高考数学难点突破专题15 三角函数的图象和性质
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的图像与性质，并通过图像展示它们的特点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，常用符号为sin(x)。
它的图像是一条连续的曲线，表现出周期性的波动。
正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在每个2π的区间内，函数的值会重复。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
这意味着它的图像关于原点对称。
3. 取值范围：正弦函数的值域在[-1, 1]之间，即函数的值不会超过这个范围。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是另一个常见的三角函数，常用符号为cos(x)。
它的图像也是一条连续的曲线，与正弦函数的图像非常相似。
余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)。
这意味着它的图像关于y轴对称。
3. 取值范围：余弦函数的值域也在[-1, 1]之间，与正弦函数相同。
三、正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中的另一个重要概念，常用符号为tan(x)。
正切函数的图像也是一条连续的曲线，但与正弦和余弦函数有所不同。
正切函数的性质如下：1. 周期性：正切函数的周期为π，即在每个π的区间内，函数的值会重复。
2. 奇点：正切函数在π/2和-π/2处有奇点，即函数在这些点上无定义。
3. 取值范围：正切函数的值域为整个实数轴，即它可以取到任意的实数值。
四、其他三角函数除了正弦、余弦和正切函数，还有许多衍生的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。
它们的图像和性质与前面介绍的三角函数类似，只是在计算和应用中有一些特殊的情况。
五、图像展示为了更好地理解三角函数的图像与性质，下面是一些图像展示：（插入正弦函数、余弦函数和正切函数的图像）从图中可以清楚地看出正弦函数和余弦函数的周期性和对称性，以及正切函数的特殊性。
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是数学中的一类特殊函数，以其图像的周期性和性质的多样性而被广泛研究和应用。
本文将介绍三角函数的图像特点和基本性质。
一、正弦函数的图像和性质正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示。
其图像为周期性曲线，其周期为2π。
在一个周期内，正弦函数的值在[-1,1]之间变化。
图像在x轴上的零点是正弦函数的特殊点，记为x=kπ，其中k为整数。
正弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
正弦函数的性质：1. 周期性：sin(x+2π)=sin(x)，即正弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即正弦函数关于原点对称。
3. 对称性：sin(π-x)=sin(x)，即正弦函数关于y轴对称。
二、余弦函数的图像和性质余弦函数是另一个常见的三角函数，用cos(x)表示。
余弦函数的图像也是周期性曲线，其周期同样为2π。
在一个周期内，余弦函数的值同样在[-1,1]之间变化。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像在x=kπ时经过极大值或极小值。
余弦函数的性质：1. 周期性：cos(x+2π)=cos(x)，即余弦函数在过一周期后会重复。
2. 奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
3. 对称性：cos(π-x)=-cos(x)，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的图像和性质正切函数是三角函数中另一个常见的函数，用tan(x)表示。
正切函数的图像为周期性曲线，其周期为π。
正切函数的图像在x=kπ+π/2时会出现无穷大的间断点，即tan(x)在这些点是无界的。
正切函数的性质：1. 周期性：tan(x+π)=tan(x)，即正切函数在过一个周期后会重复。
2. 奇偶性：tan(-x)=-tan(x)，即正切函数关于原点对称。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他与它们密切相关的三角函数。
1. 反正弦函数：用arcsin(x)表示，表示一个角的正弦值等于x，返回值在[-π/2, π/2]之间。
三角函数图像与性质
三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。
其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。
本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。
它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。
正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。
正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。
它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。
余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。
在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。
余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。
它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。
正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。
正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。
正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。
三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。
核心热点突破 三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查.1.(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x答案 BC解析 由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC.2.(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )＝( ) A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．故选B.3．（2021·全国甲卷）已知函数f （x ）＝2cos （ωx ＋φ）的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ Ｗ．答案 － 3解析 由图象可得，函数的周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入f （x ）＝2cos （2x ＋φ）中，得2×π3＋φ＝2k π＋π2（k ∈Z ），解得φ＝2k π－π6（k ∈Z ），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋2k π－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝－ 3.4．（2020·全国Ⅲ卷）关于函数f （x ）＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称． ④f （x ）的最小值为2.其中所有真命题的序号是 ． 答案 ②③解析 ∵f （x ）＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又 f （－x ）＝sin （－x ）＋1sin （－x ）＝－f （x ），而f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，∴f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称，③正确． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f （x ）<0，④错误．故填②③.5．