m )!= A n = 右另一种证法：（利用排列的定义理解）从 n 个元素中取 m 个元素排列可以分成两类：①第一类不含某特殊元素 a 的排列有 A m第二类含元素 a 的排列则先从(n - 1)个元素中取出(m - 1) 个元素排列有 A m -1 种，然后将 a 插入，共有 m 个空档，故有 m ⋅ A m -1 种，因此 A m + m ⋅ A m -1 = A mn -1n -1n②利用组合数公式 n ! 左 (+n ! +2n !＝( n !⋅ [(n - m )(n - m + 1) + m (m + 1) + 2(m + 1)(n - m + 1)] m + 1)!(n - m + 1)!=( n !(n + 2)(n + 1) = (n + 2)! = C m +1 =右另法：利用公式C m = C m + C m -1 推得 nn -1n -1左= (Cm +1+ C m )+ (C m + C m -1 ) = C m +1 + C n= C m +1 = 右nnnnn +1n +1n +2点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质 例 4 已知 f 是集合 A = {a , b , c , d }到集合 B = {0,1,2}的映射（1） 不同的映射 f 有多少个？E G FDPN4 5 6 6 10 10 6 （2） 若要求 f(a ) + f (b ) + f (c ) + f (d ) = 4 则不同的映射 f 有多少个？分析：（1）确定一个映射 f ，需要确定 a , b , c , d 的像（2） a , b , c , d 的象元之和为 4，则加数可能出现多种情况，即 4 有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1）A 中每个元都可选 0,1,2 三者之一为像，由分步计数原理，共有3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 34个不同映射（2） 根据 a , b , c , d 对应的像为 2 的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为 2，其和又为 4，必然其像均为 1，这样的映射只有一个； 第二类：一个元素的像是 2，其余三个元素的像必为 0,1,1，这样的映射有C 1 P 1 = 12 个； 4 3第三类：二个元素的像是 2，另两个元素的像必为 0，这样的映射有C 2 = 6 个由分类计数原理共有 1+12+6=19（个）点评：问题（1）可套用投信模型：n 封不同的信投入 m 个不同的信箱，有 m n 种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏例 5 四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点（1） 设一个顶点为 A ，从其他 9 点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有多少种？（2） 在这 10 点中取 4 个不共面的点，不同的取法有多少种？解：（1）如图，含顶点 A 的四面体的三个面上，除点 A 外都有 5 个点，从中取出 3点必与点 A 共面，共有3C 3种取法A 含顶点 A 的棱有三条，每条棱上有 3 个点，它们与所对棱的中点共面，共有 3 种取法根据分类计数原理和点 A 共面三点取法共有3C 3+ 3 = 33 种5BMC（2）取出的 4 点不共面比取出的 4 点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取 4 点（ C 4种取法）减去 4 点共面的取法取出的 4 点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的 6 点取出 4 点共面，有 4C 4 种取法第二类：每条棱上的 3 个点与所对棱的中点共面，有 6 种取法 第三类：从 6 条棱的中点取 4 个点共面，有 3 种取法根据分类计数原理 4 点共面取法共有 4C 4+ 6 + 3 = 69故取 4 个点不共面的不同取法有C 4 - (4C 4+ 6 + 3)= 141（种）mP n ≠12 8 n m 点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共 线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等 三、排列组合解题备忘录 ：⑴ｍ个不同的元素必须相邻，有 P m 种“捆绑”方法 ⑵ｍ个不同元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置有 m 不同的“插入”方法⑶ｍ个相同的元素互不相邻，分别“插入”到ｎ个“间隙”中的ｍ个位置，有 C m 种不同的“插入”方法⑷若干个不同的元素“等分”为 ｍ个组,要将选取出每一个组的组合数的乘积除以m (去除重复数)四．排列组合问题中的数学思想方法（一）．分类讨论的思想：许多“数数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧面，把原问题变成几个小问题，分而 治之，各种击破。
高中数学涉及的统计学知识典型例题分析
高中数学涉及的统计学知识典型例题分析一、基础知识：（一）随机抽样：1、抽签法：把总体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n 次，就得到容量为n 的样本2、系统抽样：也称为等间隔抽样，大致分为以下几个步骤：（1）先将总体的N 个个体编号（2）确定分段间隔k ，设样本容量为n ，若N n 为整数，则N k n= （3）在第一段中用简单随机抽样确定第一个个体编号l ，则后面每段所确定的个体编号与前一段确定的个体编号差距为k ，例如：第2段所确定的个体编号为l k +，第m 段所确定的个体编号为()1l m k +−，直至完成样本注：（1）若N n不是整数，则先用简单随机抽样剔除若干个个体，使得剩下的个体数能被n 整除，再进行系统抽样。
例如501名学生所抽取的样本容量为10，则先随机抽去1个，剩下的500个个体参加系统抽样（2）利用系统抽样所抽出的个体编号排成等差数列，其公差为k3、分层抽样：也称为按比例抽样，是指在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本。
