高斯定理求电场E
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
此定理的公式表述为：电场穿过一个封闭曲面的通量等于该曲面内部的电荷总量的比例，即ΦE=Q/ε0，其中ΦE为电场的通量，Q为曲面内部的电荷总量，ε0为真空中的电介质常数。
在有电介质时，电场的分布受到电介质的影响。
电介质的存在会使电场强度发生改变，这是因为电介质的分子会被电场极化，从而产生极化电荷。
这些极化电荷会改变电场的分布，使电场在电介质中的强度比在真空中的强度小。
因此，在有电介质时，要考虑电介质对电场的影响，才能准确地计算电荷的分布。
在应用高斯定理时，通常需要选择一个适当的曲面来计算电场的通量。
曲面的选择应当考虑到电荷分布的对称性，以便简化计算。
在有电介质时，曲面的选择也需要考虑到电介质的影响。
如果曲面穿过电介质，那么在计算电荷总量时，需要将电介质中的极化电荷也计算在内。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
在电场的计算中，高斯定理可以用来求解各种电场分布，例如电偶极子、均匀带电球面等。
在电容器的设计中，高斯定理可以用来计算电容器的电容量，从而确定电容器的电荷储存能
力。
在电荷分布的测量中，高斯定理可以用来测量电荷的总量，从而确定电荷的分布情况。
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
在应用该定理时，需要考虑到电介质的影响，并选择适当的曲面来计算电场的通量。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
应用高斯定理求解电场强度
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主 动 脉 分支动脉 小 动 脉 微 血 管 小 静 脉 静 脉 大 静 脉
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! ! ! ! % $高斯定理 高斯定理是电磁学中重要定理之一， 其内容 为： 通过任意一个闭合曲面 B 的电通量 ! A， 等于 该闭合曲面 B 所包围电荷电量的代数和!DE 除 而与 B 以外的电荷无关。可以表示为 以 " $，
场强相等， 方向与所在处曲面的法向相同； 或者 闭合曲面上有些部分场强不等， 但场强的方向与 对应曲面的法向垂直。 这样可以选择这个闭合曲面 为高斯面，使得 ・ F G" " M
虽然微血管中的血压比各种静脉血管中的血压大但最终影响血管壁厚度的因素是周向张力给管壁带来的效果从各种血管周向张力的计算结果来看微血管的周向张力对管壁的影响最小所以微血管的管壁厚度也最小而主动脉血管中的周向张力最大故管壁也最厚
第 , 卷第 ( 期
5$$" 年 6 月
滁 州 学 院 学 报
电磁场的高斯定律
电磁场的高斯定律高斯定律是电磁学中非常重要的一个定律，它描述了与电荷和电场在空间分布有关的关系。
高斯定律由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初发现和发表，被广泛应用于电磁学的研究和应用中。
高斯定律的表述是：电场通过一个闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的总电荷除以真空介电常数。
这个定律用数学形式可以表示为：∮E·dA = Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E在某一个闭合曲面上的通量，Q表示该闭合曲面内的总电荷，ε₀表示真空介电常数。
高斯定律有着广泛的应用，下面将从静电场和静磁场两个方面来介绍高斯定律的应用。
一、静电场中的高斯定律静电场是指电荷不随时间变化的电场。
在静电场中，高斯定律可以简化为以下形式：一个闭合曲面上的电场通量等于该闭合曲面内的电荷除以真空介电常数。
利用高斯定律，我们可以推导出一些重要的结论。
比如，如果闭合曲面内没有电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为零。
这是因为没有电荷产生的电场通过闭合曲面。
另外，如果闭合曲面内存在正电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为正值；如果闭合曲面内存在负电荷，那么该闭合曲面上的电场通量为负值。
二、静磁场中的高斯定律在静磁场中，没有磁荷（单极子），因此高斯定律在磁场中不成立。
