上海市浦东新区2021届初三一模数学试卷
2021年上海中考一模数学试卷 第17、18、23题汇编
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AC=BC，
2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷。
2020-2021上海上海中学九年级数学上期末一模试题带答案
2020-2021上海上海中学九年级数学上期末一模试题带答案一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x +=D ．()11980x x -=2．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和cy x=的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2…-159…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞44．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2332π-B ．233π-C ．32π-D ．3π-5．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( ) A ．59B ．49C ．56D ．136．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．457．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A ．AC BCAB AC= B ．2·BC AB BC = C ．512AC AB -=D ．0.618≈BCAC8．下列函数中是二次函数的为（ ） A ．y ＝3x －1 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －39．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根 10．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、311．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ） A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝15012．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．8C ．5D ．3二、填空题13．从五个数1，2，3，4，5中随机抽出1个数 ，则数3被抽中的概率为_________．14．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．15．函数 2y 24x x =-- 的最小值为_____.16．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．17．若直角三角形两边分别为6和8，则它内切圆的半径为_____．18．心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x （分）之间的关系式为y=﹣0.1x 2+2.6x+43（0≤x≤30），若要达到最强接受能力59.9，则需________ 分钟． 19．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 3035t ≤≤ 3540t <≤ 4045t <≤ 4550t <≤ 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．20．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．三、解答题21．已知二次函数y=2x 2+m ．（1）若点（-2，y 1）与（3，y 2）在此二次函数的图象上，则y 1_________y 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD 的顶点C 、D 在x 轴上，A 、B 恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．22．如图，已知二次函数23y x ax =++的图象经过点()2,3P -.（1）求a的值和图象的顶点坐标。
2021年上海市浦东新区中考数学一模试题
2021年上海市浦东新区中考数学一模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知在 Rt ABC 中， ∠C = 90°，AC = 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ） A ．8sin 17A = B ．cosA=815 C ．tan A =817 D ．cot A=815 2．已知线段MN ＝4cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP ＞NP ，那么线段MP 的长度等于（ ）A ．（）cmB ．（2）cmC ．）cmD ．﹣1）cm 3．已知二次函数 y = -( x + 3)2 ，那么这个二次函数的图像有（ ）A ．最高点(3, 0)B ．最高点(-3, 0)C ．最低点(3, 0)D ．最低点(-3, 0) 4．如果将抛物线y ＝x 2+4x +1平移，使它与抛物线y ＝x 2+1重合，那么平移的方式可以是（ ）A ．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位B ．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位C ．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位D ．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位5．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米D ．tan tan m βα-千米二、填空题6．已知2x =5y ，那么2x x y+=_______________. 7．如果y ＝（k ﹣3）x 2+k （x ﹣3）是二次函数，那么k 需满足的条件是____． 8．如图，已知直线l 1 、l 2 、l 3 分别交直线l 4于点 A 、B 、C ，交直线l 5于点 D 、E 、F，且l1 / /l2 / /l3 ，AB = 6, BC= 4, DF =15 ，那么线段DE 的长等于．9．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC与△DEF相似比为_____．10．已知向量a与单位向量e的方向相反，a= 4 ，那么向量a用单位向量e表示为_____．11．已知某斜面的坡度为_____度．12．如果抛物线经过点A(2,5)和点B (-4,5)，那么这条抛物线的对称轴是直线_____．13．已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数y12=x252-的图象上，那么m、n的大小关系是：m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）14．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，那么AF＝_____．15．在平面直角坐标系xOy 中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛物线y=-x2+ 6x 的顶点为M ，它的某条同轴抛物线的顶点为N ，且点N 在点M 的下方，MN = 10，那么点N 的坐标是_____．16．如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于_____米．17．将矩形纸片ABCD 沿直线AP 折叠，使点D 落在原矩形ABCD 的边BC 上的点E 处，如果AED ∠的余弦值为35，那么AB BC =________．三、解答题18．已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y = 2x 2 -12x +10 的图像与 x 轴相交于点 A 和点 B （点 A 在点 B 的左边），与 y 轴相交于点C ，求△ABC 的面积． 19．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD / /BC ，AD ⊥ CD ，M 为腰 AB 上一动点，联结 MC 、MD ， AD = 10， BC = 15 ， cot B =512，求： （1）线段CD 的长.（2）设线段 BM 的长为 x ，△CDM 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域.20．“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点 A 处测得小岛C 在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行 2 海里到达点 B 处，又测得小岛C 在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点 B 处与小岛C 之间的距离.（参考数据：sin22°≈0.37 ， cos22°≈0.93 , tan 22°≈ 0.40 ≈ 1.4 1.7 ）21．已知，如图，在平行四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，E 是边BA 延长线上的一点，连结EM ，分别交线段AD 、AC 于点F 、G ．(1)求证：GF EF GM EM=；(2)当BC2=2BA∙BE时，求证：∠EMB=∠ACD．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣12x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：△BOD∽△AOB；（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．23．