分层抽样后样本中各层的比例与总体中各个层次的比例相等，这条结论会经常用到（二）频率分布直方图：1、频数与频率（1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数据的个数.（2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比，即频率=频数/总数（3）各试验结果的频率之和等于12、频率分布直方图：若要统计每个小组数据在样本容量所占比例大小，则可通过频率分布表（表格形式）和频率分布直方图（图像形式）直观的列出（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差（2）组距：将一组数据平均分成若干组（通常5-12组），则组内数据的极差称为组距，所以有组距=极差/组数（3）统计每组的频数，计算出每组的频率，便可根据频率作出频率分布直方图（4）在频率分布直方图中：横轴按组距分段，纵轴为“频率/组距”（5）频率分布直方图的特点：②因为各试验结果的频率之和等于1，所以可得在频率分布直方图中，各个矩形的面积和为1 （三）茎叶图：通常可用于统计和比较两组数据，其中茎是指中间的一列数，通常体现数据中除了末位数前面的其他数位，叶通常代表每个数据的末位数。
高中数学不等式解法15种典型例题
c
= =
− + = − 1
1 = (− 1 )(−
− 1
1
),
,
a
∴ x2 + b x + a 0 ，即 x2 + (− 1 − 1 )x + (− 1 )(− 1 ) 0 ， 即 (x − 1 )(x − 1 ) 0 ． 又 0 ，∴ 1 1 ，
画数轴，找因式根，分区间，定符号． (x − 1)(x − 5) 符号 (x + 2)(x − 6)
解之，得原不等式的解集为{x −1 x 2或x 3}．
说明：此题易出现去分母得 x2 + 2x − 2 x(3 + 2x − x2 ) 的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解． 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
不等式解法 15 种典型例题
例 1 解不等式：（1） 2x3 − x2 −15x 0 ；（2） (x + 4)(x + 5)2 (2 − x)3 0 ．
分析：如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式 f (x) 0（或 f (x) 0 ）可用“穿根法”求解，
但要注意处理好有重根的情况． 解：（1）原不等式可化为
当 a 2 时，不等式组(1)无解，(2)的解是 x a ． 2
) 综上可知，当 0 a 2 时，原不等式的解集是 a + 1 −
2a ,+
；当 a
2
时，原不等式的解集是
a 2
,+
．
说明：本题分类讨论标准“ 0 a 2 ， a 2 ”是依据“已知 a 0 及(1)中‘ x a ， x 1 ’，(2)中‘ x a ， x 1 ’”
高中数学典型例题解析不等式5
高中数学典型例题分析 第五章 不等式§5.1不等式的解法一、知识导学1. 一元一次不等式ax>b(1)当a>0时，解为a b x >；(2)当a ＜0时，解为abx <；(3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ．2. 一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两实根，且12 类型 解集 ax 2+bx+c ＞0ax 2+bx+c≥0ax 2+bx+c ＜0ax 2+bx+c≤0Δ＞0{x ｜x ＜x 1或x ＞x 2} {x ｜x≤x 1或x≥x 2} {x ｜x 1＜x ＜x 2} ｛x ｜x 1≤x≤x 2｝ Δ＝0{x ｜x≠-ab 2，x ∈R }R Ф ｛x ｜x=-ab 2｝ Δ＜0RRΦΦ3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 4.分式不等式：先整理成)()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：)()(x g x f ＞0⇔f(x)·g(x)＞0 )()(x g x f ≥0⇔0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或⋅⎩⎨⎧≠=然后用“根轴法”或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类. 三、经典例题导讲[例1] 如果kx 2+2kx －(k+2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是＿＿＿. A. －1≤k ≤0 B. －1≤k<0 C. －1<k ≤0 D. －1<k<0错解：由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k 解得：－1<k<0错因：将kx 2+2kx －(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k ＝0的情况. 正解：当k ＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，∴ k ＝0符合题意. 当k ≠0时，由题意：⎩⎨⎧<+-⋅-<0)]2([4)2(02k k k k解得：－1<k<0∴ 01≤<-k ，故选C.[例2] 命题:1A x -＜3，命题:(2)()B x x a ++＜0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿A.(4,)+∞B.[)4,+∞C.(,4)-∞-D.(],4-∞- 错解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4， 又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a } ∴－a>4故选D.错因：忽略了a ＝－4时，{x|－2＜x ＜4}＝{x|－2＜x ＜－a }，此时A 是B 的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由｜x －1｜＜3得：－2＜x ＜4， 又由（x ＋2）(x ＋a)=0得x=－2或x ＝－a,A 是B 的充分不必要条件,∴{x|－2＜x ＜4}⊂{x|－2＜x ＜－a } ∴－a>4故选C.[例3]已知f(x) = a x + x b，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围.