高斯定律只适用于描述与电荷和电场有关的情况。
但是在一些特殊情况下，我们可以利用高斯定律来计算磁场。
例如，考虑一个闭合的曲面，通过该曲面的磁场通量为Φ,那么根据高斯定律，磁场的通量Φ等于零。
这意味着，在静磁场中，磁场的通量是守恒的，即从一个闭合曲面的内部流出的磁场通量等于从该闭合曲面的外部流入的磁场通量。
结论高斯定律是描述电磁场中电荷和电场关系的重要定律。
它在静电场中的形式是电场通过闭合曲面的通量等于该闭合曲面内的总电荷除以真空介电常数。
它在静磁场中的形式可以用来说明磁场通量的守恒性质。
高斯定律的应用广泛，不仅可以用于解决静电场和静磁场中的问题，还可以扩展到动态的电磁场中。
大学物理Ⅱ 高斯定理
P
l
e
E dS S
E dS
侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得 E 2r l 1 l 0
E 2 0 r
用高斯定理求场强小结：
1 . 对称性分析
电荷分布对称性→场强分布对称性
点电荷 球对称性 均匀带电球面
均匀带电球壳
球体
轴对称性 柱对称
无限带电直线
无限带电圆柱 无限圆柱面 无限同轴圆柱面
无限大平面 面对称性 无限大平板
若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。
②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。
+ q+ +
+
0
R
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。
解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时 ，
E ds E ds
E 4r2
s
s
r
q
0
4 r3
3
0
q
4 R3
4 r3330E qr4 0R3
R
高斯面
高斯定理的应用
Φe前 Φe后 Φe下
s
E
dS
0
y
P
N
en
o
zM
en
E
en
Q
Rx
Φe左
s左
E
dS
ES左
cosπ
ES左
Φe右 s右E dS ES右 cos ES左
电学高斯定理
电学高斯定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：电学高斯定理是电学领域中的重要定理之一，它描述了电场的性质与电荷之间的关系。
高斯定理的提出者是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯，他在通过对电场分析的基础上，发现了电场的一种非常有用的特性，这就是高斯定理。
电学高斯定理是电场理论的基石之一，它提供了一种简单而优雅的方法来计算静电场中的电荷分布和电场强度。
高斯定理描述了一个有无限小体积的闭合曲面，其内部电荷的总电量等于曲面上的电荷总和乘以一个常数，即真空介电常数乘以电场的通量。
高斯定理的数学形式如下：\[\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A} =\frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}\]\(\oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{A}\)表示电场强度在闭合曲面S上的通量，\(d\vec{A}\)表示曲面元素的面积微元，它与曲面的法线方向一致，\(Q_{enc}\)表示闭合曲面S内部的电荷总量，\(\varepsilon_0\)表示真空介电常数。
高斯定理的物理意义在于，它告诉我们，一个闭合曲面的电场通量只取决于曲面内部的电荷分布，与曲面的具体形状和大小无关。
这使得高斯定理成为了电场分布的计算利器，在许多问题的求解中起到了至关重要的作用。
举个简单的例子来说明高斯定理的应用。
假设我们有一个均匀带电的无限长线段，电荷密度为\(\lambda\)，现在我们希望确定距离这个线段距离为r处的电场强度。
我们可以选取一个半径为r的闭合球面，这个球面的中心位于线段上，利用高斯定理可以得到线段上的电荷等于球面包围电荷的总和，即：\[Q_{enc} = \lambda \cdot 2\pi r\]根据高斯定理，我们可以得到球面上的电场通量等于：如果我们假设球面上的电场强度与球面法线方向垂直，并且与球面上的法向面积元素大小相等，那么可以将上式简化为：解得电场强度为：这就是距离带电线段距离为r处的电场强度。
