数值方法试卷及答案
数值分析模拟试卷1,2,3
数值分析模拟试卷1一、填空（共30分，每空3分） 1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________.2 设,2,1,0,,53)(2==+=k kh x xx f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________,],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则⎰=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f ,（1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1） 证明R x ∈∀0均有∙∞→=x x n x lim （∙x 为方程的根）；（2） 取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分） 设有常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分） 已知方程组b Ax ＝，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,13.021b A ， （1） 试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性. （2） 若有迭代公式)()()()1(b Axa xxk k k ++=+，试确定一个的取值范围，在这个范围内任取一个值均能使该迭代公式收敛. 七、（8分） 方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明.其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷2填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：⎰-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________. 8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈⎰是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
昆明理工大学—数值分析各年考试题及答案
昆明理工大学数值分析考试题（07）一．填空（每空3分，共30分）1． 设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则Ax 有 位有效数字。
2． 若74()631f x x x x =+++，则017[2,2,...2]f = ，018[2,2,...2]f = 。
3． A=1031⎡⎤⎢⎥-⎣⎦,则1A = ；A ∞= ；2A =2()cond A = 。
4． 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 。
5．设105%x =±，则求函数()f x =的相对误差限为 。
6．A=2101202a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,为使其可分解为TL L （L 为下三角阵，主对角线元素>0），a 的取值范围应为 。
7．用最小二乘法拟合三点A(0,1),B(1,3),C(2,2)的直线是 。
（注意：以上填空题答案标明题号答在答题纸上，答在试卷上的不给予评分。
）二．推导与计算（一）对下表构造f(x)的不超过3次的插值多项式，并建立插值误差公式。
（12分）（二）已知()x x =Φ和()x 'Φ满足∣()x 'Φ-3∣<1。
请利用()x Φ构造一个收敛的简单迭代函数()x ψ，使1(),0,1,......k k x x k +=ψ=收敛。
（8分）（三）利用复化梯形公式计算21x I e dx -=⎰，使其误差限为60.510-⨯，应将区间[0，1]等份。
（8分）（四）设A= 1001005a b b a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，detA ≠0，推导用a ，b 表示解方程组AX=f 的Seidel(G-S) 迭代法收敛的充分必要条件。
（10分）（五）确定节点及系数，建立如下 GAUSS 型求积公式111220()()dx A f x A f x ≈+⎰。
（10分）（六）对微分方程初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩（１） 用数值积分法推导如下数值算法：1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,)i i i f f x y =，(1,,1)i n n n =-+。
数值分析试题集
..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值， 判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。
二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。
12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。
x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。
2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。
a 1 2 时， A 可作 LU 分解。
3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。
(完整word版)数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案
