大学物理通用矢量知识
矢量分析(大学物理)
2. 标量场的梯度
标量场: ( x , y , z )
d x y z g ra d d x d x dx dy dz
ex ey ez x y z
梯度的概念重要性在于，它用来表征 标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的 程度。
(3)斯托克斯定理（Stoke’s Theorem）
A dl
L
( A ) dS
S
它将任意闭合曲线边界的线积分转换为 该闭合曲线为界的任意曲面的面积分， 反之亦然。
s
A ds
A dV
V
它将一个闭合曲面的面积分转为该曲面 所包围体积的体积分，反之亦然。
4. 矢量场的旋度
(1)矢量场 的环量
积分
将矢量场 A ( x )沿一条有向闭合曲线L的线
c
A dl
L
称为 A 沿该曲线L的环量。
(2)旋度
设闭合曲线L围着面积 S , 当 S 0 时, A 对L的环量与 S 之比的极限称为A 的旋度沿
3. 矢量场的散度:
(1) 通量
一个矢量场通过 dS 面元的通量为
d A co s d S A d S
通过S面的通量为
s
A dS
通过闭合曲面S的通量为
s
A dS
(2)散度
设封闭曲面S所包围的体积为 V ，则
s
A ds / V
就是矢量场 通量，或者平均发散量。
A ( x ) 在 V 中单位体积的平均
大学物理矢量代数
Ax dAx , Ay dAy ,
Az dAz
A Axi Ay j Azk
8
矢量代数基本知识
1
矢量代数的基本知识
标量：只有大小， 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速
z
度、角速度、电场强度等。
1、矢量的两种表示方式： 几何表示
A
o
y
——有指向的线段。
x
2
解析表示（直角坐标系）
A Axi Ay j Azk
Байду номын сангаас
AB
结论：两个矢量叉乘得到
B
的结果仍然是一个矢量。
注意 A B B A
A
7
（4）矢量的求导
dA dt
d dt
( Axi
Ay
j
Azk )
d dt
( Axi )
d dt
( Ay
j)
d dt
( Azk )
dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt dt
（5）矢量的积分
先对矢量的各分量分别进行积分，再 对得到的各分量值进行矢量合成。
那么 A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
请问： A dA与 AdA是否相等 ?
6
矢量的叉乘
A
是
B |
A与
A
B
|| B | sin
的夹角，
是一个单位矢量。
并且的跟方矢向量：垂A 直、B于形由成A右、手B 螺所旋构关成系的：平面，
大学物理矢量基础(一)2024
大学物理矢量基础（一）引言:矢量是描述物理量的重要工具，它有大小和方向，可以用来表示力、速度、加速度等物理量。
掌握矢量的基础知识对于学习大学物理至关重要。
本文将介绍大学物理中关于矢量的基础知识，包括矢量的定义、表示以及矢量运算，以便读者更好地理解并应用矢量概念于物理学。
正文：一、矢量的定义和性质：1. 矢量的定义及其与标量的区别；2. 矢量的性质：大小、方向和代表的物理量；3. 矢量的分类：自由矢量和固定矢量；4. 矢量的表示方法：箭头、加粗和小写斜体字母。
二、矢量的坐标表示：1. 极坐标和直角坐标系的介绍；2. 矢量在直角坐标系中的表示方法；3. 矢量的坐标分量及其计算方法；4. 矢量的单位矢量表示及其定义；5. 矢量的分解和合成。
三、矢量的运算：1. 矢量的加法及其几何意义；2. 矢量的减法及其几何意义；3. 矢量的数乘及其几何意义；4. 矢量的数量积及其几何意义；5. 矢量的向量积及其几何意义。
四、矢量的运算定律：1. 矢量的交换律和结合律；2. 矢量的分配律和数量积的交换律；3. 矢量的数量积和向量积的分配律；4. 矢量的向量积和数量积的混合积；5. 应用运算定律解决物理问题的例子。
五、矢量的应用：1. 矢量运算在力学中的应用；2. 矢量运算在电磁学中的应用；3. 矢量运算在热学中的应用；4. 矢量运算在光学中的应用；5. 矢量运算在其他学科中的应用。
总结：通过本文的介绍，我们了解了大学物理中关于矢量的基础知识。
我们学习了矢量的定义和性质，以及矢量的坐标表示和运算。
我们还了解了矢量的运算定律和应用示例。
矢量的基础知识是学习物理学的重要基石，它可以帮助我们更好地理解和分析物理现象。
希望本文对读者的物理学习有所帮助。
大学物理 第一章 矢量分析资料
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
17
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
eφ dz
er
y
φ dφ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
14
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
15
球坐标系
rsinθdφ rsinθdφ z rdθ
θ
er
rdθ
dr
eφ
dL
dr eθ
r
θ
dr