静电场的高斯定理
静电场的高斯定理引言静电场是指电荷在没有运动的情况下所形成的电场分布。
静电场的高斯定理是描述电场分布的一个重要定理，它由物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出。
高斯定理可以被用来计算任意闭合曲面内的电场强度，并且被广泛应用于电场的分析和解题中。
高斯定理的表述高斯定理的表述为：通过任意闭合曲面的电场通量等于该闭合曲面内部所包围电荷的总电量的1/ε0 倍，其中ε0为真空中的介电常数。
数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中∮表示闭合曲面上的面积分，E为闭合曲面上的电场强度，dA为闭合曲面上的面积元素，Q为被闭合曲面包围的总电量。
高斯定理的表述说明了电场强度的分布与所包围电荷分布的关系，即闭合曲面上的电场通量与所包围电荷的性质直接相关。
高斯定理的证明高斯定理的证明可以通过以下几个步骤完成：1.假设存在一个闭合曲面，我们可以通过取一个小区域在曲面上，该小区域面积为dA。
假设该小区域上的电场强度为E，那么在该小区域上的电场通量为E·dA。
2.通过不断增大小区域的数量，将整个闭合曲面分成许多小区域，那么闭合曲面上的电场通量可以表示为所有小区域上电场通量的和。
3.由于电场可以穿过某些小区域而不通过闭合曲面，因此我们需要将穿过闭合曲面的电场通量作为负数计算。
这可以通过将某些小区域上的电场通量乘以-1来实现。
4.根据电场强度的定义，可以知道通过闭合曲面的电场通量与闭合曲面内部所包围的电荷有关。
因此，我们可以将电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的函数。
5.结合步骤2和步骤3，我们可以将闭合曲面上的电场通量表示为闭合曲面内电荷分布的累加。
通过进一步的数学推导，最终可以得到高斯定理的数学表达式。
高斯定理的应用高斯定理在电场分析和解题中有着广泛的应用。
通过高斯定理，我们可以方便地计算出一个闭合曲面内部的电场强度。
一些常见的应用场景包括： 1. 计算均匀带电球壳内外的电场强度。
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E
s
en
E
s
ds
电通量及其求解
电通量求解
e
de
E
ds
en
E
S
S
问题：半径为R的半球面在均匀电场E
s
ds
中，切面垂直于电场强度，则通过半
球面的电通量为多少？
例题: 如图所示，点电荷电量为+Q在球心 位置，求通过半径为r的球面的电通量。
解：分析曲面的方向和电场线方向，并且
E
1
4
0
Q r2
S
高斯定理求场强
场强的方向沿着矢径 r 的方向．用 矢量的形式表示 P点的场强有
E
1
4
0
Q r2
r r
（2）r R时
E
ds
E
4
r
2
0
S
QE
4 0 R 2
Pr
E 0
Ro
r 2
0
R
r
高斯定理求场强
练习:均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密 度为。 解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
Ò e
S
Qr r
40r 2 r0 dS
Ò
S
Q
4 0
d
立体角
电通量及其求解Leabharlann Ò e SQ
4 0
立体角定义
d d
Q 4 4rr0d0Sr
r2
Q
0
思考：有正有负，什么情况为负的？
问题：任意曲面不包围点电荷，此时
电通量如何？
s
答：从电通量的物理本质上看，必定为零， 因为穿入的条数和穿出的条数一样，也可 从立体角定义去求解
对称性？
σ 思考：如果该面具有一定的厚
度，是否还具有面对称性？
高斯定理求场强
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，
两底面到带电平面距离相同。
sE dS 两底 E dS 2ES
圆柱形高斯面内电荷 q S
S
由高斯定理得
E
E
2ES S / 0
E
σ 思考：如果是两个无限大面
2 0 电荷，结果如何？
高斯定理求场强
高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)， 即取在E相等的曲面上。
（3）另E相选等法的线面n不E构的成面闭，合使面其时成，为闭合面。
（4）分别求出
E E dS
E
1 o
qi
S内
，从而求得E。
r
