北京理工大学附中2019—2020学年度第二学期高二数学期末练习
2019-2020学年北京市人大附中高二下学期期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市人大附中高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设z=1−i(i为虚数单位)，则z2+2的共轭复数是()zA. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.若二次函数y=f(x)的图象过原点，且它的导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则y=f(x)的图象的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知曲线y=−3lnx的一条切线的斜率为−，则切点的横坐标为()A. 3B. 2C. 1D.4.点P在函数y=lnx的图象上，若满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则实数a的值为()A. 1B. −3C. 2D. −2√25.设函数f(x)=x2，则()e xA. x=0为f(x)的极大值点B. x=2为f(x)的极大值点C. x=1为f(x)的极小值点D. x=1为f(x)的极大值点6.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量(万辆)比上年同期增长(%)销量(万辆)比上年同期增长(%) 2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.45月9.685.610.2125.66月8.631.78.442.97月953.68.447.78月9.93910.149.59月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61--12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.6138 2月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是()A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆7.已知定义在R上的函数y=f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，且x∈(−∞,0)时，f(x)+xf′(x)<0成立，(其中f′(x)是f(x)的导函数)，a=(30.3)f(30.3)，b=(logπ3).f(logπ3)，c=(log319)f(log319)则a，b，c的大小关系是()A. a>b>cB. c>b>aC. c>a>bD. a>c>b8.下列函数中，随着x的增大，增大速度最快的是()A. y=50B. y=1000xC. y=lgxD. y=11000e x9.若y=(x+1)(x+2)(x−1)，则y′=()A. x3+2x2−x−2B. 3x2+4x−1C. 3x2+4x−2D. 3x2+4x−310.根据广安市环保部门的空气质量监测资料表明，广安市一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.若广安市某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A. 0.45B. 0.6C. 0.75D. 0.8二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知区间(0,+∞)为函数f(x)=ax+bx(a,b∈R,b≠0)的单调递增区间，则a，b满足的条件是______．12.在复平面内，复数i、1、4+2i所对应的点分别为A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的中点所对应的复数为______．13.已知f′(x)为函数f(x)=2x+sinx的导函数，则f′(0)=______．14.函数f(x)(x∈R)满足f(1)=2且f(x)在R上的导数f′(x)满足f′(x)−3>0，则不等式f(log3x)<3log3x−1的解集为______ ．15.命题：“存在正实数x，y，使5x+5y=5x+y成立”的否定形式为______ ．三、解答题（本大题共3小题，共35.0分）16.已知函数，R.(1)求函数的单调区间；(2)是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．17.在平面直角坐标系xoy中，F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一，象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34(1)求抛物线C的方程；(2)若点M的横坐标为√2，直线l：y=kx+1与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个4≤k≤2时，|AB|2+|DE|2的最小值．不同的交点D，E，求当1218.设f(x)=a(x−5)2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵z=1−i，∴z2+2z =(1−i)2+21−i=−2i+2(1+i)(1−i)(1+i)=−2i+2(1+i)2=1−i，∴z2+2z的共轭复数是1+i．故选：D．把z=1−i代入z2+2z，利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．2.答案：C解析：设二次函数y=f(x)=ax2+bx，利用它的导数y=f′(x)=2ax+b是经过第一、二、三象限的一条直线，可得a>0，b>0，y=f(x)的图象顶点(−b2a ,−b24a)在第三象限．本题考查求函数的导数的方法，直线在坐标系中的位置与斜率、截距的关系，二次函数的性质．解：由题意可知可设二次函数y=f(x)=ax2+bx，它的导数y=f′(x)=2ax+b，由导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，∴a>0，b>0，y=f(x)的图象顶点(−b2a ,−b24a)在第三象限，故选C．3.答案：B解析：由y=−3lnx，得，设斜率为的切线的切点为(x0,y0)，则，由，解得：x0=−3或x0=2，∵函数的定义域为(0,+∞)，∴x0=2．故选B．4.答案：B解析：解：过函数y=lnx的图象上点P(x0,y0)作切线，使得此切线与直线y=x+a平行，又y′=1x ，于是1x0=1，则x0=1，y0=0，∴P(1,0)，当点P到直线y=x+a的距离为√2时，则满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，∴d=√1+1=√2，解得a=1或a=−3，又当a=1时，函数y=lnx的图象与直线y=x+1没有交点，只有两个点到直线距离为√2，所以不满足条件，故a=−3．故选：B．要满足到直线y=x+a的距离为√2的点P有且仅有3个，则需要直线与函数y=lnx的图象相交，而且点P在函数y=lnx的图象上满足在直线一侧有一个点到直线距离为√2，另外一侧两个点到直线距离为√2，于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点，进一步求出实数a的值．本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的转化能力，属于中档题．5.答案：B解析：解：函数f(x)=x2e x ，则函数f′(x)=x(2−x)e x，令f′(x)=0，解得x=0或x=2，当f′(x)>0，解得0<x<2，∴函数f(x)在(0,2)单调递增；由f′(x)<0，解得x>2或x<0，∴函数f(x)在(−∞,0)和(2,+∞)上单调递减．∴函数f(x)在x=0取得极小值，f(0)=0；在x=2取得极大值，f(2)=4e2．故选：B．先求出函数的导数，令f′(x)=0，求出可能的极值点，分别得到单调区间，从而求出函数的极值．本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，属于中档题．6.答案：D解析：解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为： 6.81+1.05≈3.32，所以选项A 正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：125.61+0.617≈77.67，所以选项B 正确； 由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C 正确； 由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25=2.4，所以选项D 错误， 故选：D ．由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A ，B 正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出． 本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．7.答案：C解析：解：∵当x ∈(−∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立 即：(xf(x))′<0，∴xf(x)在(−∞,0)上是减函数．又∵函数y =f(x −1)的图象关于点(1,0)对称， ∴函数y =f(x)的图象关于点(0,0)对称， ∴函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数 ∴xf(x)是定义在R 上的偶函数 ∴xf(x)在(0,+∞)上是增函数．又∵30.3>1>log π3>0>log 3 19=−2， 2=−log 3 19>30.3>1>log π 3 >0．∴(−log 319)⋅f(−log 319)>30.3⋅f(30.3)>(log π3)⋅f(log π3)即(log 319)⋅f(log 319)>30.3⋅f(30.3)>(log π3)⋅f(log π3) 即：c >a >b 故选C ．由“当x ∈(−∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立”知xf(x)是减函数，要得到a ，b ，c 的大小关系，只要比较30.3,log π 3,log 3 19的大小即可．本题考查的考点与方法有：1)所有的基本函数的奇偶性；2)抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3)导数的运算法则：(uv)′=u′v+uv′；4)指对数函数的图象；5)奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．本题结合已知构造出ℎ(x)是正确解答的关键所在．8.答案：D解析：解：根据题意，依次计算4个选项中函数的导数：对于A，y=50，其导数为y′=0，对于B，y=1000x，其导数y′=1000，对于C，y=lgx，其导数为y′=1x，对于D，y=11000e x，其导数为y′=e x1000，分析可得，当x增大时，增大速度最快的是y=11000e x；故选D．根据题意，依次计算4个选项中函数的导数，由导数的几何意义分析可得答案．本题考查函数的导数的几何意义，注意利用导数的几何意义进行分析．9.答案：B解析：解：∵y=(x+1)(x+2)(x−1)，∴y′=(x+2)(x−1)+(x+1)(x−1)+(x+1)(x+2)=3x2+4x−1，故选B．利用导数运算法则直接运算即可．本题考查了导数的简单运算，属于基础题．10.答案：D解析：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为x，则0.75x=0.6，解得x=0.8．故选：D．设随后一天的空气质量为优良的概率为x，相互独立事件发生的乘法公式，解方程可得所求值．本题考查相互独立事件发生的乘法公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.答案：a≥0，b<0解析：解：区间(0,+∞)为函数f(x)=ax +bx (a,b ∈R,b ≠0)的单调递增区间， f′(x)=a −bx 2=ax 2−b x 2≥0．①a =0时，f′(x)=−bx 2>0，解得b <0． ②a ≠0时，f′(x)=a(x 2−b a)x 2，a >0，b <0时，f′(x)>0.满足条件． a <0，b >0时，f′(x)<0.不满足条件． a >0，b >0时，f′(x)=a(x+√b a)(x−√b a)x 2.在区间(0,√ba )内单调递减，不满足条件，舍去．a <0，b <0时，f′(x)=a(x+√ba )(x−√ba )x 2.在区间(√ba,+∞)内单调递减，不满足条件，舍去．综上可得：a ≥0，b <0时，满足条件． 故答案为：a ≥0，b <0．区间(0,+∞)为函数f(x)=ax +bx (a,b ∈R,b ≠0)的单调递增区间，可得f′(x)=a −b x 2=ax 2−b x 2≥0.对a ，b 分类讨论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.答案：2+32i解析：解：由题意可知，A(0,1)，C(4,2)， 则AC 的中点坐标为(2,32)，由平行四边形的对角线互相平分，可得BD 的中点为(2,32)， 则BD 的中点所对应的复数为2+32i ． 故答案为：2+32i ．由已知求得A ，C 的坐标，进一步求得AC 的中点坐标，则答案可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查中点坐标公式的应用，是基础题．13.答案：ln2+1解析：解：∵f′(x)=2x ln2+cosx ， ∴f′(0)=ln2+1． 故答案为：ln2+1．可求出导函数，然后即可得出f′(0)的值．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：(0,3)解析：令g(x)=f(x)−3x，求出g(1)=−1，问题转化为g(log3x)<g(1)，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及对数函数的性质，是一道中档题．