错解： 由条件得⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤+≤-622303ba b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32338-≤≤-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxax x f +=)(，其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解： 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f ,解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .337)3(316≤≤f[例4] 解不等式（x+2）2(x+3)(x －2)0≥ 错解： （x+2）20≥∴原不等式可化为：(x+3)(x －2)0≥∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥｝错因:忽视了“≥”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x －2)0= ①或（x+2）2(x+3)(x －2)0>②，解①得：x=－3或x ＝－2或x ＝2 解②得：x ＜ －3或x ＞2∴原不等式的解集为｛x| x ≤ －3或x 2≥或x 2-=｝[例5] 解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>- 解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>-讨论：当b a >时，ba b a ab x -+>)(当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈ 当b a <时，ba b a ab x -+<)(点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.[例6]关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<x x x 或 求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设知 0<a ，且21,2=-=x x 是方程02=++c bx ax 的两根 ∴25-=-a b ， 1=ac从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-acx a b x 即：01252<+-x x ∴221<<x 点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.[例7]（06年高考江苏卷）不等式3)61(log 2≤++xx 的解集为 解：∵3)61(log 2≤++x x ，∴0＜168x x ++≤，∴ 12160x x x x ⎧+≤⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<--=<0x 2232231,0或或x x x解得{}(322,322)1x ∈---+⋃反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练1.解不等式0322322<--+-x x x x 2. 解不等式 62323+>+x x x3.解不等式 0)2)(54(22<++--x x x x4. 解不等式 0)2)(1()1()2(32<-+-+x x x x 5.解不等式1116-<-x x 6.k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x kkx x 7. 解不等式0343>---x x8. 解不等式24622+<+-x x x§5.2简单的线性规划一、知识导学1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲[例1] ．画出不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩表示的平面区域.[例2] 已知1≤x －y ≤2,且2≤x+y ≤4,求4x －2y 的范围. 错解：由于 1≤x －y ≤2 ①,2≤x+y ≤4 ②,①+② 得3≤2x ≤6 ③①×(－1)+② 得：0≤2y ≤3 ④. ③×2+④×(－1)得. 3≤4x －2y ≤12错因：可行域范围扩大了. 正解：线性约束条件是：⎩⎨⎧≤+≤≤≤4y x 22y -x 1令z ＝4x －2y ，画出可行域如右图所示，由⎩⎨⎧=+=2y x 1y -x 得A 点坐标（1.5，0.5）此时z ＝4×1.5－2×0.5＝5.由⎩⎨⎧=+=4y x 2y -x 得B 点坐标（3，1）此时z ＝4×3－2×1＝10.∴ 5≤4x －2y ≤10[例3] 已知⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x ,求x 2+y 2的最值.错解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如右图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37，由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13，∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧=-=23y x 时x 2+y 2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A 、B 、C 到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 表示的平面区域如图所示∆ABC 的内部（包括边界），令z= x 2+y 2,则z 即为点（x ，y ）到原点的距离的平方.由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得A 点坐标（4，1），此时z ＝x 2+y 2＝42+12＝17， 由⎩⎨⎧≥++≤--010402357y x y x 得B 点坐标（－1，－6），此时z ＝x 2+y 2＝（－1）2+(－6)2＝37， 由⎩⎨⎧≥++≤-+01040117y x y x 得C 点坐标（－3，2），此时z ＝x 2+y 2＝（－3）2+22＝13， 而在原点处，⎩⎨⎧==00y x ，此时z ＝x 2+y 2＝02+02＝0，∴ 当⎩⎨⎧-=-=61y x 时x 2+y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧==00y x 时x 2+y 2取得最小值0.[例4]某家具厂有方木料90m 3，五合板600m 2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2m 2，生产每个书橱需要方木料0.2m 3，五合板1m 2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？ 