(2021·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R ). (1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ， 所以y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ()sin x ＋cos x ＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.1．常用的三种三角函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π 周期2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).(2)y ＝sin xy ＝sin ωx ―――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).热点一 三角函数的定义与同角关系式【例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则点P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)如图，以Ox 为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝ ．答案 (1)C (2)1825解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1. 故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．2．应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【训练1】 (1)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( ) A ．－53B.53C ．－52D.52(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255D ．1答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin θ＝5cos(2π－θ)， ∴sin θ＝5cos θ，得tan θ＝5， ∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝251－（5）2＝－52. (2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 热点二 三角函数的图象【例2】 (1)(多选)(2021·唐山二模)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则( )A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则满足条件⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0的最小正整数x 为 ．答案 (1)BD (2)2解析 (1)对于A 选项，曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，(平移变换指的是对“x ”的变换)所以A 选项不正确；对于B 选项，曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得到曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以B 选项正确；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1≠0，所以C 选项不正确；对于D 选项，因为x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为f (x )最小正周期的一半，即π2，所以D 选项正确．故选BD.(2)由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ).点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－7π4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π3＝2cos π3＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0，即(f (x )－1)f (x )＞0，可得f (x )＞1或f (x )＜0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＞12或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，不符合题意；当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0，符合题意，所以满足题意的最小正整数x 为2.探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．这两种变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置．【训练2】 (1)(多选)(2021·湖南名校测评)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋xD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x(2)将曲线y ＝f (x )·cos 2x 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π4个单位长度，得到曲线y ＝cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．1B ．－1 C. 3D.－ 3答案 (1)ABD (2)D解析 (1)由题图可知5π6－π12＝3π4＝3T4(T 为f (x )的最小正周期)， 所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ).由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，得2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 得φ＝2k π＋π3(k ∈Z ).因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此A 选项正确；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以B 选项正确； 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，所以C 选项不正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以D 选项正确.故选ABD.(2)把y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应函数为y ＝－sin(2·2x )＝－sin 4x .依题设y ＝－sin 4x ＝f (x )·cos 2x .因此f (x )＝－2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－ 3.热点三 三角函数的性质【例3】 (1)(多选)(2021·天津适应性考试)已知x 1，x 2是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的两个不同零点，且|x 1－x 2|的最小值是π2，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增B.函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称 C.函数f (x )的图象关于点(π，0)中心对称 D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，函数f (x )的值域是[－2，1]答案 ABD解析 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π＝2πω， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 对于选项A ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，故A 正确；对于选项B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，故B 正确；对于选项C ，f (π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－1≠0，∴f (x )的图象不关于点(π，0)中心对称，故C 错误； 对于选项D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，f (x )∈[－2，1]，故D 正确. 综上，选ABD.(2)(2021·南京调研)已知函数f (x )＝4a cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.