解：令g(x)=f(x)−3x，则g′(x)=f′(x)−3>0，可得g(x)在R上递增，由f(1)=2，得g(1)=f(1)−3=−1，f(log3x)<3log3x−1，即g(log3x)<g(1)，故log3x<1，解得：0<x<3，故不等式的解集是：(0,3)．15.答案：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“存在正实数x，y，使5x+5y=5x+y成立”的否定形式为：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．故答案为：对任意的正实数x，y，5x+5y≠5x+y．利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，注意量词的变换，基本知识的考查．16.答案：(1)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间.(2)存在，范围为解析：试题分析：(1)函数的定义域为，．①当时，，∵∴，∴函数单调递增区间为②当时，令得，即，．(ⅰ)当，即时，得，故，∴函数的单调递增区间为．(ⅰ)当，即时，方程的两个实根分别为，．若，则，此时，当时，．∴函数的单调递增区间为，若，则，此时，当时，，当时，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间．(2)由(1)得当时，函数在上单调递增，故函数无极值当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，∴有极大值，其值为，其中．∵，即，∴．设函数，则，∴在上为增函数，又，则，∴．即，结合解得，∴实数的取值范围为．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X 轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．17.答案：解：(1)由题意可知F(0,p 2)，圆心Q 在线段OF 平分线y =p 4上，因为抛物线C 的准线方程为y =−p 2，所以3p 4=34，即p =1，因此抛物线C 的方程x 2=2y;(2)点M 的横坐标为√2，∴M(√2,1)，∵F (0,12)，∴直线FM ：y =√24x +12， ∴直线FM 的中垂线为y =−2√2x +114， ∵Q 既在直线y =14上又在y =−2√2x +114上， ∴Q(5√28,14)，⊙Q 的半径为：r =(5√28)(14)=3√68， 所以⊙Q 的方程为(x −5√28)2+(y −14)2=2732． 由{y =12x 2y =kx +14，整理得2x 2−4kx −1=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由于△=16k 2+8>0，x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−12，所以|AB|2=(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=(1+k 2)(4k 2+2); 由{(x −5√28)2+(y −14)2=2732y =kx +14，整理得(1+k 2)x 2−5√24x −116=0， 设D ，E 两点的坐标分别为(x 3,y 3)，(x 4,y 4)，由于△=k 24+278>0，x 3+x 4=5√24(1+k 2)，x 3x 4=−116(1+k 2)，所以|DE|2=(1+k 2)[(x 3+x 4)2−4x 3x 4]=258(1+k 2)+14，因此|AB|2+|DE|2=(1+k 2)(4k 2+2)+258(1+k 2)+14，令1+k 2=t ，由于12≤k ≤2，∴54≤t ≤5，所以|AB|2+|DE|2=t(4t −2)+258t +14=4t 2−2t +258t +14，设g(t)=4t 2−2t +258t +14，t ∈[54,5]，因为g′(t)=8t −2−258t 2=64t 3−16t 2−258t 2，令ℎ(t )=64t 3−16t 2−25，则ℎ′(t )=192t 2−32t ，则t ∈[54,5]，ℎ′(t )>0，ℎ(t )单调递增，∴g′(t)≥g′(54)=6，即函数g(t)在t ∈[54,5]是增函数， 所以当t =54时，g(t)取最小值132，因此当k =12时，|AB|2+|DE|2的最小值为132．解析：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，属于较难题．(1)通过F(0,p 2)，圆心Q 在线段OF 平分线y =p 4上，推出求出p =1，推出抛物线C 的方程．(2)点M 的横坐标为√2时，求出⊙Q 的方程．利用直线与抛物线方程联立方程组，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，求出|AB|2.同理求出|DE|2，通过|AB|2+|DE|2的表达式，通过换元，利用导数求出函数的最小值． 18.答案：解：(1)f′(x)=2a(x −5)+6x ，依题意，f′(1)=6−8a =2，得a =12．(2)由(1)知，f(x)=12(x −5)2+6lnx(x >0)，f′(x)=x −5+6x =(x−2)(x−3)x ．令f′(x)=0，得x =2或3．x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调增区间为(0,2)和(3,+∞)，单调减区间为(2,3)．f(x)的极大值f(2)=92+6ln2，极小值f(3)=2+6ln3．解析：(1)依题意，f′(1)=2，解得a．(2)由(1)知，f(x)=12(x−5)2+6lnx(x>0)，f′(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)x.令f′(x)=0，得x=2或3.可得x，f′(x)，f(x)的变化情况列出表格，即可得出函数f(x)的单调区间与极值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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北京市重点名校2019-2020学年高二下学期期末监测数学试题 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
21.已知椭圆E: — +y 2=l,点P 在椭圆E 上且在第四象限，A 为左顶点，3为上顶点，FA 交》轴于 4 .点C, 交X 轴于点。
，则PCD 面积的最大值为()A. 2-^2B. 72 c. ^2-i D. V2+1 【答案】C 【解析】 【分析】 2若设P(m,n),其中m>0,n<0,则—+/r=l,求出直线PA, PB 的方程，从而可得C ，。
两点的 4 坐标，表示PCD 的面积S^PCD =^m-2n-2),设出点P(m,n)处的切线方程，与椭圆方程联立成方 程组，消元后判别式等于零，求出点P(m,n)的坐标可得答案. 【详解】 解：由题意得 A(-2,0),B(0,l),设P(m,ri),其中 m>0,n<0, ri n — \ 所以直线PA^jy = -------------- 3 + 2),直线尸8为> =—— x + 1, m + 2 m TH 可得 C(0,— ),D(L ，0), m + 21 — n — z m 三m-2n + 2 所以&D =——+ 2 = ,1-n 1—n 1 m-2n + 2 ( In )nm 2 + 2mn-Imn 1所以 S APCD =- -------------------------- —-T ~n= —_——— 2 1-n (m + 2 ) 2(n-l)(m+2)ml //Z7 v则——+ W=1, 4n(2n + m + 2) 1 ,-- ---------=—(m- 2n- 2), m + 2----------- 2设P(m, n)处的切线方程为x-2y + t = 0(t< 0)由< x-2y+t=0 X 2 2—+ =114 - 得8y 2 — 4/y + t 2—4 = 0 > A = —16/" +128 = 0 > 解 t = 2.x/— ' 此时方程组的解为 x = y/2很，—5即点p(Ji,一马时, PCD 面积取最大值^2-1故选：c【点睛】此题考查了椭圆的性质，三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.【答案】D 【解析】 分析：欲求函数y=l*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值 的取值范围即可.详解：当时，即x20时，函数y=l*2x =l 当1>2、时，即x<0时，函数y=l*2x =2x1, %>02\ %<0函数y=l*2'的值域为：（0, 1]. 故选D.点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数 的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根 据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质. 23. 设a = 2 3；= iog 35,c = log 45 * 则8, °的大小关系是()A. a<c<bB. a<b <CC. b < c < aD. c<b <a【答案】A2.定义运算。
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理(29).doc
2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题理(29)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只且仅有一项是符合题目要求的）1.已知31iz i=-，则复数z 在复平面对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知集合}0)1)(2(|{},30|{>-+=<<=x x x B x x A ，则=B A （ ）()3,0.A ()3,1.B ()3,2.C ()()∞+-∞-，02,. D3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是（ ）A ．y =B ．sin y x x =C ．1lg1x y x-=+ D ．x xy e e -=- 4.”“3πα=是”“21cos =α成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 函数()x x f x 2log 2+=的零点个数为（ ） A.0B.1C.2D.36.已知随机变量ξ服从正态分布()22σ，N ，且()8.04=<ξP ,则()=<<20ξP （ ）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3 7.已知3log ,21log ,3213131===c b a ，则（ ） c b a A >>. a c b B >>. a b c C >>. c a b D >>.8. 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是（ ）.A 甲.B 乙.C 丙 .D 丁9.函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为（ ）10. 在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ） A ． 34种 B ．48种 C ．64种 D ．96种11.函数[]2()2,55f x x x x =--∈-，,定义域内任取一点0x ，使0()0f x ≤的概率是（ ）101.A 103.B 32.C 54.D12.设函数()(21)xf x e x ax a =-+-，其中1a >-，若关于x 不等式()0f x <的整数解有且只有一个，则实数a 的取值范围为（ ） A. 3(1,]2e- B ．3(1,]2e -- C ．33(,]42e -- D ． 33(,]42e -第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置）13. 若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的常数项是84，则实数a = .14.已知函数()x f y =的图象在点())1(1f M ，处的切线方程是221+=x y ，则)1(')1(f f + = .15.在区间[]1,1-上随机取两个数,x y ，则满足21y x ≥-的概率为 .D16.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬 币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 .三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数). 在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC（1） 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; （2） 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.18．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-. （1）求不等式()8f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()31f x m +≤有解，求实数m 的取值范围．19. （本小题满分12分）某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.（1）求线性回归方程；(440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x )（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：∑∑=-=--Λ--=ni ini ii xn xyx n y x b 1221，-Λ-Λ-=x b y a20. （本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC ,E 是PD 的中点． