高中数学-二次函数的性质与图象练习
高一数学二次函数与图像题
高一数学二次函数与图像题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学模型、图像绘制等方面具有广泛的应用。
本文将通过几个具体的题目，来讨论二次函数的性质、图像特点以及解题技巧。
1. 求解二次函数的顶点坐标题目：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标为 $(-1, 2)$，且过点 $(2, 5)$。
求 $a$、$b$、$c$ 的值。
解析：由于已知顶点坐标为 $(-1, 2)$，可得到一个方程：\[a(-1)^2 + b(-1) + c = 2\]即：\[a - b + c = 2\]又因为过点 $(2, 5)$，可得到另一个方程：\[a(2)^2 + b(2) + c = 5\]即：\[4a + 2b + c = 5\]解方程组\[\begin{cases} a - b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \end{cases}\]经过计算，得到 $a = 2$，$b = -1$，$c = 1$。
因此，该二次函数的表达式为 $y = 2x^2 -x +1$。
2. 求二次函数的图像与相关性质题目：已知函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴相切于点 $(1,0)$，且该函数的极值为 $-4$，求 $b$、$c$ 的值。
解析：已知函数与 $x$ 轴相切于点 $(1, 0)$，说明该点为函数的顶点。
即顶点坐标为 $(1, -4)$。
因此，我们得到方程：\[1 + b + c = -4\]同时，根据极值的性质，可以知道顶点的纵坐标即是该函数的极值。
所以该函数极值为 $-4$。
解方程\[1 + b + c = -4\]经过计算，得到 $b = -6$，$c = -1$。
因此，该二次函数的表达式为 $y = x^2 - 6x - 1$。
此外，该函数的图像开口向上，顶点为 $(1, -4)$，且与 $x$ 轴相切于点 $(1, 0)$。
3. 解二次函数不等式题目：求解二次函数 $y = 2x^2 + 3x - 2$ 的不等式 $y \geq 0$ 的解集。
二次函数图像与性质练习题
二次函数图像与性质练习题二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
而对于学生来说，了解二次函数的图像和性质是非常重要的。
本文将通过一些练习题来帮助学生深入理解二次函数的图像和性质。
练习题一：给定函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 2，求解以下问题：1. 求函数 f(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 f(x) 的零点；3. 判断函数 f(x) 的开口方向和最值。
解答：1. 首先，我们知道二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求解。
将函数 f(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (-3/4, -23/8)。
对称轴方程为 x = -3/4。
2. 函数 f(x) 的零点即为方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = 1/2 和 x = -2。
3. 由于二次函数的系数 a 大于 0，所以函数的开口方向是向上的。
同时，由于顶点坐标的 y 值为 -23/8，所以函数的最值为最小值。
练习题二：给定函数 g(x) = -x^2 + 4x + 5，求解以下问题：1. 求函数 g(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 g(x) 的零点；3. 判断函数 g(x) 的开口方向和最值。
解答：1. 同样地，我们可以通过公式 x = -b/2a 和 y = g(-b/2a) 来求解顶点坐标。
将函数 g(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (2, 9)。
对称轴方程为 x = 2。
2. 函数 g(x) 的零点即为方程 -x^2 + 4x + 5 = 0 的解。
通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = -1 和 x = 5。
3. 由于二次函数的系数 a 小于 0，所以函数的开口方向是向下的。
同时，由于顶点坐标的 y 值为 9，所以函数的最值为最大值。
通过以上练习题，我们可以看到二次函数的图像和性质是与函数的系数相关的。
二次函数练习题及答案
二次函数练习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学建模和应用题中常见的内容。
在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的。
通过大量的练习，可以加深对二次函数的理解，提高解题能力。
本文将给出一些常见的二次函数练习题及答案，希望对读者的学习有所帮助。
题目一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（1,3），且在x轴上的截距为4，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：3=a+b+c0=a+4b+16c解方程组得：a=2，b=-6，c=7题目二：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-2,5），且在x轴上的截距为6，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：5=4a-2b+c0=36a+6b+c解方程组得：a=-1/6，b=1/3，c=1/2题目三：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（3,2），且在x轴上的截距为5，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：2=9a+3b+c0=25a+5b+c解方程组得：a=-1/5，b=2/5，c=0题目四：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-3,4），且在x轴上的截距为7，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：4=9a-3b+c0=49a+7b+c解方程组得：a=-1/7，b=2/7，c=4/7通过以上四道题目的练习，我们可以发现，已知二次函数的图象经过一个点和在x轴上的截距，可以得到一个含有三个未知数的方程组，通过解方程组可以求解出a，b，c的值。