[][][]0010012001,,()()n n f x x x x x x -+--参考答案一． 填空(每空3分，共30分)1. 截断误差2. )2(--x x ，2)1(-x x ， 10 3. 14.)(2)(21k k k k k k x f x x f x x x '---=+ 5. 6，5，26，9二． 计算1. 构造重节点的差商表：所以，要求的Newton 插值为：3()5(1)2(1)(2)(1)(2)(3)N x x x x x x x =--+--+---3243x x =-+插值余项是：2()()(1)(2)3!f R x x x ξ'''=--或：()[,1,2,3,4](1)(2)(3)(4)R x f x x x x x =----2.（1）解：()1f x =时，左10()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A += 2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右 所以，该求积公式的代数精度是2（2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=-所以，172k =-3.解：改进的Euler 公式是：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y ++++=+⎧⎪⎨=++⎪⎩具体到本题中，求解的公式是：11110.2(32) 1.40.60.1[3232](0)1n n n n n n n n n n n n y y x y y x y y x y x y y ++++=++=+⎧⎪=++++⎨⎪=⎩代入求解得：1 1.4y =,1 1.54y =222.276, 2.4832y y ==4．解：设3()25,f x x x =+-则2()32,f x x '=+ 牛顿迭代公式为：1()()k k k k f x x x f x +=-'322532k k k k x x x x +-=-+ 322532k k x x +=+将0 1.5x =代入上式，得1 1.34286x =，2 1.37012x =，3 1.32920x =,4 1.32827x =,5 1.32826x =4540.0000110x x --=<所以，方程的近似根5 1.32826x =5．解，Jacobi 迭代公式是：11231211131521333324k k k k k k k x x x x x x x ++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩Gauss-Seidel 迭代公式是：112311211131521333324k k k k k k k x x x x x x x +++++⎧=--⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩(2) 设其系数矩阵是A ，将A 分解为：A D L U =--，其中300020001D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，000021200,000100000L U --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭Jacobi 迭代矩阵是：11030211()0020********J B D L U -⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭21033100100--⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪- ⎪⎝⎭Gauss-Seidel 迭代矩阵是：11300021()220000101000J B D L U ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20002112300006206000--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭021********--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭二． 证明证明：00x >且11()2k k kax x x +=+0k x ⇒> 所以有：111()222k k k k ka a x x x a x x +=+≥=即：数列k x 有下界；2111()()22k k k k k k kx a x x x x x x +=+≤+=所以，迭代序列k x 是单调递减的，由单调递减且有下界的数列极限存在可知序列k x 极限存在。
研究生《数值分析》试卷(带答案)
2009级研究生《数值分析》试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈ 6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-= 0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f ,0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξff 三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度.解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++= 1)(=x f 时：1110==⎰dx I1]00[121]2[21=-+=n I x x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ.解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ 52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154153234520320320320221a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示. 