数学—极限练习题及详细答案

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极限部分练习题答案

《极限部分练习题》参考答案1. 42lim416--→x x x解1 ()()()()()()84244x 48422lim 42lim4424344243416416++++-++++-=--→→x x x x x x x x x x x x x()()()()84216x 416lim4424316+++-+-=→x x x x x x 418888448424lim4424316=++++=++++=→x x x x x .解2 ()()4122121lim 222lim 42lim41644416416=+=+=+--=--→→→x x x x x x x x x . 【注】解1中是分子、分母同乘分子24-x 的共轭根式84244243+++x x x ，解2中是分子、分母同乘分母4-x 的共轭根式4+x ，显然解2比解1简单.2. 求a 的值，使得411lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x a解 a aa xx aa xx xx e x a x a x a ---∞→--∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1lim 1lim 1lim Θ，41=∴-a e ，即4=ae ,取对数得2ln 24ln ==a . 3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x sin 11sinlim 解 101sin 1lim 11sinlim sin 1lim 1sin lim sin 11sin lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→∞→x x xx x x x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限xx x 1sin lim ∞→时应用了第一个重要极限，而求极限x x x sin 1lim ∞→时则应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.4. 当∞→n 时，n 1sin2与k n1等价，则=k ？解 Θ当∞→n 时k n n 1~1sin 2，111sin lim2=∴∞→k n n n ，而111sin lim 11sin lim 11sin lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→kn kn k k n n n n n n n ，2=∴k .5. xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1212lim 解1 e e e x x x x x x x x x x xx x xx x x x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→2121212212212212211lim 211lim 211211lim 211211lim 1212lim . 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→2121212211221lim 1221lim 1212lim x x x x x x x xx xxe e x x x x x =⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→11221lim 1221lim 21212. 6. ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→n n n 1111311311211211lim Λ 21121lim 1134322321lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n Λ. 7. 设()3222+-=+x x x f ，则()[]=2f f ？解在()3222+-=+x x x f 中令0=x ，得()32=f ，从而()[]()32f f f =；再在()3222+-=+x x x f 中令1=x ，得()23=f ，即()[]22=f f .8. xxx 3sin 11lim0--→解1 ()()()()xx xx x x x x x x x x -+=-+-+--=--→→→113sin lim113sin 1111lim 3sin 11lim000 ()()616111131lim 3sin 3lim 11313sin 3lim 000=⨯=-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅=→→→x x x x x x x x x . 解2 注意，当0→x 时，x x 3~3sin ，且()2~1111xx x ---+=--，所以当0→x 时，()2~1111x x x ---=--，于是由无穷小量替换法得613lim 3sin 11lim 00==--→→x 2xx x x x .9. xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→12lim 解1 31212212211lim 21lim 1121lim 1121lim 12lim e e e x x x x x x x x x x xx x x x xx x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→131131lim 131lim 12lim 331x x x x x x x xx xx333311131lim 131lim e e x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→. 10. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0解 110sin lim 1sin lim sin 11sinlim 000=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限⎪⎭⎫⎝⎛⋅→x x x 1sin lim 0时应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.11. 623lim 2232--++-→x x xx x x解 ()()()()()5231lim 2321lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .12. hx h x h 330)(lim -+→解1 ()()2220322033333lim 33lim limx h xh x hh xh h x hx h x h h h =++=++=-+→→→. 解2 ()()()[]()()[]2220220333lim lim limx x x h x h x hx x h x h x h hx h x h h h =++++=++++=-+→→→.【注】解1中分子是直接将二项式()3h x +展开再减3x ，而解2中分子是直接对()33xh x -+应用立方差公式. 13. 321lim3--+→x x x解 ()()()()()()41211lim 2133lim 2132121lim 321lim3333=++=++--=++-++-+=--+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 14. ()x x x x -+++∞→)2)(1(lim解 ()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-+++∞→+∞→212121lim )2)(1(lim()()()()23123123lim2323lim 2121lim222=++++=++++=+++-++=+∞→+∞→+∞→x x x xx x x x x x x x x x x x . 【注】仿上步骤可知，()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-++-∞→-∞→212121lim )2)(1(lim()()()()+∞=+++-+=++++=+++-++=-∞→-∞→-∞→123123lim2323lim 2121lim222x x xxx x x x x x x x x x x x ，即极限()x x x x -++-∞→)2)(1(lim不存在，所以()x x x x -++∞→)2)(1(lim 也不存在，故将原题改为()x x x x -+++∞→)2)(1(lim .15. xx xx x e e e e 2223lim ++-+∞→解1 21231lim 23lim 322=++=++--+∞→-+∞→x x x x x x x x e e e e e e .解2 令xe u =，则当+∞→x 时，+∞→u ，故由无穷小量分出法，有212311lim 231lim23lim32222=++=++=+++∞→+∞→-+∞→uu u u u u e e e e u u x x xx x .16. xxx x 3sin sin 2tan 2lim+-+→ 解 ()()()xx x xx x x xxx x x sin 2tan 2sin sin 2tan 2sin 2tan 2lim sin sin 2tan 2lim3030+++++++-+=+-+→→ ()()xx x x x x x x x x x sin 2tan 2sin 1cos 1lim sin 2tan 2sin sin tan lim 2030+++-=+++-=→→ ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅-=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin cos 1lim 20（以下分3种作法） ① 原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin 2sin 2lim 220 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅⋅=→x x x x x x x xxx sin 2tan 21cos 1sin 242sinlim 2222220 241221111121sin 2tan 21lim cos 1lim sin lim 22sin lim21002020=⨯⨯⨯⨯=+++⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=→→→→x x x x x x x x x x x .② 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅+⋅-=→x x x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11sin cos 1lim 220 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅+=→x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim cos 11lim000=⨯⨯⨯=+++⋅⋅+=→→→x x x x x x x .③ Θ当0→x 时，2~cos 12x x -，且22~sin x x ，∴由无穷小量替换法，原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 12lim 220⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x sin 2tan 21cos 121lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim 2100=⨯⨯⨯=+++⋅⋅=→→x x x x x . 17. xx x x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 22解 x x xx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→222111lim 1lim xx x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∞→∞→11111lim 11111lim 1 1111lim 11lim 111=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→--∞→ee x x xx xx . 18. ()xx x 3sin 21ln lim 0+→ 解1 ()()()xx x xx x x x x x x x x x x 33sin 21ln lim 32333sin 221ln 21lim 3sin 21ln lim 21000+=⋅⋅+=+→→→()x x x x xx 33sin lim 21ln lim 320210→→+= ()321ln 3233sin lim 21lim ln 320210=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→→e x x x x x x . 解2 ()3232lim 3sin 21ln lim 00==+→→x x x x x x （Θ当0→x 时，x x 2~)21ln(+，且x x 3~3sin ）.19. 9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，求=a ？解 Θa a a a a x x aa xx a a x aa x x xx x x e e e x a x a x a x a x a x a a x a x 21lim 1lim 11lim 11lim lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. ∴92=a e ，两边取对数，得3ln 29ln 2==a ，3ln =a .20. ()x x xx ++-∞→100lim2解 ()()()xx x xx xxx xx x x x x -+-+++=++-∞→-∞→100100100lim100lim 22225011001100lim100100lim100100lim2222-=-+-=-+=-+-+=-∞→-∞→-∞→xxx x x xx x x x x x x x .【注】解题过程中要特别注意的是，由于-∞→x ，故x ＜0，于是作到第3步骤后，分母中的根式x x x x x x 1001100110022+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=+（同样的情况前面也有遇到，请参见第14题【注】的第4步骤）.。