将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1 位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D、E 分别在大三角尺的直角边AC、BC 上，此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G .已知∠A =∠CDE = 30°，AB =12 .（1）求小三角尺的直角边CD 的长；（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图2），求点B 、E 之间的距离；（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.参考答案1．D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】由勾股定理知，AB=17；A.15sin 17BC A AB == ,所以A 错误；B.8cos 17AC A AB ==，所以，B 错误；C.15tan 8BC A AC ==，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815，所以选D. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键. 2．B【解析】【分析】根据黄金分割的定义进行作答.【详解】由黄金分割的定义知，MP MN =MN=4，所以， - 2. 所以答案选B. 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键.3．B【分析】根据二次函数的顶点式进行作答.【详解】由题知，y = -( x + 3)2+0，所以，这个二次函数由最高点且为(-3, 0).所以答案选B.【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式是本题解题关键.4．C【解析】根据图像平移的步骤进行作答.【详解】由题知，抛物线 y = x 2 + 4x +1=（x+2）2-3，再根据“左加右减”，知图像向右平移2 个单位，向上平移 4 个单位，可与抛物线 y = x 2 +1重合.所以答案选C.【点睛】本题考查了图像平移的步骤，熟练掌握图像平移的步骤是本题解题关键.5．A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.6．59【解析】【分析】根据解方程的步骤进行解答.【详解】由题知，2x=5y ，所以，x=52y ，代入2x x y +，得到最终值为59. 【点睛】本题考查了解方程的步骤，熟练掌握解方程的步骤是本题解题关键.7．k≠3【分析】根据二次函数的定义可得k-3≠0，即可得答案.∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，∴k﹣3≠0，解得：k≠3，∴k需满足的条件是：k≠3，故答案为：k≠3．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．8．9【解析】【分析】根据平行线的性质和等比例定理进行解答.【详解】∵l1 / /l2 / /l3，∴AC DE AB DF=，求得DE=DF÷AC AB∵AB = 6, BC= 4, DF =15，∴AC=AB+BC=10,∴DE=DF÷ACAB=15÷106=9,故答案为9.【点睛】本题考查的是平行线的性质和等比例定理，熟练掌握是本题的解题关键. 9．1: 2【解析】【分析】根据相似三角形比例性质，三角形相似比与三角形面积相似比相等进行求解. 【详解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC 的面积为2cm2，△DEF 的面积为8cm2，∴S△ABC：S△DEF=1: 4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得△ABC 与△DEF 相似比=1: 2,故答案为1: 2.【点睛】本题考查的是相似三角形比例性质，熟练掌握相似三角形比例性质是本题的解题关键. 10．-4e【解析】【分析】根据向量的表示方法及相反数的性质进行计算.【详解】∵已知向量a 与单位向量e 的方向相反，且a = 4，∴-a =-4a e e =-，【点睛】本题考查的是向量的表示方法及相反数的性质，熟练掌握其性质是本题的解题关键. 11．30°【解析】分析：画出示意图，利用坡角的定义直接得出求出∠A 即可．详解：如图所示：∵某坡面的坡比为1:，∴tan A则它的坡角是：30∘.故答案为30.点睛：本题考查三角函数的知识，解题的关键是掌握特殊角度的三角函数值，常见的特殊角的三角函数值包括30°、60°、90°、45°的三角函数值，直接根据特殊角度的三角函数值进行12．x =-1【解析】【分析】根据抛物线对称轴的性质分析进行计算.【详解】抛物线经过点A(2,5)和点B(-4,5)，可得出这两点为抛物线上关于对称轴对称的两点，所以抛物线对称轴为x=（2+（-4））÷2=-1，故对称轴直线为x =-1.【点睛】本题考查的是抛物线对称轴的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.13．>【分析】根据抛物线解析式可得抛物线的对称轴是y轴，根据二次函数的性质即可的答案.【详解】∵二次函数的解析式为y12=x252-∴抛物线的对称轴为y轴，∵12>0，∴抛物线开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∵-5<-3，∴m＞n．故答案为：＞【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14．14 3【分析】根据三角形的角性质定理、相似三角形的性质进行求解. 【详解】∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴∠B=∠ADE=∠C=60°，∵∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC,∴∠BAD=∠FDC,∴△ABD∽△FDC，∴DC FC AB BD=,∵BD= 4,CD= 2，且△ABC是等边三角形，∴AB=BC=BD+DC=6,∴2=6 DC FCAB BD=，∴FC=4 3 ,AF=AC-FC=14 3.【点睛】本题主要考查的是三角形的角性质定理、相似三角形的性质，熟练掌握是本题的解题关键. 15．（3,-1）【分析】根据题意求出M，根据二次函数对称轴的知识点即可求出N.【详解】根据题意，抛物线y=-x2+ 6x的对称轴的横坐标为3，可得M为（3,9）又知道把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线，所以点N的横坐标与M相同，为3.又因为点 N 在点 M 的下方，MN = 10，即点N的纵坐标为-1.可得点N为（3，-1）.【点睛】本题考察了二次函数抛物线对称轴的相关知识，能够理解同轴抛物线的意义是解答本题的关键.16．245【解析】【分析】根据相似三角形的判定,由AB//CG 得三角形相似，利用相似比即可解答.【详解】根据AB//CG 得△ABD ∽△GCD ， 即AB BD GC CD =，即31.63AB BC +=， 同理可得△ABF ∽△HEF ， 即AB BF HE EF =，即61.64AB BC +=， 根据31.63AB BC +=和61.64AB BC +=得AB=245. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 17．2425【分析】设35EF a AE a ==，，则5AD BC a ==，利用射影定理可得94PF a =，利用勾股定理可得154DP a =，再根据ABE ECP ∆∆∽，即可得到BE AE CP EP =，进而得出245AB a =，据此可得AB BC的值． 【详解】解：如图所示，由折叠可得，AP 垂直平分DE ，90ADP AEP ∠=∠=︒，∵AED ∠的余弦值为35， ∴可设35EF a AE a ==，，则5AD BC a ==，∵Rt AEP ∆中，EF AP ⊥，∴2EF AF PF =⨯，即294EF PF a AF ==， ∴Rt ADP ∆中，154DP a ==， ∴154PE a =， 设AB CD x ==，则154CP x a =-，BE == 由90B C BAE CEP ∠=∠=︒∠=∠，，可得ABE ECP ∆∆∽， ∴BE AE CP EP =51544a x a a =-， 解得245x a =， ∴245AB a =， ∴24245525a AB BC a ==， 故答案为2425．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．20【解析】【分析】根据题意求出A，B，C即可解答. 【详解】解：根据二次函数 y= 2x2-12x +10，可得A（1,0），B（5,0），C(0,10),即S△ABC=12×4×10=20.【点睛】本题考查二次函数的特殊点，求出特殊点是解题关键.19．（1）CD=12；（2）y=-309013x+（ 0 ＜x＜13 ）.【解析】【分析】(1)做AM垂直BC于M，根据条件即可解答.(2) 做MN垂直BC于N，,根据三角函数求出NC即可解答. 【详解】解：（1）做AE垂直BC于M，则BE=15-10=5.又因为cotB=512,BE=5,可得AE=12，即CD=12.(2)做MN垂直BC于N，则BN=513x,CN=15-513x,即y=12×12×（15-513x）=-3013x+90,(定义域为0≤x≤13).【点睛】本题考查三角函数的综合运用，能够根据题意得出式子是解答关键.20．5.25 海里【解析】【分析】做AN 垂直BC 于N ，根据三角函数求出BN 的长度，再根据条件得出∠C,从而可求CN 进行解答.【详解】解：由图可知做AN 垂直BC 于点N ，根据平行线定理得∠ABC=37°+23°=60°，已知∠ABC=60°，AB=2，可得BN=1，，根据条件可得∠C=22°，即AN CN=tan22°=0.40，得NC=4.25， 所以BC=1+4.25=5.25.【点睛】本题只要考察三角函数的综合运用，能够正确画出辅助线是解题关键.21．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可得四边形ABCD 是平行四边形，易证△FGA ∽△MGC ，△EAF ∽△EBM ，再利用相似三角形的性质与等量代换即可得证；（2）将BC 2=2BA∙BE 变形为12BC BA BA BE BMBC ==，根据相似三角形的判定可得△BCA ∽△BEM ，则∠BME=∠BAC ，再根据平行四边形的性质即可得证.