压缩映像原理在递推数列极限中的应用

2007年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar． 2007文章编号：1007-9831（2007）02-0019-03压缩映像原理在递推数列极限中的应用吴秉会1，魏连锁2（1. 齐齐哈尔大学 教务处，黑龙江 齐齐哈尔 161006； 2. 齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：结合递推数列的特点，将压缩映像原理运用到数列极限问题中去，使关于数列极限存在性和求解问题得到更快、更简易的解决． 关键词：不动点；递推数列；压缩映像原理中图分类号：O177.91 文献标识码：A波兰数学家Banach 在1922年提出的压缩映像原理是对前人用逐次逼近法求解各类方程的方法的概括，在方程解的存在性、希尔伯特空间规范正交系存在性、隐函数存在定理等诸多方面有着广泛的应用．在此，我们将压缩映像原理应用到数列极限中，利用不动点来求得数列的极限．１ 概念和定理Banach 不动点原理——压缩映像原理[1]是建立在完备的度量空间基础上的，由实数集R 的完备性及闭集F 的完备性，有如下的定义和定理： 定义1 f 为R R →（或闭集F F →）的的映像，如果∃10<<k 使得|| |)()(|y x k y f x f −<−，x ，R ∈y （或x ，F y ∈）则称f 是一个压缩映像．定理1 f 为R R →（或闭集F F →）的压缩映像，则对R 0∈∀x （或F x ∈∀0），迭代数列)(1n n x f x =+" ,2 ,1 ,0=n 必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．定义2f 是→] ,[b a ] ,[b a 的映像，若满足|| |)()(|y x y f x f −<−，y x ≠∀，x ，] ,[b a y ∈，则称f为] ,[b a 到] ,[b a 的广义压缩映像．定理2[2]f 是→] ,[b a ] ,[b a 的广义压缩映像，则对] ,[0b a x ∈∀，迭代数列)(1n n x f x =+，" ,2 ,1 ,0=n ，必收敛于)(x f 的唯一不动点∗x ，即∗∞→=x x n n lim 且)(∗∗=x f x ．在实际应用中可通过如下定理来确定f 是否为（广义）压缩映射． 定理3)(x f 是一元可微函数，则有：i）若)(x f 在R 上可微，且当∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，则f 是一个压缩映像．ii）若)(x f 在] ,[b a 上可微，且当∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，则f 是一个广义压缩映像．证明 i ）因为)(x f 是一元可微函数，)(x f 在R ] ,[⊂y x 满足拉格朗日中值定理条件，则有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∃10<<k 使得1|)('|<≤k x f ，所以|| |)()(|y x k y f x f −<−，则由定义1可得f 是一个压缩映像．ii）同理，)(x f 在] ,[] ,[b a y x ⊂上亦满足拉格朗日中值定理条件，于是有=−)()(y f x f ))(('y x f −ξ，又∀) ,(b a x ∈，有1|)('|<x f ，所以|| |)()(|y x y f x f −<−，则由定义2，可得f 是一个广义压缩映像．２ 应用收稿日期：2006-12-16作者简介：吴秉会（1978-），男，黑龙江齐齐哈尔人，助教．E-mail：wbh760776@以下各例均取材于部分高校研究生入学试题，并进行了一定的推广，使其更具一般性．例1[3]给定常数1>k ，设k u =1，1−+=n n u k u ，=n 2，3，… ，证明|}{|n u 有极限，并求出极限．证明 令x k x f +=)(，0≥x ，显然)(1−=n n u f u ，2≥n ．又1)2/(1|)2/(1||)(|'<≤+=k x k x f ，故依定理3 i）知)(x f 为) ,0[) ,0[∞+→∞+的压缩映射，由定理1，}{n u 必收敛于)(x f 在) ,0[∞+中的唯一不动点，即A u n n =∞→lim ，满足A k A +=，解得2/)411(k A +±=，由于0>n u ，" ,2 ,1=n ，有0lim >=∞→A u n n ，从而2/)411(lim k u n n ++=∞→．由以上例题可以看出，在解决递推数列的极限问题时，可先依题意构造出一个（广义）压缩映射f ，应用（广义）压缩映射原理判定其是否有极限A ，若存在则由)(A f A =得到A ，即为所求数列极限．