定积分的分部积分公式
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定积分的换元积分法与分部积分法
有
b
a f (x) dx f [(t)](t) dt
上式称为定积分的换元公式。
π
例1 计算 2 cos3 x sin x dx 。 0
解
设 t cos x ，则 dt sin x dx 。当 x 0 时，t 1 ；当
x π 时，t 1。 2
原式 0 t3dt 1 t3dt 1 t4计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3
0 1t
0 1t
0
例3 计算
高等数学
定积分的换元积分法与分 部积分法
一、定积分的换元积分法
定理 设函数 f (x) 在 [a ，b] 上连续，而 x (t) 是定义在 [ ， ] 上的一个可微函数，并满足条件：
（1）(t)在区间 [a ，b] 上有连续的导数 (t) ；
（2）当t从α 变到β 时，(t) 从 ( ) a 单调地变到( ) b ，则
两边积分，得 移项，得 即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π
定积分的分部积分法广义积分
a
b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算
0
4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,
4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0
4
4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1
dx x
lim
1
b 1
b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1
b
b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分
-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解
0
b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算
0
4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,
4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0
4
4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1
dx x
lim
1
b 1
b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1
b
b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分
-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解
0
第四节定积分的分部积分法
4
f
(0)?
?
2.
9
练习题
一、 填空题：
? 1、 1 xe ? x dx ? ______________； 0 e
? 2、 x ln xdx ? _____________； 1 1
? 3、 x arctan xdx ? ____________ . 0
二、 计算下列定积分：
? 1、
e
sin(ln x ) dx ；
?2
?
?? 42
?
cos u
4 0
?
2? ? 2 ? 1
82
?2
所以
?16
0
cos
xdx ?
2? ?
4
2? 2
6
例5 若 f ( x )在[ 0,1]上连续，证明
?
?
? ? 2 f (sin x )dx ? 2 f (cos x )dx
0
0
证 （1）设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt,
0
0
7
小结
? ? 1.定积分的分部积分公式
b
udv
?
b
?uv ?
?
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
主要作用： 1.简化定积分的计算 . 2. 证明一些等式 .
作业:P107 1的奇数号题, 2
8
思考题 设 f ??( x ) 在 ?0,1?上 连 续 ， 且 f (0) ? 1 ，
f
(2)
?
3，
f
?(2)
?
5
，求
1
?0
x
f
??(2 x )dx .
f
(0)?
?
2.
9
练习题
一、 填空题：
? 1、 1 xe ? x dx ? ______________； 0 e
? 2、 x ln xdx ? _____________； 1 1
? 3、 x arctan xdx ? ____________ . 0
二、 计算下列定积分：
? 1、
e
sin(ln x ) dx ；
?2
?
?? 42
?
cos u
4 0
?
2? ? 2 ? 1
82
?2
所以
?16
0
cos
xdx ?
2? ?
4
2? 2
6
例5 若 f ( x )在[ 0,1]上连续，证明
?
?
? ? 2 f (sin x )dx ? 2 f (cos x )dx
0
0
证 （1）设 x ? ? ? t ? dx ? ? dt,
0
0
7
小结
? ? 1.定积分的分部积分公式
b
udv
?
b
?uv ?
?
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
主要作用： 1.简化定积分的计算 . 2. 证明一些等式 .
作业:P107 1的奇数号题, 2
8
思考题 设 f ??( x ) 在 ?0,1?上 连 续 ， 且 f (0) ? 1 ，
f
(2)
?
3，
f
?(2)
?
5
，求
1
?0
x
f
??(2 x )dx .