①求a 的值及f (x )的最小正周期；②若f (x )在[0，m ]上单调递增，求m 的最大值.解 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4a ×12×12＝1，解得a ＝1.所以f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin x cos x －2cos 2x＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小正周期为π.②由①知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.当x ∈[0，m ]时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2m －π6， 若f (x )在[0，m ]上单调递增， 则有－π6<2m －π6≤π2，即0<m ≤π3.所以m 的最大值为π3.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究三角函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【训练3】 (1)(2021·苏州调研)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数模型.纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，通常我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝sin x ＋12sin 2x ，则下列有关函数f (x )的结论正确的是( ) A.2π不是f (x )的一个周期 B.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.f (x )的最大值为334D.f (x )在[0，2π]上有2个零点(2)(多选)(2021·青岛模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2ωx －1)sin 2ωx ＋12cos 4ωx (ω>0)，则下列说法正确的是( )A.若f (x )的两个相邻的极值点之差的绝对值等于π4，则ω＝2B.当ω＝12时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最小值为－12C.当ω＝1时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递增D.当ω＝1时，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象答案 (1)C (2)BD解析 (1)由于f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋12sin(2x ＋4π)＝sin x ＋12sin 2x ＝f (x )，∴2π是函数f (x )的一个周期，A 不正确；当x ∈[0，2π]时，f ′(x )＝cos x ＋cos 2x ＝cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x ＋cos x －1，由f ′(x )>0，得12<cos x ≤1，所以0≤x <π3或5π3<x ≤2π；由f ′(x )<0，得－1<cos x <12，所以π3<x <5π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3，⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，2π上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3上单调递减，故B 不正确；易知x ＝π3为函数f (x )的极大值点，x ＝5π3为函数f (x )的极小值点，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝－334，f (2π)＝0，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，故C 正确；由f (x )＝sin x ＋12sin 2x ＝0，得sin x ＋sin x cos x ＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－1，当x ∈[0，2π]时，x ＝0或x ＝π或x ＝2π，则f (x )在[0，2π]上有3个零点，故D 不正确.(2)f (x )＝12sin 4ωx ＋12cos 4ωx ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4ωx ＋π4.选项A ：由题意得T 2＝π4，∴12×2π4ω＝π4，∴ω＝1，A 不正确；选项B ：当ω＝12时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，22，B 正确； 选项C ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0时，4x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上不单调递增，C 不正确；选项D ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，所得图象的解析式为g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4，D 正确.故选BD. 热点四 三角函数性质与图象的综合应用【例4】 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω 的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)的单调递减区间. 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4. 又f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，解得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12. (2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3.∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0， 即φ－π3＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练4】 (2021·武汉诊断)已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)，且函数f (x )的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合. 解 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π，得ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π12，k ∈Z }.一、选择题1.(2021·湖南大联考)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝( ) A.513 B.－113C.－513D.113答案 B解析 由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α，所以tan α＝32，从而原式＝sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113. 2.(2021·石家庄模拟)刘徽(约公元225年～295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin 4°的值为( )A.0.052 4B.0.062 8C.0.078 5D.0.069 8答案 D解析 将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°， 因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以90×12×1×1×sin 4°＝45sin 4°≈π， 所以sin 4°≈π45≈0.069 8.3.(2021·北京卷)已知函数f (x )＝cos x －cos 2x ，则该函数为( ) A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为98答案 D解析 函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数.f (x )＝cos x －cos 2x ＝cos x －(2cos 2x －1)＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，又cos x ∈[－1，1]，故f (x )的最大值为98，故选D.4.古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同.