但在构造函数f 时，需注意x 的定义域X 的选取，要使X u n ⊂}{，" ,2 ,1=n ．并且，由于数列的前有限项的值对数列极限无影响，从而对X 的要求可以减弱为X u n ⊂}{，" ,1 ,+=m m n ，N ∈m 为一有限数．在压缩映像条件常数r （1|)(|'≤≤r x f ）难以寻求时，用广义压缩映像原理．例2 a a =1，2/)/(1n n n a A a a +=+)0 , ; ,2 ,1(>=A a n "，证明}{n a 收敛，并求n n a ∞→lim ．证明 令2/)/()(x A x x f +=，0>≥a x ，则)(1n n a f a =+（" ,2 ,1=n ），A x A x x f +−=2/)/()(2A ≥，可视)(x f 为) ,[) ,[∞+→∞+A A 的映像，因为2/1|2/)/1(||)(|2'<−=x A x f ，) ,[∞+∈A x ，则由定理3 i）知)(x f 为压缩映像，再由定理1数列}{n a 收敛，设C a n n =∞→lim ，由0>n a 有0>C ，则2/)/(C A C C +=，解得A C =．例3 给定Z ,π ,00∈≠k k a a ，设 n n a a sin 1=+（" ,2 ,1 ,0=n ），求n n a ∞→lim ．解 令x x f sin )(=，]1 ,0(∈x ，则)(1n n a f a =+（πk a ≠），]1 ,0(sin 01∈=a a ，从而)1 ,0(∈i a （,2=i " ,3 ），又 1|cos ||)(|'<=x x f ，)1 ,0(∈∀x ，则由定理3 ii）知f 为广义压缩映像，由定理2知n a 必收敛于f 在]1 ,0[中唯一不动点，设A a n n =∞→lim ，有A A sin =，]1 ,0[∈A ，所以0=A ，即0lim =∞→n n a ．在例2中，有限项a a =1是否在) ,[∞+A 内对极限问题无影响，故可视)(x f 为) ,[) ,(∞+→∞+A A 的映像，进而运用定理3，同样情况出现在例３中的0a ，0a 是否在]1 ,0[内对极限问题及区间]1 ,0[的选取无影响．众所周知，单调有界定理是研究序列极限存在性的有力工具，但对于某些问题应用单调有界定理证明较繁琐，此时，不妨用压缩映像原理一试．例4 给定1≥k 常数，设11=x ，)1/(2+=k k x ，)/(1n n x k k x +=+，求n n x ∞→lim ．分析 假设极限存在，值为A ，则)/(A k k A +=，2/)4(2k k k A +±−=（舍去负值）．再研究n x 与A 的大小关系：若A x n <，则A A k k x k k x n n =+>+=+)/()/(1；若A x n >，则A A k k x k k x n n =+<+=+)/()/(1， 即n x 在A 左右来回跳动，又由于)42/(22/)42(2/)4(11222k k k k k k k k k A +++=+−+=++−−=− 0>，即A x >=11，从而得到A x x x x n >+"" , , , , ,12531，, ,42x x A x x n <+"" , , ,226．至此可看出此问题应用单调有界原理比较繁琐，若用压缩映射原理将很容易解得此题．解 令)/()(x k k x f +=，]1 ,0[∈x ，则)(1n n x f x =+，" ,2 ,1=n ，1|/||)/(||)(|22'≤<+=k k x k k x f ，)1 ,0(∈x ，即1|)(|'<x f ，从而由定理3得到)(x f 是]1 ,0[]1 ,0[→的广义压缩映像，再由定理2可得}{n x 收敛于f 在]1 ,0[中的唯一不动点，设A x n n =∞→lim ，则)/()(A k k A f A +==，由0>n x 解得，)4(2k k k A ++−=/2． 参考文献：[1] 张恭庆，林源渠．泛函分析讲义（上册）[M]．北京：北京大学出版社，1998． [2] 宋国柱．分析中的基本定理和典型方法[M]．北京：科学出版社，2004． [3] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．