中国精算师《非寿险精算》过关必做500题(含历年真题)(第4章 非寿险费率校正)【圣才出品】

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第 4 章 非寿险费率校正
一、单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将
正确选项的代码填入括号内）
1．在已知θ的条件下，损失随机变量 X 的条件密度函数是
，x＞0，参
数θ的先验分布密度函数是
E（X 1 ）=1，Var（X1 ）=1，E（X 2 ）=2，Var（X 2 ）=2，E（X 3 ）=9，cov（X1 ， X 2 ）=1，cov（X 1 ，X 3 ）=4，cov（X 2 ，X 3 ）
该保单过去2年的总赔付额为10，则第3年的信度保费 Xˆ 3 为（ ）。[2008年真题]
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A．1 B．2 C．3 D．4 E．5
【答案】D
【解析】由题给条件知该模型满足 Bulhmann 模型，且有 ( ) E(Xi∣ ) ,Var(Xi∣ )
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于是可以得到
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=E(( )) E( ) 2, v E(Var(Xi | )) E( ) 2 a Var(( )) 1
nv/a
1v / a
30
时。联立 2 个方程解得 v / a 1，u 1 。因此，如果前三个月没有赔案发生时，即 n 3 时，
5
5
未来一个月的预期赔案次数的参数估计为（1
3
3 v
/
a
）u
（1
3
3
1
）
1 5
1 80
。
5
5．设某保单过去2年的赔付额分别为X1，X2，现要估计第3年的赔付额X3。给定结构 参数，X1，X2，X3条件独立。已知：
,θ＞0。参数θ的后验分布密度函数π（θ｜x）的
正确表述是（ ）。[2011 年秋季真题]
A． （2 x 1)3 e (x1) 2
B． 3 x4 e x 6
C． （3 x 1)4 e (x1) 6
D． 2 x3e x 6
E． （4 x 1)4 e (x1) 24
【答案】C
【解析】 和 x 的联合分布概率为 ( , x) ( ) f(x ) e 2xex 3xe(x1) ，
M Eu 1000,v E[Var(X u)] 500,a V ar[E(X u)] V ar u 50 。 所 以 B ü
hlmann 信度因子为
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z 3 3 。故用 Bühlmann 信度方法估计下一赔案的预期赔款额为 3 v / a 13
X3 3 2X1 2X2 3 210 23
6．给定结构参数 ，某保单相继n年的赔付额X1，X2，…，Xn相互独立，且满足 E（Xi|）=E（Xi|），Var（Xi |）=Var（Xi|），i n
又各年赔付额服从参数为的泊松分布。已知结构参数满足P（=1）=P（=3）=1/2。 该保单过去2年的总赔付额为10，则该保单下一年的信度保费为（ ）。[2008年真题]
( ) f (
0
x1)d
0
2
2
x1e
x1
d
2 (1 3
x1) 。
3．已知： （1）赔款额 X 满足：E[X｜u]=u，Var[X｜u]=500； （2）随机变量 u 的期望为 1000，方差为 50； （3）前三起赔案的赔款额分别为：750，1075，2000； 用 Bühlmann 信度方法估计下一赔案的预期赔款额为（ ）。[2011 年秋季真题] A．1025 B．1063 C．1115 D．1181 E．1266 【答案】B 【解析】由题：
zX (1 z)M 3 750 1075 2000 10 1000 1063。
13
3
13
4．某保单每月赔款次数可看做均值未知的泊松分布。已知如果前一个月没有赔案发生
时，未来一个月的预期赔案次数的参数估计为 1/30；如果前两个月没有赔案发生时，未来
一个月的预期赔案次数的参数估计为 1/55。如果前三个月没有赔案发生时，未来一个月的
预期赔案次数的参数估计为（ ）。[2011 年秋季真题]
A．1/70
B．1/75
C．1/80
D．1/85
E．1/90
【答案】C
【 解 析 】 该 题 中 经 验 数 据 都 为 0 ， 因 此 B ü hlmann 信 度 保 费
( 1 z u)（1 n ）u 。由题意知：当 n 1时，有（1 1 ）u 1 ；当 n 2
f (x)
3
xe(
x1)
d
0
6x (x 1)4
。因此参数θ的后验分布密度函数
(
( , x) xe 3 (x1)
x)
3(x 1)4 e(x1)
。
f (x)
6x
6
(x 1)4
2．续第 1 题，给定 X1=x1，X2 的贝叶斯保费是（ ）。[2011 年秋季真题]
A． 31 x1 B． 2 1 x1
k v 2, z n 2 0.5
a
nk 22
下一年信度保费为： zx (1 z) 0.55 0.5 2 3.5。
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C．1 x1
D．
2（1 3
x1
)
E．
1（ 1 2
x1
)
【答案】D
【解析】x2 的贝叶斯保费 P E(X2 x1) E(( ) x1) ，而 ( )
2x2e xdx
2
。
0
因此
E(( ) x1)
Cov(X1, X3) =
αˆ1Cov(X1, X1) +
αˆ2Cov(
X
,
1
X
2
)
Cov(X 2, X3) = αˆ1Cov(X1, X 2 ) + αˆ2Cov(X 2, X 2 )
得到
9 = αˆ0 + αˆ1 + 2αˆ2 4 = αˆ1 + αˆ2 6 = αˆ1 + 2αˆ2
解得 αˆ0 = 3,αˆ1 = 2,αˆ2 = 2 ，从而第三年的信度保费为：
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A．21 B．23 C．25 D．27 E．29
【答案】B
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【解析】设第三年的信度保费 X3 ˆ0 ˆ1X1 ˆ2 X2,ˆ0、ˆ1、ˆ2 为未知常数，
根据以下等式：
Hale Waihona Puke E(X3) = αˆ0 + αˆ1E(X1) + αˆ2E( X 2 )