数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，图象的解析式是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A.ω＝3，φ＝π6 B.ω＝6，φ＝π3 C.ω＝3，φ＝π4 D.ω＝6，φ＝5π6答案 C解析 由图象知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π－712π＝2π3，∴2πω＝2π3，则ω＝3.又A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋φ＝0，∴74π＋φ＝2k π(k ∈Z )，由φ∈(0，π)，得φ＝π4.5.(2021·广东七校联合体二联)如图，点P 在以AB 为直径的半圆弧上沿着BA ︵运动，AB ＝2，记∠BAP ＝x .将点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 C解析 法一 由题意可知，△P AB 为直角三角形，P A ＝2cos x ，PB ＝2sin x ， 所以P A ＋PB ＝2cos x ＋2sin x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即y ＝f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2，22]，当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时函数f (x )取得最大值22，故排除B ，D ；又函数f (x )的解析式为正弦型，故排除A ，故选C.法二 由题意可知，△P AB 为直角三角形.当x ＝π4时，△P AB 为等腰直角三角形，此时P A ＝PB ＝2，则P A ＋PB ＝22>2，故排除B ，D ； 当x ＝π6时，P A ＋PB ＝2cos π6＋2sin π6＝3＋1，当x ＝π12时，P A ＋PB ＝2cos π12＋2sin π12＝6＋22＋6－22＝6，又22－（3＋1）π4－π6≠（3＋1）－6π6－π12，所以当0<x <π4时，函数f (x )的图象不是直线型，故排除A ，故选C.6.(多选)(2021·南京调研)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图象，则( )A.函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称 B.函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增D.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点答案 ACD解析 将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象. 对于A ，由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称，故A 正确；对于B ，当x ＝π6时，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32≠0，所以函数g (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，故B 不正确；对于C ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，又⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增，故C 正确； 对于D ，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z ).当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6时，x ＝π3，5π6，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点，故D 正确.综上所述，选ACD. 二、填空题7.(2021·八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f (x )＝ . 答案 sin πx (答案不唯一)解析 可考虑三角函数中的正弦型函数f (x )＝A sin ωx (A ≠0)，满足f (－x )＝ －A sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数.根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中任一个，可取f (x )＝sin πx (答案不唯一).8.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数图象与x 轴的交点，点G 在图象上)，则A ＝ ，f (1)的值为 .答案 22解析 依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.9.(2021·山东中学联盟联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则函数f (x )在[0，π]上存在 个极小值点，实数ω的取值范围是 . 答案 1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196解析 根据三角函数图象的平移和伸缩变换，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象可由y ＝ sin x 的图象向右平移π6个单位长度，然后所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω得到，则f (x )的大致图象如图所示.图中O 点右侧的零点依次为π6ω，7π6ω，13π6ω，19π6ω，….由题意，f (x )在[0，π]上有且仅有3个零点，则f (x )在[0，π]上有1个极小值点，且13π6ω≤π<19π6ω，解得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196.三、解答题10.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象重合.(1)求ω和φ的值；(2)若函数h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，求h (x )的单调递增区间及其图象的对称轴方程. 解 (1)由题意得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos(2x ＋φ).∵|φ|＜π2，∴φ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，∴h (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 11.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π或x ＝11π12.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π(易证x 1＋x 2＝11π6不合题意)，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.12.(多选)(2021·济南诊断)已知函数f (x )＝a sin(2x ＋φ1)＋b cos(2x ＋φ2)(f (x )不恒为0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，则下列说法一定正确的是( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12为奇函数 B.f (x )的最小正周期为πC.f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增 D.f (x )在区间[0，2 021π]上有4 042个零点答案 BD解析 f (x )＝a (sin 2x cos φ1＋cos 2x sin φ1)＋b (cos 2x cos φ2－sin 2x sin φ2) ＝(a cos φ1－b sin φ2)sin 2x ＋(a sin φ1＋b cos φ2)cos 2x .令m ＝a cos φ1－b sin φ2，n ＝a sin φ1＋b cos φ2， 则f (x )＝m sin 2x ＋n cos 2x ＝m 2＋n 2sin(2x ＋θ)(其中tan θ＝n m )，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 选项正确；由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以x ＝π6是f (x )的零点，其相邻的2个零点为x ＝π6－π2＝－π3和x ＝π6＋π2＝2π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12不是奇函数，A 选项错误； 零点x ＝π6相邻的两个对称轴方程为x ＝π6－π4＝－π12和x ＝π6＋π4＝5π12，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上可能单调递增，也可能单调递减，C 选项错误； 由于f (x )在[0，π]上的零点有2个，而f (x )的最小正周期为π，所以f (x )在区间[0，2 021π]上有2 021×2＝4 042(个)零点，D 选项正确.