第2期 吴秉会等：压缩映像原理在递推数列极限中的应用 21 Application of contraction mapping principle to recursion sequence of numberWU Bing-hui 1，WEI Lian-suo 2（1. Office of Dean，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China； 2. School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China） Abstract：Combining the features of recursion sequence of number, applied the contraction mapping principle to the limit of sequence of number, arriving at a more prompt and easier approach to existence of limit of sequence of number and its solution.Key words：fixed point；recursion sequence of number；contraction mapping principle管式炉在粗苯生产系统的应用杜红宝1 粗苯工艺流程简介黑化集团公司焦化厂现有2座半焦炉（型号58－Ⅱ一座，JN43-80一座半），年设计能力为75万t焦炭及与其配套的化产回收系统．粗苯系统是化产回收的重要生产系统，年设计生产粗苯一万t．粗苯系统分洗涤和蒸馏2部分． （1）洗涤部分：从硫铵系统来的 45～55℃的煤气进入终冷塔，用循环水直接冷却到20～30℃，煤气中 的萘同时被水洗下来，然后煤气再进入洗苯塔，用洗油与煤气逆流喷洒，吸收煤气中的苯，使煤气中的苯含量达到2 g/Nm3以下后送往化肥厂及焦炉回炉加热．（2）蒸馏部分：洗油在洗苯塔内洗苯后变成富油，再用富油泵送经苯分缩器、贫富油换热器后，经管式炉加热到160～180℃再送到脱苯塔，富油在脱苯塔内被直接蒸汽蒸吹，从脱苯塔顶蒸出的苯汽经分缩器、苯冷凝冷却器后得到液态粗苯产品，脱苯塔底的热贫油经贫富油换热器、贫油冷却器回到循环油槽，供洗苯塔洗苯用．2 粗苯管式炉蒸馏工艺的优点（1）提高粗苯回收率 在粗苯蒸馏系统中，由于富油在管式炉内被加热的温度高，可达160～180℃（蒸汽预热富油一般只有145℃），进入脱苯塔后，则塔底贫油温度也相应提高，贫油中各组分的蒸汽压增大，从而使粗苯的蒸出率也增加，贫油含苯降低，粗苯管式炉蒸馏工艺可使贫油含苯降到0.5％以下（蒸汽预热富油蒸馏工艺贫油含苯一般在0.8％左右）．在粗苯洗涤系统中，用洗 油吸收煤气中的苯族烃是物理吸收过程，服从亨利定律和道尔顿定律，贫油含苯量越低，则洗苯塔后含苯量也越低，苯的回收率越高．（2）不受蒸汽压力波动影响，生产稳定．（3）降低蒸汽耗量．（4）减少酚水量．3 粗苯管式炉加热富油脱苯工艺生产运行情况经过管式炉热负荷计算，得知管式炉需提供热量为1608万kJ/h，又根据对国内济南钢铁厂等8个厂家考察，选择1 674万kJ/h 型号为5.815 mw-245 mpa-φ140/φ114．粗苯管式炉2003年12月29日投产，同蒸汽加热富油脱苯工艺比，近几年主要技术指标情况如表1．由表可以看出，粗苯管式炉投产后，运行稳定，主要技术指标完成的很好，但由于我厂入管式炉的蒸汽本身就是过热蒸汽温度200℃左右，致使出管式炉的过热蒸汽超出规定范围，解决办法是进一步计算后，减少管式炉内蒸汽管根数（换热面积）．表1 主要技术指标同期 富油流量t/h富油出管式炉温度/℃过热蒸汽温度/℃贫油含苯/（％）洗苯塔前煤气含苯g/Nm3洗苯塔后煤气含苯g/Nm3苯回收率/（%）煤气耗量Nm3/t粗苯蒸汽耗量t/t粗苯2003 60 富油出预热器温度 145—— 0.8 38.58 2.0 94.8 — 5.52004 60 165 480 0.5 38.38 1.64 95.7 590 1.52005 60 168 485 0.45 41.55 1.16 97.2 595 1.52006上半年60 168 484 0.46 40.15 1.17 97.1 593 1.54 经济效益焦炉结焦时间按18 h计算，洗苯塔后含苯降低按0.5 g/Nm3计算，则全年可增收粗苯154 t粗苯，增收77万元；年节约蒸汽4.4万t，节约费用308万元；年消耗煤气660万Nm3， 消耗费用330万元．则每年综合增效为55万元． 黑化集团公司焦化厂于2003年12月将粗苯蒸汽加热富油脱苯工艺改为管式炉加热富油脱苯工艺，经过几年的生产实践检验，此装置运行稳定、良好，达到了改造的目的——富油温度由原来的145℃提高到168℃，贫油含苯由原来的0.8％降到0.5％，塔后含苯由原来的2.0 kg/Nm3降到1.5 kg/Nm3，蒸汽单耗1.5 t/t粗苯．问题是过热蒸汽温度偏高些，需进一步改进． 参考文献：[1] 库咸熙．炼焦化学产品回收与加工[M]．北京：冶金工业出版社，1983．[2] 焦化设计参考资料编写组．焦化设计参考资料[M]．北京：冶金工业出版社，1982．（作者单位：黑化集团公司 焦化厂技术科，黑龙江 齐齐哈尔161041）。