rdθ
y
rsinθdφ
o
x
φ dφ
rsinθdφ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
16
4. 坐标单位矢量之间的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
10
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
11
直角坐标系
dx dy
ez
z
dx
dL
dz
dy dz ex
y
dx dz ey
dy
o
x
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
12
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
13
圆柱坐标系
p pdφ dL dy o
x
pdφ dr
ezzdz来自dr dzpdφ电磁场与电磁波
大学物理矢量运算公式(一)2024
大学物理矢量运算公式（一）引言概述:
大学物理中，矢量运算是一门重要的基础课程。
矢量运算公式是在处理矢量量的运算过程中所使用的关键工具。
本文将介绍大学物理矢量运算公式的一些基本概念和常见公式，以帮助读者更好地理解和应用矢量运算。
正文内容:
一、矢量的表示和性质
1. 矢量的定义和表示方法
2. 矢量的加法和减法运算
3. 矢量的数量积和矢量积定义及其性质
4. 矢量的分解和合成
5. 矢量的单位化和模长计算
二、矢量的坐标表示
1. 直角坐标系和矢量的坐标表示
2. 极坐标系和矢量的坐标表示
3. 球坐标系和矢量的坐标表示
三、矢量的运算公式
1. 矢量的加法和减法公式
2. 矢量的数量积公式和性质
3. 矢量的矢量积公式和性质
4. 矢量的混合积公式和性质
5. 矢量的分解和合成公式
四、应用举例
1. 矢量运算在力学中的应用
2. 矢量运算在电磁学中的应用
3. 矢量运算在波动学中的应用
4. 矢量运算在光学中的应用
5. 矢量运算在热学中的应用
五、矢量运算的常见错误和注意事项
1. 矢量运算中常见的错误类型
2. 矢量运算中需要注意的细节
3. 矢量运算的常见问题及解答
4. 矢量运算的常见应用技巧
5. 矢量运算的进一步深入学习建议
总结:
本文概述了大学物理矢量运算公式的基本概念和常见公式，包括矢量的表示和性质、矢量的坐标表示、矢量的运算公式、应用举例以及矢量运算的常见错误和注意事项。
矢量运算公式在物理学中有着广泛的应用，通过学习和掌握这些公式，读者可以更好地理解和应用矢量运算。
对于进一步深入学习，本文还提出了建议。
大学物理简明教程矢量基础知识
引言概述：在研究物理学时，矢量是一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将以大学物理为基础，介绍矢量的基础知识，包括矢量的定义、性质以及运算法则等。
通过学习这些知识，读者将能够更好地理解和应用矢量概念。
正文内容：1.矢量的定义和性质1.1定义：矢量是具有大小和方向的量，用箭头表示，并且满足平行四边形法则。
1.2强调大小和方向：矢量的大小由模和单位来表示，方向由箭头指向表示。
1.3矢量的分类：自由矢量和定向矢量。
1.4坐标系：在空间中表示矢量，一般采用直角坐标系、极坐标系等。
1.5矢量的性质：平移性、相等性、零矢量等。
2.矢量的运算法则2.1矢量的加法法则：满足三角形法则和平行四边形法则。
2.2矢量的减法法则：将减法转化为加法，即AB=A+(B)。
2.3矢量与标量的乘法：数乘，即矢量的模与数的乘积。
2.4矢量的数量积：点乘，模乘以夹角的余弦值。
2.5矢量的向量积：叉乘，模乘以夹角的正弦值。
3.极坐标表示下的矢量3.1极坐标系：用极径和极角来表示矢量。
3.2极坐标系下的加法法则：将加法转化为直角坐标系下的加法。
3.3极坐标系下的减法法则：将减法转化为直角坐标系下的减法。
3.4极坐标系下的数量积和向量积：类似于直角坐标系下的计算方法。
4.平面矢量的应用4.1矢量和标量的关系：矢量可以表示位移、速度、加速度等。
4.2位移矢量：表示物体从一个位置到另一个位置的矢量。
4.3速度矢量：表示物体在单位时间内位移的矢量。
4.4加速度矢量：表示物体在单位时间内速度的变化率的矢量。
4.5矢量和矢量的关系：矢量可以相加、相减、求量积和向量积等。
5.矢量的应用实例5.1力的分解与合成：将力分解为两个矩形方向上的力，合成为一个合力。
5.2刚体平衡问题：通过矢量的平衡条件，求解物体的平衡问题。
5.3物体运动问题：通过矢量的运算法则，分析物体在平面运动中的速度、加速度等。
5.4牛顿定律问题：利用矢量的知识，解决物体的牛顿定律问题。
大学物理_矢量
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
rA
o
rB
y
x 注意到矢量有大小和方向两个属性，因此其微分：
dA dA 0 dA0 A A dt dt dt
。举例：直线运动和圆周运动。
圆周运动
考虑在圆周运动情况下，单位 矢量 A0 对时间的变化率 d A0 的 dt 大小和方向，注意到：
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
注意到如下关系：
i i j j k k 1 i j j k k i 0
