高斯定理求电场E

高斯定理的证明
定理证明
证明：当闭合曲面内包围有多个点电荷时

E

E1

E2

＋EN
e


E

ds

E1

E2


EN


ds
S
S


E1

ds


E2
ds


EN
ds
S
S
S
q1
0
q2
0

qN
高斯定理求场强
例题: 求均匀带电球P 壳内外的场强，设球壳带电量
为 （Q Q）半0 径为 ． R
解: (1) r 时R
P
r
取高斯面为通过空间任意一点P 和球壳同心的球面，由高斯面定
Ro
理可得．


E

ds

Q
0

E

ds


S
E
cos
ds
S
S
E ds E 4 r2
根据电通量的定义：
e


S
E
ds
Ò
S
Q
40r2 ds
电通量及其求解
Ò e
E

ds

S
S
Q
40r2 ds
在半径r处的场强均相同并且 处处与曲面法向相同，因此
e

Q
40r 2
4 r2

Q
0
思考:如果曲面是任意曲面，则结果如何？
s s
答：从电通量的物理本质上看，结果是一 样的，当然也可以从数学方面严格证明。
2 0 电荷，结果如何？
高斯定理求场强
高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)， 即取在E相等的曲面上。
（3）另E相选等法的线面n不E构的成面闭，合使面其时成，为闭合面。

（4）分别求出
E E dS
E

1 o
qi
S内
，从而求得E。
高斯定理
➢ 电通量及其求解 ➢ 高斯定理的证明 ➢ 高斯定理求场强
电通量及其求解
电通量
问题：磁通量如何定义？
答：磁通量定义 m BS cos
通量的理解是通过某个面积的物理量的数量 思考：电通量如何定义？
答：电通量定义 e ES cos
问题：电通量是标量，如何改进上面表达式？
rr
r
高为l,半径为r

sE dS 侧面 E dS E 2 rl
l
由高斯定理知 E
q
2 0lr
（1）当r<R 时， q 0 E 0
高斯定理求场强
（2）当r>R 时，
q l
E 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r
Er 关系曲线
E
高斯定理
谢谢大家！

E

1
4
0
QBaidu Nhomakorabear2
S
高斯定理求场强
场强的方向沿着矢径 r 的方向．用 矢量的形式表示 P点的场强有
E
1
4
0
Q r2
r r
（2）r R时


E
ds

E
4
r
2

0
S
QE
4 0 R 2
Pr
E 0
Ro
r 2
0
R
r
高斯定理求场强
练习:均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密 度为。 解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面

E
dS
E

4r
2
S
q
0
E

q 4 0r 2
a.rR时，高斯面内电荷

q


d
V



4 3
r
3
E r 3 0
b.rR时，高斯面内电荷
q 4 R3
3
E

R3 3 0
1 r2
高斯定理求场强
均匀带电球体的电场分布
r
rR
E
3 0 R3 1 3 0 r 2
rR
E
Er 关系曲线
R 3 0
r 2
O
R
R
思考：任意球 对称的电荷分 布，其求解步 骤如何？
r
高斯定理求场强
例题:无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R
，沿轴线方向单位长度带电量为。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
答：电通量 e E S
电通量及其求解
电场强度方向 与平面方向相同
电场强度方向 与平面方向不相同
s
s en

思考：非均匀电场，任意曲面？
答：
de

E dscos

E
ds
e

de


E

ds
S
S
en E
e ES
e E s
E

E
s cos
对称性？
σ 思考：如果该面具有一定的厚
度，是否还具有面对称性？
高斯定理求场强
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，
两底面到带电平面距离相同。


sE dS 两底 E dS 2ES
圆柱形高斯面内电荷 q S
S
由高斯定理得
E
E
2ES S / 0
E
σ 思考：如果是两个无限大面
0
1
0
N
qi
i 1
高斯定理的证明
定理理解

Ñ e

s
rr E dS

1
0
qi
E 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷共同产
生 的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。
因为曲面外的电荷（如 q）4 对闭
合曲面提供的通量有正有负才导
q1 q3
致 对整个闭合曲面贡献的通 量为0。
对连续带电体，高斯定理为
q2
q4
1
E dS 0 dq
高斯定理的证明
静电场是有源场
qi 0 e 0
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。
qi 0 e 0
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
l
2 0 R
r 1
0
R
r
高斯定理求场强
练习: 求无限长均匀带正电的直细棒的场强．设
细棒上线电荷密度为 ．
解 取以细棒为轴线的圆柱面 为高斯面，由高斯面定律可得


S
E

ds


l
0

E

ds


E

ds

E

ds

E
ds
S
上底面
下底面

E
s
en
E
s
ds
电通量及其求解
电通量求解
e


de


E

ds
en
E
S
S
问题：半径为R的半球面在均匀电场E
s
ds
中，切面垂直于电场强度，则通过半
球面的电通量为多少？
例题: 如图所示，点电荷电量为+Q在球心 位置，求通过半径为r的球面的电通量。
解：分析曲面的方向和电场线方向，并且
侧面
E ds E ds E 2 r l
侧面
侧面
or
l
E
E
场强的方向垂直于细
2 0r 棒向外辐射．
思考：任意轴对称的电荷分布，其求解步骤？
高斯定理求场强
例题:均匀带电无限大平面的电场.
解： 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。
思考：为什么电场 E
E
分布也应该具有面
Ò e
S
Qr r
40r 2 r0 dS

Ò
S
Q
4 0
d
立体角
电通量及其求解
Ò e
S
Q
4 0
立体角定义
d d

Q 4 4rr0d0Sr
r2
Q
0
思考：有正有负，什么情况为负的？
问题：任意曲面不包围点电荷，此时
电通量如何？
s
答：从电通量的物理本质上看，必定为零， 因为穿入的条数和穿出的条数一样，也可 从立体角定义去求解