数值方法试卷及答案

《数值计算与MATLAB 语言》2003-2004 第1学期试卷A

(一页开卷考试)

************************** 数值计算试题 *********************************** 1. 取y0=30, 按递推公式 11

783100

n n y y -=-

去计算y 100, 若取78327.982≈(五位有效数字), 试问计算y 100将有多大的误差? [8分]

2. 用对分区间法求解方程x 3-2x 2-1=0在2.2附近的实根，准确到三位有效数字。[9分]

3. 用LU 分解求下列方程组：[8分]

123235111921263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

4. 对下述矩阵计算12,

,∞

⋅

⋅⋅ : [4分×2]

13(1)241012(2)0

1A B ⎛⎫=

⎪⎝⎭⎛⎫=

⎪⎝⎭

5. 1

0.990.990.98A ⎛⎫=

⎪⎝⎭

，请计算它的条件数和特征值. [8分]

6. 给定 x i = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l 2(x )的图像，并简要说明理由？[4分]

7. 用拉格郎日插值找经过点(-3,-1),(0,0),(3,1),(6,2)的三次插值公式 [10分]

8、用最小二乘原理求一个形如y =a+b x 2的经验公式,使与下列数据相拟合[10分] x 19 25 31 38 44 y

19

32.3

49

73.3

97.8

9、已知数表 x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 f(x) 3.12014

4.42569

6.04241

8.03014

10.46675

计算积分

2.6

1.8

()f x dx ⎰

（12分）

（1） 用复化梯形公式； （2） 用复化辛甫生公式； （3） 用牛顿-柯特斯公式。

10、用欧拉法求解下列常微分方程（取h=0.2，在区间[0,0.6]上计算）（8分）

⎩

⎨

⎧=--=1)0('2

y xy y y

***************************** MATLAB 语言试题 ***************************** 11. 传入一个方阵A ，编写一个自定义函数 “test1” 完成如下的功能： [8分]

1） 把A 的主对角线元素写入文本文件 “abc.txt ” 中； 2） 把B 中的元素进行随机初始化（B 的行列数与A 相同）；

3） 从文本 “abc.txt ” 中读取元素到矩阵C ，把C 中每个元素值均加100； 4） 分别计算：D=B*C ；E=B.*C ；

5） 把矩阵D 和E 作为传出的参数传出。

12. 编写一个自定义函数求解任一函数的导数, 要求函数形式为 dy=ddf(x,e). [7分] 其中, e 为误差精度, dy 为x 对应的f(x)的导数值. f(x)为被求导的函数.

《数值计算与MATLAB 语言》2003-2004 第1学期试卷A 参考答案

(一页开卷考试)

************************** 数值计算试题 *********************************** 1. 取y0=30, 按递推公式 11

783100

n n y y -=-

去计算y 100, 若取78327.982≈(五位有效数字), 试问计算y 100将有多大的误差? [8分] 解:

11101

1001[2](783)[2]100

[2]0[2]100

n n n e y y y n y y -∆==∆∆=∆+∆=∆∴∆=

⇒∆=∆=分分分分

2. 用对分区间法求解方程x 3-2x 2-1=0在2.2附近的实根，准确到三位有效数字。[9分] 解：对方程左边的函数进行预处理知在 2.2附近取x1=2.1，x2=2.3，对应的y1=-0.559，y2=0.587，符合对分区间法的要求 [3分] 。迭代过程如下：[4分]

3(12)/2 2.23(3)0.0324(32)/2 2.254(4)0.26565(34)/2 2.225

5(5)0.11396(35)/2 2.21256(6)0.04027(36)/2 2.206257(7)0.00398(37)/2 2.203125

8(8)0.01x x x y f x x x x y f x x x x y f x x x x y f x x x x y f x x x x y f x =+===-=+====+====+====+====+===-41

因此，准确到三位有效数字，得方程的根为x=2.203125。[2分]

3. 用LU 分解求下列方程组：[8分]

123235111921263x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解：由LU 分解的元素计算公式，对系数矩阵进行分解得L 和U 矩阵如下：[4分]

1002350.51000.5 6.50.511002L U ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

由L Y=b 进行回代，得：Y=(1,1.5,4)T 。[2分]

代入方程组UX=Y 得：X=(49,-29,-2)T 。[2分]