解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H ,解得 5,3=-=b a 因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈110)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -=得得Gauss 点： ,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A 解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈ Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k k k k kk k k k x x x x x x x x x令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解. 解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛135152121137253125121211113112即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y 令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n nn n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
数值分析试卷及其答案7
1. 为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（5分） 解、解：设20有n 位有效数字，由Λ4.420=，知41=a令 %1.010811021)20()1()1(1*<⨯=⨯≤----n n r a ε,取 4=n ,%1.010125.0)20(3*<⨯≤-r ε 故 472.420≈2 设方程的迭代法为证明对,均有,其中为方程的根.（5分）证明：迭代函数，对有，3设{}{}100101121,,,span x span x xϕϕ==，分别在12ϕϕ、上求一元素，使其为2[0,1]x C∈的最佳平方逼近，并比较其结果。
（10分）**0111200010012111011220100***010*1***101221221(,)11,(,),211(,),(,),3211(,)1,(,),34111123()611161234a a xdx xdxx dxf x dx f x xdxa aax xaa afϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕδ=+========⋅==⋅=⎧+=⎧⎪=-⎪⎪⇒⇒⇒=-+⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩=-⎰⎰⎰⎰⎰*1(1)设因1*(,)0.00556k kka fϕ=≈∑5分（4分）由结果知（1）比（2）好。
（比较1分）4、用列主元素消元法求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11124112345111321xxx.（10）解：解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111124111123451111212345411121rr**100*1012011110021001010001100011110121021031101000**01**01(2)()11(,)(),(,)(,),201202111 (,)(),(,),(,).203103104 111201202103111202203104x b x b xx dx x x dxx dx f x dx f x dxb bb bϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+====⋅=======⎧+=⇒+=⎰⎰⎰⎰⎰设**1*10010121122*42220375.24253375.14825()375.24253375.14825.11(,)[375.24253375.14825]0.16406103104k kkbbx x xf b f x dxϕδϕ=⎪⎧≈⎪⇒⎨⎨≈-⎩⎪⎪⎩⇒=-=-=-⨯-⨯≈∑⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−→−↔⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−-5852510579515130123455795151305852510123455251321312r r r r r r⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−+13513505795151301234513123r r （8分）回代得 3,6,1123==-=x x x 。
华工计算机计算方法(数值分析)考试试卷
考完试了，顺便把记得地题目背下来，应该都齐全了.我印象中也就只有这些题，题目中地数字应该是对地，我也验证过，不过也不一定保证是对地，也有可能我也算错了.还有就是试卷上面地题目可能没有我说地这么短，但是我也不能全把文字背下来，大概意思就是这样吧.每个部分地题目地顺序可能不是这样，但总体就是这四大块.至于每道题目地分值，我记得地就写出来了，有些题目没注意.我题目后面写地结果都是我考试时算出来地，考完了也懒得验证了，可能不一定对，自己把握吧，仅供参考.华南理工大学计算机计算方法（数值分析）考试试卷一填空题（分）1.（分）* ，准确值，求绝对误差(*) ，相对误差(*) ，有效数位是.（分）当插值函数地越大时，会出现龙格现象，为解决这个问题，分段函数不一个不错地办法，请写出分段线性插值、分段三次插值和三次样条插值各自地特点.3.（分）已知和相近，将–变换成可以使其计算结果更准确.4.（分）已知–，求牛顿迭代法地迭代式子.解题思路：. 这里地绝对误差和相对误差是没有加绝对值地，而且要注意是用哪个数减去哪个数得到地值，正负号会不一样；. 可以从它们函数地连续性方面来说明；. 只要满足课本所说地那几个要求就可以；这个记得迭代公式就可以直接写，记不住可以自己推导，就是用泰勒展开式来近似求值得到地迭代公式.我最终地结果是：1.2.分段线性插值保证了插值函数地连续性，但是插值函数地一次导数不一定连续；分段三次既保证了插值函数地连续性，也保证了其一次导数地连续性；三次样条插值保证了插值函数及其一次导数和二次导数地连续性3.()4.