分析： 数据分析列表设生产书桌x 张，书橱y 张，利润z 元，则约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤+N y N x 600y 2x 902.01.0y x目标函数z=80x+120y作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A （100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z max =80×100+400×120=56000(元)若只生产书桌，得0<x ≤300，即最多生产300张书桌，利润为z=80×300=24000（元）若只生产书橱，得0<y ≤450，即最多生产450张书橱，利润为z=120×450=54000（元） 答：略[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：2，今需要A 、B 、C 三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？解：设需要截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积为z m 2，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≥+≥+Ny x y x y x y x ,27315212目标函数z=x+2y作出可行域如图作一组平行直线x+2y=t ，由⎩⎨⎧=+=+27312y x y x可得交点⎪⎭⎫⎝⎛215,29，但点⎪⎭⎫⎝⎛215,29不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z 有最小值，且z min =4+2×8=20 或z min =6+2×7=20若只截第一种钢板，由上可知x ≥27，所用钢板面积最少为z=27(m 2);若只截第二种钢板，则y ≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m 2).它们都比z min 大，因此都不行. 答：略[例6]设610z x y =+，式中,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值和最小值.解：由引例可知：直线0l 与AC 所在直线平行，则由引例的解题过程知，当l 与AC 所在直线35250x y +-=重合时z 最大，此时满足条件的最优解有无数多个， 当l 经过点(1,1)B 时，对应z 最小，∴max 61050z x y =+=，min 6110116z =⨯+⨯=．说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.四、典型习题导练1．画出不等式－x +2y －4＜0表示的平面区域.2．画出不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≥-≥-+53006x y y x y x 表示的平面区域3.求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？5.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一x+2y=0张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？6．（06年高考广东）在约束条件0,0,,2 4.xyy x sy x≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s≤≤时，目标函数32z x y=+的最大值的变化范围是A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]§5.3 基本不等式的证明一、知识导学1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0⇔ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1⇔ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1⇔ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.二、疑难知识导析1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件.如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语.4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾.5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用. 三、经典例题导讲[例1] 已知a>b(ab 0≠),比较a 1与b 1的大小. 错解： a>b(ab 0≠)，∴a 1<b1.错因：简单的认为大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正确的结论是：当两数同号时，大数的倒数必定小，小数的倒数必定大.正解：aba b b a -=-11，又 a>b(ab 0≠)， (1)当a 、b 同号时，即a>b>0或b<a<0时，则ab>0,b －a<0, 0<-ab a b ,∴a 1<b1. (2)当a 、b 异号时，则a>0,b<0,a 1>0,b 1<0∴a 1>b1. [例2] 当a 、b 为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是（ ）A.2b a +B.abC.222b a + D.111)2(---+b a错解：所以选B.错因是由于在2b a +、ab 、222b a +中很容易确定ab 最小，所以易误选B.而事实上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正确的结论，就需要全面比较，不可遗漏111)2(---+b a 与前三者的大小比较. 正解：由均值不等式≥+2ba ab 及a 2+b 2≥2ab,可知选项A 、B 、C 中，ab 最小，而111)2(---+b a ＝ba ab +2，由当a ≠b 时，a+b>2ab ,两端同乘以ab ，可得（a+b ）·ab＞2ab,∴ba ab+2＜ab ，因此选D. [例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a)2+(b+ 1b)2的最小值.