v
r
v r
角速度矢量
的方向
矢量微分的应用：加速度 (Acceleration )
加速度是反映速度变化的物理量 z
t1时刻，质点速为
v1
v1
t2时刻，质点速度为
v2
x
v2
o y
t时间内，速度增量为：
v v2 v1
v a t
v1
v2
o x
rA r B
y
r
B
r rB rA 为在此时间内的位移矢量，当t→0时，
可得该位移矢量的微分：dr lim( rB rA ) ，此时位移 t 0 矢量的微分方向为A点处轨道的切线方向。
dr r lim v 位移矢量对时间的变化率为速度矢量： dt t 0 t z v 速度的方向为轨道上质 A 点所在处的切线方向。 B r 在直角坐标系中：
5、熟悉质点运动的一般描写。
大学物理：矢量 (VECTOR)
dt t0
t
一个矢量既有大小又有方向
A AAˆ
因此： dA dA Aˆ A dAˆ
dt dt
dt
物理教研室，药大
显然可以区分为三种情况： 矢量的大小变化，矢量的方向不变 矢量的方向变化，大小不变 矢量的大小和方向都发生变化
能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生， 都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？
物理教研室，药大
因为有如下关系：
ii j j k k 1 i j jk k i 0
A B ( Ax i Ay j Az k ) (Bx i By j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
物理教研室，药大
同样因为有 如下关系：
ii j j k k 0 i j k, j k i,k i j
• m>0: 与A同向; • m<0: 与A反向; • m=0: 零矢量 • m=-1: mA = -A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量
• 性质:
– 分配律:(associative law)
( )A A A (A B) A B
– 交换律:(commutative law)
3) 两个矢量的夹角
cos A B
AB
4) 性质：
交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):
AB B A ( A B) C AC B C ( A B) A (B), 为实数
物理教研室，药大
例3.
t2 t1
( Axi
Ay
j
Azk )dt
(
t2 t1
Axdt)i
(
大学物理矢量分析【普通物理学】
i 、j、k：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。
在球坐标中的表示：
A AeA 其中：A 为矢量A 的模，eA为指向矢量 A方向的单位
矢量(unit vector)。
dt
dt
dt
(3) d ( A B) A dB dA B
dt
dt dt
(4) d ( A B) A dB dA B
dt
dt dt
一 矢量(vector)
标量(scalar quantity)：只具有大小而没有方向的物理量，我 们把它称之为标量。
矢量：有一种物理量，仅用大小还不能全面的来描述它，还需 要用方向来描述它。
例如说，我们只知道一个人从学校门口走了1公里，就无法确 定他到了什么地方。但如果还知道了他走的方向是正东，我们 就能确定他到了什么地方了。这种既具有大小又具有方向的物 理量，我们把它称之为矢量。
矢量的标积遵守
(1) 交换率： A B B A
(2) 结合率： ( A B) C AC B C
2. 矢量的矢积(vector product) 矢量的矢积也称为矢量的叉乘，定义为：
A B ABsine
其中 e为由 A 和B 根据右手螺旋定则判定的单位矢量。
由矢积的定义得：
i i j j k k 0
矢量与标量的根本区别是有没有方向。
矢量的模(module)：矢量的大小称为矢量的模。矢量 A 的模记为：A 或 | A |。
矢量具有平移不变性(translation invariant)：把矢量 在空间中平移，矢量的大小和方向不会改变，这种性 质称为矢量平移的不变性。
大学物理矢量
二.矢量加减法
１.几何法 ( 多边形法 )
A
B
（C1）A平行四边形C法 则
或
B
AB C
C
A
B
B
（2A）三角B形 法C
C A
B
矢量的基本知识
B
C
（3）多边形法 A
D
R
2. 坐标法
A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j
C
Cx
Cy
大小 计算方法同前（下同）
方向
矢量的基本知识
A大x、小A(、y模Az):分：量A 的大小Ax，2 可A视y2为标A量z2 （只y用A正y 负区分A）
方向: 方向余弦(α,β,γ中任２个) j
Ax
(2) 平面矢量（二维）
Az
k
o
i
x
A Ai A j
x
y
z
方向：规定 arc tan Ay
（任意角）Ax
o
()
() x
矢量的基本知识
如方向力矩右矢手量螺M旋 o法则r
F
大小
Mo
位矢
rsin F Fd
力臂
A
M
F
r
方向及转动效果: 如图所示
o d
矢量的基本知识
注
a.