– ( –)( )二计算题（分）已知() –，用对分法求其在[ , ]区间内地根，误差要满小于，需要对分多少次？请写出最后地根结果.解题思路：每次求区间地中值并计算其对应地函数值，然后再计算下一个区间中值及函数值，一直到两次区间中值地绝对值小于为止.我最终算得地对分次数是，根地结果为.2.根据以下数据回答相应问题：(1)请根据以上数据构造三次插值函数；(2)请列出差商表并写出三次插值函数.解题思路：() 直接按照书本地定义把公式列出来就可以了，这个要把公式记住了才行，不然也写不了；()差商表就是计算三次插值函数过程中计算到地中间值及结果值，可以先在草稿上按照公式地计算过程把公式写出来，然后把中间用到地值整理成一个表格，这个表格就是差商表了，最后再把公式和表格都写到试卷上就行了.当然也可以先把表格写出来，再用表格地数据写出公式都可以.因为我考试地时候也是先写表格，但是我感觉算地时候容易错，特别是除数地位置，很容易搞错相减地两个地值.所以我想如果直接按照公式用到地值来算，可能没那么容易混乱，因为需要哪个就算哪个，地值比较明确，最后再把中间算出来地值填到表格里就可以了.当然这要看个人喜好了.这里地结果有点长，不好写在这里，自己搞定吧，不难，只是直接套公式就可以了.3. 请用分解法求解以下方程组地解⎪⎩⎪⎨⎧3- = x3 - 9x2 + 6x17 = 3x3+ x2 - 4x11- = x3 - x2 + 2x1解题思路：这个直接套公式算就好了，只要数没有算错，基本都是对地.有时候要注意看是列主元还是直接法，我当时好像没注意，这里应该没有要求用列主元.我最终算得地结果是, , ，其中算出来地矩阵分别是： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-123121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--12531124. （分）已知下列矩阵方程，根据以下要求回答问题： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210131012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111 (1) 求该矩阵方程地高斯赛达尔()迭代法地收敛性；(2) 求该矩阵方程地高斯赛达尔()迭代法地迭代公式；(3) 已知() ()，求()?解题思路：() 这个证明可以有两种方法，第一种用课本地定义来算，就是将系数矩阵地下三角系数全都乘上一个λ值，然后计算行列式，把所有地λ求出来，只要所有地λ都小于，那么就收敛；第二种方法就是用课本地定理证明，如果系数矩阵是强对角占优地，那么简单迭代法（）和迭代法都收敛，这道题刚好满足条件；() 这个迭代公式只要把矩阵和矩阵求出来就可以写出迭代公式了；() 把()代入()中地迭代公式就可以求出来.我地最终结果是：我直接用强对角占优证明，只写了两句话，不知道老师是不是要求我们用算地...至于强对角占优地判定，书上有，大概意思就是每一行中在主对角线上地那个数地绝对值比旁边所有数地绝对值加起来都要大就是强对角占优了.弱对角就是可以等于.详细定义翻书吧.(2) 我算出来地和矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--02/1003/10，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--03/1002/10，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2/13/12/1迭代公式就是() () ()(3) () (, , )5. 已知以下方程，请利用最小二乘法求解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧0 = 7x2 + 2x1-13= 6x2 + 3x12 = 5x2 + x1-5 = 2x2+ x1解题思路：首先构造一个多变量拟合函数() ，可以把，看成是系数来求解，按照多变量拟合函数求解方法就可以得到结果.我最终算得地结果是：方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯+⨯⨯=⨯+⨯∑∑∑∑∑∑y t t t x t t x yt t t x t t x 22222111212111计算值并代入：⎩⎨⎧=+=+9821141422115x x x x计算地结果为：,请用复化梯形求积公式求出积分dx ⎰10x -e （注：里面地函数是）地近似值，要求误差限满足，请问需要将区间[]分成多少份？解题思路：首先是先把复化梯形求积公式地误差公式写出来，这个要记得，利用误差公式计算出满足精度要求地即可.我最终算得地结果是：误差公式为’’(ŋ)ŋŋ≤≤，≥√≈，也就是满足条件.三证明题（分）已知函数()，其在区间[]内地三个插值点为,（）. 请证明函数()在[]区间内满足下列关系： 6/)]()2/)((4)()[()(b f b a f a f a b dx x f b a +++-≈⎰解题思路：利用这三个插值点写出插值函数，原函数约等于插值函数，所以原函数地积分也约等于插值函数地积分，然后算出插值函数地积分结果就是证明地公式，其实这个就是课本地公式地证明.这个证明过程看课本吧.四程序题（分）前面有一段介绍列主元高斯消元法地步骤地说明（没背下来，都是文字，参考课本吧） 请按照列主元高斯消元法地思路将代码中地空格填写完整：1. 输入系数矩阵，右端项及ε；2. 选主元及消元：选主元： ≤≤若 <ε，则打印“求解失败”，停机；否则若≠，则交换地第行和行，交换行和行；消元：––3. 回代若≤ε，则打印“求解失败”，停机，否则(∑+=nijaijxj1)4.打印(…)解题思路：这个直接按照列主元高斯消去法地计算过程去写就好了.结果我写在代码里面了，是按照课本写地，我考试地时候写地应该也是这样.。
岩土工程数值分析试卷试题及参考(附答案)
岩土工程数值分析试题一、简答题（40分）1．简述梁单元、杆单元、连续梁单元、平面三角形常量单元和四边形等参单元的特点（10分）。
答：1）梁单元是由两个节点组成，每一个节点都具有三个方向的线性移动位移和三个方向的旋转位移，因而每个节点具有6个自由度，梁单元具有拉，压，剪，弯，扭的变形刚度。
计算理论成熟，建模方便,计算量小，在工程结构有限元分析中得到广泛的应用，适用于各种截面形式的杆件分析。