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）求二面角D AC E --的余弦值．21. （本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a bx a y M 的离心率与双曲线122=-y x 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.（1）求椭圆M 的方程； （2）若直线m x y +=2交椭圆M 于B A ,两点，)21(，P 为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值.22. （本小题满分14分）已知()().3,ln 22-+-==ax x x g x x x f （1）求函数()x f 的最小值；（2）若存在()+∞∈,0x ，使()()x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围.龙海二中2016-2017学年第二学期期末考高二数学（理科）试题参考答案一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、1 14、3 15、6516、3211三、解答题：本大题共6小题，共70分17.（本小题满分10分）解：（1）由3,1,=-⎧⎨=+⎩x ty t消去t得直线l的普通方程为40+-=x y, …………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin2cos2sin44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, …3分得22cos2sin=+ρρθρθ. ………………………………………4分将222,cos,sin=+==ρρθρθx y x y代入上式,得曲线C的直角坐标方程为2222+=+x y x y, 即()()22112-+-=x y. ……5分（2）设曲线C上的点为()1,1ααP, ……………………………6分则点P到直线l的距离为d=…………8分当sin14⎛⎫+=-⎪⎝⎭πα时,max=d……………………………………9分所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为……………………………10分18．（本小题满分10分）解：（1）不等式()8f x<，即23218x x++-<,可化为①3,223218x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+<⎩或②31,2223218x x x ⎧-⎪⎨⎪+-+<⎩≤≤或③1,223218x x x ⎧>⎪⎨⎪++-<⎩， …3分 解①得2325-<<-x ，解②得3122x -≤≤，解③得2321<<x 综合得 2325<<-x ，即原不等式的解集为5322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. ……………………5分（2）因为()2321|(23)(21)|4f x x x x x =++-+--=≥，当且仅当3122x -≤≤时，等号成立，即4)(min =x f ，……………………………8分 又不等式()31f x m +≤有解，则314m +≥,解得53m -≤或1m ≥.………10分 19. （本小题满分12分）解：（1）由表可得：30438342622,104681214=+++==+++=--y x ………3分 又440,112024141=∑=∑==i n i i n x y x∴2104440301041120442412241-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑=-=--Λi ii ii xxy x yx b ∴5010)2(30=⨯--=-=-Λ-Λx b y a ………………………………………6分 ∴线性回归方程为：502+-=Λx y ………………………………………8分 （2）由（1）可得回归方程为：502+-=Λx y ∴当10=x 时，3050102=+⨯-=y∴估计当气温为C o10时的用电量为30度. ………………………12分20. （本小题满分12分） （1）ABCD PA 平面⊥CD PA ⊥∴………………………2分又CD AD ⊥ PAD CD 平面⊥∴…4分 ∴平面PDC ⊥平面PAD ………………6分（2）AD PA AB PA ABCD PA ⊥⊥∴⊥,,平面 又AD AB ⊥∴分别以轴建立空间直角坐标系轴、轴、为、、Ａz y x AP D AB xyz o - 则()()()()1,2,0,2,0,0,0,4,2,0,0,0E P ，C A()()()1,2,0,0,4,2,2,0,0===∴→→→AE AC AP ………………………7分设()的法向量为平面ACE z y x n ,,=→，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅→→→→02042z y AE n y x AC n令()2,1,22,1-=∴==-=→n z x y 则………………………9分又 平面ABC 的法向量()2,0,0=→AP ………………………10分322232,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→APn APn AP n解：（1）依题意可得：椭圆M 的离心率4222===a a c e ，……………2分 22,2222=-=∴==∴c a b c a∴椭圆M 的方程为12422=+x y ……………………………4分 （2）联立方程04224,12422222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m m x x x y mx y 得：………………5分 由2222,0)4(162222<<->--=∆m m m 得：）（………6分设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+,44,22),,(),,(221212211m x x m x x y x B y x A 则………………………7分2-434)(32122122121m x x x x x x AB ⋅=-+⋅=-+=∴ 又P 到直线AB 的距离为3m d =324321212mm d AB S PAB⋅-⋅==∴∆………………………10分22)8(221)8(2212222=-+⋅≤-=m m m m当且仅当2±=m 等号成立，2max =∴∆）（PAB S .………………………12分 22. （本小题满分14分）解：（1）()x f 的定义域为），（∞+0，……………………………………………………2分令()0'=x f ，得ex 1=， 当)1,0(ex ∈时，()0'<x f ；当)1(∞+∈，ex 时，()0'>x f ，…………………………5分 所以()x f 在)1,0(e x ∈上单调递减；在)1(∞+∈，ex 上单调递增， 故当e x 1=时()x f 取最小值为e2-. ……………7分 （2）存在()+∞∈,0x ，使()()x g x f ≤成立，即3ln 22-+-≤ax x x x 在()+∞∈,0x 能成立，等价于xx x a 3ln 2++≥在()+∞∈,0x 能成立； 等价于min 3ln 2）（x x x a ++≥ …………………………………………………………9分记xx x x h 3ln 2)(++=，()+∞∈,0x则()22)1)(3(312'x x x x x x h -+=-+=………………………………………………………11分当()1,0∈x 时，()0'<x h ；当()+∞∈,1x 时，()0'>x h ，所以当1=x 时()x h 取最小值为4，故4≥a .………………………………………………14分。
解析】北京市人大附中2019-2020学年高二下学期数学期末考试练习试题
人大附中2019~2020学年度第二学期高二年级数学期末练习说明：本试卷共三道大题，18道小题，考试时间为90分钟；试卷分为I 、Ⅱ卷，其中I 卷为闭卷考题，满分40分，限时30分钟，Ⅱ卷为开卷考题，满分55分，限时60分钟；全卷卷面共95分，加上5分卷面分，满分100分，作为模块2-2成绩；试卷共3页；请在指定位置作答，并在答题卡上填写个人信息.I 卷（闭卷考题，30分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若i 是虚数单位，则(1)(1)i i +-=（ ） A. 0B. 2C. 1D. 1-【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】直接根据复数的运算，计算结果，得到★★★答案★★★ 【详解】(1)(1)i i +-=211(1)2i -=--=. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于基础题. 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. 211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 1(1ln )1x x'+=+C. ()22ln 2x x '=D. (cos )sin x x '=-【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】直接利用导数公式和运算法则求解.【详解】A. 由导数公式得211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故正确；B. 由导数运算法则得1(1ln )x x'+=，故错误；C. 由导数公式得()22ln 2x x '=，故正确；D. 由导数公式得(cos )sin x x '=-，故正确； 故选：B【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.3. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为2()43s t t =-（()s t 的单位：m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度为（ ） A. 7m /sB. 10m /sC. 37m /sD.40m /s【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】利用导数求瞬时速度即可【详解】∵()22453453404t s t t t+∆--⨯+∆==+∆∆∆，∴()()005lim lim 40440t t ss t t ∆→∆→∆'==∆=∆＋故选：D【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.4. 曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ） A. 6-B. 6C. 12D. 12-【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a 的值. 【详解】由421y x ax =++，得342y x ax '=+，则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.5. 若函数32()()f x x ax x x =++∈R 不存在极值点，则a 的取值范围是（ ）A. a <a >B. a ≤a ≥C a <<D. a ≤≤【★★★答案★★★】D 【解析】 【分析】由已知条件得2()3210f x x ax '=++=只有一个实数根或没有实数根，从而24120,a =-≤ 由此能求出a 的取值范围.【详解】32()f x x ax x =++，2()321f x x ax '∴=++32()2f x x ax x =+++ 在定义域内不存在极值， 2()3210f x x ax '∴=++= 只有一个实数根或没有实数根，24120a ∴∆=-≤，a ≤≤故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.6. 在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系，进而可得出结论.【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，则10x ≥，20x ≥，30x ≥，40x ≥.由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则1324x x x x +=+，① 同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，则1234x x x x +<+，② 乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和，则214x x x >+，③ ②-①得()2332232320x x x x x x x x -<-⇒-<⇒<， ②+①得1232341422x x x x x x x x ++<++⇒<， 由③得21x x >，24x x >，所以，1423x x x x <<<. 即阅读量最大的是丙. 故选：C.【点睛】本题考查推理案例的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．7. 下列区间是函数sin cos y x x x =+的单调递减区间的是（ ） A. (0,)πB. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. (,2)ππD.35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【★★★答案★★★】B 【解析】 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得★★★答案★★★.【详解】由已知得()()sin sin cos sin cos sin cos y x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=， A.