A B B A
方向相反
b.
A B
A B AB
(最大）
A∥B A B 0
*c. 坐标法
i
jk
A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量的基本知识
物理科学数学语言
微积分、微分方程
一.矢量的表示法
矢量代数…
１. A Ae →单位矢量(大小为１，表示方向)
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A 1即模为1的矢量 ——单位矢量 A 0即模为0的矢量 —— 零矢量
零矢量的方向可以认为是任意的，记 作0 。
大学物理通用矢量知识
5
大学物理
数学知识：矢量
A
与矢量 A 同方向的单位矢量记作 e 。 在直角坐标系O-xyx中，记x、y、z三个 方向的单位矢量为 i 、j 、k 。 z 矢量具有大小与方向两个 y 要素，只有当同类的两个矢 x 量大小相等且方向相同时， 两个矢量才相等。记为 A B 。而标量 和矢量由于不同类，故不能相比较，也 不能相加减。
Ax Bx i i Ax By i j Ax Bz i k Ay Bx j i Ay By j j Ay Bz j k Az Bx k i Az By k j Az Bz k k
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
大学物理
数学知识：矢量
§0.1 矢量 物理学中常会遇到两类不同性质的物 理量：标量（Scalar）和矢量（Vector）。 其中只用数值即可表示的量叫标量， 这里数值的含义包括大小和正负。 比如时间、路程、质量、能量、电量 等就是这样的量。
大学物理通用矢量知识
1
大学物理
数学知识：矢量
而既有大小、正负，还有方向，且其 加法遵从平行四边形法则或三角形法则 的量叫做矢量。 力、速度、加速度、电场强度等都是 这样的量。矢量可以用有方向的几何线 段表示。
( ) A A A
满足交换律
( A) ( A) ( A)
大学物理通用矢量知识
14
大学物理
数学知识：矢量
那么，如果用 eA 表示与 A 同方向的单位 矢量，则 A 可表示为
A AeA
r 5i r 3 j r 2k
§0.4 矢量的正交分解
B Bx i By j Bz k
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19
大学物理
数学知识：矢量
则 A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
§0.5
矢量的标积和矢积
矢量除了数乘之外，还有标积和矢积两种 相乘方式。 （1）矢量的标积（点积） 我们定义矢量 A 和 B 的标积为 A• B 标积的结果是一个标量，等于 A 和 B 的模与 夹角余弦的乘积。即有
矢量的标积还可用矢量的正交分解式来计 算，即若
A Ax i Ay j Az k B Bx i By j Bz k
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22
大学物理
数学知识：矢量
则可得
A • B ( Ax i Ay j Az k ) • ( Bx i B y j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
（2）矢量的矢积（叉积） 矢量 A 和 B 的矢积为一矢量，记作
A B C
C 的大小为 C AB sin
大学物理通用矢量知识
(0 )
24
大学物理
数学知识：矢量
其中 为 A 与 B 的夹角，而 C 的方向按右 手螺旋法则确定。 z
C
A
B
x
y
即右手四指按小于 的方向从 A 转向 B 时， 伸直的拇指所指的方向即为 C 的方向。矢积 用“ ×”表示，故通常又叫叉乘，也读作 叉乘。
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N
C
B
A
11
大学物理
数学知识：矢量
矢量的加法满足交换律和结合律，即有
A B B A ( A B) C A ( B C )
（2）矢量减法(Vector Subtraction)
如果矢量 A 和 B 的和为 C ，即 A B C ， 则 B 可称作 C 与 A 的矢量差。记作
即标积等于对应分量相乘积的和。
而在任何坐标系中，总有
A• A A
2
矢量的标积满足交换律，分配律和结合律。 即有
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23
大学物理
数学知识：矢量
A B B A
(交换律)
( A B) C A C B C (分配律)
( A B) ( A) B A ( B) (结合律)
BCA
矢量的减法是加法的逆运算。
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大学物理
数学知识：矢量
由于 A 与 A 的方向相反，故有
B C A C ( A)
即矢量的减法可转换成加法来进行计算。
A
B
C A
B
即 B 等于从 A 的矢端指向 C 的矢端的矢量。 故在三角形法则中，从减矢量矢端指向被 减矢量矢端的矢量，即为这两个矢量之差。
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大学物理