定积分的分部积分法
§6.5 定积分的分部积分法因为vdu udv uv d +=)(，两边从a 到b 取定积分有：⎰⎰⎰+==b abab ab avdu udv uv uv d ][)(，所以 ⎰⎰-=bab a ba vdu uv udv ][ 例1⎰⎰⎰-=-=5151515151]ln [ln ])[(ln ln dx xx x x x xd x x xdx 45ln 5][05ln 551-=--x例2 11|][1110110=+-=-=-==⎰⎰⎰xx xxx x x e e e e dxe xe xde dx xe例3211|c o s 0s i n|s i n s i n c o s 0000-=--=+=-==⎰⎰⎰πππππx dx x x x x xd xdx x例4⎰⎰⎰-==ee e e xd x x x x xd xdx x 1121221ln 21]ln [21)2(ln ln=414|212122122122122+=⋅-=-⎰e x e dx x x e e e例5⎰⎰=2ln 0222ln 032221dx e x dx e x x x 令2x t =，则原式=⎰⎰⎰-==2ln 02ln 02ln 02ln 021][212121dt e te tde dt te tt t t =212ln 212212ln |212)2(ln 212ln 0-=+⋅-=-⋅t e 例6 求⎰⎰=2020c o s c o s ππx xx d e xd xe =dx x e x d e e x x xx⎰⎰+-=-⋅202020sin 1cos |cos πππ=⎰⎰-⋅+-=+-202020sin ])[(sin 1sin 1πππx d e e x xde x xx=xdx e e x cos 1202⎰-+-ππ∴ 1cos 2220-=⎰ππe xdx e x∴ ⎰-=202)1(21cos ππe x e x例7⎰342s i n ππdx xx=⎰⎰+-=-343434cot ]cot [cot ππππππxdx x x x xd=++-=⎰dx x x 34sin cos 493ππππ⎰++-=34sin sin 493ππππx xd 34]sin [ln 493ππππx ++-=23ln 21493++-ππ 利用定积分还可以求某些和的近似值。
(完整版)定积分的分部积分法
n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明
定积分的计算 分部积分
1
例6： 设f x 在[0,1] 上连续，且 F x f t dt, 证 明
x 0
F x dx 1 x f x dx
1 1 0 0
解： F x dx xF x 0 xF x dx
1 1 1 0 0
f x dx x f x dx
n3 3 1 , n为 正 偶 数 ； n2 4 2 2 n3 4 2 , n为 大 于 1的 正 奇 数 。 n2 5 3
证 令u sinn1 x, dv sinxdx,
则du (n 1) sinn 2 x cos xdx, v cos x.
解 设u arctanx, dv dx,
例2 计算
1
0
e
x
dx.
x 1, t 1.
1 t
解 令 x t , x t 2 , 则dx 2tdt,
x 0, t 0;
e
0
1
x
dx 2 te dt 2 td (e ) 2 te 0
t
依次进行下去，可得
I 2m
2m 1 2 m 3 2 m 5 5 3 1 I0 , 2m 2 m 2 2 m 4 6 4 2
I 2 m 1
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
1
2
, 故
2 n 2n 2 （ 1 － x ） d x cos t cos t d t 0 0
2 cos 2 n 1 t d t
0
例6： 设f x 在[0,1] 上连续，且 F x f t dt, 证 明
x 0
F x dx 1 x f x dx
1 1 0 0
解： F x dx xF x 0 xF x dx
1 1 1 0 0
f x dx x f x dx
n3 3 1 , n为 正 偶 数 ； n2 4 2 2 n3 4 2 , n为 大 于 1的 正 奇 数 。 n2 5 3
证 令u sinn1 x, dv sinxdx,
则du (n 1) sinn 2 x cos xdx, v cos x.
解 设u arctanx, dv dx,
例2 计算
1
0
e
x
dx.
x 1, t 1.