高为l,半径为r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
l
由高斯定理知 E
q
2 0lr
（1）当r<R 时， q 0 E 0
高斯定理求场强
（2）当r>R 时，
q l
E 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
Er 关系曲线
E
答：电通量 e E S
电通量及其求解
电场强度方向 与平面方向相同
电场强度方向 与平面方向不相同
s
s en
思考：非均匀电场，任意曲面？
答：
de
E dscos
E
ds
e
de
E
ds
S
S
en E
e ES
e E s
E
E
s cos
根据电通量的定义：
e
S
E
ds
Ò
S
Q
40r2 ds
电通量及其求解
Ò e
E
ds
S
S
Q
40r2 ds
在半径r处的场强均相同并且 处处与曲面法向相同，因此
e
Q
40r 2
4 r2
Q
0
思考:如果曲面是任意曲面，则结果如何？
s s
答：从电通量的物理本质上看，结果是一 样的，当然也可以从数学方面严格证明。
高斯定理求场强
例题: 求均匀带电球P 壳内外的场强，设球壳带电量
为 （Q Q）半0 径为 ． R
解: (1) r 时R
P
r
取高斯面为通过空间任意一点P 和球壳同心的球面，由高斯面定
Ro
理可得．
E
ds
Q
0
E
ds
S
E
cos
ds
S
S
E ds E 4 r2
r
rR
E
3 0 R3 1 3 0 r 2
rR
E
Er 关系曲线
R 3 0
r 2
O
R
R
思考：任意球 对称的电荷分 布，其求解步 骤如何？
r
高斯定理求场强
例题:无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R
，沿轴线方向单位长度带电量为。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
侧面
E ds E ds E 2 r l
侧面
侧面
or
l
E
E
场强的方向垂直于细
2 0r 棒向外辐射．
思考：任意轴对称的电荷分布，其求解步骤？
高斯定理求场强
例题:均匀带电无限大平面的电场.
解： 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。
思考：为什么电场 E
E
分布也应该具有面
对连续带电体，高斯定理为
q2
q4
1
E dS 0 dq
高斯定理的证明
静电场是有源场
qi 0 e 0
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。
qi 0 e 0
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
作同心且半径为r的高斯面
E
dS
E
4r
2
S
q
0
E
q 4 0r 2
a.rR时，高斯面内电荷
q
d
V
4 3
r
3
E r 3 0
b.rR时，高斯面内电荷
q 4 R3
3
E
R3 3 0
1 r2
高斯定理求场强
均匀带电球体的电场分布
高斯定理
➢ 电通量及其求解 ➢ 高斯定理的证明 ➢ 高斯定理求场强
电通量及其求解
电通量
问题：磁通量如何定义？
答：磁通量定义 m BS cos
通量的理解是通过某个面积的物理量的数量 思考：电通量如何定义？
答：电通量定义 e ES cos
问题：电通量是标量，如何改进上面表达式？
rr
高斯定理
谢谢大家！
l
2 0 R
r 1
0
R
r
高斯定理求场强
练习: 求无限长均匀带正电的直细棒的场强．设
细棒上线电荷密度为 ．
解 取以细棒为轴线的圆柱面 为高斯面，由高斯面定律可得
S
E
ds
l
0
E
ds
E
ds
E
ds
E
ds
S
上底面
下底面
高斯定理的证明
定理证明
证明：当闭合曲面内包围有多个点电荷时
E
E1
E2
＋EN
e
E
ds
E1
E2
EN
ds
S
S
E1
ds
E2
ds
EN
ds
S
S
S
q1
0
q2
0
qN
0
1
0
N
qi
i 1
高斯定理的证明
定理理解
Ñ e
s
rr E dS
1
0
qi
E 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷共同产
生 的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。
因为曲面外的电荷（如 q）4 对闭
合曲面提供的通量有正有负才导
q1 q3
致 对整个闭合曲面贡献的通 量为0。