【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴ △FGA ∽△MGC ，△EAF ∽△EBM ， ∴FG AF GM CM =，AF EF BM EM=, ∵M 是BC 边的中点,∴CM=BM ， ∴FG AF GM BM=， ∴GF EF GM EM =； (2)∵BC 2=2BA ⋅BE ， ∴12BC BA BA BE BMBC ==， ∵∠B=∠B ，∴△BCA ∽△BEM ，∴∠BME=∠BAC ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，∴∠EMB=∠ACD ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.22．（1）y ＝﹣18x 2+12x+4（2）证明见解析（3）（165，125） 【解析】【分析】（1）利用直线表达式求出点A 、B 的坐标，把这两个点的坐标代入二次函数表达式即可求解；（2）利用两个三角形夹角相等、夹边成比例，即可证明△BOD∽△AOB；（3）证明△BCP∽△BAC，则BP BCBC BA=，求出BP的长度，即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，点B在y轴上，∴当x＝0时，y＝4，∴点B的坐标为（0，4），∵直线y＝﹣12x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，∴b＝4，∴直线y＝﹣12x+4，当y＝0时，x＝8，∴点A的坐标为（8，0），∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，∴a×82﹣4a×8+4＝0，解得，a＝18 -，∴抛物线y＝18-x2+12x+4；（2）证明：∵y＝18-x2+12x+4＝21(2)8x--+92，该抛物线的对称轴与x轴相交于点D，令y＝0，解得：x＝﹣4和8，则点C的坐标为（﹣4，0），即：OC＝4，∴点D的坐标为（2，0），∴OD＝2，∵点B（0，4），∴OB＝4，∵点A（8，0），∴OA ＝8， ∴12OD OB =,4182OB OA == ， ∴OD OB OB OA =， ∵∠BOD ＝∠AOB ＝90°，∴△BOD ∽△AOB ；（3）连接CP ，∵△BOD ∽△AOB ，∴∠OBD ＝∠BAO ＝α，∠BCP ＝∠DBO ＝α，∴∠BCP ＝∠BAO ＝α，而∠CPB ＝∠CBP ，∴△BCP ∽△BAC ，则BP BC BC BA=，其中，BC ＝ ，AB ＝BP过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点H ，∵PH ∥x 轴， ∴PH PB OA BA=，即：8PH =，解得：PH ＝165， 即：点P 的横坐标为：165， 同理可得其纵坐标为125， 即点P 的坐标为（165，125）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用三角形相似求出线段的长度．23．（1）（2）（3）6 【解析】【分析】(1)求出BC ，AC,利用重心即可解答.(2) 做CH ⊥AB 于H ，根据条件求出AD ，利用三角形相似即可解答.(3)分类讨论DE 在AC 下方和DE 在AC 上方时的情况，利用勾股定理即可解答.【详解】解：（1）根据题意得BC=6， 由重心性质可得23CD AC =,可得.(2)做CH ⊥AB 于H ，可得BH=3，AH=9，∵，即.∴∵∠ACD=∠BCE ，CE CB CD CA ==， 所以△ACD ∽△BCE ，所以BE CE AD CD ==. (3)①DE 在AC 下方时：△ACD ∽△BCE ，得∠BED=∠ADC=∠DCE+∠CED ，BE CB AD CA ==，∴∠AEB=∠DCE=90°，设x, 在Rt △ABE 中，222AE BE AB +=，可得.所以sin ∠BAE=12x ②DE 在AC 上方时， 同理BE AD = ∠BEC+∠DEC=∠D+∠DEC=90°， ∴∠AEB=90，设在直角三角形ABE 中，222AE BE AB +=，解得所以sin ∠BAE=126x =.故∠BAE 的正弦值.【点睛】 本题考查三角形相关知识的综合运用，掌握重心，证明三角形相似等知识点是解答本题的关键.。
2021年上海市浦东新区中考数学一模试卷
23上海市浦东新区中考数学一模试卷一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共24 分）1．（4 分）在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（）A．y=2x2 B．y=2x﹣2 C．y=ax2 D．y =ax‹‹‹‹ ‹ 3‹ 2 ‹‹‹‹2．（4 分）如果向量a、b、x满足x+a= （a﹣b），那么x用a、b表示正确的是2 3（）‹‹ 5 ‹‹‹ 2 ‹ 1 ‹‹A．a —2b B． a — b C．a —b2D． a —b23．（4 分）已知在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB 的长等于（）2A．B．2sinαC．2D．2cosαsthαctsα4．（4 分）在△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC 的是（）AE=1 DE=1AE=1 DE=1A．AC2B．BC3C．AC 3D．BC 25．（4 分）如图，△ABC 的两条中线AD、CE 交于点G，且AD⊥CE，联结BG 并延长与AC 交于点F，如果AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=156．（4 分）如果抛物线A：y=x2﹣1 通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B 得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B 的表达式为（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2xD．y=x2﹣2x+1二.填空题（本大题共12 题，每题 4 分，共48 分）7．（4 分）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b 的比例中项等于cm．8．（4 分）已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA=．‹‹‹‹‹‹9．（4 分）已知|a|=2，|b|=4，且b和a反向，用向量a表示向量b=．10．（4 分）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2 经过原点，那么m=．11．（4 分）如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2 有最低点，那么a 的取值范围是．12．（4 分）在一个边长为2 的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y 关于x 的函数解析式是．13．（4 分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+1 经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= ．9，y2），那么14．（4 分）二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（2y1 y2（填“＞”、“=”或“＜”）15．（4 分）如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6 米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2 米，BE=5 米，那么树的高度AB= 米．16．（4 分）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 与中位线EF 交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．17．（4 分）如图，点M 是△ABC 的角平分线AT 的中点，点D、E 分别在AB、AC 边上，线段DE 过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE 和△ABC 的面积比是．18．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋BD转60°，点B、C 分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC 边交于点D，那么= ．DC'三.解答题（本大题共7 题，共10+10+10+10+12+12+14=78 分）119．（10 分）计算：2cos230°﹣sin30°+ ．c tጚ30°—2s t h͵5°20．（10 分）如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 上一点，且DE=2，CE=3，射线AE 与射线BC 相交于点F；E体（1）求的值；A体‹‹‹‹‹‹‹（2）如果A B=a，A D=b，求向量E体；（用向量a、b表示）21．（10 分）如图，在△ABC 中，AC=4，D 为BC 上一点，CD=2，且△ADC 与△ABD 的面积比为1：3；（1）求证：△ADC∽△BAC；（2）当AB=8 时，求sinB．22．（10 分）如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15 米，宽为0.4 米，轮椅专用坡道AB 的顶端有一个宽2 米的水平面BC；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17 条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：坡度1：20 1：16 1：12最大高度米）1 1 0. . .5 0 70 0 5（（1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB 是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点 A 与台阶底部点 D 的水平距离AD．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D、E 是边BC 上的两个点，且BD=DE=EC，过点C 作CF∥AB 交AE 延长线于点F，连接FD 并延长与AB 交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．24．