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； B. 3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，cos 0y x x '=<，sin cos y x x x =+是单调递减函数，正确；C. 3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； D. 35,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.8. 设点P 是曲线31y x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【★★★答案★★★】A 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】由函数31y x =+得23y x '=≥设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A. ()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +≤ C. ()()()1322f f f +≥ D. ()()()1322f f f +>【★★★答案★★★】B【解析】 【分析】 根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.10. 甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ）A.12B.12-C.12 D.23【★★★答案★★★】C 【解析】 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值.【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<，设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-33336()()p p -+=--- 则函数y3333(0,),(,1)66-+单调递减，在3333(,)66-+单调递增， 故函数在336p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C.【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.Ⅱ卷（开卷考题，60分钟）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11. 函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是___________. 【★★★答案★★★】(,2)-∞ 【解析】 【分析】首先对()(3)xf x x e =-求导，可得()(2)x f x x e '=-，令()0f x '<，解可得★★★答案★★★．【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3xxxxf x x x x '=-'=+-=- 由()0f x '<得2x <，故()f x 的单调递减区间是(,2)-∞ 故★★★答案★★★为：(,2)-∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12. 在复平面上，一个正方形三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【★★★答案★★★】13i -+ 【解析】 【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+， 所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-， 设第4个顶点(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-． 所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..13. 已知32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，则(1)(1)f f ''+-的值为___________. 【★★★答案★★★】34-. 【解析】 【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=，再相加可得★★★答案★★★.【详解】由32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，得2()32(1)3(1)f x x xf f '''=++-，所以(1)32(1)3(1)f f f '''=++-，①(1)32(1)3(1)f f f '''-=-+-②由①②得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=, 则3(1)(1)4f f ''+-=-. 故★★★答案★★★为：34-. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.14. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，能说明“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >，则()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题的一个函数是___________. 【★★★答案★★★】1()2xy = 【解析】 【分析】由题得()f x 在(0,)+∞上递减，且()00f >，在(0)+∞与x 轴无交点，选中这样的一个函数即可.【详解】“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >”,则在(0,)+∞上递减， 且()00f >，再由“()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题，可得()f x 的图象在(0)+∞与x 轴无交点，这样的函数可以是xy a =(01)a <<，故★★★答案★★★为：1()2xy =【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，★★★答案★★★不唯一，属于基础题. 15. 已知函数ln 1()x f x x-=，下列命题中： ①()f x 在其定义域内有且仅有1个零点； ②()f x 在其定义域内有且仅有1个极值点； ③12,(0,)x x ∃∈+∞，使得()()12f x f x =；④1(0,)x ∀∈+∞，2(0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x f x <； ⑤当1x >时，函数()y f x =的图像总在函数21y x=-的图像的下方. 其中真命题有___________.（写出所有真命题的序号） 【★★★答案★★★】①②③⑤ 【解析】 【分析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可 【详解】22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =，20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确； 令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402eh e e-=>，()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确；取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确； 故★★★答案★★★为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题三、解答题（本大题共3小题，共35分，含卷面分5分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将★★★答案★★★写在答题纸上的相应位置.）16. 已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.【★★★答案★★★】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数， []1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.17. 如图，广场上有一盏路灯距离地面10米，记灯杆的底部为A .把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点5米的点B 处.回答下面的问题：（1）设女孩站在B 处看路灯的仰角为θ，则与θ最接近的角度为（ ）A.30B.45︒C.60︒D.75︒（2）若女孩以A 为圆心、以5m 为半径绕着灯杆走一圈，则人影扫过的图形是什么？求这个图形的面积；（结果保留1位小数）（3）以点B 为原点，直线AB 为x 轴（点A 在x 轴的正半轴上），过点B 且与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.设女孩绕灯杆行走的轨迹为M ，且M 上任意一点(, )P x y 均满足||||PA AB x -=，记点A 关于点B 的对称点为点C ，若直线PC 与曲线M 相切，求||PA 的长.【★★★答案★★★】（1）C ；（2）30.2（3）10【解析】【分析】（1）画出示例图，找到仰角θ，计算正切值，再估计θ的值；（2）人影扫过的图形为圆环，计算两圆的半径，求得圆环的面积；（3）用直译法求出M 的轨迹方程，求得C 点坐标，设出过C 的切线方程，与M 的轨迹方程联立，求出切点P ，求得||PA 的长.【详解】（1）作示意图如图所示：则10 1.58.5DE =-=，5CE =，则8.5tan 1.75DE CE θ===3≈ 故与θ最接近的角度为60︒. （2）由（1）中示意图知，人影为MB ，扫过的图形为圆环，设这个圆环的面积为S ， 则tan DA MA θ=，得10tan 1.7DA MA θ==10017=， 则2222100()[()5]17S MA AB ππ=-=-≈30.2 （3）由题(5,0)A ，则由||||PA AB x -=22(5)5x y x -+=，得220y x =，点A 关于点B 的对称点为点(5,0)C -，设过C 与曲线M 相切的切线方程为5x my =-又220y x =，得220100y my =-，即2201000y my -+=，则2(20)41000m ∆=-⨯=，得1m =±，代回得5,10x y ==±，即切点(5,10)P ±，则10PA =18. 如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，BC 中点为O ，连接DO ，已知2DO =，()20BC a a =>，设DOC θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，梯形ABCD 的面积为()f θ；（1）求函数()y f θ=的表达式；（2）当2a =时，求()y fθ=的极值； （3）若()2f θθ>对定义域内的一切θ都成立，求a 的取值范围.【★★★答案★★★】（1）()fθ4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）33；（3）2a π≥ 【解析】【分析】（1）分别计算OCD ，ABO ，AOD △的面积，得到函数()y fθ=的表达式； （2）利用导数研究函数的极值；（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，转化为sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，再构造函数sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()g θ的最值，需多次构造函数利用导数研究函数的单调性最值，最终证得()g θ在(0,)2π递增，得到★★★答案★★★. 【详解】（1）连接AO ，作AM BC ⊥于M ，DN ⊥BC 于N ，如图所示则1sin 2ODC ABO SS OD OC θ==⋅sin a θ=，又24cos AD ON θ==， 则1sin 4cos sin 2sin 22AOD S AD OD θθθθ=⋅== 故()y f θ=2DOC AOD S S =+2sin 2sin 2a θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）由2a =，则()y f θ=4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f θθθθθθθ'=+=+-=-+， 由0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 10θ+>，当(0,)3πθ∈时，()0f θ'>，当(,)32ππθ∈时，()0f θ'<， 故()f θ在(0,)3π递增，在(,)32ππ递减，故()y f θ=的极值为()3π=f 24sin 2sin 33ππ+=（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则2sin 2sin 22a θθθ+>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 则sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 令sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin g θθθθ=- ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin h θθθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos ()sin h θθθθθ-'=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin cos u θθθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin 0u θθθ'=>， 则()u θ在(0,)2π递增，则()(0)0u u θ>=，则()0h θ'>，则()θh 在(0,)2π递增， 则()g θ在(0,)2π递增，则()()22g g ππθ<=，故2a π≥ 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了学生分析推理能力，考查了分离变量，构造函数等基本技巧，研究函数性质时，需多次构造函数，利用导数研究函数的单调性最值，难度较大.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2019-2020学年北京市清华附中高二下学期期末数学试卷