1 t
解 令 x t , x t 2 , 则dx 2tdt,
x 0, t 0;
e
0
1
x
dx 2 te dt 2 td (e ) 2 te 0
t
依次进行下去，可得
I 2m
2m 1 2 m 3 2 m 5 5 3 1 I0 , 2m 2 m 2 2 m 4 6 4 2
I 2 m 1
2m 2m 2 2m 4 6 4 2 I1 2m 1 2m 1 2m 3 7 5 3
1
2
, 故
2 n 2n 2 （ 1 － x ） d x cos t cos t d t 0 0
2 cos 2 n 1 t d t
0
定积分的分部积分公式
避免计算错误
01
在使用分部积分公式时，应注意运算的顺序和符号，确保每一 步计算都是正确的。
02
在计算过程中，应仔细核对每一步的计算结果，避免因为粗心
大意而导致的计算错误。
对于一些复杂的积分，可以使用数学软件进行验证，以确保计
算结果的准确性。
注意公式的适用范围
01
分部积分公式适用于可积函数，即被积函数在积分区间内连续 或存在有限个间断点的情况。如果被积函数不满足这些条件，
分部积分公式可以与定积分结合使用，通过 将定积分转化为不定积分的形式，再利用分 部积分公式进行计算，可以简化计算过程。
在其他数学领域的应用
在实变函数中的应用
分部积分公式在实变函数中也有广泛的应用，实变函 数是研究可测函数的数学分支。通过分部积分公式， 可以解决实变函数中的一些积分问题。
在复变函数中的应用
公式推导过程
首先，根据乘积法则，(uv)' = u'v + uv'
接着，将不定积分的结果进行展开， 得到∫u'vdx + ∫uv'dx
然后，对等式两边分别进行不定积分， 得到∫(uv)'dx = ∫(u'v + uv')dx
最后，根据不定积分的性质，将等式 右边的两个不定积分相加，得到定积 分的分部积分公式：∫(uv)'dx = ∫u'vdx + ∫uv'dx
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
分部积分公式的注意事项
正确选择u和v'
选择u和v'时，应尽量选择容易 计算不定积分的函数作为u， 而将其他函数作为v'。这样可 以简化计算过程，减少出错的 可能性。
6.5.1定积分分部积分法
△ 冗1
冗In 2
——llnsec x 10 =-82 0 8 4
经济数学--微积分
o
定积分分部积分法
三、举例-幕函数乘对数函数
经济数学
例5 计算 J： (In x)3 dx
：一 解原式=x (In x )3
J 3(ln x)2 dx
】 =e _ 3 x(In x)2
-1J2 In xdx
J =e - 3(e - 2 In xdx)
) =1 [[xf '(2 x )]1 -1 (2 x dx
1
1
=2 f'(2) - 4 [f (2 x )]0
=2 - 4 [f (2) - f (0)] = 2.
经济数学
fx2 sin t i
“ ——d t, 求[xf (x )dx.
*
解因为沖没有初等形式的原函数， t
无法直接求出f (x),所以釆用分部积分法
f兀
2
2x
Jo o
si1n 2 ■xdxd
cos2x
x sin 2 xdx = 2 Jo
=1
JO
x cos
2
x
兀1
2
1,
cos 2 xdx
2 Jo o
= ——sin2 x71
n
24
02
3
勿 2 1 + cos 2x ,
例3计算f x dx.
00 2
解原式万 d ( x + § sin 2 x)
经济数学--微积分
—厂 f X x)=
-2 x = ,
xx
1
1
.・J0 xf(x)dx = 2 f⑴ _ -J： x2f，(x)dx
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1 2
1
0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(
x)
1 0
1 2
1 x2df ( x)0源自1 2f(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
5
x2 sin t
f ( x) 1
dt , t
f
(1)
1 sin
1 t
t
dt
0,
f
( x)
sin x2 x2
2x
2sin x
x2
,
1
0
xf
( x)dx
1 2
f
12
1
1 x2
2
0
3 1.
12 2
2
例2 计算 4
xdx .
0 1 cos 2x
解 1 cos 2x 2cos2 x,
4
xdx
0 1 cos 2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
0
xdtan x
2
1 2
x
tan
x
4
0
1 2
4
0
tan xdx
8
1 2
ln
sec
3、 1 xexdx ______________； 0 e
4、1 x ln xdx _____________；
5、
1
x arctan xdx ____________ .