这是二次函数的基本应用之一。
除了已知图象经过一个点和在x轴上的截距，还有其他常见的二次函数练习题类型，如已知顶点坐标、已知对称轴、已知与其他函数的关系等。
通过大量的练习，可以熟练掌握这些题型，并且在实际应用中能够灵活运用。
二次函数练习题的答案不仅仅是求出a，b，c的值，更重要的是理解解题过程。
在解题过程中，我们需要灵活运用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称性、判别式等。
高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.2二次函数的性质与图象自我小测新人教B版必修1
2.2.2 二次函数的性质与图象自我小测1．函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )A.(－∞，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－2，＋∞)2．函数f(x)＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是( )A.4 B．－4 C．与m的取值有关 D．不存在3．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )A.92⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．{9} D．(－∞，9)4．已知一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )5．已知定义在R上的二次函数f(x)，对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，且函数在区间(2，＋∞)上是增函数，则( )A.f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(－25)＜f(80) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m的取值范围是( )A.(0,4]B.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__________．8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上是减函数，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是__________．9．若二次函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于x＝2对称；(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．请写出函数f(x)的一个解析式__________(只要写出一个即可)．10．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.(1)当k＝1时，写出函数图象的对称轴方程、单调区间；(2)当实数k为何值时，图象经过原点？(3)当实数k在什么范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？11．定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.(1)当x＜0时，求f(x)的解析式．(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．参考答案1. 解析：此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x ＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞)．答案：B2. 解析：∵函数f (x )的图象开口向上，且对称轴x ＝2m＞0， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝4. 答案：A3. 解析：由题意，得Δ＝36－4×2m ＜0，则m ＞92. 答案：B 4. 答案：D5. 解析：因为对任意x ∈R ，有f (4－x )＝f (x )，所以二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.因为函数在(2，＋∞)上是增函数，所以抛物线开口向上．又因为11离2最近，80离2最远，所以f (11)最小，f (80)最大． 所以f (11)＜f (－25)＜f (80)． 答案：C6. 解析：函数y ＝x 2－3x －4＝32x ⎛⎫-⎪⎝⎭2－254，作出图象如图所示：由图象知对称轴为x ＝32，f (0)＝－4，f 32⎛⎫⎪⎝⎭＝－254，f (3)＝－4， 若函数在[0，m ]上有最小值－254， 所以m ≥32. 若函数在[0，m ]上有最大值－4， 因为f (0)＝f (3)＝－4，所以m≤3.综上可知，32≤m≤3.答案：C7.解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝12×4×4＝8.答案：88.解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.由f(x)在[0,1]上是减函数，可知a＞0，所以f(m)≤f(0)可化为am2－2am＋c≤c，即m2－2m≤0，得0≤m≤2.答案：[0,2]9.解析：二次函数的最小值为1，图象关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，所以f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)10. 解：(1)当k＝1时，函数y＝x2－2x，函数图象的对称轴方程为x＝1，函数的单调减区间为(－∞，1]，单调增区间为[1，＋∞)．