数学极限练习题考研

数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。

掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。

下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。

【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。

有关极限考研试题及答案

有关极限考研试题及答案1. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。

对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $x = 1$ 处的左极限和右极限。

答案：- 左极限 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2$ - 右极限 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2$由于左极限等于右极限，所以函数在 $x = 1$ 处的极限存在，且为 $-2$。

3. 判断函数 $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 是否在 $x = 0$ 处连续。

答案：函数 $g(x)$ 在 $x = 0$ 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，$g(0) = 1$，因此函数在 $x = 0$ 处连续。

4. 计算不定积分 $\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$。

答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 $C$ 为积分常数。

5. 求函数 $h(x) = \ln(x)$ 在 $x = e$ 处的导数。

答案：函数 $h(x)$ 的导数为 $h'(x) = \frac{1}{x}$，因此在 $x = e$ 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是否收敛。

极限定理习题及答案

极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。

通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。

本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。

一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。

对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。

因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。

2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。

但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。

对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。

将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。

当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。

因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。

3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。

我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。

为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。

对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。

高三数学函数极限试题答案及解析

高三数学函数极限试题答案及解析1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）【答案】【解析】依题意可得函数.所以，，，…，.所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.2.若存在，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】我们知道存在的充要条件是，故本题中有，解之即得结论．【考点】存在的充要条件．3.若存在，则不可能为（）A．；B．；C．；D．；【答案】B【解析】如果f(x)=|x|，则,所以不存在.所以不可能为.4.函数在点处的切线方程为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数在点处的切线方程为，∴，∴，故选D5.函数在处的极限是（）A．不存在B．等于C．等于D．等于【答案】A【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