0
二、计算下列定积分：
1、 e sin(ln x) dx ； 1
2、
e 1
ln x
dx ；
e
15
3、 J (m) x sin m xdx ，（m 为自然数） 0
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
1
1
例1 计算 2 arcsin xdx. 0
解 令 u arcsin x, dv dx,
则 du dx , v x, 1 x2
1
2 arcsin xdx
0
x
arcsin
1
x2 0
1 2
0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx
0
n
n
n
1 1
n n n
3 2 3
3 4 4
1 2 2,
2
,
n为正偶数 n为大于1的正奇数
n n2 5 3
证 设 u sinn1 x, dv sin xdx,
du (n 1)sinn2 x cos xdx, v cos x,
7
解：右端
1 2
b a
(
x
a
)(
x
b
)
d
f
(
x
)
分部积分积分
1 ( x a)(x b) f ( x)
2
b a
1 2
b a
f ( x)(2x a b) dx
再次分部积分
1 (2x a b) f ( x) b
2
b
a
f
(x)dx
=
左端
a
11
例8 设 y 1, 求 I 1 x y e xdx 1
一、分部积分公式
The formula of integration by parts
设函数u( x)、v( x) 在区间a,b上具有连续
导数，则有abudv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (
uv
)dx
uv
b
a
,
uv
b a
b
a
uvdx
b
a
uvdx,
x
4 0
ln 2 . 84
练习：计算
2
4
1
xdx . cos 2x
8
ln 2 4
.
3
1 ln(1 x)
例3 计算 0 (2 x)2 dx.
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1
2m 2 6 4 2 2
(2m)!!
, 2
I2m1
2m 2m 2 L 2m 1 2m 1
6 4 21 753
(2m)!! (2m 1)!!
9
例6. 设 求
解:
(分部积分)
练习:
设f
(
x)
x
0
sin t
t
dt
,
计算
0
f ( x)dx
2
10
例7
且 f (a) f (b) 0,
试证
e
e
12
例9(07,Ⅰ,11’) 设曲线C的方程为 y f ( x)，点 (3 , 2)
是它的一个拐点，直线 l1 与 l2 分别是曲线C
在点 (0 , 0)与 (3 , 2)处的切线，其交点为 (2，4）．
设函数 f ( x) 具有三阶连续导数，计算定积分
I
3
(
x2
x)
f
(
x)dx
0
y (2 ，4)
3
0
2
x 1
x
dx
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
4
x2 sin t
1
例4 设 f ( x) 1
t
dt, 求 xf ( x)dx. 0
解 因为sin t 没有初等函数形式的原函数，
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
4、 sin n1 x cos( n 1) xdx . 0
8
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
5 6
3 4
1 2
I0,
(m 1,2, )
2m 2m 2 6 4 2
I2m1
2m
1
2m
1
7
5
3 I1,
I0
2
dx
,
0
2
I1
2 sin xdx 1,
0
于是
2m 1 2m 3 5 3 1 (2m 1)!!
I2m
2m
L
20
l1
(3 , 2)
y f (x)
l2
o
x
13
二、小结
定积分的分部积分公式
b udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
（注意与不定积分分部积分法的区别）
14
练习题
一、填空题：
1、设 n 为正奇数，则 2 sinn xdx ___________； 0
2、设 n 为正偶数，则 2 cosn xdx =___________； 0
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1
0
2
x
sin
x 2dx
1 2
1
0
sin
x
2dx 2
1 2
cos x2
1 0
1 (cos1 1). 2
I 1 1. e
练习:设
f (x)
x e t2dt,
1
计算I
1 f ( x) dx. 0x
6
例5 证明定积分（华里士Walls）公式
In
In
sinn1 x cos x
2
0
(n
1)
2 sinn2 x cos2 xdx
0
0
1 sin2 x
In
(n
1) 2 0
sin n 2
xdx
(n
1) 2 0
sin n
xdx
(n 1)In2 (n 1)In
In
n1 n In2
积分I n关于下标的递推公式
I n2
n n
3 2
In4
, 直到下标减到0或1为止
解：
x
y
x y
y x
, ,
x x
y y
I
y 1
(x
y)e xdx
1
y
(x
y)e xdx
y 1
xe
xdx
y 1
ye xdx
1
y
xe x dx
1
y
ye xdx
( x 1)e x y 1
ye x y 1
( x 1)e x 1 y
ye x 1 y
2e y 2 (e 1) y