数学知识：矢量
i j k
Ax Ay Az Bx By Bz
而混和积
A ( B C ) Ax ( By Cz Bz C y ) Ay ( Bz Cx BxCz ) Az ( BxC y By Cx )
Ax Ay Az Bx By Bz Cx C y Cz
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大学物理
数学知识：矢量
A ( B C )在数值上等于以 A 、 B、 C 三矢量
为棱的平行六面体的体积。并且我们还有 7. A ( B C ) B (C A) C ( A B) 8. A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 9. A ( B C ) A (C B)
i j k jk i k i j
27
（分配律）
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大学物理
数学知识：矢量
j i k k j i i k j
用正交分解式计算时有
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
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25
大学物理
安培定律 意义
dF Idl B
dF I d lB sin
数学知识：矢量
磁场对电流元作用的力的大小为
Idl B 同向 。
的方向垂直于 Idl d F
和 B 所组成的平面, 且与
有限长载流导线所受的 安培力
Idl
dF
如果矢量 A 和 B 相加，和为 C ，记为
A B C
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8
大学物理
数学知识：矢量
C 与 A 的夹角 设矢量 A 、B 的夹角为 ， 为 。 则 C 的大小为
C A B 2 AB cos
2 2
B sin 夹角 为 arctan A B cos
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6
大学物理
数学知识：矢量
据此，将一个矢量平移后，其大小和 方向都保持不变，所以平移后的矢量与 原矢量相等，仍是原矢量 。那么，在考 察矢量之间的关系或对它们进行运算时， 根据需要可对他们进行平移。
A
A
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大学物理
数学知识：矢量
§0.2 矢量的加减法
（1）矢量加法(Vector Addition) 矢量的加减法遵从平行四边形法则或三角 形法则。
(C B) A ( B C ) A
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大学物理
数学知识：矢量
§0.6
矢量的导数
（1）矢量函数 在物理学中有许多矢量是随时间或空间位 置的变化而变化的，包括大小和方向都可能 发生变化，如速度、力、电场强度等都是这 样。 如果对于标量变量 t 的每一个值，都相应 的存在变矢量 A 的一个确定值与之对应，则 称矢量 A 是标量变量 t的矢量函数，记为
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21
大学物理
数学知识：矢量
在直角坐标系中 A Ax i Ay j Az k ，则
A • i ( Ax i Ay j Az k ) • i Ax
A • 0 ，那么，若 A • B 0，则 A B 。 若 A 0，
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20
大学物理
数学知识：矢量
A • B A B cos( A, B) AB cos( A, B)
AB cos
即
A • B AB cos
( 0 )
因标积的运算符号为“• ”，所以标积通 常称为点积。
在直角坐标系中则有
i •i j • j k • k 1 i • j j • k k •i 0
Ax cos , A
Az cos , cos A A
Ay
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大学物理通用矢量知识
大学物理
数学知识：矢量
2 2 2 cos cos cos 1 。于是用 且有 x、y、z三个方向的分矢量表示 A 时有
A Ax i Ay j Az k
上式称为 A 在直角坐标系中的正交分解式。 利用正交分解式可进行矢量的加减运算。计算 时，把对应方向的分矢量相加减，所得结果即 为所求矢量的对应分量。 即若 A Ax i Ay j Az k
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
大学物理通用矢量知识
大学物理
数学知识：矢量
根据定义我们可以得到如下结论： 1. A A 0
2. 若 A 0, B 0 ，则 A / / B A B 0 3. A B B A （不满足交换律） 4. ( A) B ( A B) A ( B) （ 为实数） 5. C ( A B) C A C B 6.在直角坐标系中有