(2)当k2＋k－2＝0，即k＝－2或k＝1时，函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2的图象经过原点．(3)因为函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2图象的顶点坐标为(k，k－2)，若函数图象的顶点在第四象限内，则20kk>⎧⎨<⎩，－，解得0＜k＜2.11. 解：(1)设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－4x2－8x－3.(2)由(1)知f(x)＝224(1)104(1)10x xx x⎧≥⎪⎨<⎪⎩－－＋，，－＋＋，，∴y＝f(x)有最大值f(1)＝f(－1)＝1.函数y＝f(x)的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]；单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)．。
高中数学同步学案 二次函数的图象和性质——增减性和最值
1．2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值二次函数的增减性与最值定理定理 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0,x ∈R),当a>0(a<0)时,在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上递减(递增),在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上递增(递减),图象曲线开口向上(下),在x ＝－b 2a 处取到最小(大)值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝－Δ4a ,这里Δ＝b 2－4ac.试求二次函数y ＝x 2＋2x －3的单调区间和最值．[提示] 在区间(－∞,－1]上是减函数,在[－1,＋∞)上为增函数,当x ＝－1时,y 有最小值,y min ＝－4.二次函数的单调性及应用[例1] 已知函数(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)求这个函数的最小值；(3)不直接计算函数值,试比较f(－1)和f(1)的大小． [思路点拨] 配方后确定单调区间,利用单调性求解．[解] 配方,得y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－18,对称轴为x ＝34.(2)因为2>0,所以抛物线开口向上, 所以当x ＝34时,y min ＝－18.(3)∵函数y ＝2x 2－3x ＋1的对称轴为x ＝34,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋x . ∴f(－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－74＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋74＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.又∵函数f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上是增函数,52>1>34,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f(1),即f(－1)>f(1).借题发挥 配方法是解决二次函数单调性和最值的较好方法,在求函数的最值前往往需要确定函数的单调性.1．函数f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是单调函数的条件是( ) A ．a ∈(－∞,1] B ．a ∈[2,＋∞)C ．a ∈[1,2]D ．a ∈(－∞,1]∪[2,＋∞)解析：选D f(x)＝x 2－2ax －3＝(x －a)2－a 2－3, 若f(x)＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上是单调函数, ∴a≤1或a≥2.2．已知函数y ＝(m 2－3m)xm 2－2m ＋2是二次函数,则m ＝________,该函数的值域为________．解析：由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m≠0，m 2－2m ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m≠0且m≠3，m ＝0或m ＝2，所以m ＝2,所以y ＝－2x 2.故值域为{y|y≤0}． 答案：2 {y|y≤0}二次函数的最值及应用[例2] 金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？ [思路点拨] 建立二次函数模型求解．[解] (1)当每辆的月租金为3 600元时,未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12,所以这时租出了100－12＝88(辆)． (2)设每辆车的月租金定为x 元,则月收益f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50 ＝－150x 2＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时,f(x)最大,最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司收益最大,最大收益为307 050元. 借题发挥 二次函数是我们接触最早的基本初等函数,建立二次函数模型可以解决生活中的最值优化问题,值得注意的是在求二次函数最值时,切记要注意自变量的取值范围.3．某商店已按每件80元成本购进某种上装1000件,根据市场预测,当每件售价100元时,可全部售完,若定价每提高1元时,销售量就减少5件,若要获得最大利润,则销售价应定为( )A ．110元B ．130元C ．150元D ．190元解析：选D 设每件涨价x 元,利润函数为： y ＝(100＋x －80)(1000－5x) ＝(20＋x)(1000－5x) ＝－5x 2＋900x ＋20000.