2019-2020学年北京市清华附中高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合则集合B不可能是()A. B.C. D.2.已知f(1+log a x)=√2x−1(a>0且a≠1).若f(4)=3，则a=()A. 12B. √22C. √2D. 23.设复数z1=1−3i，z2=3+2i，则z1z2在复平面内对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设f(x)是定义在R的偶函数，对任意xÎR，都有f(x−2)=f(x+2)，且当xÎ[−2,0]时，f(x)=.若在区间(−2,6]内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A. (1,2)B. (2,+¥)C. (1,)D. (，2)5.在区间[2,4]和[1,5]上分别随机取一个数，记为a，b，则双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e∈[√52,√5]的概率为()A. 23B. 532C. 2732D. 786.已知圆C：x2+y2=1，直线l：x=2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点()A. (12,0) B. (0,2) C. (2,1) D. (12,1)7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的最长棱的长度是()A. 2√5B. 6C. 2√6D. 4√38.角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列六个条件中，“A >B ”的充分必要条件的个数是( )①sinA >sinB ； ②cosA <cosB ； ③tanA >tanB ； ④sin 2A >sin 2B ； ⑤cos 2A <cos 2B ； ⑥tan 2A >tan 2B .A. 5B. 6C. 3D. 49.设定义在R 上的奇函数f(x)满足，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 2−x 1>0，且f(2)=0，则不等式3f(−x)−2f(x)4x≤0的解集为( )A. (−∞,−2]∪(0，2]B. [−2,0]∪[2,+∞)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [−2,0)∪(0,2]10. 若三角形的三边均为正整数，其中有一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有．( )A. 10个B. 14个C. 15个D. 21个二、单空题（本大题共2小题，共10.0分） 11. 求(x 2−2x )4展开式中x 5的系数为______ ．12. 已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x =−2的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________．三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．(1)设a i,j (i,j ∈N ∗)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 5,2=11，则a 10,7= (1) ；(2)设T 2n 表示三角形数表中第2n 行的所有数的和，其中n ∈N ∗，则T 2n = (2) ．14. 已知平面向量a 与b 的夹角为π6，|a |=√3，|b |=1，则|a −b |= ；若平行四边形ABCD满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ，则平行四边形ABCD 的面积为 ．15.已知函数f(x)=|x−1|+|x|+|x+1|，且f(a2−3a+2)=f(a−1)，则f(x)的最小值为(1)；满足条件的所有a的值为(2)．四、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知．(Ⅰ)求sin x的值；(Ⅱ)求的值．17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，⊥平面，，点分别为和中点．(1)求证：直线平面；(2)求与平面所成角的正弦值．18.寒假期间，很多同学都喜欢参加“迎春花市摆档口”的社会实践活动，下表是今年某个档口某种精品的销售数据．日期2月14日2月15日2月16日2月17日2月18日天气小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量(件)白天3933434154晚上4246505161已知摊位租金900元/档，精品进货价为9元/件，售价为12元/件，售余精品可以以进货价退回厂家．(1)画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；(2)从表中可知：2月14、15日这两个下雨天的平均销售量为80件/天，后三个非雨天平均销售量为100件/天，以此数据为依据，除天气外，其它条件不变．假如明年花市5天每天下雨的概率为15，且每天是否下雨相互独立，你准备在迎春花市租赁一个档口销售同样的精品，推测花市期间所租档口大约能售出多少件精品？(3)若所获利润大于500元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在(2)条件下，你认为“值得投资”吗？19. 如图，点F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点，圆A：(x−t)2+y2=163(t<0)与椭圆C的一个公共点为B(0,2)，且直线FB与圆A相切于点B．(Ⅰ)求t的值和椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．20. 函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为−3(1)求函数f(x)的解析式；(2)过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．21. 已知数列的前项和(1)求数列的通项公式;(2)求的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：试题分析：由意义可知A 是B 的子集，而C 中的集合是全体实数R ，所以选C ． 考点：本小题主要考查集合之间的关系． 点评：考查集合之间关系的时候，不要忘记空集．2.答案：C解析：解：f(1+log a x)=√2x −1(a >0且a ≠1).f(4)=3， 可得：{1+log a x =4√2x −1=3，解得x =2√2，a =√2，故选：C ．利用函数的解析式，转化为方程组，求解即可．本题考查函数的解析式的应用，正确利用函数的定义，列出方程组是解题的关键，考查计算能力．3.答案：C解析：试题分析：由z 1=1−3i ，z 2=3+2i ，利用复数的代数形式的乘除运算，求出Z 1Z 2=1−3i 3+2i =−313−1113i ，由此能得到Z 1Z 2在复平面内对应的点所在象限．∵z 1=1−3i ，z 2=3+2i ， ∴Z 1Z 2=1−3i 3+2i=(1−3i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3−9i−2i+6i 213=−313−1113i ，∴Z 1Z 2在复平面内对应的点(−313,−1113)在第三象限．故选C ．4.答案：B解析：试题分析：画出当x ∈[−2,0]时，函数f(x)=的图象(如图)．∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴当x ∈[0,2]时的函数f(x)的图象与当x ∈[−2,0]时，函数f(x)图象关于y 轴对称．∵对任意x ∈R ，都有f(x +2)=f(2−x)成立，∴函数f(x)的图象关于直线x =2对称． 根据以上的分析即可画出函数y =f(x)在区间[−2,6]上的图象． 当0<a <1时，可知不满足题意，应舍去； 当a >1时，画出函数y =log a (x +2)的图象．若使函数y =f(x)与y =log a (x +2)=0在区间(−2,6]内有3个实根，而在(−2,0)必有一个实根，只需在区间(0,6]内恰有两个不同的交点(即关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0在区间(0,6]内恰有两个不同的实数根)，则实数a 满足，log a (6+2)>3，∴a 3<8，∴a <2，又1<a ，∴1<a <2.故a 的取值范围为1<a <2.故选B ． 考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性，指数函数、对数函数的性质。
北京市人大附中2019-2020学年高二下学期数学期末考试练习试题 Word版含解析
人大附中2019~2020学年度第二学期高二年级数学期末练习说明：本试卷共三道大题，18道小题，考试时间为90分钟；试卷分为I 、Ⅱ卷，其中I 卷为闭卷考题，满分40分，限时30分钟，Ⅱ卷为开卷考题，满分55分，限时60分钟；全卷卷面共95分，加上5分卷面分，满分100分，作为模块2-2成绩；试卷共3页；请在指定位置作答，并在答题卡上填写个人信息.I 卷（闭卷考题，30分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若i 是虚数单位，则(1)(1)i i +-=（ ） A. 0 B. 2 C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数的运算，计算结果，得到答案 【详解】(1)(1)i i +-=211(1)2i -=--=. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于基础题. 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. 211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 1(1ln )1x x'+=+C. ()22ln 2x x '=D. (cos )sin x x '=-【答案】B 【解析】 【分析】直接利用导数公式和运算法则求解.【详解】A. 由导数公式得211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故正确；B. 由导数运算法则得1(1ln )x x'+=，故错误；C. 由导数公式得()22ln 2x x '=，故正确；D. 由导数公式得(cos )sin x x '=-，故正确； 故选：B【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.3. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为2()43s t t =-（()s t 的单位：m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度为（ ） A. 7m /sB. 10m /sC. 37m /sD.40m /s【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求瞬时速度即可【详解】∵()22453453404t s t t t+∆--⨯+∆==+∆∆∆，∴()()005lim lim 40440t t ss t t ∆→∆→∆'==∆=∆＋故选：D【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.4. 曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ） A. 6- B. 6 C. 12D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a 的值. 【详解】由421y x ax =++，得342y x ax '=+，则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.5. 若函数32()()f x x ax x x =++∈R 不存在极值点，则a 的取值范围是（ ）A. a <a >B. a ≤a ≥C a << D. a ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件得2()3210f x x ax '=++=只有一个实数根或没有实数根，从而24120,a =-≤ 由此能求出a 的取值范围.【详解】32()f x x ax x =++，2()321f x x ax '∴=++32()2f x x ax x =+++ 在定义域内不存在极值， 2()3210f x x ax '∴=++= 只有一个实数根或没有实数根，24120a ∴∆=-≤，a ≤≤故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.6. 在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系，进而可得出结论.【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，则10x ≥，20x ≥，30x ≥，40x ≥.由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则1324x x x x +=+，① 同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，则1234x x x x +<+，② 乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和，则214x x x >+，③ ②-①得()2332232320x x x x x x x x -<-⇒-<⇒<， ②+①得1232341422x x x x x x x x ++<++⇒<， 由③得21x x >，24x x >，所以，1423x x x x <<<. 