（12 分）已知顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点B（0，3），与x 轴交于C、D 两点（点C 在点D 的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BD、DA，求△ABD 的面积；（3）点P 在x 轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P 的坐标．25．（14 分）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是射线CB 上的动点，点F 是射线CD 上一点，且AF⊥AE，射线EF 与对角线BD 交于点G，与射线AD 交于点M；（1）当点 E 在线段BC 上时，求证：△AEF∽△ABD；（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）当△AGM 与△ADF 相似时，求BE 的长．2 3 2017 年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分）1．（4 分）在下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（）A ．y=2x 2B ．y=2x ﹣2C ．y=ax 2D ．y = ax【分析】根据二次函数的定义形如 y=ax 2+bx +c （a ≠0）是二次函数． 【解答】解：A 、是二次函数，故 A 符合题意； B 、是一次函数，故 B 错误； C 、a=0 时，不是二次函数，故 C 错误； D 、a ≠0 时是分式方程，故 D 错误； 故选：A ．‹ ‹ ‹‹ ‹ 3‹2 ‹ ‹ ‹ ‹2．（4 分）如果向量a 、b 、x 满足x +a = （a ﹣ b ），那么x 用a 、b 表示正确的是2 3（）‹‹5 ‹‹‹2 ‹1 ‹ ‹A ．a — 2bB ． a — bC ．a — b 2D ． a — b2【分析】利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案． ‹ ‹ 3 ‹ 2 ‹【解答】解：∵x +a = （a ﹣ b ），2 3‹ ‹ ‹ 2 ‹∴2（x +a ）=3（a ﹣ 3b ），‹ ‹ ‹ ‹∴2x +2a =3a ﹣2b ， ‹ ‹‹∴2x =a ﹣2b ，‹ 1 ‹ ‹解得：x =2a ﹣b ． 故选：D ．3．（4 分）已知在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么 AB 的长等于（）2 A ． B ．2sinα C ． 2D ．2cosαsthα ctsα3【分析】根据锐角三角函数的定义得出 sinA= BC，代入求出即可．AB【解答】解：∵在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，BC∴sinA= ，AB BC 2∴AB= = ，sthA sthα 故选：A ．4．（4 分）在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上，如果 AD=2，BD=4，那么 由下列条件能够判断 DE ∥BC 的是（ ）AE = 1 DE = 1AE = 1 DE =1A ．AC2 B ．BC3 C ．AC 3 D ．BC 2 【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE ∽△ABC ，根据相似推出∠ADE=∠B ，根据平行线的判定得出即可．【解答】解： 只有选项 C 正确，AE 1理由是：∵AD=2，BD=4， = ，AC 3AD AE 1 ∴AB =AC = ， ∵∠DAE=∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴∠ADE=∠B ， ∴DE ∥BC ，根据选项 A 、B 、D 的条件都不能推出 DE ∥BC ， 故选：C ．5．（4 分）如图，△ABC 的两条中线 AD 、CE 交于点 G ，且 AD ⊥CE ，联结 BG 并延长与 AC 交于点 F ，如果 AD=9，CE=12，那么下列结论不正确的是（）A．AC=10 B．AB=15 C．BG=10 D．BF=152【分析】根据题意得到点G 是△ABC 的重心，根据重心的性质得到AG= AD=6，32 1CG= CE=8，EG= CE=4，根据勾股定理求出AC、AE，判断即可．3 3【解答】解：∵△ABC 的两条中线AD、CE 交于点G，∴点G 是△ABC 的重心，2 2 1∴AG= AD=6，CG= CE=8，EG= CE=4，3 3 3∵AD⊥CE，∴AC= AG2 + CG2=10，A 正确；AE= AG2 + EG2=2 13，∴AB=2AE=4 13，B 错误；∵AD⊥CE，F 是AC 的中点，1∴GF= AC=5，2∴BG=10，C 正确；BF=15，D 正确，故选：B．6．（4 分）如果抛物线A：y=x2﹣1 通过左右平移得到抛物线B，再通过上下平移抛物线B 得到抛物线C：y=x2﹣2x+2，那么抛物线B 的表达式为（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2x﹣1 C．y=x2﹣2xD．y=x2﹣2x+1【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．【解答】解：抛物线A：y=x2﹣1 的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线C：y=x2﹣2x+2= （x﹣1）2+1 的顶点坐标是（1，1）．则将抛物线A 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到抛物线C．所以抛物线B 是将抛物线 A 向右平移 1 个单位得到的，其解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x．故选：C．二.填空题（本大题共12 题，每题 4 分，共48 分）7．（4 分）已知线段a=3cm，b=4cm，那么线段a、b 的比例中项等于 2 3cm．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a=3cm，b=4cm，∴线段a、b 的比例中项= 3 × ͵=23cm．故答案为：2 3．8．（4 分）已知点P 是线段AB 上的黄金分割点，PB＞PA，PB=2，那么PA= 5 ﹣1 ．【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是5—12计算即可．【解答】解：∵点P 是线段AB 上的黄金分割点，PB＞PA，5—1∴PB=2AB，解得，AB= 5+1，∴PA=AB﹣PB= 5+1﹣2= 5﹣1，故答案为：5﹣1．‹‹‹‹‹‹‹9．（4 分）已知|a|=2，|b|=4，且b和a反向，用向量a表示向量b=﹣2a．‹‹【分析】根据向量 b 向量的模是 a 向量模的 2 倍，且b和a反向，即可得出答案．‹‹‹‹【解答】解：|a|=2，|b|=4，且b和a反向，‹‹故可得：b=﹣2a ． 故答案为：﹣2‹a ．10．（4 分）如果抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2 经过原点，那么m= 2 ．【分析】根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．【解答】解：由抛物线y=mx2+（m﹣3）x﹣m+2 经过原点，得﹣m+2=0．解得m=2，故答案为：2．11．（4 分）如果抛物线y=（a﹣3）x2﹣2 有最低点，那么a 的取值范围是a＞3 ．【分析】由于原点是抛物线y=（a+3）x2 的最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a 的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=（a﹣3）x2﹣2 的最低点，∴a﹣3＞0，即a＞3．故答案为a＞3．12．（4 分）在一个边长为2 的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y 关于x 的函数解析式是y=﹣x2+4（0＜x＜2）．【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y 与x 的函数关系式即可．【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：y=﹣x2+4（0＜x＜2），故答案为：y=﹣x2+4（0＜x＜2）．13．（4 分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+1 经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x= 3 ．【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而求出x 的值．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=ax2﹣2ax+1，∴抛物线的对称轴方程为x=1，∵图象经过点A（﹣1，7）、B（x，7），—1+x=1，∴2∴x=3，故答案为3．914．（4 分）二次函数y=（x﹣1）2的图象上有两个点（3，y1）、（，y2），那么2y1＜y2（填“＞”、“=”或“＜”）【分析】把两点的横坐标代入函数解析式分别求出函数值即可得解．【解答】解：当x=3 时，y1=（3﹣1）2=4，9 9 ͵9当x= 时，y2=（﹣1）2= ，2 2 ͵y1＜y2，故答案为＜．15．（4 分）如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6 米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2 米，BE=5 米，那么树的高度AB= 4 米．【分析】由CD⊥BE、AB⊥BE 知CD∥AB，从而得△CDE∽△ABE，由相似三角形CD DE的性质有= ，将相关数据代入计算可得．AB BE【解答】解：由题意知CD⊥BE、AB⊥BE，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，C D D E1‸〷 2∴= ，即= ，AB BE AB 5解得：AB=4，故答案为：4．16．（4 分）如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 与中位线EF 交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= 4 ．