当x ＝90时,y 取最大值,故销售价定为190元．1．函数y ＝－x 2＋1的单调增区间是( ) A ．[0,＋∞) B ．(－∞,0] C ．(0,＋∞)D ．(－∞,＋∞)解析：选B ∵y ＝－x 2＋1为开口向下,对称轴为x ＝0的抛物线, ∴该函数y ＝－x 2＋1在(－∞,0]上递增．2．函数f(x)＝x 2＋4ax ＋2在(－∞,6)内递减,则a 的取值范围是( ) A ．[3,＋∞) B ．(－∞,3] C ．[－3,＋∞)D ．(－∞,－3]解析：选D ∵f(x)＝x 2＋4ax ＋2在(－∞,6)内递减, ∴－4a2≥6,即a≤－3.3．若y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值为2,则k ＝________. 解析：∵y ＝－x 2＋4x ＋k＝－(x 2－4x ＋4)＋4＋k ＝－(x －2)2＋4＋k, ∴其最大值为4＋k ＝2,∴k ＝－2. 答案：－24．已知一次函数y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限,且在区间[－2,1]上的最大值和最小值分别为1和－2,求函数f(x)＝x 2－ax ＋b 在[－2,1]上的最大、最小值．解：∵y ＝ax ＋b 不经过第一象限,且最大、最小值不等,∴a<0, 从而有y max ＝－2a ＋b ＝1,y min ＝a ＋b ＝－2,∴a ＝－1,b ＝－1,即f(x)＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54.∵x≤－12时,f(x)单调递减,而x≥－12时,f(x)单调递增．∴在[－2,1]上,f(x)max ＝f(－2)＝f(1)＝1,f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－54.简述二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的性质函数的图象是一条抛物线,抛物线顶点的坐标是(h,k),抛物线的对称轴是直线x ＝h,h ＝－b2a,k ＝4ac －b24a；当a>0时,抛物线开口向上,函数在x ＝h 处取最小值k ＝f(h)；在区间(－∞,h]上是减函数,在区间[h,＋∞)上是增函数；当a<0时,抛物线开口向下,函数在x ＝h 处取最大值k ＝f(h)；在区间(－∞,h]上是增函数,在区间[h,＋∞)上是减函数．一、选择题1．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调递减区间为( ) A ．[0,＋∞) B ．[1,＋∞) C ．[1,2] D ．(－∞,32]答案：D2．若f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3的图象关于y 轴对称,则f(x)在(－3,1)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减D ．先减后增解析：选C ∵f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3的图象关于y 轴对称 ∴m ＝0,∴f(x)＝－x 2＋3, ∴f(x)在(－3,1)上先增后减．3．某商品进货价为每件40元,当售价为50元时,一个月能卖出500件．通过市场调查发现,若每件商品的单价每提高1元,则商品一个月的销售量会减少10件,商店为使销售该商品的月利润最高,应将每件商品定价为( )A ．45元B ．55元C ．65元D ．70元解析：选D 设当商品定价为x 元时,商店的销售利润为y 元,则有 y ＝(x －40)[500－10(x －50)](x≥50) ＝(x －40)(1000－10x)＝－10x 2＋1 400x －40 000(x≥50), ∴当x ＝70时,y 有最大值．4．函数f(x)＝9－ax 2(a>0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a) C ．9－aD ．9－a 2解析：选A f(x)＝－ax 2＋9开口向下,在[0,3]上单调递减,所以在[0,3]上最大值为9. 二、填空题5．用一根长为12 m 的铁丝折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是________． 解析：设矩形一边长为x m, 则另一边长为12－2x2＝(6－x) m,∴面积S ＝x(6－x)＝－x 2＋6x(0<x<6), ∴当x ＝3时,S max ＝－32＋18＝9. 答案：9 m 26．函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调减区间是(－∞,4],则a 的值为________．解析：f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2.∴f(x)的单调递减区间是(－∞,1－a]． 又∵f(x)的单调递减区间是(－∞,4], ∴1－a ＝4,即a ＝－3. 答案：－3 三、解答题7．求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－4x ＋6,x ∈[1,5)； (2)y ＝2x －x －1.解：(1)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5),∴如图所示：函数的值域为[2,11)． (2)函数的定义域是{x|x≥1}． 令x －1＝t,则t≥0,x ＝t 2＋1, ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2,问题转化为y(t)＝2t 2－t ＋2在t ∈[0,＋∞)值域的问题．用配方法解决, ∴y ＝2(t －14)2＋158,∵t≥0,如图,则y min ＝158,∴所求函数的值域为[158,＋∞)．8．已知f(x)＝x 2＋ax ＋3在[－1,1]上的最小值为－3,求a 的值． 解：当－a2>1,即a<－2,y min ＝f(1)＝4＋a ＝－3,∴a ＝－7. 当－1≤－a2≤1,即－2≤a≤2,y min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－a 24＝－3,∴a ＝±26(舍去)． 当－a2<－1,即a>2时,y min ＝f(－1)＝4－a ＝－3, ∴a ＝7.综上可知,a ＝±7.。
第12节 二次函数的图象和性质