即阅读量最大的是丙. 故选：C.【点睛】本题考查推理案例的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．7. 下列区间是函数sin cos y x x x =+的单调递减区间的是（ ） A. (0,)πB. 3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. (,2)ππD.35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】由已知得()()sin sin cos sin cos sin cos y x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=， A.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； B. 3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，cos 0y x x '=<，sin cos y x x x =+是单调递减函数，正确；C. 3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误； D. 35,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误. 故选：B.【点睛】本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.8. 设点P 是曲线31y x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ） A. 20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C. 2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】由函数31y x =+得23y x '=≥设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A. ()()()1322f f f +< B. ()()()1322f f f +≤ C. ()()()1322f f f +≥ D. ()()()1322f f f +>【答案】B【解析】 【分析】 根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.10. 甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ）A.12B.12-C.12 D.23【答案】C 【解析】 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值.【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<，设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-33336()()p p -+=--- 则函数y3333(0,),(,1)66-+单调递减，在3333(,)66-+单调递增， 故函数在336p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C.【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.Ⅱ卷（开卷考题，60分钟）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）11. 函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是___________. 【答案】(,2)-∞ 【解析】 【分析】首先对()(3)xf x x e =-求导，可得()(2)x f x x e '=-，令()0f x '<，解可得答案．【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3x x x xf x x x x '=-'=+-=- 由()0f x '<得2x <，故()f x 的单调递减区间是(,2)-∞ 故答案为：(,2)-∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12. 在复平面上，一个正方形三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】13i -+ 【解析】 【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可.【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+， 所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-， 设第4个顶点(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-． 所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..13. 已知32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，则(1)(1)f f ''+-的值为___________. 【答案】34-. 【解析】 【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=，再相加可得答案.【详解】由32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，得2()32(1)3(1)f x x xf f '''=++-，所以(1)32(1)3(1)f f f '''=++-，①(1)32(1)3(1)f f f '''-=-+-②由①②得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=, 则3(1)(1)4f f ''+-=-. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.14. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，能说明“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >，则()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题的一个函数是___________. 【答案】1()2xy = 【解析】 【分析】由题得()f x 在(0,)+∞上递减，且()00f >，在(0)+∞与x 轴无交点，选中这样的一个函数即可.【详解】“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >”,则在(0,)+∞上递减， 且()00f >，再由“()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题，可得()f x 的图象在(0)+∞与x 轴无交点，这样的函数可以是xy a =(01)a <<，故答案为：1()2xy =【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题. 15. 已知函数ln 1()x f x x-=，下列命题中： ①()f x 在其定义域内有且仅有1个零点； ②()f x 在其定义域内有且仅有1个极值点； ③12,(0,)x x ∃∈+∞，使得()()12f x f x =；④1(0,)x ∀∈+∞，2(0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x f x <； ⑤当1x >时，函数()y f x =的图像总在函数21y x=-的图像的下方. 其中真命题有___________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可 【详解】22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =，20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确； 令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402eh e e-=>，()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确；取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确； 故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题三、解答题（本大题共3小题，共35分，含卷面分5分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）16. 已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. 【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数， []1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.17. 如图，广场上有一盏路灯距离地面10米，记灯杆的底部为A .把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点5米的点B 处.回答下面的问题：（1）设女孩站在B 处看路灯的仰角为θ，则与θ最接近的角度为（ ）A.30B.45︒C.60︒D.75︒（2）若女孩以A 为圆心、以5m 为半径绕着灯杆走一圈，则人影扫过的图形是什么？求这个图形的面积；（结果保留1位小数）（3）以点B 为原点，直线AB 为x 轴（点A 在x 轴的正半轴上），过点B 且与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.设女孩绕灯杆行走的轨迹为M ，且M 上任意一点(, )P x y 均满足||||PA AB x -=，记点A 关于点B 的对称点为点C ，若直线PC 与曲线M 相切，求||PA 的长.【答案】（1）C ；（2）30.2（3）10【解析】【分析】（1）画出示例图，找到仰角θ，计算正切值，再估计θ的值；（2）人影扫过的图形为圆环，计算两圆的半径，求得圆环的面积；（3）用直译法求出M 的轨迹方程，求得C 点坐标，设出过C 的切线方程，与M 的轨迹方程联立，求出切点P ，求得||PA 的长.【详解】（1）作示意图如图所示：则10 1.58.5DE =-=，5CE =，则8.5tan 1.75DE CE θ===3≈ 故与θ最接近的角度为60︒. （2）由（1）中示意图知，人影为MB ，扫过的图形为圆环，设这个圆环的面积为S ， 则tan DA MA θ=，得10tan 1.7DA MA θ==10017=， 则2222100()[()5]17S MA AB ππ=-=-≈30.2 （3）由题(5,0)A ，则由||||PA AB x -=22(5)5x y x -+=，得220y x =，点A 关于点B 的对称点为点(5,0)C -，设过C 与曲线M 相切的切线方程为5x my =-又220y x =，得220100y my =-，即2201000y my -+=，则2(20)41000m ∆=-⨯=，得1m =±，代回得5,10x y ==±，即切点(5,10)P ±，则10PA =18. 如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，BC 中点为O ，连接DO ，已知2DO =，()20BC a a =>，设DOC θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，梯形ABCD 的面积为()f θ；（1）求函数()y f θ=的表达式；（2）当2a =时，求()y fθ=的极值； （3）若()2f θθ>对定义域内的一切θ都成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()fθ4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）33；（3）2a π≥ 【解析】【分析】（1）分别计算OCD ，ABO ，AOD △的面积，得到函数()y fθ=的表达式； （2）利用导数研究函数的极值；（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，转化为sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，再构造函数sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()g θ的最值，需多次构造函数利用导数研究函数的单调性最值，最终证得()g θ在(0,)2π递增，得到答案. 【详解】（1）连接AO ，作AM BC ⊥于M ，DN ⊥BC 于N ，如图所示则1sin 2ODC ABO SS OD OC θ==⋅sin a θ=，又24cos AD ON θ==， 则1sin 4cos sin 2sin 22AOD S AD OD θθθθ=⋅== 故()y f θ=2DOC AOD S S =+2sin 2sin 2a θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）由2a =，则()y f θ=4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f θθθθθθθ'=+=+-=-+， 由0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 10θ+>，当(0,)3πθ∈时，()0f θ'>，当(,)32ππθ∈时，()0f θ'<， 故()f θ在(0,)3π递增，在(,)32ππ递减，故()y f θ=的极值为()3π=f 24sin 2sin 33ππ+=（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则2sin 2sin 22a θθθ+>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 则sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 令sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin g θθθθ=- ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin h θθθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos ()sin h θθθθθ-'=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin cos u θθθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin 0u θθθ'=>， 则()u θ在(0,)2π递增，则()(0)0u u θ>=，则()0h θ'>，则()θh 在(0,)2π递增， 则()g θ在(0,)2π递增，则()()22g g ππθ<=，故2a π≥ 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了学生分析推理能力，考查了分离变量，构造函数等基本技巧，研究函数性质时，需多次构造函数，利用导数研究函数的单调性最值，难度较大.。
