高考真题 三角函数的综合应用

三角函数的综合应用

2019年

1.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；

（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；

（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．

2010-2018年

一、选择题

1．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，

m 变化时，d 的最大值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2．（2016年浙江）设函数2

()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期

A ．与b 有关，且与c 有关

B ．与b 有关，但与c 无关

C ．与b 无关，且与c 无关

D ．与b 无关，但与c 有关 3．（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

3sin()6

y x k π

ϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10 4（2015浙江）存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有

A ．(sin 2)sin f x x =

B ．2

(sin 2)f x x x =+ C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+

5．（2015新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，

CD 与DA 运动，∠BOP =x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为

A B C D

6．（2014新课标Ⅰ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

7．（2015湖南）已知函数230

()sin(),()0,f x x f x dx π

ϕ=-=⎰

且

则函数()f x 的图象的一条对称轴

是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6

x π= 二、填空题

8．（2016年浙江）已知2

2cos sin 2sin((>0)x x A x b A ωϕ+=+)+,则A =__，b =__． 9．(2016江苏省) 定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点

个数是 ． 10．（2014陕西）设2

0π

θ<

<，向量()()sin 2cos cos 1θθθ==，

，，a b ，若∥a b ， 则=θtan _______．

11．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A ,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点.

（1）若6

π

ϕ=

，点P 的坐标为（0，

33

2

），则ω= ；

（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率

为 ．

三、解答题

12．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧

的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为

CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．

N

M P

O

A

B C

D

(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

13．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，

容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为

cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的

长度；

（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的

长度．