有理函数的积分积分表的使用
第四节有理函数的积分
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
x
cos
x
dx.
解
由万能置换公式
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du,
1
sin sin x
x
cos
x
dx
(1
2u u)(1
u2
du )
2u 1 u2 1 u2
(1 u)(1 u2 ) du
(1 (1
u)2 (1 u)(1
u
u2 2)
cos x
sec2
x
2
1
tan2
2 x
,
2
2
令u tan x x 2arctan u（万能置换公式） 2
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
u2 u2
,
dx
1
2 u2
du
R(sin x,cos x)dx
2u 1 u2 2
R
1
u2
,
1
u2
1
u2
有理函数的积分
§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。
有理函数的不定积分
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) d x 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 x 2) 2 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2)
2
2
1 C arctan(x 1) 2 x 2x 2
2
2
例11. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式, 取根指数 2, 3 的最小公倍数 6, 令 x t , 则有 5 1 2 6 t d t 原式 3 2 6 ( t t 1 ) dt 1 t t t
6
6
2 1t 3 1 ln 1 t t t 3 2
2
例3. 求 解: 原式
x 2x 3 2 d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
1 ( 2 x 2) 3 2
例2. 求 解: 已知 1 1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
2 d(1 2 x) 1 d(1 x ) 1 dx 原式 2 2 5 5 1 2x 5 1 x 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
A(1 x 2 ) ( Bx C )(1 2 x) 2 (1 2 x)(1 x ) 2 1 A(1 x ) ( Bx C)(1 2x), 1 4 1 取x 得A , 取x 0得1 A C, C , 5 5 2 2 取x 1得1 2 A 3( B C), B
不定积分有理函数的积分
不定积分有理函数的积分不定积分是微积分中的重要概念之一，它是对函数进行求导运算的逆运算。
在数学中，有些函数的不定积分可以用有理函数表示出来。
本文将介绍有理函数的积分，包括有理函数的定义、有理函数的积分规则以及一些例子。
首先，什么是有理函数？有理函数是指可以用两个整式的商表示的函数。
具体地说，设f(x)和g(x)是整式，g(x)≠0，那么f(x)/g(x)就是一个有理函数。
有理函数的积分有一定的规律可循。
对于整式1/x的不定积分∫1/x dx，则有∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。
这一结论称为常数倍分配律。
通过这个规则，我们可以计算更复杂的有理函数的不定积分。
例如，对于整式1/(x-a)的不定积分，其中a是常数，我们可以将它拆解成∫1/(x-a) dx = ln|x-a| + C。
这个结果可以用常数倍分配律推导出来。
具体过程如下：∫1/(x-a) dx = ∫[1/(x-a)]*(x-a)/(x-a) dx= ∫(x-a)/(x-a)^2 dx= ∫(x-a)^(-1) dx= ln|x-a| + C类似地，对于整式1/(ax+b)的不定积分，其中a和b是常数，我们可以将它拆解成∫1/(ax+b) dx = (1/a)ln|ax+b| + C。
这个结果也可以通过常数倍分配律推导出来。
有时，有理函数的积分需要进行部分分式分解。
部分分式分解是指将一个分式表达式拆解成几个简单的部分，使得每个部分易于计算积分。
通过部分分式分解，我们可以将原函数转化为更容易求解的积分问题。
举个例子，考虑不定积分∫(3x+1)/(x^2-4) dx。
首先，我们需要分解分母x^2-4。
由于该分母是一个乘法形式，我们可以将它分解成(x-2)(x+2)。
因此，可以将原函数写成∫(3x+1)/[(x-2)(x+2)] dx。
接下来，我们可以进行部分分式分解：(3x+1)/[(x-2)(x+2)] = A/(x-2) + B/(x+2)通过等式两边的相乘，我们可以得到一个方程：(3x+1) = A(x+2) + B(x-2)。
有理函数及三角函数有理式的积分
§３.６ 有理函数及三角函数有理式的积分教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。
重点:有理函数及三角函数有理式积分法及其应用 难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发(换元积分法与分部积分法)已经求出了一些不定积分.从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样,只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易.即使一个看起来并不复杂的函数,要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还“积不出”。
例如,⎰⎰⎰⎰+-31,,ln ,sin 2x dx dx e x dx dx x x x ,被积函数都是初等函数,看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数．本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。
求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”“拆"，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。
“变"，即代数恒等变形:加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子;三角恒等变形:半角、倍角公式，平方和公式,积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”,即凑微法(第一类换元法）。
“换”,即第二类换元法(三角代换、倒代换、指数代换法等）。
“分”,即分部积分法。
“套”，即套基本公式。
求不定积分的主要技巧在一个“巧"字和一个“练"字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。
二、 有理函数的积分有理函数)(x R 是指由两个多项式的商所表函数，即=)(x R m m m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P +++++++=----11101110)()( 其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，通常总假定分子多项式)(x P 与分母多项式)(x Q 之间没有公因式，并且00≠a ，00≠b .当m n <时，称)(x R 为真分式;而当m n ≥时，称)(x R 为假分式。
第15讲商的不定积分-有理函数积分
第15讲 商的不定积分-有理函数积分一、计划学时：2节 二、内容三、要求 四、重点 五、难点 六、教学过程：（二）商函数的不定积分-有理函数的积分上面介绍了积分学中两种典型的积分方法，对于某些特殊类型的被积函数的积分，如有理函数、三角函数的有理式等，通过恒等变形，就可应用上述方法进行求解.一、有理函数的不定积分由两个多项式函数的商构成的函数称为有理函数，形如mm m n n n b x b x b a x a x a x Q x P x R ++++++==-- 110110)()()(， 其中n m ，为非负整数，m n b b b a a a ,,,,,,1010 ，都是常数，且0000≠≠b a ，. 若n m >，则称)(x R 为真分式；若n m ≤，则称)(x R 为假分式。
注意，由代数知识可知, 有下面三个结论：① 利用多项式除法总可以将假分式化为一个多项式与一个真分式的和；例如,13112322323424+--+=+--+-++-=+-x x x x x x x x x x x x x x x x x ； ② 任意多项式在实数范围内一定可被分解成一次因式和二次质因式的乘积.③ 若μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ，其中040422<-<-s r q p ，，则， 真分式)()(x Q x P 总可以被分解成如下最简分式（分母为一次因式或二次质因式的真分式）的和：+-++-+-++-++-+-=--)()()()()()()()(121121a x B a x B a x B a x A a x A a x A x Q x P βββααα）（）（）（）（）（）（s rx x S x R s rx x S x R s rx x S x R q px x N x M q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++++++++++++++--2222211212222111μμμλλλλμ其中 μμλλβαS S R R N N M M B B A A ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,111111 为待定常数。
微积分上册5-3几类特殊函数的积分方法
提示: 变形方法同例4.