2019-2020学年北京市人大附中高二下学期数学期末练习试题(解析版)
2019-2020学年北京市人大附中高二下学期数学期末练习试题一、单选题1．若i 是虚数单位，则(1)(1)i i +-=（ ） A ．0 B ．2 C ．1D ．1-【答案】B【分析】直接根据复数的运算，计算结果，得到答案 【详解】(1)(1)i i +-=211(1)2i -=--=. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，属于基础题. 2．下列求导运算不正确的是（ ）A ．211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．1(1ln )1x x'+=+C ．()22ln 2x x '=D ．(cos )sin x x '=-【答案】B【分析】直接利用导数公式和运算法则求解. 【详解】A. 由导数公式得211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭，故正确；B. 由导数运算法则得1(1ln )x x'+=，故错误； C. 由导数公式得()22ln 2x x '=，故正确；D. 由导数公式得(cos )sin x x '=-，故正确； 故选：B【点睛】本题主要考查导数公式和运算法则的应用，属于基础题.3．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为2()43s t t =-（()s t 的单位：m ，t 的单位：s ），则5t =时的瞬时速度为（ ） A ．7m /s B ．10m /sC ．37m /sD ．40m /s【答案】D【分析】利用导数求瞬时速度即可【详解】∵()22453453404t s t tt+∆--⨯+∆==+∆∆∆，∴()()005lim lim 40440t t ss t t ∆→∆→∆'==∆=∆＋故选：D【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题.4．曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．12D ．12-【答案】A【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a 的值.【详解】由421y x ax =++，得342y x ax '=+，则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.5．若函数32()()f x x ax x x =++∈R 不存在极值点，则a 的取值范围是（ ）A ．a <a >B ．a ≤a ≥C ．a <<D ．a ≤≤【答案】D【分析】由已知条件得2()3210f x x ax '=++=只有一个实数根或没有实数根，从而24120,a =-≤ 由此能求出a 的取值范围.【详解】32()f x x ax x =++，2()321f x x ax '∴=++32()2f x x ax x =+++ 在定义域内不存在极值， 2()3210f x x ax '∴=++= 只有一个实数根或没有实数根，24120a ∴∆=-≤，a ≤≤ 故选：D.【点睛】本題主要考查极值的概念，利用导数研究函数的极值，考查发推理论证能力，转化能力，属于中档题.6．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【分析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，根据题意得出等式与不等式，利用不等式的基本性质可得出1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系，进而可得出结论. 【详解】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为1x 、2x 、3x 、4x ，则10x ≥，20x ≥，30x ≥，40x ≥.由于同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，则1324x x x x +=+，① 同学丙、丁阅读量之和大于甲、乙阅读量之和，则1234x x x x +<+，② 乙的阅读量大于甲、丁阅读量之和，则214x x x >+，③ ②-①得()2332232320x x x x x x x x -<-⇒-<⇒<， ②+①得1232341422x x x x x x x x ++<++⇒<， 由③得21x x >，24x x >，所以，1423x x x x <<<. 即阅读量最大的是丙. 故选：C.【点睛】本题考查推理案例的问题，关键是将语句之间的关系转化为等式与不等式关系，考查推理能力，属于基础题．7．下列区间是函数sin cos y x x x =+的单调递减区间的是（ ） A ．(0,)π B ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(,2)ππD ．35,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案.【详解】由已知得()()sin sin cos sin cos sin cos y x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=， A.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误；B. 3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，cos 0y x x '=<，sin cos y x x x =+是单调递减函数，正确；C. 3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误；D. 35,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，所以0y '>，sin cos y x x x =+是单调递增函数，错误.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数判断函数在给定区间的单调性，属于基础题.8．设点P 是曲线31y x =+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为（ ）A ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,26ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【详解】由函数31y x =+得23y x '=-≥设()00,P x y ，则曲线在点P 处的切线的斜率0|x x k y ='=≥又点P 处的切线倾斜角为α，则tan k α=≥又[0,)απ∈，所以2023ππαπ⎡⎫⎡⎫∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，属于基础题. 9．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤ C ．()()()1322f f f +≥D ．()()()1322f f f +>【答案】B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题. 10．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ）A ．12B ．126-C ．126+ D ．23【答案】C【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<，设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =--则函数y 在33(0,),(66-+单调递减，在33(66-+单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C.【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.二、填空题11．函数()(3)x f x x e =-的单调递减区间是___________. 【答案】(,2)-∞【分析】首先对()(3)xf x x e =-求导，可得()(2)x f x x e '=-，令()0f x '<，解可得答案．【详解】解：3e ()[()e ]()e (e 2)3xxxxf x x x x '=-'=+-=- 由()0f x '<得2x <，故()f x 的单调递减区间是(,2)-∞ 故答案为：(,2)-∞【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】13i -+【分析】设第4个顶点为(),a b ，利用向量相等列方程求解即可. 【详解】因为正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+， 所以正方形三个顶点对应的坐标为()0,0，()1,2，()2,1-， 设第4个顶点为(),a b ，则()()()1,220,102,1a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为()1,3-． 所以第4个顶点对应的复数为13i -+【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量相等，属于基础题..13．已知32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，则(1)(1)f f ''+-的值为___________.【答案】34-. 【分析】求出导函数，分别代入1和-1得到方程组，解得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=，再相加可得答案.【详解】由32()(1)3(1)f x x x f xf ''=++-，得2()32(1)3(1)f x x xf f '''=++-，所以(1)32(1)3(1)f f f '''=++-，①(1)32(1)3(1)f f f '''-=-+-②由①②得9(1)8f '-=-，3(1)8f '=, 则3(1)(1)4f f ''+-=-. 故答案为：34-. 【点睛】本题考查了导数的计算，属于基础题.14．已知函数()f x 的导函数为()f x '，能说明“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >，则()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题的一个函数是___________. 【答案】1()2xy =【分析】由题得()f x 在(0,)+∞上递减，且()00f >，在(0)+∞与x 轴无交点，选中这样的一个函数即可.【详解】“若()0f x '<对任意的(0,)x ∈+∞都成立且()00f >”,则在(0,)+∞上递减，且()00f >，再由“()f x 在(0,)+∞上必有零点”为假命题，可得()f x 的图象在(0)+∞与x 轴无交点，这样的函数可以是xy a =(01)a <<，故答案为：1()2xy =【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题. 15．已知函数ln 1()x f x x-=，下列命题中：①()f x 在其定义域内有且仅有1个零点； ②()f x 在其定义域内有且仅有1个极值点； ③12,(0,)x x ∃∈+∞，使得()()12f x f x =；④1(0,)x ∀∈+∞，2(0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x f x <； ⑤当1x >时，函数()y f x =的图像总在函数21y x=-的图像的下方. 其中真命题有___________.（写出所有真命题的序号） 【答案】①②③⑤【分析】利用导数的单调性和极值，逐个讨论每个命题即可 【详解】22ln '(),0xf x x x-=>，令'()0f x =，有2x e =， 20x e <<时，'()0f x >，2x e >时，'()0f x <，()220f e e -=>，又x e >时，()0f x >，而()0f e =，故()f x 有且只有一个零点，①正确；导数为0的点附近的导数值符号不同，故2e 为极值点，从而②正确； 令21()()2h x f x e -=-，由上面分析知，()h x 在()2,e e 上必有一个零点，()33402eh e e-=>， ()244602e h e ρ-=<，故必有一个零点，所以，12,(0,)x x ∃∈+∞，()()120h x h x ==，即()()21212f x f x e -==，所以，③正确； 取21x e =，为极大值也为最大值，不存在2x 使得()()12f x f x <，④错误；令2ln 1ln 1()11x x g x x x x-+=--=-， 2ln '()0,01xg x x x=<<<，所以，()(1)0g x g >=，所以，⑤正确； 故答案为：①②③⑤【点睛】本题考查导数单调性和极值问题，主要考查学生的数形结合能力，属于难题三、解答题16．