27＋10a a＜－5.
练习：若函数 f（x）解：=x函2+数afx（+xb）在=x2区+ax间+b[的0图，象1是]上开的口朝最上大且值以直是线Mx=，﹣最为小对值称是轴的m抛，物则线，
解：函数 y=x2+（1﹣a）x+2 的对称轴 x= 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函 数，可得 ≥4，，得 a≥9． 故选 A．
典例分析：
（3）如果函数 f（x）=ax2+2x﹣3 在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数 a
的取值范围是（ ）
A.（- 1，+） 4
B.[- 1 ，+） 4
C.[- 1 ，0） 4
典例分析：
例 4：（1）已知函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数 x，f（x）＜0 恒成立，则
m 的范围为（ ）
A．（﹣4，0）
解：当 m=0 时，代B．入（得﹣f（4x），=0﹣]1＜0 恒成立；
当 m≠0 时，由 f（x）＜0 恒成立，
C．（﹣∞，﹣4）∪得（到0m，＜+0，∞且）△=D（．﹣（m﹣）2∞﹣4，×m﹣（4﹣）1）∪=[m02+，4m+＜∞0，）
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
D．﹣
即 a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令 t=x2﹣x，只要 a2﹣a﹣1＜tmin．
t=x2﹣x=
，当 x∈R，t≥﹣ ．
∴a2﹣a﹣1＜﹣ ，即 4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣
．
故选：C．
练习：若函数 f（x）=x2﹣4x+a 对于一切 x∈[0，1]时，恒有 f（x）≥0 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
高中数学练习题附带解析二次函数的性质与变形
高中数学练习题附带解析二次函数的性质与变形【高中数学练习题附带解析：二次函数的性质与变形】一、基础知识梳理1. 二次函数的定义：在笛卡尔坐标系中，自变量 x 的平方可写成形如 y=ax²+bx+c 的函数称为二次函数，其中 a、b、c 是常数且a≠0。
2. 二次函数的图像特征：- 当 a>0 时，二次函数的图像开口向上，顶点为最小值点；- 当 a<0 时，二次函数的图像开口向下，顶点为最大值点。
二、基本习题1. 已知二次函数 y=ax²+2x+3，求该函数的顶点坐标以及开口方向。
解析：根据题目已知条件可知 a=1，b=2，c=3。
通过求顶点坐标和判断 a 的正负来确定开口方向。
- 顶点坐标：x=-b/2a=-2/(2×1)=-1，代入函数得到 y=(1)(-1)²+2(-1)+3=4，故顶点坐标为 (-1,4)。
- 开口方向：a=1>0，因此二次函数的图像开口向上。
2. 已知二次函数的函数图像如下图所示，求该函数的解析式。
解析：根据题目给出的函数图像可知，图像开口向上，且图像经过点（-1,0）、（1,0），因此该函数的解析式为 y=a(x+1)(x-1)。
接下来我们需要求解 a 的值，可通过给定的点（3,8）求得。
将 x=3，y=8 代入函数得到 8=a(3+1)(3-1)→8=8a，解得 a=1。
所以该函数的解析式为 y=(x+1)(x-1)。
三、进阶习题1. 已知二次函数的函数图像经过点（1,3），且在 x 轴上有两个不等的实根，求该函数的解析式。
解析：已知图像经过点（1,3），代入函数得到3=a(1)²+b(1)+c→3=a+b+c。
又已知该函数有两个不等的实根，即判别式Δ=b²-4ac>0。
将 x=0 代入函数可得到 c=3-a-b。
将Δ>0 代入Δ=b²-4ac>0 可得到 b²-4a(3-a-b)>0，化简后得到 b²+(4a-12)a+4a-9>0。
二次函数图像与性质练习题及参考答案
二次函数图像与性质练习题及参考答案二次函数是高中数学中一个重要的概念，在学习这一部分知识的过程中掌握二次函数的图像和性质是非常关键的。
本文将提供二次函数图像与性质的练习题及参考答案，帮助学生加深对这方面知识的理解和掌握。
第一题：给定函数 $f(x)=x^2+2x-3$，试回答下列问题：1. $f(x)$ 的自变量定义域是什么？2. $f(x)$ 的值域是什么？3. $f(x)$ 的对称轴方程是什么？4. $f(x)$ 的顶点坐标是什么？5. $f(x)$ 的图像是否有对称性？参考答案：1. 自变量定义域为实数。
2. 值域为 $y\ge -4$。
3. 对称轴方程为 $x=-1$。
4. 顶点坐标为 $(-1,-4)$。
5. 图像有对称轴对称性。
第二题：给定函数 $f(x)=-\frac{1}{2}x^2+4$，试回答下列问题：1. $f(x)$ 的自变量定义域是什么？2. $f(x)$ 的值域是什么？3. $f(x)$ 的对称轴方程是什么？4. $f(x)$ 的顶点坐标是什么？5. $f(x)$ 的图像是否有对称性？参考答案：1. 自变量定义域为实数。
2. 值域为 $y\le 4$。
3. 对称轴方程为 $x=0$。
4. 顶点坐标为 $(0,4)$。
5. 图像有对称轴对称性。
第三题：给定函数 $f(x)=3x^2-12x+7$，试回答下列问题：1. $f(x)$ 的自变量定义域是什么？2. $f(x)$ 的值域是什么？3. $f(x)$ 的对称轴方程是什么？4. $f(x)$ 的顶点坐标是什么？5. $f(x)$ 的图像是否有对称性？参考答案：1. 自变量定义域为实数。
2. 值域为 $y\ge -2$。
3. 对称轴方程为 $x=2$。
4. 顶点坐标为 $(2,-5)$。
5. 图像有对称轴对称性。
第四题：给定函数 $f(x)=-2x^2+8x+3$，试回答下列问题：1. $f(x)$ 的自变量定义域是什么？2. $f(x)$ 的值域是什么？3. $f(x)$ 的对称轴方程是什么？4. $f(x)$ 的顶点坐标是什么？5. $f(x)$ 的图像是否有对称性？参考答案：1. 自变量定义域为实数。
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高中数学-二次函数的性质与图象练习课时过关·能力提升
1函数y=x2-2x+m的单调递增区间为()
A.(-∞,+∞)
B.[1,+∞)
C.(-∞,1]
D.[-2,+∞)
解析因为二次函数的图象开口向上,且对称轴为x=1,
所以单调递增区间为[1,+∞).