【分析】根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD 的中位线，即可求得EG 的长，则FG 即可求得．【解答】解：∵EF 是梯形ABCD 的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，1 1∴EG= AD= ×2=1，2 2∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．17．（4 分）如图，点M 是△ABC 的角平分线AT 的中点，点D、E 分别在AB、AC 边上，线段DE 过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE 和△ABC 的面积比是1：4 ．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵AT 是△ABC 的角平分线，∵点M 是△ABC 的角平分线AT 的中点，1∴AM= AT，2∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，S O A D E A t 1∴S =（A㠮）2=（）2=1：4，OACB 222 故答案为：1：4． 18．（4 分）如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋 BD 转 60° ，点 B 、C 分别落在点 B'、C'处，联结 BC'与 AC 边交于点 D ，那么DC'= 2 3．【分析】根据直角三角形的性质得到 BC= 1 AB ，根据旋转的性质和平行线的判定 2得到 AB ∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，1∴BC= AB ， 2由旋转的性质可知，∠CAC′=60°，AB′=AB ，B′C′=BC ，∠C′=∠C=90°，∴∠BAC′=90°，∴AB ∥B′C′，B'E ∴ EA = CE' BE B'C' 1= AB = ， AB 3∴AE = ， ∵∠BAC=∠B′AC ，BD AB 3 CE' 1 ∴ = = ，又 = ， DE AE 2 BE 2 BD 2 ∴ = ， DC' 3 2 故答案为： ． 33 2 3—2× 2 ，从而知 FC= 三.解答题（本大题共 7 题，共 10+10+10+10+12+12+14=78 分）1 19．（10 分）计算：2cos 230°﹣sin30°+ ． c t ጚ30°—2s t h ͵5°【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．1 1 【解答】解：原式=2×（ ）2﹣ +2 2=1+ 2+ 3．20．（10 分）如图，已知在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 CD 上一点，且 DE=2， CE=3，射线 AE 与射线 BC 相交于点 F ；E 体 （1）求 的值；A 体‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹（2）如果A B =a ，A D =b ，求向量E 体；（用向量a 、b 表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 AB=5、AB ∥EC ，证△FEC ∽△FAB 得 E 体 EC 3 = = ； A 体 AB 5 （2）由△FEC ∽△FAB 得EC =体C = EC = 3 3 3 BC ，EC= AB ，再由平行 AB 体B AB 5 2 5 ‹ 3 ‹ 3 ‹ ‹ 3 ‹ 3 ‹四边形性质及向量可得EC =5 AB =5 a ，体C =2 BC =2b ，最后根据向量的运算得出答案．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，DE=2，CE=3，∴AB=DC=DE +CE=5，且 AB ∥EC ，∴△FEC ∽△FAB ，E 体 EC 3 ∴ = = ；A 体 AB 5（2）∵△FEC ∽△FAB ，2 ∴EC = 体 C = EC =3 AB 体B AB 53 3 ∴FC= BC ，EC=5AB ， 2∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，EC ∥AB ，‹ ‹ ‹∴AD =BC =b ，‹ 3 ‹ 3 ‹ ‹ 3 ‹ 3 ‹∴EC =5 AB =5 a ，体C =2 BC =2 b ， ‹ ‹ ‹ 3 ‹ 3 ‹则E 体=EC +C 体=5 a + 2b ．21．（10 分）如图，在△ABC 中，AC=4，D 为 BC 上一点，CD=2，且△ADC 与△ ABD 的面积比为 1：3；（1）求证：△ADC ∽△BAC ；（2）当 AB=8 时，求 sinB ．【分析】（1）作 AE ⊥BC ，根据△ADC 与△ABD 的面积比为 1：3 且 CD=2 可得 BD=6，即 BC=8，从而得CA= CD CB CA ，结合∠C=∠C ，可证得△ADC ∽△BAC ； AD = AC 1 （2）由△ADC ∽△BAC 得BA ，求出 AD 的长，根据 AE ⊥BC 得 DE= CD=1， BC 2 由勾股定理求得 AE 的长，最后根据正弦函数的定义可得．【解答】解：（1）如图，作 AE ⊥BC 于点 E ，S 1CD·AE CD 1 ∵ OACD =2 = = ， S OABD 1BD·AE BD 3 ∴BD=3CD=6，，15 C 8 A ∴CB=CD +BD=8，则CA = ͵ 1 CD = 2 = 1 = ， ， CB 8 2 CA ͵ 2 ∴CA = CD CB CA ，∵∠C=∠C ，∴△ADC ∽△BAC ；（2）∵△ADC ∽△BAC ，AD = AC AD = ͵ ∴BA B ，即 8， ∴AD=AC=4，∵AE ⊥BC ，1 ∴DE= CD=1， 2∴AE= AD 2 — DE 2= 15，AE ∴sinB= = ． B 822．（10 分）如图，是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为 0.15 米，宽为 0.4 米，轮椅专用坡道 AB 的顶端有一个宽 2 米的水平面 BC ；《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第 17 条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度1：20 1：16 1：12最大高度 米）1 1 0. . . 5 0 70 0 5（E （1）选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB 是符合要求的？说明理由；（2）求斜坡底部点 A 与台阶底部点 D 的水平距离 AD ．【分析】（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1： 20；（2）作梯形的高 BE 、CF ，由坡度计算 AE 的长，由台阶的宽计算 DF 的长，相加可得 AD 的长．【解答】解：（1）∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为 0.15 米，∴最大高度为 0.15×10=1.5（米），由表知建设轮椅专用坡道 AB 选择符合要求的坡度是 1：20；（2）如图，过 B 作 BE ⊥AD 于 E ，过 C 作 CF ⊥AD 于 F ，∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，BE 1∵A =20， 1‸5 1 ∴AE =20，∴AE=30，∵DF=9×0.4=3.6∴AD=AE +EF +DF=30+2+3.6=35.6，答：斜坡底部点 A 与台阶底部点 D 的水平距离 AD 为 35.6 米．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点 D 、E 是边 BC 上的两个点，且 BD=DE=EC ，过点C 作CF∥AB 交AE 延长线于点F，连接FD 并延长与AB 交于点G；（1）求证：AC=2CF；（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．AB= BE【分析】（1）由BD=DE=EC 知BE=2CE，由CF∥AB 证△ABE∽△FCE 得体C CE=2，即AB=2FC，根据AB=AC 即可得证；（2）由∠1=∠B 证△DAG∽△BAD 得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3 得∠3=∠6，再由CF∥AB 得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF 得CD2=AC•CF．【解答】证明：（1）∵BD=DE=EC，∴BE=2CE，∵CF∥AB，∴△ABE∽△FCE，AB= BE∴体C CE=2，即AB=2FC，又∵AB=AC，∴AC=2CF；（2）如图，∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，∴△DAG ∽△BAD ，∴∠AGD=∠ADB ，∴∠B +∠2=∠5+∠6，又∵AB=AC ，∠2=∠3，∴∠B=∠5，∴∠3=∠6，∵CF ∥AB ，∴∠4=∠B ，∴∠4=∠5，则△ACD ∽△DCF ，CD AC ∴C 体 = DC，即 CD 2=AC•CF ．24．（12 分）已知顶点为 A （2，﹣1）的抛物线经过点 B （0，3），与 x 轴交于 C 、D 两点（点 C 在点 D 的左侧）；（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结 AB 、BD 、DA ，求△ABD 的面积；（3）点 P 在 x 轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点 P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=a （x ﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得 a=1， 即可解决问题．（2）首先证明∠ADB=90°，求出 BD 、AD 的长即可解决问题．（3）由△PDB ∽△ADP ，推出 PD 2=BD•AD=3 2 · 2=6，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵顶点为 A （2，﹣1）的抛物线经过点 B （0，3），∴可以假设抛物线的解析式为 y=a （x ﹣2）2﹣1，把（0，3）代入可得 a=1，∴抛物线的解析式为 y=x 2﹣4x +3．