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例5. 求
解:
2 x 5x 2x 5 I 4 dx 4 dx 2 2 x 5x 4 x 5x 4
3 2
1 d( x 4 5 x 2 4) ( x 2 1) ( x 2 4) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4)
M1 x N 1 M2 x N2 Mk x Nk 2 2 2 k k 1 ( x px q ) ( x px q ) x px q
其中 M i , N i 都是常数( i 1,2,, k ) .
Mx N ; 特殊地：k 1, 分解后只有 2 x px q
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
(1) 多项式； ( 2)
A ; n ( x a)
Mx N ( 3) ; 2 n ( x px q )
其中p2 4q 0
Mx N 讨论积分 2 dx , n ( x px q )
p p2 2 x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数.
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
1 x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1 1 2 ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
高数同济44有理函数三角函数及一些无理函数的不定积分
例4 求积分
1 x(x 1)2dx.
解 x(x11)2dx1 x(x 11)2x1 1dx
1 xd x(x 11)2d xx1 1dx
ln x1ln x (1)C . x1
1
例5 求积分 (12x)(1x2)dx.
解 (12x)1(1x2)dx1542xdx152xx215dx
5 2 ln 1 2 ( x ) 1 5 1 2 x x 2d x 1 5 1 1 x 2 dx
由代数学定理:
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
Q(x)=b0(x－a) …(x－b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设 Q P((x x))b a 00 x x m n b a 1 1x xm n 1 1 b am n 1 1x x a bn m是真 . 分
例12
求积分
x 3x1
d.x 2x1
解 先对分母进行有理化
原式 (3 x 1 x (2 3 x x 1 1 ) (3 2 x x 1 1 )2 x 1 )dx
(3x 12x 1 )dx
1 3 3x1d(3x1)1 2 2x1d(2x1)
2(3x1)2 31(2x1)2 3C .
例1 x3 x2 5x6
化为最简分式之和.
x3 A B ,
待
(x2)(x3) x2 x3
定
x 3 A ( x 3 ) B ( x 2 ),系
数
x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ), 法
A(3A B21,B)3,
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一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
求简单无理函数的积分，其基本思 想是利用适当的变换将其有理化，转化 为有理函数的积分.下面通过例子来说明.
二、 可化为有理函数的积分
【例57】
二、 可化为有理函数的积分
下面先讨论这四类最简分式的不定积分. 前两类最简分式的不定积分可以由基本积分公式直接得到.
一、 有理函数的积分
一、 有理函数的积分
综上所述，最简分式的不定积分都 能被求出，且原函数都是初等函数.根据 代数学的有关定理可知，任何真分式都 可以分解为上述四类最简分式的和，因 此，有理函数的原函数都是初等函数.
其中Mi,Ni(i=1,2,…,k)都是常数.
一、 有理函数的积分
(5-19) (5-20)
一、 有理函数的积分
第二种方法在恒等式(5-20)中，代入特殊的x值，从而求出待定的 常数.在式(5-20)中，令x=2，得A=－5;令x=3，得B=6.
(5-21)
一、 有理函数的积分
3. 有理函数积分举例 【例53】
一、 有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
1. 三角函数有理式的积分
由sinx，cos x和常数经过有限次四则运算构成 的函数称为三角有理函数，记为R(sin x, cosx).
三角函数的积分比较灵活，方法很多.在换元积 分法和分部积分法中介绍过一些方法.这里主要介绍 三角函数有理式的积分方法，其基本思想是通过适 当的变换，将三角有理函数化为有理函数的积分.
【例58】
三、 积分表的使用
本章介绍了不定积分的概念及计算方法.必须指出的是：初等 函数在它的定义区间上不定积分一定存在，但不定积分存在与不定 积分能否用初等函数表示出来不是一回事.事实上，有很多初等函数， 它们的不定积分是存在的，但它们的不定积分却无法用初等函数表
同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的区别.求 一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做，而求一个函数 的不定积分却没有统一的规则可循，需要具体问题具体分析，灵活 应用各类积分方法和技巧.