一元二次方程的根的判别式教案
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2
北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的教学内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根的判别式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过引入判别式，让学生了解一元二次方程根的情况，从而更好地掌握解一元二次方程的方法。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基本方法，对一元二次方程有一定的认识。
但学生对判别式的概念、意义和应用可能还不够清晰，因此，在教学过程中需要教师引导学生深入理解判别式的内涵，并通过实际问题让学生体会判别式在解一元二次方程中的作用。
三. 教学目标1.让学生理解判别式的概念，掌握判别式的计算方法。
2.培养学生运用判别式判断一元二次方程根的情况的能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.判别式的概念和计算方法。
2.运用判别式判断一元二次方程根的情况。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生深入了解判别式；通过小组讨论，促进学生互动交流，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备教学PPT，包括判别式的定义、计算方法和应用实例。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题：“如何判断一个一元二次方程有几个实数根或无实数根？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍判别式的定义和计算方法，呈现相关的案例和实际问题，让学生在实际问题中体会判别式的作用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
一元二次方程的根的判别式(一)教案人教版
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根的判别式的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
七、课后拓展
1. 拓展内容：
- 阅读材料：《一元二次方程的应用案例解析》、《复数根在实际问题中的应用》等文章，帮助学生了解一元二次方程在实际生活中的应用和复数根的实用价值。
- 视频资源：《一元二次方程的根的判别式讲解》、《一元二次方程解法演示》等视频，为学生提供直观的教学演示和实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分析。
2. 拓展要求：
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根的判别式（一）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一元二次方程根的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根的判别式的奥秘。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根的判别式的基本概念。判别式是……（详细解释概念）。它能帮助我们判断一元二次方程的根的情况，即判断方程有几个实数根、几个虚数根或者无实数根。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了判别式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
- 鼓励学生进行小组合作学习，共同探讨一元二次方程的应用案例和实际问题解决方案。学生可以分享自己的思路和方法，互相学习和借鉴。
一元二次方程根的判别式教学设计(一)
一元二次方程根的判别式教学设计(一)一元二次方程根的判别式教学设计教学目标：•理解一元二次方程根的概念和性质•学会计算一元二次方程的判别式，并能应用于实际问题中•掌握一元二次方程根的判别式对方程的根的个数和性质的判断教学内容：一、引入•用一个生动的例子引入一元二次方程的概念，例如：小明要修建一个长方形花坛，根据已知条件列方程求解边长。
二、概念解释•介绍一元二次方程的定义和形式，以及方程的解的含义。
三、方程根的概念1.解释方程根的概念，即方程的解对应的数值。
2.引入关于方程根的判别式，通过计算判别式来判断方程的根的性质。
四、方程根的判别式计算1.讲解一元二次方程根的判别式的计算方法：Δ=b2−4ac2.给出判别式中的a,b,c三个参数的解释，并举例进行计算与求解。
五、根的性质与判断1.根据判别式的正负进行根的性质的判断：–当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；–当Δ=0时，方程有两个相等的实根；–当Δ<0时，方程没有实根。
2.给出相关的例题，引导学生根据判别式来判断方程的根的个数和性质。
六、练习与应用1.设计一些练习题，让学生应用判别式来判断方程的根的个数和性质。
2.提供一些实际问题，让学生将问题转化为一元二次方程，并通过判别式来解释问题。
教学反馈与总结•与学生进行互动，回答他们的问题，并对学生的答题情况进行评价和总结。
•强调方程根的判别式的重要性和实际应用，激发学生对数学的兴趣。
通过以上教学设计，能够帮助学生深入理解一元二次方程根的判别式的概念和计算方法，掌握其中的应用技巧，并能将其应用于实际问题中。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。
初中数学教案：一元二次方程的根的判别式
（五）思考
b2 4ac 的值可判别一元二次方程根的情况：
当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 那么这两个根有什么关系？
x1 x2 =
x1 x2 =
当 0 时，方程有两个相等的实数根；
x1 x2 =
x1 x2 =
你发现了什么？说说与大家分享
方程没有实数根 △＜0 （强调：逆命题是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中 某些字母的值） 例 2.已知关于 x 的方程 x2+(2m+1)x+(m-2)2=0. m 取什么值时， （1） 方程有两个砂相等的实数根？ （2） 方程有两个相等的实数根 （3） 方程没有实数根？ 例３．若关于 x 的方程 x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0 有实数根，试求正整数 a 的值。 分析：要注意两个条件：①有实数根，②a 是正整数。 （强调： 不仅仅要根据根的情况来确定系数的关系或取值，还要注意到题目中的 限定条件）
2 △=b2-4ac (注意不是△= b 4ac ) 2.根的判别式要判别的是根的什么？
3. b2 4ac 的值可判别一元二次方程根的情况： 当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 0 时，方程没有实数根。 （强调：根的判别式是根据方程的系数来判定方程根的情况） 例 1. 不解方程，判别下列方程的根的情况 （1） 5x 2 3x 2 0 （2） 25 y 2 4 20 y
20.3
一元二次方程的根的判别式
执教人：周米
教学目标： （一）知识与技能： 1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况． 2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明． （二）过程与方法： 1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性． 2．培养学生的推理论证能力． （三）情感态度与价值观 通过对求根公式的讨论，渗透学生的分类的思想． 教学重点： 一元二次方程的根的判别式的运用 教学难点： 根据一元二次方程的根的情况来确定系数之间的关系与数值。 教学过程： （一）复习旧知，导入新课 问题：请同学们回想一下，我们用求根公式法解一元二次方程时，在把系数代入 求根公式前，必须写出哪两步？为什么要先写这两步？ 用求根公式法解方程 2x2+10x－7=0. 解： a=2,b=10,c= -7, 2 b − 4ac=102－4×2×（-7）=156＞0， （二）合作交流，探求新知 1.在一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数 b2-4ac 起着重要的作用，我们把它 叫做根的判别式，通常用记号△表示，即