故选BD.13.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ . 答案 2解析 由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0.所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx .由g (x )的最小正周期为2π， 可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2. 14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是①ω＝32；②周期T ＝π；③f (x )的图象过点(0，0)；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32. (1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离.解 (1)所满足的三个条件是②③④，∵f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＋m .又f (x )的图象过点(0，0)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32， ∴sin φ＋m ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋m ＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ－sin φ＝32， ∴32cos φ－12sin φ－sin φ＝32，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ－32sin φ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝32.又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π6.又∵sin φ＋m ＝0，∴－12＋m ＝0，∴m ＝12，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. (2)由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＝1， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝12， ∴2x －π6＝2k π＋π6或2x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π6或x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离为π2－π6＝π3.。
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结
高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。
在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。
下面将对这些内容进行总结。
一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。
2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。
二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。
2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。
3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。
高考数学重难点解析 三角函数的图像及性质
三角函数的图像与性质【考纲说明】1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最 小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3．结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x y 的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1 sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性 奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭函 数性 质2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质振幅：A ；最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图： 五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。
高考数学难点突破_难点15__三角函数的图象和性质
难点15 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.●难点磁场(★★★★)已知α、β为锐角，且x (α+β－2π)＞0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立.●案例探究［例1］设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.解法一：∵z 1=2z 2，∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89. 当sin θ=41时λ取最小值－89，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z 1=2z 2 ∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4)22(4222λ--+m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4,令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥0220434589λλλλλ或或∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－89，2］.［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==20021sin 4sin cos cos gt v L h t v L S θαθα 由①②整理得：v 0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22tL ≥2222412t L t g ⋅=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g ghg v =200(m)即L max =200(m),又41g 2t 2=22222tL t h S =+. ∴θααcos 22cos cos ,20⋅====gLgh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°.［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b . (1)求这段时间的最大温差.① ②(2)写出这段曲线的函数解析式.命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母. 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象.∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π,由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )2.(★★★★)函数f (x )=cos2x +sin(2π+x )是( ) A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=(31)｜cos x ｜在［－π，π］上的单调减区间为_________. 4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0.(1)求证：b +c =－1； (2)求证c ≥3；(3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值.6.(★★★★★)用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.