6.已知，则_______【答案】-2【解析】得，所以-2.7.若展开式的第项为，则________【答案】 2【解析】略8.=" " ．【答案】2【解析】略9.若,则的值为A．0B．C．1D．【答案】B【解析】略10._________________【答案】-1【解析】略11.___________【答案】【解析】略12.= 。

【答案】3【解析】略13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（）A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2）C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）【答案】A【解析】略14.（理）的值等于（）（）（）0 （）（）不存在【答案】略【解析】略15.= .【答案】-1【解析】略16.已知，则的值为（）A．a B．2a C．3a D．9a【答案】D【解析】则17.=A．—1B．—C．D．1【答案】B【解析】=18._______________.【答案】【解析】略19. ( )A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】本题主要考查极限的运算，故原式，故选C20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；．（用数字作答）【答案】 2 -2【解析】 f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.。

(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

高等数学测试题一(极限连续)答案

高等数学测试题一（极限连续）答案一、选择题（每小题4分，共20分）1、当某0时，（）无穷小量。

111A某inBe某Cln某Din某某某某13某1某1的（）2、点某1是函数f(某)1。

3某某1A连续点B第一类非可去间断点C可去间断点D第二类间断点3、函数f(某)在点某0处有定义是其在某0处极限存在的（）。

A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D无关条件某22a某)0，则常数a等于（）4、已知极限lim(。

某某A-1B0C1D2e某15、极限lim等于（）。

某0co某1AB2C0D-2二、填空题（每小题4分，共20分）1、lim(1)=某21某2某2、当某0时，无穷小ln(1A某)与无穷小in3某等价，则常数A=3、已知函数f(某)在点某0处连续，且当某0时，函数f(某)2则函数值f(0)=1某2，4、lim[111]=n1223n(n1)15、若limf(某)存在，且f(某)某in某2limf(某)，则limf(某)=某某某二、解答题1、（7分）计算极限lim(1n111)(1)(1)22223n2、（7分）计算极限lim某0tan某in某3某3、（7分）计算极限lim(某2某3某1)2某14、（7分）计算极限lim某01某in某1e1某2某3a某2某45、（7分）设lim具有极限l，求a,l的值某1某126、（8分）设(某)某33某2,(某)c(某1)n，试确定常数c,n，使得(某)(某)1某in7、（7分）试确定常数a，使得函数f(某)某2a某在(,)内连续某0某08、（10分）设函数f(某)在开区间(a,b)内连续，a某1某2b，试证：在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得t1f(某1)t2f(某2)(t1t2)f(c)(t10,t20)3。

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一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

解析：0lim ()lim 0,0bbxbx x x a e b x f x a a e be ∞→∞→∞⎧-=∞>⎧⎪==⇒⎨⎨≤--=∞⎪⎩⎩。

6.关于曲线y x = ） A.只有水平渐近线，没有斜渐近线 B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线 C.只有斜渐近线，没有水平渐近线D.既有水平渐近线，又有斜渐近线6.【答案】C 。

解析：由题意可知，无水平渐近线；()lim 2,lim[()]lim[2]11],222x x x x x x f x a b f x ax x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞====-====-=-。

7.若f(x)在x=a 处为二阶可导函数，则'20()()()lim h f a h f a hf a h→+--=( ) A.f"(a)/2B.f"(a)C.2f"(a)D.-f"(a)7.【答案】A 。

解析：'''''200()()()()()()lim lim 22h h f a h f a hf a f a h f a f a h h →→+--+-==。

8.设()232xxf x =+-，则当x 趋近于0时，有（） A.f （x ）是x 的等价无穷小B.f （x ）与x 同阶但非等价无穷小C.f （x ）是比x 高阶的无穷小D.f （x ）是比x 高阶的无穷小8.【答案】B 。

解析：0232()232,limln 2ln 3x x xxx f x x→+-=+-=+，所以()232x x f x =+-与x 是同阶但非等价的无穷小。

9.22223n n n a n ++=-，则lim n n a →∞的值为（）A.2B.3C.4D.59.【答案】A 。

解析：2222414limlim lim 2322n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===-。