已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. 【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49-【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间； （2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值. 【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R 令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题. 17．如图，广场上有一盏路灯距离地面10米，记灯杆的底部为A .把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A 点5米的点B 处.回答下面的问题：（1）设女孩站在B 处看路灯的仰角为θ，则与θ最接近的角度为（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒（2）若女孩以A 为圆心、以5m 为半径绕着灯杆走一圈，则人影扫过的图形是什么？求这个图形的面积；（结果保留1位小数）（3）以点B 为原点，直线AB 为x 轴（点A 在x 轴的正半轴上），过点B 且与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.设女孩绕灯杆行走的轨迹为M ，且M 上任意一点(, )P x y 均满足||||PA AB x -=，记点A 关于点B 的对称点为点C ，若直线PC 与曲线M 相切，求||PA 的长.【答案】（1）C ；（2）30.2（3）10【分析】（1）画出示例图，找到仰角θ，计算正切值，再估计θ的值； （2）人影扫过的图形为圆环，计算两圆的半径，求得圆环的面积；（3）用直译法求出M 的轨迹方程，求得C 点坐标，设出过C 的切线方程，与M 的轨迹方程联立，求出切点P ，求得||PA 的长. 【详解】（1）作示意图如图所示：则10 1.58.5DE =-=，5CE =，则8.5tan 1.75DE CE θ===3≈ 故与θ最接近的角度为60︒.（2）由（1）中示意图知，人影为MB ，扫过的图形为圆环，设这个圆环的面积为S ，则tan DA MA θ=，得10tan 1.7DA MA θ==10017=，则2222100()[()5]17S MA AB ππ=-=-≈30.2 （3）由题(5,0)A ，则由||||PA AB x -=22(5)5x y x -+=，得220y x =，点A 关于点B 的对称点为点(5,0)C -，设过C 与曲线M 相切的切线方程为5x my =-又220y x =，得220100y my =-，即2201000y my -+=，则2(20)41000m ∆=-⨯=，得1m =±，代回得5,10x y ==±， 即切点(5,10)P ±，则10PA =18．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，BC 中点为O ，连接DO ，已知2DO =，()20BC a a =>，设DOC θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，梯形ABCD 的面积为()f θ；（1）求函数()y f θ=的表达式；（2）当2a =时，求()y fθ=的极值； （3）若()2f θθ>对定义域内的一切θ都成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()f θ4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）33；（3）2a π≥【分析】（1）分别计算OCD ，ABO ，AOD △的面积，得到函数()y f θ=的表达式；（2）利用导数研究函数的极值；（3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，转化为sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，再构造函数sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()g θ的最值，需多次构造函数利用导数研究函数的单调性最值，最终证得()g θ在(0,)2π递增，得到答案. 【详解】（1）连接AO ，作AM BC ⊥于M ，DN ⊥BC 于N ，如图所示则1sin 2ODC ABO SS OD OC θ==⋅sin a θ=，又24cos AD ON θ==， 则1sin 4cos sin 2sin 22AOD S AD OD θθθθ=⋅== 故()y f θ=2DOC AOD S S =+2sin 2sin 2a θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）由2a =，则()y f θ=4sin 2sin 2θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f θθθθθθθ'=+=+-=-+， 由0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 10θ+>，当(0,)3πθ∈时，()0f θ'>，当(,)32ππθ∈时，()0f θ'<，故()f θ在(0,)3π递增，在(,)32ππ递减，故()y f θ=的极值为()3π=f 24sin 2sin 33ππ+= （3）由()2f θθ>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则2sin 2sin 22a θθθ+>，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 则sin 2sin a θθθ->，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 令sin 2()sin g θθθθ-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin g θθθθ=- ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin h θθθ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin cos ()sin h θθθθθ-'=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 令()sin cos u θθθθ=-，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin 0u θθθ'=>， 则()u θ在(0,)2π递增，则()(0)0u u θ>=，则()0h θ'>，则()θh 在(0,)2π递增， 则()g θ在(0,)2π递增，则()()22g g ππθ<=，故2a π≥ 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了学生分析推理能力，考查了分离变量，构造函数等基本技巧，研究函数性质时，需多次构造函数，利用导数研究函数的单调性最值，难度较大.。
2019-2020学年北京市名校数学高二下期末综合测试试题含解析
2019-2020学年北京市名校数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，则直线AE 与平面11ABC D 所成角的正弦值是（ ）A 15B 15C 10D 10 2．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．403．以()1,0F 为焦点的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．22y x =C ．24x y =-D ．22x y =4．变量y 与x 的回归模型中，它们对应的相关系数r 的值如下，其中拟合效果最好的模型是（ ） 模型1 2 3 4 r0.48 0.15 0.96 0.30A ．模型1B ．模型2C ．模型3D ．模型45．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．丁可以知道四人的成绩6．在ABC ∆中，若30A =︒，2a =，3b = A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定7．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质22||=a a 类比得到复数z 的性质22||z z =；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是 A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④8．用反证法证明命题“已知,,a b c 为非零实数，且0a b c ++>，0ab bc ac ++>，求证,,a b c 中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ） A ．,,a b c 中至少有两个为负数 B ．,,a b c 中至多有一个为负数 C ．,,a b c 中至多有两个为正数D ．,,a b c 中至多有两个为负数9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A ．24B ．30C ．10D ．6010．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60o ，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为（ ） A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o11．执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足24x -<≤则输出y 值的取值范围是（ ）A ．[3,2]-B ．[0,4]C ．[3,1)-D ．(1,2]12． “0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_________．14．执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为______．15．已知随机变量X 服从二项分布B ～（n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则P=__________． 16．已知函数()(1)ln f x ax x =+.()f x '为()f x 的导函数，若(1)3f '=，则实数a 的值为__________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()sin x f x e x =. ⑴求函数()f x 的单调区间； ⑵如果对于任意的[0,]2x π∈，()f x kx ≥总成立，求实数k 的取值范围.18．已知函数2()ln(1)f x ax x =++（1）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （2）当[0)x ∈+∞，时，不等式()0f x x -≤恒成立，求实数a 的取值范围 19．（6分）设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围. 20．（6分）已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈. （1）若()f x 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设1,,a e m n e<+分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围.21．（6分）设函数()ln (1)xf x x a x e =--，其中a R ∈.（Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， （i ）证明()f x 恰有两个零点（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.22．（8分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 平均温度/x C ︒ 21 23 25 27 29 31 33 平均产卵数y /个7 11 21 24 66 115 325 ln z y =1.92.43.03.24.24.75.8（1）根据散点图判断，y bx a =+与dxy ce =（其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到0.01）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28C ︒以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28C ︒以上的概率为p .记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率0p .附：回归方程y bx a =+$$$中，()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$.参考数据参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据AE 与平面11ABC D 的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得夹角的正弦值。