(★★★★)设－6π≤x ≤4π，求函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1－sin x )的最大值和最小值. 9.(★★★★★)是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.参考答案难点磁场证明：若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β.0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α,∴0＜βsin cos α＜1,0＜αβsin cos ＜1,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2.若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角，0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π,0＜sin β＜sin(2π－α),∴sin β＜cosα,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴βαsin cos ＞1, αβsin cos ＞1,∵f (x )在(－∞,0）上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立. 歼灭难点训练一、1.解析：函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0, 2π)时，y ＜0.答案：D2.解析：f (x )=cos2x +sin(2π+x )=2cos 2x －1+cos x=2［(cos x +81)2212-］－1.答案：D二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cos x ｜的单调递增区间是［－2π,0］及［2π,π］.而f (x )依｜cos x ｜取值的递增而递减,故［－2π,0］及［2π,π］为f (x )的递减区间. 4.解：由－2π≤ωx ≤2π，得f (x )的递增区间为［－ωπ2,ωπ2］，由题设得.230,23: 4232],2,2[]4,3[≤ω<∴≤ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π≥ωππ-≤ωπ-∴ωπωπ-⊆ππ-解得 三、5.解：(1)∵－1≤sin α≤1且f (sin α)≥0恒成立，∴f (1)≥0 ∵1≤2+cos β≤3,且f (2+cos β)≤0恒成立.∴f (1)≤0. 从而知f (1)=0∴b +c +1=0.(2)由f (2+cos β)≤0,知f (3)≤0,∴9+3b +c ≤0.又因为b +c =－1,∴c ≥3.(3)∵f (sin α)=sin 2α+(－1－c )sin α+c =(sin α－21c +)2+c －()21(c +)2,当sin α=－1时，［f (sin α)］max =8,由⎩⎨⎧=++=+-0181c b c b 解得b =－4,c =3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB 着地，并设OA =x ，OB =y ，则a 2=x 2+y 2－2xy cos α≥2xy －2xy cos α=2xy (1－cos α).∵0＜α＜π,∴1－cos α＞0,∴xy ≤)cos 1(22α-a (当且仅当x =y 时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V 1=(21xy sin α)b =2cos 41)cos 1(4sin 22αααb a b a =-.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V 的最大值V 2=41ab 2cos 2α, ∵a ＞b ,∴V 1＞V 2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为41a 2b cos 2α. 7.解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP =R ，设∠AOP =θ，则∠QOP =45°－θ，NP =R sin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(RPQ ，∴PQ =2R sin(45°－θ).S 矩形MNPQ =QP ·NP =2R 2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］≤212-R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S 矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R 2.工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R 2. 8.解：∵在［－4,6ππ］上，1+sin x ＞0和1－sin x ＞0恒成立，∴原函数可化为y = log 2(1－sin 2x )=log 2cos 2x ，又cos x ＞0在［－4,6ππ］上恒成立，∴原函数即是y =2log 2cos x ,在x ∈［－4,6ππ］上，22≤cos x ≤1. ∴log 222≤log 2cos x ≤log 21，即－1≤y ≤0，也就是在x ∈［－4,6ππ］上，y max =0,y mi n =－1.).(51212185,0cos ,0,02).(0423121854,2cos ,20,120),(2132012385,1cos ,2,12.1cos 0,20.21854)2(cos 2385cos cos 1:.9max 2max max 222舍去时则当即若舍去或时则当即若舍去时则当即时若时当解>=⇒=-==<<<-==⇒=-+==≤≤≤≤<=⇒=-+==>>≤≤π≤≤-++--=-++-=a a y x a a a a a a y a x a a a a a y x a a x x a a a x a x a x y综合上述知，存在23=a 符合题设.Von Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的图像与性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个周期性变化的曲线。
正弦函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
在单位圆上，我们可以将角度与坐标点联系起来，从而得到正弦函数的图像。
正弦函数的图像是一个连续的曲线，它在每个周期内都会经过最高点和最低点。
正弦函数的周期是360度或2π弧度，即在一个周期内，正弦函数的值会重复出现。
正弦函数的最高点和最低点分别为1和-1，它们对应于角度为90度或π/2弧度和270度或3π/2弧度。
正弦函数还具有以下性质： - 正弦函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)。
- 正弦函数在0度或0弧度时取得最小值0。
- 正弦函数在90度或π/2弧度时取得最大值1。
- 正弦函数在180度或π弧度时取得最小值0。
- 正弦函数在270度或3π/2弧度时取得最大值-1。
余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个常见的三角函数，它也表示一个周期性变化的曲线。
余弦函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
与正弦函数类似，余弦函数的图像也是一个连续的曲线，它在每个周期内都会经过最高点和最低点。
余弦函数的周期也是360度或2π弧度，即在一个周期内，余弦函数的值会重复出现。
余弦函数的最高点和最低点分别为1和-1，它们对应于角度为0度或0弧度和180度或π弧度。
余弦函数还具有以下性质： - 余弦函数是偶函数，即f(-x)=f(x)。
- 余弦函数在0度或0弧度时取得最大值1。
- 余弦函数在90度或π/2弧度时取得最小值0。
- 余弦函数在180度或π弧度时取得最大值-1。
- 余弦函数在270度或3π/2弧度时取得最小值0。
正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要概念，它表示一个周期性变化的曲线。
正切函数的图像可以通过在单位圆上取点来得到。
三角函数的图像和性质知识点讲解+例题讲解(含解析)