（2）令 y=0，x 2﹣4x +3=0，解得 x=1 或 3，∴C （1，0），D （3，0），∵OB=OD=3，∴∠BDO=45°，∵A （2，﹣1），D （3，0），作 AF ⊥CD ，则 AF=DF=1∴△ADF 是等腰直角三角形，∴∠ADO=45°，∴∠BDA=90°，∵BD=3 2，AD= 2，1 ∴S △ABD = • B D•AD=3． 2（3）∵∠BDO=∠DPB +∠DBP=45°，∠APB=∠DPB +∠DPA=45°，∴∠DBP=∠APD ，∵∠PDB=∠ADP=135°，∴△PDB ∽△ADP ，∴PD 2=BD•AD=3 2 · 2=6，∴PD= 〷 ，∴OP=3+ 〷 ，∴点 P （3+ 〷，0）．C25．（14 分）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 E 是射线 CB 上的动点，点 F 是射线 CD 上一点，且 AF ⊥AE ，射线 EF 与对角线 BD 交于点 G ，与射线 AD 交于点 M ；（1）当点 E 在线段 BC 上时，求证：△AEF ∽△ABD ；（2）在（1）的条件下，联结 AG ，设 BE=x ，tan ∠MAG=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围；（3）当△AGM 与△ADF 相似时，求 BE 的长．【分析】（1）首先证明△ABE ∽△ADF ，推出 AB AE AB = ，推出 = AD ，因为∠BAD=∠EAF ，即可证明△AEF ∽△ABD ．AD A 体 AE A 体 （2）如图连接 AG ．由△AEF ∽△ABD ，推出∠ABG=∠AEG ，推出 A 、B 、E 、G 四点共圆，推出∠ABE +∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=EC ∠MDF ，推出∠AMG=∠FMD ，推出∠MAG=∠EFC ，推出 y=tan ∠MAG=tan ∠EFC= ， 体 由△ABE ∽△ADF ，得 AB BE = ，得 DF= ͵ x ，由此即可解决问题． AD D 体 3（3）分两种情形①如图 2 中，当点 E 在线段 CB 上时，②如图 3 中，当点 E 在 CB 的延长线上时，分别列出方程求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，∵AF ⊥AE ，∴∠EAF=90°，∴∠BAD=∠EAF ，∴∠BAE=∠DAF ，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE ∽△ADF ，3C AB AE ∴ = ，AD A 体 AB AD∴AE =A 体，∵∠BAD=∠EAF ， ∴△AEF ∽△ABD ．（2）解：如图连接 AG ．∵△AEF ∽△ABD ，∴∠ABG=∠AEG ，∴A 、B 、E 、G 四点共圆，∴∠ABE +∠AGE=180°，∵∠ABE=90°，∴∠AGE=90°，∴∠AGM=∠MDF ，∴∠AMG=∠FMD ，∴∠MAG=∠EFC ，EC ∴y=tan ∠MAG=tan ∠EFC= ， 体∵△ABE ∽△ADF ，AB BE ∴ = ，AD D 体 ͵ ∴DF= x ， 3͵—x∴y=3+͵x， 12—3x即 y= 9+͵x （0≤x ≤4）．（3）解：①如图 2 中，当点 E 在线段 CB 上时，D ∵△AGM ∽ADF ，G t D 体 ∴tan ∠MAG= AG =A ，12—3x ∴ 9+͵x 3 ͵x =3 ， ͵ 解得 x= ． 2②如图 3 中，当点 E 在 CB 的延长线上时， 由△MAG ∽△AFD ∽△EFC ，AD D 体∴EC= 体C ， ͵ ͵ 3 ∴ = ͵ ，x +͵ 3—3x 解得 x=1，3 ∴BE 的长为 或 1． 2 x。
2021-2022学年上海市浦东新区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2021-2022学年上海市浦东新区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1. 已知a b =c d ，则下列等式中不成立的是( ) A. a c =b dB. a−2b b =c−2d dC.b−a a =d−c c D. a+b b+c =c d 2. 如图，在△ABC 中，若∠C =Rt∠，则( )A. sinA =acB. sinA =b cC. cosB =b cD. cosB =b a3. 下列函数中，y 关于x 的二次函数的是( ) A. y =x 3+2x 2+3B. y =−1x 2C. y =x 2+xD. y =mx 2+x +1 4. 下列等式一定正确的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗D. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且点C 是弧BD 的中点．过点C 作AD 的垂线EF 交直线AD 于点E.若⊙O 的半径为2.5，AC 的长度为4，则CE 的长度为( )A. 3B. 203C. 125D. 1656.如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线(a<0)的图象上，则a的值为()A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是______ cm．8.设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高x m，列方程，并化成一般形式是______．9.计算：√12+√13−sin60°=______ ．10.如图1是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，现将两扇门推到如图2的位置(平面示意图)，其中tan∠DAB=512，tan∠CBA=34，测得C，D间的距离为4√130dm，则门槛AB的长为______dm．11.已知点A、B都在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，其横坐标分别是m、n(m<n).过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是C、D；过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别是E、F，AC与BF交于点P.当点P在线段DE上，且m(n−2)=3时，m的值等于______．12.平行四边形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，对边AD和BC之间的距离是4cm，则对边AB和CD间的距离是______cm．13.若二次函数y=−(x+1)2+ℎ的图象与线段y=x+2(−3≤x≤1)没有交点，则ℎ的取值范围是______ ．14.y=x2+kx+1与y=x2−x−k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为______．15.如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB=3，BC=5，则tan∠DAE的值为______．16.如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，AB=12，CD=9，过对角线的交点O作底边平行线与两腰交于点E，F，则OE的长为______．17.如果A(−1,y1)，B(−2,y2)是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么y1______ y2(填“<”或者“>”)18.如图，一组等距的平行线，点A、B、C分别在直线l1、l6、l4上，AB交l3于点D，AC交l3于点E，BC交于l5点F，若△DEF的面积为1，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.如图，已知两个不平行的向量a⃗、b⃗ ．(1)化简：2(3a⃗−b⃗ )−(a⃗+b⃗ )；a⃗ .(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)．(2)求作c⃗，使得c⃗=b⃗ −1220.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B．(1)直接写出点A的坐标为______ ，点B的坐标为______ ；(2)若函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．21.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE//BC．(1)若AD=3，BD=6，AE=2.8，求EC的长；(2)若AB=12，BD=8，CE=7，求AE的长．22.如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC=20m，在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°.求气球A离地面的高度AD(结果保留根号)．23.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)若BC=12，AFFC =12，求线段BE的长．24.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,3)，且抛物线的顶点坐标为(1,4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点D是第一象限抛物线上的一点，AD交y轴于点E，设点D的横坐标为m，设△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，连接AC，是否存在这样的点D，使得∠DAB=2∠ACO，若存在，求点D的坐标及相应的S的值，若不存在，请说明理由．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2.动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿A→C→B的方向向终点B运动(点P不与△ABC的顶点重合).点P关于点C的对称点为点D，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PD、PQ为边作▱PDEQ.设▱PDEQ与△ABC.