10.已知函数237()23x f x x x +=--的间断点（）A.X=7B.X=-73C.X=-1或X=3D.X=1或X=-310.【答案】C 。

解析：237()23x f x x x +=--，2230,3,1x x x --==-，所以3，-1是函数的间断点。

11.设当x (0,)∈+∞时1f ()sin x x x=则在（0，+∞）内（） A.f ()x 与'f ()x 都无界 B.f ()x 有界，'f ()x 无界 C.f ()x 与'f ()x 都有界D.f ()x 无界，'f ()x 有界11.【答案】B.解析01lim ()lim sin0x x f x x x →→==，01lim ()lim sin 0x x f x x x→∞→==故f(x)有界，111'()sin cos f x x x x=-，0lim '()x f x →=∞，无界，选B. 12.在区间[0.1]上，函数nf ()(1)x nx x =-的最大值记为M （n ）,则lim ()n M n →∞的值为（） A.1e -B.eC.2eD.3e12.【答案】A.解析.211'()(1)(1)(1)(1)nn n f x n x xn x n x x nx --=---=---所以f(x)的驻点有两个,分别是x=1和11x n =+,且11x n =+是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以11x n =+也是最大值点，所以(1)(1)11()()()(1)111n n n M n f n n n ++===-+++所以当n →∞时. (1)(1)11lim ()lim()lim(1)11n n n n n n M n n n e++→∞→∞→∞==-=++所以极限为1/e 。

选A 。

13. ( )A.B.0C.1D.13.【答案】D 。

解析：由，故选D 。

14.计算：（）. A. B. C.D. 14.【答案】B2+1lim [123...]x n n →∞++++=∞12()22+1112lim [123...]lim 2x x n n n n n →∞→∞+++++==332321lim 752x x x x x →∞+-=-+1237322515.已知=2，其中a.b ,则a-b 的值为（） A.6B.-6C.2D.-215.【答案】C.解析：由=2可得,所以16.设f(x)=sinx/x ，则x=0是函数f(x)的（） A ．连续点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.可去间断点16.【答案】D 。

解析：，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。

17.设，则x=0是函数f(x)的（）. A.可去间断点B.无穷间断点C.连续点D.跳跃间断点17．【答案】D18.设函数f (x )在x =0处连续，且220)(lim nn f n →=2，则（） A.f (0)=1且f ˊ(0)=2 B. f (0)=0且f ˊ(0)=2 C. f (0)=1且f +ˊ(0)=2D. f (0)=0且f +ˊ(0)=218.【答案】B ．【解析】2'2'200()2()lim lim (0)2,(0)02n n f n nf n f f n n→→====，答案选B 。

19.设函数f （x ）=x 2+t ，且2lim ()1x f x →=，则t=（）A.-3B.-1C.1D.319.【答案】A ．【解析】2lim ()1,(2)1,(2)41,3x f x f f t t →===+==-。

20.计算极限：0lim →x (l+ 2x)x 1，正确的结果为( )。

A ．0B.1C.eD.e 220.【答案】D.解析：22210])21[(lim e x x x =+→.故选择D. 21．x=O 为函数f(x)=sinx.sin x1的（） A.可去间断点B ．跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x 12lim 2R ∈22222lim lim 11x x x x ax ax bx bax b x x →∞→∞⎛⎫------= ⎪++⎝⎭2,2a a b =--=0, 2.b a b =-=0sin lim1x xx→=0()0 0x f x x ≠=⎪=⎩21.【答案】A.解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即01sinsin lim 0=⋅→xx x . 但是x=0是函数没有定义.因此x=0为函数f(x)=sinx.sinx1的可去间断点. 22.设函数f （x ）=1x 21-e asinxx 0x =≠在x=0处连续，则常数a 的值为( )。

A. 1B. 2C. 3D. 422.【答案】B.解析：由题设可知1x 21-e lim asinx 0=→x .当0→x 时，有0sin →x a ，则12sin sin 1lim sin 0=⋅-→xxa x a e x a x ，即满足12=a ，所以2=a .故选择B. 23.已知f （x ）=12sin x e ot dt -⎰，g （x ）=33x +44x ，则当x →0时，f （x ）是g （x ）的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小23.【答案】C 。

解析：()()()()()000'lim 0,lim lim 'x x x f x f x f x g x g x →→→=∴=，()()2'sin 1x x f x e e =-， ()22232300sin 1limlim 1x xxx x e e x e x x x x→→-==++，()f x ∴是g(x)的等价无穷小。

24.如果222lim 2x x ax bx x →++--=2，则ab 的值为（）A ．2B ．-4C ．8D ．-1624.【答案】D 。

解析：222lim 2x x ax bx x →++--= 22lim (2)(1)x x ax b x x →++-+因为x 趋向于2，所以要消去x-2，即2x ax b ++可分解为(2)()x x c -+的格式即22lim (2)(1)x x ax b x x →++-+=2lim 21x x c x →+=+，所以c=4，所以2(2)(4)28x x x x -+=+-，所以a=2，b=-8，所以ab=-16。

25．设f (x )在x =0的某个邻域内连续，f (0)=0，02()lim12sin2x f x x→=，则f (x )在x =0处（）A ．可导B ．可导且f '(0)≠0C ．取得极大值D ．取得极小值25.【答案】D 。