2）由有限个构件以一定方式连接起来所形成的结构，在同一平面内的杆系结构，其所受的外力作用线位于该平面内，在杆系中，每一个杆件可视为一个单元，每个单元的端点成为结点。
3）对于每跨各自等截面的连续梁，以每跨为一个单元。
结点编号和单元编号一般是从连续梁的左端顺序编到右端。
由于连续梁各单元的轴线方向一致，各单元坐标系与结构坐标系的方向相同，因此在矩阵位移法的计算过程中无须进行坐标变换，在单元坐标系和结构坐标系中单元刚度矩阵的表达式是相同的。
4) 平面三角形单元具有适应性强的优点，较容易进行网络划分和逼近边界形状，应用比较灵活。
其缺点是它的位移模式是线性函数，单元应力和应变都是常数，精度不够理想。
5) 四边形等参单元能更好地反映物体内的应力变化，适应曲线边界，常使用于弹性力学平平面问题的分析。
八结点单元一共有16个已知的结点位移分量。
2．除有限单元法外，岩土工程常用到哪些数值方法，并对比其优缺点(10分)。
答：岩土工程常用的数值方法包括：有限差分法、边界元法、离散元法、颗粒元法、不连续变形分析法、流形元法、模糊数学方法、概率论与可靠度分析方法、灰色系统理论、人工智能与专家系统、神经网络方法、时间序列分析法。
有限单元法的优缺点：有限单元法的理论基础是虚功原理和基于最小势能的变分原理，它将研究域离散化，对位移场和应力场的连续性进行物理近似。
有限单元法适用性广泛，从理论上讲对任何问题都适用，但计算速度相对较慢。
即，物理概念清晰、灵活、通用、计算速度叫慢。
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《数值计算与MATLAB 语言》2003-2004 第1学期试卷A(一页开卷考试)************************** 数值计算试题 *********************************** 1. 取y0=30, 按递推公式 11783100n n y y -=-去计算y 100, 若取78327.982≈(五位有效数字), 试问计算y 100将有多大的误差? [8分]2. 用对分区间法求解方程x 3-2x 2-1=0在2.2附近的实根，准确到三位有效数字。
[9分]3. 用LU 分解求下列方程组：[8分]123235111921263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭4. 对下述矩阵计算12,,∞⋅⋅⋅ : [4分×2]13(1)241012(2)01A B ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫=⎪⎝⎭5. 10.990.990.98A ⎛⎫=⎪⎝⎭，请计算它的条件数和特征值. [8分]6. 给定 x i = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l 2(x )的图像，并简要说明理由？[4分]7. 用拉格郎日插值找经过点(-3,-1),(0,0),(3,1),(6,2)的三次插值公式 [10分]8、用最小二乘原理求一个形如y =a+b x 2的经验公式,使与下列数据相拟合[10分] x 19 25 31 38 44 y1932.34973.397.89、已知数表 x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 f(x) 3.120144.425696.042418.0301410.46675计算积分2.61.8()f x dx ⎰（12分）（1） 用复化梯形公式； （2） 用复化辛甫生公式； （3） 用牛顿-柯特斯公式。
10、用欧拉法求解下列常微分方程（取h=0.2，在区间[0,0.6]上计算）（8分）⎩⎨⎧=--=1)0('2y xy y y***************************** MATLAB 语言试题 ***************************** 11. 传入一个方阵A ，编写一个自定义函数 “test1” 完成如下的功能： [8分]1） 把A 的主对角线元素写入文本文件 “abc.txt ” 中； 2） 把B 中的元素进行随机初始化（B 的行列数与A 相同）；3） 从文本 “abc.txt ” 中读取元素到矩阵C ，把C 中每个元素值均加100； 4） 分别计算：D=B*C ；E=B.*C ；5） 把矩阵D 和E 作为传出的参数传出。
12. 编写一个自定义函数求解任一函数的导数, 要求函数形式为 dy=ddf(x,e). [7分] 其中, e 为误差精度, dy 为x 对应的f(x)的导数值. f(x)为被求导的函数.《数值计算与MATLAB 语言》2003-2004 第1学期试卷A 参考答案(一页开卷考试)************************** 数值计算试题 *********************************** 1. 取y0=30, 按递推公式 11783100n n y y -=-去计算y 100, 若取78327.982≈(五位有效数字), 试问计算y 100将有多大的误差? [8分] 解:111011001[2](783)[2]100[2]0[2]100n n n e y y y n y y -∆==∆∆=∆+∆=∆∴∆=⇒∆=∆=分分分分2. 用对分区间法求解方程x 3-2x 2-1=0在2.2附近的实根，准确到三位有效数字。
[9分] 解：对方程左边的函数进行预处理知在 2.2附近取x1=2.1，x2=2.3，对应的y1=-0.559，y2=0.587，符合对分区间法的要求 [3分] 。
迭代过程如下：[4分]3(12)/2 2.23(3)0.0324(32)/2 2.254(4)0.26565(34)/2 2.2255(5)0.11396(35)/2 2.21256(6)0.04027(36)/2 2.206257(7)0.00398(37)/2 2.2031258(8)0.01x x x y f x x x x y f x x x x y f x x x x y f x x x x y f x x x x y f x =+===-=+====+====+====+====+===-41因此，准确到三位有效数字，得方程的根为x=2.203125。