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A.T ＝π，A ＝1 B.T ＝2π，A ＝1 C.T ＝π，A ＝2D.T ＝2π，A ＝2解析 最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝2－1＝1.故选A. 答案 A3.函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6. 答案 －π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 解析 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56 π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8【训练1】 (1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. (2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]上，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________. (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. (2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1【训练2】 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.因为x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π，则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π上单调递增(2)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，－π3，此时函数f (x )先减后增；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，此时函数f (x )先增后减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3，此时函数f (x )单调递减；由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，得2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，5π3，此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω＝32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6 B.π6 C.－π3 D.π3解析 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称 C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .f (x )＝sin x cos x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12(k ∈Z )， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A3.已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6(k ∈Z ). 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.5.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，所以α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－2π3，则f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0，因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π2，都存在唯一的实数β∈[0，m ]，使f (α)＋f (β)＝0，所以f (β)在[0，m ]上单调，且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，则β－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.答案 C8.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )＝2sin ωx －cos ωx (ω>0)，若f (x )的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|min ＝2，则f (1)的值为( ) A.102 B.－102 C.2 D.－2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω＝2|x 1－x 2|min ＝2×2＝4，即ω＝π2，所以f (1)＝2sin π2－cos π2＝2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8； 同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.。
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析在高考数学中，三角函数图像是一个重要的考点，它不仅要求我们掌握基本的概念和性质，还需要我们能够灵活运用这些知识解决各种问题。
在冲刺复习阶段，对三角函数图像考点进行系统的梳理和深入的理解，能够帮助我们在考试中更加得心应手。
一、三角函数的基本类型我们先来了解一下常见的三角函数，包括正弦函数（y ＝ sin x）、余弦函数（y ＝ cos x）和正切函数（y ＝ tan x）。
正弦函数的图像是一个以2π 为周期，在－1 到1 之间波动的曲线。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 0；在 x ＝π/2 时，函数值为 1；在 x ＝3π/2 时，函数值为－1。
余弦函数的图像同样是以2π 为周期，在－1 到 1 之间波动。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 1；在 x ＝π 时，函数值为－1。
正切函数的图像则有所不同，它的周期是π，定义域为x ≠ （π/2)＋kπ（k 为整数），值域为R。
其图像在每个周期内都是单调递增的，且有垂直渐近线 x ＝（π/2) ＋kπ。
二、三角函数图像的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
周期性是三角函数的重要特征之一，利用周期性可以将函数在一个周期内的性质推广到整个定义域。
2、对称性正弦函数是关于直线 x ＝π/2 ＋kπ（k 为整数）对称的奇函数；余弦函数是关于直线 x ＝kπ（k 为整数）对称的偶函数。
3、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k 为整数）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ上单调递减。
余弦函数在2kπ π, 2kπ上单调递增，在2kπ, 2kπ ＋π上单调递减。
4、值域正弦函数和余弦函数的值域都是-1, 1，正切函数的值域是 R。
三、三角函数图像的变换1、平移变换对于函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图像向左平移φ 个单位；当φ ＜ 0 时，图像向右平移|φ|个单位。
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难点15 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.●难点磁场(★★★★)已知α、β为锐角，且x (α+β－2π)＞0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x＜2对一切非零实数都成立.●案例探究［例1］设z 1=m +(2－m 2)i ,z 2=cos θ+(λ+sin θ)i ,其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围.命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.解法一：∵z 1=2z 2，∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－89.当sin θ=41时λ取最小值－89，当sin θ=－1时，λ取最大值2.解法二：∵z 1=2z 2∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4)22(4222λ--+m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4,令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥022*******λλλλλ或或 ∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2.∴λ的取值范围是［－89，2］.［例2］如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.