错解: (a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b+4≥2ab+ab 2+4≥4ab ab 1•+4=8,∴(a+a 1)2+(b+b1)2的最小值是8. 错因：上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1，显然，这两个条件是不能同时成立的.因此，8不是最小值.正解：原式= a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b )+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)2－ab 2]+4= (1－2ab)(1+221ba )+4，由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221b a ≥17，∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21时，等号成立)，∴(a + a 1)2 + (b + b1)2的最小值是252 .[例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小.解法一：[][])1(log )1(log )1(log )1(log |)1(log | |)1(log |22x x x x x x a a a a a a +---+-=+--xxx aa +--=11log )1(log 2∵0 < 1 - x 2< 1, 1110<+-<x x ∴011log )1(log 2>+--xx x a a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>- 解法二：2111111log 11log )1(log )1(log )1(log )1(log xxx x x x x x x x x a a -+=-=--=-=+-++++ )1(log 121x x --=+∵0 < 1 - x 2< 1, 1 + x > 1, ∴0)1(log 21>--+x x∴1)1(log 121>--+x x ∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-解法三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 - x < 1, 1 < 1 + x < 2,∴0)1(log ,0)1(log <+>-x x a a∴左 - 右 = )1(log )1(log )1(log 2x x x a a a -=++- ∵0 < 1 - x 2< 1, 且0 < a < 1 ∴0)1(log 2>-x a∴|)1(log | |)1(log |x x a a +>-[例5]已知x 2= a 2+ b 2，y 2= c 2+ d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd证：证法一（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )2即：(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2+ 2abcd展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd即：a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd证法二（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++≥bd ac bd ac db abcdc a +=+=++22222)(2证法三（三角代换法）∵x 2 = a 2 + b 2，∴不妨设a = x sin α, b = x cos αy 2 = c 2 + d 2 c = y sin β, d = y cos β∴ac + bd = xy sin αsin β + xy cos αcos β = xy cos(α - β)≤xy [例6] 已知x > 0，求证： 25111≥+++xx xx 证：构造函数)0(1)(>+=x x x x f 则21≥+xx ， 设2≤α<β由αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f 显然 ∵2≤α<β ∴α - β > 0, αβ - 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x )在),2[+∞上单调递增，∴左边25)2(=≥f 四、典型习题导练1.比较（a +3）(a －5)与（a +2）（a -4）的大小.2.已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：22311+≥+y x 4.若122≤+y x ，求证：2|2|22≤-+y xy x5.若x > 1，y > 1，求证：)1)(1(1--+≥y x xy6．证明：若a > 0，则212122-+≥-+a a aa §5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a 1，a 2∈R +，那么ab ba ≥+2. 2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数)])(()[(,,2bx d ax c x b a k y x bax y x b ax y --+=+=+=”为模型的新的形式. 三 经典例题导讲[例1]求y=4522++x x 的最小值.错解： y=414241445222222+⋅+≥+++=++x x x x x x ＝2∴ y 的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可. 正解：令t=42+x ,则t 2≥,于是y=)2(,1≤+t tt 由于当t 1≥时，y=tt 1+是递增的，故当t ＝2即x=0时，y 取最小值25.[例2]m 为何值时，方程x 2+(2m+1)x+m 2－3=0有两个正根. 错解：由根与系数的关系得3030122-<⇒⎩⎨⎧>-<+m m m ，因此当3-<m 时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-<-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<+≥--+=∆3m 321413030120)3(4)12(222或m m m m m m m ,3m 413-≤≤-⇒因此当3m 413-≤≤-时，原方程有两个正根. [例3]若正数x ，y 满足365y 6x =+，求xy 的最大值． 