一元二次方程的根的判别式-教案(二)
一元二次方程的根的判别式一、素质教育目标（一）知识教学点：1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．（二）能力训练点：1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．2．培养学生的推理论证能力．（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．三、教学步骤（一）明确目标上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．（二）整体感知本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不精练的步骤．假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．学生板书、笔答，教师点拨、评价．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．学生板书、笔答、评价、教师点拨．（四）总结、扩展1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．四、布置作业1．教材P．29中B1，2，3．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．（2、3学有余力的学生做．）五、板书设计12．3 一元二次方程根的判别式（二）一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……△=b2-4ac …………二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)（1）当△＞0，……练习1……练习2……（2）当△＝0，……（3）当△＜0，……反之也成立．六、作业参考答案方程没有实数根．B3．证明：∵△＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0∴△＞0∴方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．2．解：∵方程有实根，∴△＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0即：a≤3，a的正整数解为1，2，3∴当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：（2）当2m-1≠0时，∵无论m取何实数8（m-1）2≥0，即△≥0．∴方程有实数根。
一元二次方程的根的判别式教案人教版
1. 对根的判别式的性质的理解和应用。
2. 将实际问题转化为数学模型，利用根的判别式解决问题。
解决办法：
1. 对于重点内容，通过例题讲解和练习，让学生反复巩固，加强对判别式性质的理解。
2. 对于难点内容，可以通过小组讨论、教师引导的方式，帮助学生建立判别式与实际问题之间的联系，提高学生解决问题的能力。
（二）存在主要问题
1. 学生参与度不够：在课堂上，部分学生参与度不高，对于问题的讨论和解答不够积极。
2. 部分学生理解困难：有些学生在理解一元二次方程的根的判别式的性质时存在困难，对于如何应用判别式解决问题不够清晰。
3. 教学评价需要改进：现有的随堂测试和作业评价方式可能过于单一，不能全面反映学生的学习情况。
2. 课程平台：人教版数学教材、教学课件、练习题库。
3. 信息化资源：互联网、在线教育平台、数学教学视频。
4. 教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、案例分析。
教学过程Hale Waihona Puke 计1. 导入新课（5分钟）
目标：引起学生对“一元二次方程的根的判别式”的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道什么是一元二次方程的根的判别式吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于一元二次方程的图片或视频片段，让学生初步感受数学的魅力或特点。
简短介绍一元二次方程的根的判别式的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2. 一元二次方程基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解一元二次方程的基本概念、组成部分和根的判别式的原理。
过程：
讲解一元二次方程的定义，包括其主要组成元素或结构。
4. 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
教学内容与学生已有知识的联系：
2.3用公式法求解一元二次方程-一元二次方程的根的判别式(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根的判别式的理解程度各有不同。有的学生能够迅速掌握判别式的计算和应用，而有的学生在理解判别式与方程根的关系上存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个别差异，采取更为灵活多样的教学方法。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单的语言解释判别式的概念，并通过具体的案例进行分析，让学生能够直观地感受到判别式在实际问题中的应用。然而，我也注意到，对于一些学生来说，理论知识的掌握仍然需要更多的实际操作和练习。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生亲自动手解决问题，以提高他们的实际操作能力。
针对实际问题的应用，教师应设计不同难度层次的例题和练习，如求解几何图形的面积、物体的运动轨迹等，引导学生将判别式应用于实际问题中，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
注意：由于字数限制，上述内容并未达到2000字，但已尽量详细列出教学难点与重点的每个细节。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步拓展和深化每个部分的讲解和举例。
2.提高学生的逻辑推理能力，通过推导一元二次方程求根公式，理解判别式的意义及其在求解过程中的作用。
3.培养学生的数学运算能力，使其能够运用判别式快速判断一元二次方程的根的性质，并进行有效求解。
4.增强学生的数据分析观念，通过分析判别式的值对不同根的情况进行分类讨论，培养学生对数学问题深入探究的精神。
2.教学难点
-理解判别式Δ与方程根之间的数量关系。
-掌握在不同Δ值情况下，方程根的性质和求解方法。
-解决实际问题时，能够正确应用判别式进行分析。
举例：难点在于帮助学生理解判别式Δ与方程根的对应关系。教师需要通过图示、表格或动画等教学辅助手段，直观展示Δ值的增减如何影响方程根的数量和性质。例如，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。通过对比不同Δ值下的解题过程，让学生深刻理解判别式在解题中的作用。
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22.2.4 一元二次方程的根的判别式教案
教学任务分析
教学目标知识目标
1.了解根的判别式的概念，
2.能用判别式判别根的情况。
能力目标
1.培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力。
2.进一步考察学生思维的全面性。
情感目标
1.通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神。
2.进一步渗透转化和分类的思想方法。
重点会用判别式判定根的情况
难点利用判别式确定一元二次方程中的参数值
教法学法采用“引导探究式”及“合作交流式”的教学方法，注重培养学生的独立思考能力、推理能力和综合运用能力.
教学流程安排
活动流程图活动内容和目的
活动1 复习引入
活动2 新课学习
活动3 课堂分层训练活动4 课堂小结
活动5 课堂小结
1.让学生能把新知识当旧知识来理解，在学习新知前，先让学生解方程，通过练习来复习用公式法解方程，
2.让学生明确学习根的判别式的作用，学会怎样借助根的判别式解决有关的问题。
3.安排分层练习，满足不同层次学生的学习需求。
4.学生独立进行小测，同桌互相检查、纠正，并梳理本节所学的知识点．教师巡回检查，个别辅导．
5.回顾梳理本节知识，巩固、提高、发展．
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