答案B
2函数f(x)=x2-mx+4(m>0)在(-∞,0]上的最小值是()
A.4
B.-4
C.与m的取值有关
D.不存在
解析因为函数f(x)的图象开口向上,且对称轴x=>0,
所以f(x)在(-∞,0]上为减函数,
所以f(x)min=f(0)=4.
答案A
3二次函数y=4x2-mx+5的对称轴为x=-2,则当x=1时,y的值为() A.-7 B.1
C.17
D.25
解析由已知得-=-2,解得m=-16,
故y=4x2+16x+5.当x=1时,y=4×12+16×1+5=25.
答案D
4已知二次函数f(x)=x2-ax+7,若f(x-2)是偶函数,则a的值为()
A.4
B.-4
C.2
D.-2
解析由已知得f(x-2)=(x-2)2-a(x-2)+7=x2-(a+4)x+2a+11.
因为f(x-2)是偶函数,
所以其图象关于y轴对称,
即=0,所以a=-4.
答案B
5已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是()
答案D
6已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是()
A.[1,+∞)
B.[1,2)
C.[1,2]
D.(-∞,2]
解析由于y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其图象如图所示,且f(0)=3,f(1)=2,f(2)=3.结合图象可知m的取值
范围是[1,2].
答案C
7已知二次函数f(x)=ax2+bx-1(a≠0).若f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)等于()
A.-
B.-
C.-1
D.0
解析由f(x1)=f(x2)可得f(x)图象的对称轴为x=,
故=-,即x1+x2=-,
所以f(x1+x2)=f=a·+b·-1=-1=-1.
答案C
8已知f(x)=ax2-2x-6,且f(-1)=-6,则f(x)的单调递减区间是.
解析由已知得a×(-1)2-2×(-1)-6=-6,
即a=-2,故f(x)=-2x2-2x-6,
其图象开口向下,对称轴为x=-,故单调递减区间是.
答案
9已知二次函数的图象开口向上,且满足f(2 017+x)=f(2 017-x),x∈R,则f(2 013)与f(2 018)的大小关系为.
解析由题意知,二次函数图象的对称轴为x=2 017.
∵|2 013-2 017|>|2 018-2 017|,
∴f(2 013)>f(2 018).
答案f(2 013)>f(2 018)
10若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=.
解析f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称,
故2a+ab=0.又∵值域为(-∞,4],
∴b<0,2a2=4.
∴b=-2.∴f(x)=-2x2+4.
答案-2x2+4
11已知函数y=(m-2)+6x+2是一个二次函数,求m的值,并判断此抛物线的开口方向,写出它是由函数y=(m-2)通过怎样的平移得到的.
分析根据二次函数的定义确定二次函数的解析式,应注意二次函数的二次项系数不为零,且x的最高次数是2.
图象进行平移变换时,通常先将解析式配方为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,再由y=ax2(a≠0)通过左右(或上下)平移得到.
解由解得m=-1.
于是y=-3x2+6x+2=-3(x-1)2+5,抛物线开口向下.
它可由函数y=-3x2向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度得到.
★12已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.
(1)当a=2时,写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)当a>2时,求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
解(1)当a=2时,f(x)=x|x-2|=
当x≥2时,f(x)=x(x-2)=(x-1)2-1,单调递增区间是[2,+∞);
当x<2时,f(x)=x(2-x)=-(x-1)2+1,单调递增区间是(-∞,1].
(2)因为a>2,x∈[1,2],所以f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-.
当1<,即2<a≤3时,f(x)min=f(2)=2a-4;
当≤2,即3<a≤4时,
f(x)min=f(1)=a-1.
当>2,即a>4时,f(x)min=f(1)=a-1.
故f(x)min=
★13若函数f(x)= x2-x+a的定义域和值域均为[1,m](m>1),求实数a,m的值.
解因为f (x)= x2-x+a= (x-1)2-+a,
所以f(x)图象的对称轴是x=1,
且f(x)在[1,m]上是单调递增的.
所以f(x)在[1,m]上的值域为[f(1),f(m)], 即
解得
故a=,m=3.。