解：由于x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以xy y x x 3056256=⋅≥+ 当且仅当6x=5y 时，取“=”号． 因365y 6x =+，则23630≤xy ，即554≤xy ，所以xy 的最大值为554. [例4] 已知：长方体的全面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．分析：经过审题可以看出，长方体的全面积S 是定值．因此最大值一定要用S 来表示．首要问题是列出函数关系式．设长方体体积为y ，其长、宽、高分别为a ，b ，c ，则y=abc ．由于a+b+c 不是定值，所以肯定要对函数式进行变形．可以利用平均值定理先求出y 2的最大值，这样y 的最大值也就可以求出来了．解：设长方体的体积为y ，长、宽、高分别是为a ，b ，c ，则 y=abc ，2ab+2bc+2ac=S ． 而 y 2=（abc ）2=（ab ）（bc ）（ac ）当且仅当ab=bc=ac ，即a=b=c 时，上式取“=”号，y 2有最小值答：长方体的长、宽、高都等于66s 时体积的最大值为366s s . 说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面体P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱长的和为m ，求这个四面体体积的最大值．4. 设函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象与两直线y=x ，y=-x ，均不相 交，试证明对一切∈x R 都有||41||2a c bx ax >++. 5．青工小李需制作一批容积为V 的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6．轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里／时)的立方成正比．已知某轮船的最大船速是18海里／时，当速度是10海里／时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用(不论速度如何)都是每小时480元，如果甲、乙两地相距1000海里，求轮船从甲地行驶到乙地，所需的总费用与船速的函数关系，并问船速为多少时，总费用最低？5.5 推理与证明一、基础知识导学1. 推理一般包括合情推理和演绎推理.2. 合情推理：根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法.3.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.4.归纳推理的一般步骤：⑴通过观察个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.5.类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.6.类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵从一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.7.演绎推理：根据一般性的真命题导出特殊性命题为真的推理.8.直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；间接证明的一种基本方法──反证法.9.分析法：从原因推导到结果的思维方法.10.综合法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.11.反证法：判定非q为假，推出q为真的方法.12.应用反证法证明命题的一般步骤：⑴分清命题的条件和结论；⑵做出与命题结论相矛盾的假定；⑶由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；⑷间接证明命题为真.13.数学归纳法：设｛p n｝是一个与自然数相关的命题集合，如果⑴证明起始命题p1成立；⑵在假设p k成立的前提上，推出p k＋1也成立，那么可以断定，｛p n｝对一切正整数成立.14.数学归纳法的步骤：（1）证明当（如或2等）时，结论正确；（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．二、疑难知识导析1.归纳推理是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理.而类比推理是根据两类不同事物之间具有某些类似性，推出其中一类事物具有另一类事物类似的性质的推理.2. 应用反证法证明命题的逻辑依据：做出与命题结论相矛盾的假定，由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果3. 数学归纳法是一种证明方法，归纳推理是一种推理方法.三、经典例题导讲[例1] {n a}是正数组成的数列,其前n项和为n s,并且对于所有的自然数n,n a与2的等差中项等于n s与2的等比中项.(1)写出数列{n a}的前3项;(2)求数列{n a}的通项公式(写出推证过程);错解：由(1)猜想数列{n a}有通项公式n a=4n-2.下面用数学归纳法证明数列{n a}的通项公式是。
数形结合高中数学例题
例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？
分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数
y =2x 2－3x 。
和函数y =2k 的交点个数问题．
解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛
物线，随着k 的变化，易知2k ＝－8
9或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2
5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题．
例题3．已知s =
1
322+-t t ，则s 的最小值为 。
分析：等式右边形似点到直线距离公式．
解：|s |＝1
|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y
－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t
－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.