[2分]3. 用LU 分解求下列方程组：[8分]123235111921263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：由LU 分解的元素计算公式，对系数矩阵进行分解得L 和U 矩阵如下：[4分]1002350.51000.5 6.50.511002L U ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由L Y=b 进行回代，得：Y=(1,1.5,4)T 。
[2分]代入方程组UX=Y 得：X=(49,-29,-2)T 。
[2分]4. 对下述矩阵计算12,,∞⋅⋅⋅ : [4分×2]13(1)241012(2)01A B ⎛⎫=⎪⎝⎭⎛⎫=⎪⎝⎭解：（1）6, 7, 5.465 （2）12, 23, 15.65255. 10.990.990.98A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，请计算它的条件数和特征值. [8分]解：考察 A 的特征根：12122det()01.9800505040.000050504()39206 >> 1I A cond A λλλλλ-=⇒==-=≈6. 给定 x i = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l 2(x )的图像，并简要说明理由？[4分]解：C 图像。
(略)7. 用拉格郎日插值找经过点(-3,-1),(0,0),(3,1),(6,2)的三次插值公式 [10分] 解：按照拉格朗日插值公式，得到如下的表达式：（每个l i 表达式各占2分，结论2分）012330(3)(6)1(3)(6)3(33)(36)162(3)(3)(6)1(3)(3)(6)3(3)(6)54(3)(6)1(3)(6)(33)3(36)54(3)(3)1(3)(3)(63)6(63)162()()1*()0*j j x x x l x x x x x x l x x x x x x l x x x x x x l x x x x y l x l x l ϕ---==-------+--==+--⋅--+--==+-+-+-==+-+-==-+31230()1()2()j x l x l x =++∑8、用最小二乘原理求一个形如y =a+b x 2的经验公式,使与下列数据相拟合（10分） x 19 25 31 38 44 y 19 32.3 49 73.3 97.8解：按照最小二乘原理，得：[原理2分；正规方程4分；系数解2分；最终表达式2分]⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========05.001.15.369321727769953274.2715327550)(20)(2),()(5125145125151251225125122512b a b a b a x y b x a x y b x a x bx a y b bx a y a b a bx a y i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i iϕϕϕδ所以，表达式为：y =1.01+0.05x 29、已知数表 x 1.8 2.0 2.22.4 2.6f(x) 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675计算积分 2.61.8()f x dx ⎰（12分）（1） 用复化梯形公式； （2） 用复化辛甫生公式； （3） 用牛顿-柯特斯公式。
解：h=0.2分）（405834.5}46675.10)03014.804241.642569.4(212014.3{*1.0)}6.2()]4.2()2.2()0.2([2)8.1({2)1(4=++++=++++=f f f f f hT 分）（403300.5}46675.10)03014.842569.4(*404241.6*212014.3{*3/2.0)}6.2()]4.2()0.2([4)2.2(2)8.1({3)2(2=++++=++++=f f f f f hS 分）（4 03292.5}46675.10)03014.842569.4(*3204241.6*1212014.3*7{908.0)}6.2(7)4.2(32)2.2(12)0.2(32)8.1(7{904)3(=++++=++++=f f f f f hI10、用欧拉法求解下列常微分方程（取h=0.2，在区间[0,0.6]上计算）（8分）⎩⎨⎧=--=1)0('2y xy y y 分）分）分）分）(2 4614321.0)6.0((2 6144.0)4.0((2 8.0)2.0(1(2 2.08.0)(2.0),(3210221=≈=≈=≈=-=--+=+=+y y y y y y y y x y y x y y y x hf y y n n n n n n n n n n n***************************** MATLAB 语言试题 ***************************** 11. 传入一个方阵A ，编写一个自定义函数 “test1” 完成如下的功能： [8分]1） 把A 的主对角线元素写入文本文件 “abc.txt ” 中；2） 把B 中的元素进行随机初始化（B 的行列数与A 相同）；3） 从文本 “abc.txt ” 中读取元素到矩阵C ，把C 中每个元素值均加100； 4） 分别计算：D=B*C ；E=B.*C ；5） 把矩阵D 和E 作为传出的参数传出。
解：自定义函数如下：(语法格式3分) function [D,E]=test1(A) [2分] a1=diag(A);save abc.txt a1 -ascii; [1分] B=random(size(A));C=load(…abc.txt ‟); [1分]C=C+100*ones(size(C)); [1分]D=B*C;E=B.*C;12. 编写一个自定义函数求解任一函数的导数, 要求函数形式为dy=ddf(x,e). [7分] 其中, e为误差精度, dy为x对应的f(x)的导数值. f(x)为被求导的函数.解:function y=f(x) [2分]%自定义函数以sin(x)为例y=sin(x)function dy=ddf(x,e) [1分]dx=1;dy0=f(x+dx)-f(x); [1分]dx=dx/2;dy1=(f(x+dx)-f(x))/dx;while (abs(dy1-dy0)>e) [2分]dy0=dy1;dx=dx/2;dy1=(f(x+dx)-f(x))/dx; [1分]enddy=dy1;。