解：由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-==20021sin 4sin cos cos gt v L h t v L S θαθα 由①②整理得：v 0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt tL v tL +-=αθα∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22t L ≥2222412tL t g ⋅=gL运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g gh g v =200(m)即L max =200(m),又41g 2t 2=22222t L t h S =+.∴θααcos 22cos cos ,20⋅====gLgh t v L S g L t得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30°.［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b .(1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式.① ②命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.知识依托：依据图象正确写出解析式.错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)； (2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象.∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π,由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π.综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］. ●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.3.三角函数与实际问题的综合应用.此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )2.(★★★★)函数f (x )=cos2x +sin(2π+x )是( )A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数二、填空题3.(★★★★)函数f (x )=(31)｜cos x ｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0.(1)求证：b +c =－1； (2)求证c ≥3；(3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值.6.(★★★★★)用一块长为a ，宽为b (a ＞b )的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.7.(★★★★★)有一块半径为R ，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.8.(★★★★)设－6π≤x ≤4π，求函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1－sin x )的最大值和最小值.9.(★★★★★)是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85a－23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.参考答案难点磁场证明：若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β.0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α,∴0＜βsin cos α＜1,0＜αβsin cos ＜1,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2.若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角，0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π,0＜sin β＜sin(2π－α),∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴βαsin cos ＞1,αβsin cos ＞1, ∵f (x )在(－∞,0）上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立. 歼灭难点训练一、1.解析：函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0, 2π)时，y ＜0.答案：D2.解析：f (x )=cos2x +sin(2π+x )=2cos 2x －1+cos x=2［(cos x +81)2212-］－1. 答案：D二、3.解：在［－π,π］上，y =｜cos x ｜的单调递增区间是［－2π,0］及［2π,π］.而f (x )依｜cos x ｜取值的递增而递减,故［－2π,0］及［2π,π］为f (x )的递减区间.4.解：由－2π≤ωx ≤2π，得f (x )的递增区间为［－ωπ2,ωπ2］，由题设得.230,23: 4232],2,2[]4,3[≤ω<∴≤ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π≥ωππ-≤ωπ-∴ωπωπ-⊆ππ-解得 三、5.解：(1)∵－1≤sin α≤1且f (sin α)≥0恒成立，∴f (1)≥0∵1≤2+cos β≤3,且f (2+cos β)≤0恒成立.∴f (1)≤0. 从而知f (1)=0∴b +c +1=0.(2)由f (2+cos β)≤0,知f (3)≤0,∴9+3b +c ≤0.又因为b +c =－1,∴c ≥3.(3)∵f (sin α)=sin 2α+(－1－c )sin α+c =(sin α－21c +)2+c －()21(c +)2,当sin α=－1时，［f (sin α)］max =8,由⎩⎨⎧=++=+-0181c b c b 解得b =－4,c =3.6.解：如图，设矩形木板的长边AB 着地，并设OA =x ，OB =y ，则a 2=x 2+y 2－2xy cos α≥2xy －2xy cos α=2xy (1－cos α).∵0＜α＜π,∴1－cos α＞0,∴xy ≤)cos 1(22α-a (当且仅当x =y 时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V 1=(21xy sinα)b =2cos 41)cos 1(4sin 22αααb a b a =-.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V 2=41ab 2cos 2α,∵a ＞b ,∴V 1＞V 2从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为41a 2b cos 2α.7.解：如下图，扇形AOB 的内接矩形是MNPQ ，连OP ，则OP =R ，设∠AOP =θ，则∠QOP =45°－θ，NP =R sin θ,在△PQO 中，︒=θ-︒135sin )45sin(RPQ ，∴PQ =2R sin(45°－θ).S矩形MNPQ =QP ·NP =2R 2sin θsin(45°－θ)=22R 2·［cos(2θ－45°)－22］≤212-R 2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ 的值最大且最大值为212-R 2. 工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB ，以扇形一半径OA 为一边，在扇形上作角AOP 且使∠AOP =22.5°，P 为边与扇形弧的交点，自P 作PN ⊥OA 于N ，PQ ∥OA 交OB 于Q ，并作OM ⊥OA 于M ，则矩形MNPQ 为面积最大的矩形，面积最大值为212-R 2. 8.解：∵在［－4,6ππ］上，1+sin x ＞0和1－sin x ＞0恒成立，∴原函数可化为y =log 2(1－sin 2x )=log 2cos 2x ，又cos x ＞0在［－4,6ππ］上恒成立，∴原函数即是y =2log 2cos x ,在x ∈［ －4,6ππ］上，22≤cos x ≤1.∴log 222≤log 2cos x ≤log 21，即－1≤y ≤0，也就是在x ∈［－4,6ππ］上，y max =0, y mi n =－1.).(51212185,0cos ,0,02).(0423121854,2cos ,20,120),(2132012385,1cos ,2,12.1cos 0,20.21854)2(cos 2385cos cos 1:.9max 2max max 222舍去时则当即若舍去或时则当即若舍去时则当即时若时当解>=⇒=-==<<<-==⇒=-+==≤≤≤≤<=⇒=-+==>>≤≤π≤≤-++--=-++-=a a y x a a a a a a y a x a a a a a y x a a x x a a a x a x a x y综合上述知，存在23=a 符合题设.。