重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t(s)(1)当点P在AC上运动时，用含t的代数式表示PD的长；(2)当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；(3)当▱PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式．参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、∵ab =cd，∴ac =bd，成立；B、∵a−2bb =c−2dd，∴ad−2bd=cb−2bd，∴ab=bc，∴等式成立；C、∵b−aa =d−cc，cb−ca=ad−ac，∴bc=ad，∴等式成立；D、∵a+bb+c =cd，∴ad+bd=bc+c2，∴等式不成立；故选：D．直接利用比例的性质以及等式的性质将各选项化简进而得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．2.答案：A解析：解：在△ABC中，若∠C=Rt∠，sinA=ac ，cosB=ac，故选：A．根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．3.答案：C解析：本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可．解：A.是三次函数，故A 不符合题意；B .此函数关系的右边不是整式，故B 不符合题意；C .是二次函数，故C 符合题意；D .m =0时是一次函数，故D 不符合题意．故选C ．4.答案：D解析：解：A 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． B 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． C 、AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故不符合题意． D 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故符合题意． 故选：D ．根据相等向量、平行向量以及三角形法则解答．本题主要考查了平面向量的知识，解题时需要注意：平面向量既有大小，又有方向．5.答案：C解析：解：连接BC ，∵点C 是弧BD 的中点，∴∠EAC =∠CAB ，又∵AB 为直径，AE ⊥EF ，∴∠AEC =∠ACB =90°，∴△EAC∽△CAB ，∴AC AB =EC BC ，∴EC =AC⋅BC AB =4×√52−425=125．故选：C ．根据直径所对的角是90°和等弧对等角判定相似，然后根据相似三角形的性质结合勾股定理求出CE 的长度．本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质和圆心角、弧、弦的关系，关键是在圆中寻找相等的角判定相似．6.答案：C解析：解析：试题分析：连接0B，如图，OABC是边长为1的正方形，由勾股定理得OB=，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在y轴上的投影为=；OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在x轴上的投影为=，由图知，点B在第四象限，所以点B坐标为(，−)；点B在抛物线(a<0)的图象上，所以，解得a=，所以选C考点：正方形，抛物线，三角函数点评：本题考查正方形，抛物线，三角函数，解答本题需要考生熟悉正方形的性质，掌握抛物线的概念和性质，掌握三角函数的概念7.答案：100解析：先设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，解即可．本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变得出等式．解：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则4：2000000=x：50000000，解得x=100．故答案是100．8.答案：x2−6x+4=0解析：解：设雕像的上部高x m，则题意得：x 2−x =2−x2，整理得：x2−6x+4=0，故答案为：x2−6x+4=0设雕像的上部高x m ，则下部长为(2−x)m ，然后根据题意列出方程即可．本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．9.答案：76√3 解析：解：原式=2√3+√33−√32=76√3．故答案为：76√3．直接利用二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 10.答案：260解析：解：过D 作DF ⊥AB 于F ，过C 点作CG ⊥AB 于G ，过点D 作DE ⊥CG 于E ，则四边形DFGE 为矩形，∴DE =FG ，EG =DF ，∠DEC =90°，设AD =BC =x ，则AB =2x ，∵tan∠DAB =512，tan∠CBA =34， ∴sin∠A =513，sin∠B =35，∴DF =513x ，AF =1213x ，CG =35x ，BG =45x ，∴CE =CG −EG =CG −DF =35x −513x =1465x ， DE =FG =AB −AF −BG =2a −1213x −45x =1865x ，在Rt △CDE 中，DC =4√130dm ，DE 2+CE 2=DC 2，即(1865x)2+(1465x)2=(4√130)2，解得x =130，∴AB =2x =260dm ．过D 作DF ⊥AB 于F ，过C 点作CG ⊥AB 于G ，过点D 作DE ⊥CG 于E ，则四边形DFGE 为矩形，进而可得DE =FG ，EG =DF ，设AD =BC =x ，则AB =2x ，通过解直角三角形可求得CE =1465x ，DE =1865x ，利用勾股定理列式计算可求解x 值，进而求解AB 的值．本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角△CDE 是解题的关键．11.答案：1+√72 解析：本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y =kx (k ≠0)的图象是双曲线；当k >0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k <0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．解：如图，A(m,6m )，B(n,6n )，则P(m,6n)， ∵点P 在线段DE 上，AD//CE ，∴△ADP∽△CEP ，∴ADCE =AP PC ，即mn−m =6m −6n 6n ，∴m 2=(n −m)2，而n >m >0， ∴m =n −m ，即n =2m ，把n =2m 代入m(n −2)=2得m(2m −2)=3，整理得2m 2−2m −3=0，解得m 1=1+√72，m 2=1−√72(舍去)， 即m 的值为1+√72．故答案为1+√72．如图，A(m,6m )，B(n,6n)，则P(m,6n)，通过证明△ADP∽△CEP得到ADCE=APPC，即mn−m=6m−6n6n，从而得到n=2m，所以m(2m−2)=3，然后解关于m的方程即可．12.答案：8解析：解：设对边AB和CD间的距离是xcm，根据平行四边形的面积公式可得：6x=12×4，可得x=8．故答案为8．根据平行四边形的面积公式求解即可．“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．13.答案：ℎ>7或ℎ<34解析：解：x=1时，y=x+2=3，将(1,3)代入y=−(x+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，联立y=−(x+1)2+ℎ和y=x+2并整理得：x2+3x+(3−ℎ)=0，∵△=3−4(3−ℎ)<0，∴ℎ<34，故答案为ℎ>7或ℎ<34．将(1,3)代入y=−(x+1)2+ℎ并解得：ℎ=7，再根据△=3−4(3−ℎ)<0，即可求解．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14.答案：2解析：解：根据题意可知，x2+kx+1=0，x2−x−k=0，即x2+kx+1=x2−x−k，(k+1)x=−(k+1)，解得x=−1，把x=−1代入x2+kx+1=0中，解得k=2．故答案为：2．根据题意可知交点在x轴上，即x2+kx+1=x2−x−k=0，解方程得x=−1，再把x=−1代入x2+kx+1=x2−x−k=0中即可得出答案．本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，合理利用二次函数的性质进行计算是解决本题的关键．15.答案：13解析：解：由翻折变换可知，AD=AF=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=√AF2−AB2=√52−32=4，∴FC=BC−BF=5=4=1，设DE=x，则EF=x，EC=3−x，在Rt△EFC中，由勾股定理得，12+(3−x)2=x2，解得x=53，即DE=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAD =535=13，故答案为：13．根据翻折变换和勾股定理可求出FC=1，再在Rt△EFC中，由勾股定理求出DE，最后根据锐角三角函数的定义求解即可．本题考查翻折变换，直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质和勾股定理是解决问题的关键．16.答案：367解析：解：∵AB//CD，AB=12，CD=9，∴DOOB =DCAB=34，∴DODB =COCA=37，∵EF//AB，∴EOAB =DODB=37，FOAB=COCA=37，∴EO=FO=37AB=37×12=367．由AB//CD，AB=12，CD=9，EF//AB，根据平行线分线段成比例即可求解；本题考查了梯形及平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.答案：<解析：解：∵二次函数y=x2+m中a=1>0，∴抛物线开口向上．∵x=−b2a=0，−1<−2，∴A(−1,y1)，B(−2,y2)在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，∴y1<y2.故答案为：<．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；利用对称轴左侧y随x的增大而减小，可判断y1<y2．本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18.