点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b
++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2
联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．。
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高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量§8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。
长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。
记作-a。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知a ，b 。
在平面内任取一点，作AB =a，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。
记作a +b 。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知a ，b 。
在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b的差。
记作a -b。
7.实数与向量的积：（1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，并规定：①λa 的长度|λa |=|λ|·|a|；②当λ＞0时，λa 的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa =0（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则①λ(μa )=(λμ) a②(λ+μ) a =λa +μa③λ(a +)=λa+λ8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。
另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //bx 1y 2－x 2y 1=09.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使21P P =λ21P P ，λ叫做分有向线段所成的比。
若点P 1、P 、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x,y)，(x 2,y 2)，则有特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 11.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·＝|a ||b|cos θ规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
(3)性质：设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e的夹角，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ ，a ⊥b ⇔a ·b＝0 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b| 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b|特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a a⋅cos θ＝ba ba⋅⋅ |a ·b |≤|a ||b |(4)运算律：a ·b ＝b ·a(交换律)(λa )·b ＝λ(b ·a )＝a·(λb )(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：设a=（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b =|a|·|b |cos90°=0a ⊥b⇔x 1x 2+y 1y 2=012.平移公式：设P （x ，y ）是图形F 上的任意一点，它在平移后图形F /上对应点为P /（x /，y /），且设/PP 的坐标为（h ，k ），则由/OP ＝＋/PP ，得：（x /，y /）＝（x ，y ）+（h ，k ）二、疑难知识导析1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。
因此，建议在记忆时对比记忆；4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲[例1] 和a = (3,－4)平行的单位向量是_________； 错解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量就是51a ，即 (35 ，－45 )错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量是±51a ，即(35 ，－45 )或(－35 ，45 )点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。
读者可以自己再求解“和a = (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A （2，1），B （3，2），C （-1，4），若A 、B 、C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标。
错解：设D 的坐标为（x ，y ），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。
故所求D 的坐标为（-2，3）。
错因：思维定势。
习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD 的顺序。
其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD 。
因此，还需要分类讨论。
正解：设D 的坐标为（x ，y ）当四边形为平行四边形ABCD 时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。
解得D 的坐标为（-2，3）；当四边形为平行四边形ADBC 时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。
解得D的坐标为（6，-1）；当四边形为平行四边形ABDC 时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。
解得D 的坐标为（0，5）。
故第四个顶点D 的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P 1(3,2)，P 2（8，3），若点P 在直线P 1P 2上，且满足|P 1P|=2|PP 2|，求点P 的坐标。
错解：由|P 1P|=2|PP 2|得，点P 分P 1P 2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P （38,319） 错因：对于|P 1P|=2|PP 2|这个等式，它所包含的不仅是点P 为 P 1，P 2 的内分点这一种情况，还有点P 是 P 1，P 2的外分点。
故须分情况讨论。
正解：当点P 为 P 1，P 2 的内分点时，P 分P 1P 2所成的比为2，此时解得P （38,319）； 当点P 为 P 1，P 2 的外分点时，P 分P 1P 2所成的比为-2，此时解得P （13，4）。
则所求点P 的坐标为（38,319）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。
也就是分类讨论的数学思想。
[例4] 设向量 ),(11y x a =，),(22y x b = ，0 ≠b ，则“b a //”是“1221y x y x =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．解：若b a //，∵0 ≠b ，则b r a=，代入坐标得：),(),(2211y x r y x =，即21rx x =且21ry y = ．消去r ，得1221y x y x =；反之，若1221y x y x =，则21rx x =且21ry y =，即),(),(2211y x r y x =则b r a=，∴b a //故“b a//”是“1221y x y x = ”的充要条件．答案：C点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．[例5]．已知a =（1，-1），b =（-1，3），c =（3，5），求实数x 、y ，使c =x a+y b ．分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可． 解：由题意有x a+y b =x （1，-1）+y （-1，3）=（x-y ，-x+3y ）．又c=（3，5）∴x -y=3且-x+3y=5解之得 x=7 且y=4点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法． [例6]已知A （-1，2），B （2，8），=31AB ，DA = -31BA ，求点C 、D 和向量的坐标．分析：待定系数法设定点C 、D 的坐标，再根据向量 ， 和 关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C 、D 的坐标为),(11y x 、),(22y x ，由题意得AC =（2,111-+y x ），=（3，6）， =（222,1y x ---），=（-3，-6）又=31AB ，DA = -31BA ∴（2,111-+y x ）=31（3，6）， （222,1y x ---）=-31（-3，-6）即 (2,111-+y x )=(1,2) ， (222,1y x ---)=(1,2) ∴111=+x 且221=-y ，112=--x 且222=-y ∴01=x 且41=y ，且22-=x 02=y∴点C 、D 和向量 的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4） 小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高． 四、典型习题导练1. ，则有（ ） A. B.C. D.2.（20XX 年高考浙江卷）设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c =(A)1 (B)2 (C)4 (D)53. 将函数y= 4x －8的图象L 按向量a 平移到L /，L /的函数表达式为y= 4x ，则向量a = 4. 从点沿向量→→→-=j i a 63方向取线段AB ，使5||=→AB ，则B 点坐标为 5. 、是单位向量，的夹角为，以、为邻边作平行四边形。
求平行四边形对角线的长。
6.（20XX 年高考辽宁卷）已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π§8.2平面向量与代数、几何的综合应用一、知识导学 1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即R CcB b A a 2sin sin sin === 二、疑难知识导析1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。