答案：154解析：解：连接DC，设平行线间的距离为ℎ，AD=2a，如图所示：∵S△DEF=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，S△ADE=12DE⋅2ℎ=DE⋅ℎ，∴S△DEF=S△DEA，又∵S△DEF=1，∴S△DEA=1，同理可得：S△DEC=12，又∵S △ADC =S △ADE +S △DEC ，∴S △ADC =32， 又∵平行线是一组等距的，AD =2a ， ∴BD =3a ，又∵S △ADC =12AD ⋅k =ak ，S △BDC =12BD ⋅k =32ak ，∴S △BDC =32×32=94， 又∵S △ABC =S △ADC +S △BDC ，∴S △ABC =94+32=154， 故答案为154．在三角形中由同底等高，同底倍高求出S △ADC =32，根据三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等求出S △BDC =94，最后由三角形的面积的和差法求得S △ABC =154．本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线间的距离相等，三角形的面积求法等知识，重点掌握三角形相似的判定与性质的运用，等距平行线间的对应线段相等，难点是作辅助线求三角形的面积．19.答案：解：(1)2(3a ⃗ −b ⃗ )−(a ⃗ +b ⃗ )=6a ⃗ −2b ⃗ −a ⃗ −b ⃗ =5a ⃗ −3b ⃗ ；(2)如图，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ． ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 解析：(1)直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时的符号变化；(2)利用三角形法则求解即可求得答案．此题考查了平面向量的运算与作法．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．20.答案：(0,1) (4,2)解析：解：(1)当x =0时，y =1，因此点A 的坐标为(0,1)，将点A 向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B ，因此点B 坐标为(4,2)，故答案为：(0,1)，(4,2)；(2)抛物线y =x 2−2mx +1的对称轴为x =−b 2a =−−2m 2=m ，抛物线恒过点A(0,1)， 当函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点，就是抛物线与线段AB 除点A 以外没有其它的公共点，设线段AB 的关系式为y =kx +b ，把A(0,1)B(4,2)代入得，{b =14k +b =1， 解得{k =14b =1， ∴线段AB 的关系式为y =14x +1(0≤x ≤4)，当函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 有两个公共点时，即方程x 2−2mx +1=14x +1有两个不相等的实数根， 解得x 1=0，x 2=2m +14，∵函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 的交点在0到4之间，∴0<2m +14≤4，解得−18<m ≤158， 即当−18<m ≤158，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 有两个公共点， ∴当m ≤−18或m >158时，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点时，综上所述，当m ≤−180或m >158时，函数y =x 2−2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点． (1)根据关系式可求出抛物线与y 轴的交点坐标，即点A 的坐标，再根据平移可得点B 坐标；(2)求出线段AB的关系式，而抛物线过点A，因此当函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB有两个公共点时，就是抛物线与线段AB的关系式组成的方程组有两个不相等的实数根，进而求得m的取值范围，再得出函数y=x2−2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点时m的取值范围即可．本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．21.答案：解：(1)∵DE//BC，∴ADBD =AEEC，∵AD=3，BD=6，AE=2.8，∴36=2.8EC，解得：EC=5.6；(2)∵DE//BC，∴ABBD =ACEC，∵AB=12，BD=8，CE=7，∴128=AC7，解得：AC=212，∴AE=AC−EC=212−7=72．解析：(1)根据平行线分线段成比例定理得到ADBD =AEEC，代入计算即可；(2)根据平行线分线段成比例定理求出AC，结合图形计算，得到答案．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．22.答案：解：设AD=x，∵AD⊥CD，∠ACD=45°，∴CD=AD=x，∵AD⊥BD，∠ABD=30°，∴BD=√3AD=√3x，∵BC=BD−CD=20，∴√3x−x=20，解得：x=10√3+10；答：气球A离地面的高度AD为(10√3+10)m．解析：本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，属于基础题．设AD =x ，由题意得出CD =AD =x ，BD =√3AD =√3x ，由BC =BD −CD =20，得出方程√3x −x =20，解方程即可．23.答案：证明：(1)∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB ，∴∠DBE =∠FEC ，∴△BDE∽△EFC ；(2)∵EF//AB ，∴BE EC =AF FC =12， ∵EC =BC −BE =12−BE ，∴BE 12−BE =12，解得：BE =4．解析：(1)由平行线的性质可得∠DEB =∠FCE ，∠DBE =∠FEC ，可得结论；(2)由平行线分线段成比例可得BE EC =AF FC =12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键． 24.答案：解：(1)设抛物线的表达式为：y =a(x −ℎ)2+k =a(x −1)2+4，将点C 的坐标代入上式并解得：a =−1，故抛物线的表达式为：y =−(x −1)2+4=−x 2+2x +3①；(2)点D 的横坐标为m ，则点D 的坐标为(m,−m 2+2m +3)，设直线AD 的表达式为：y =kx +t ，则{−m 2+2m +3=km +t 0=−k +t，解得{k =3−m t =3−m ， 故直线AD 的表达式为：y =−(m −3)x +3−m ，故点E(0,3−m)，则CE =3−(3−m)=m ，则S =S △CED +S △CEA =12CE ×(x D −x A )=12m(m +1)=12m 2+12m ；(3)存在，理由：在OB 上截取OM =OA =1，故点M(1,0)，则∠MCO =∠ACO ，∵∠DAB =2∠ACO ，∴∠ACM =∠DAB ，在△ACM 中，设CM 边上的高为ℎ，AC =MC =√32+12=√10，则S △AMC =12AM ×CO =12×CM ×ℎ，即2×3=√10ℎ，解得：ℎ=√10，在△ACM 中，sin∠ACM =ℎAC =6√10√10=35=sin∠DAB ，则tan∠DAB =34， 在Rt △AOE 中，OA =1，tan∠DAB =34，则OE =34，故点E(0,34)，由点A 、E 的坐标得，直线AE 的表达式为：y =34x +34②， 联立①②并解得：x =94或−1(舍去−1)，故x =94=m ，故点D(94,3916) 由(2)知，S =12m 2+12m =11732， ∴点D 的坐标为(94,3916)，相应的S 的值为11732．解析：(1)设抛物线的表达式为：y =a(x −ℎ)2+k =a(x −1)2+4，将C 的坐标代入上式，即可求解；(2)S =S △CED +S △CEA =12CE ×(x D −x A )=12m(m +1)=12m 2+12m ；(3)求出sin∠ACM =ℎAC =sin∠DAB ，则tan∠DAB =34，得到直线AE 的表达式，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，综合性强，难度适中．25.答案：解：(1)由题意，得AP =2t ，CP =2−2t ， ∴PD =2CP =4−4t ；(2)①如图2−1，当点E 落在BC 边上时，过点Q 作QH ⊥AD 于H ， 由题意知，△AQP 和△CED 为等腰直角三角形， ∴CE =HQ =12AP ，CE =CD ， ∵HQ =12AP =t ，CD =PC =2−2t ，∴t =2−2t ，∴t =23；②如图2−2，当点E 落在AC 边上时，过点Q 作QG ⊥BC 于G ， 由题意知，△BQP 和△CED 为等腰直角三角形， ∴CE =GQ =12BP ，CE =CD ，∵GQ =12BP =12(4−2t)=2−t ，CD =PC =2t −2， ∴2−t =2t −2，∴t =43，综上所述，点E 落在△ABC 的直角边上时，t 的值为23或43；(3)如图3−1，当0<t ≤23时，S =S 梯形PQMC=12t(2−2t +2−t)=−32t 2+2t ；如图3−2，当43≤t ≤2时，S =S 梯形PQNC=12(2−t)(2t −2+t)=−32t 2+4t −2， 综上所述，S ={−32t 2+2t(0<t ≤23)−32t 2+4t −2(43≤t <2)． 解析：(1)由题意，可先写出AP 的长，再写出CP 的长，由对称的性质即可写出PD 的长；(2)①如图2−1，当点E 落在BC 边上时，过点Q 作QH ⊥AD 于H ，证明CE =HQ =12AP =CD ，即可列出关于t 方程，求出t 的值；②如图2−2，当点E 落在AC 边上时，过点Q 作QG ⊥BC 于G ，证明CE =GQ =12BP =CD ，即可列出关于t 的方程，求出t 的值即可； (3)如图3−1，当0<t ≤23时，求出梯形PQMC 的面积即可；如图3−2，当43≤t ≤2时，求出梯形PQCN 的面积即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，四边形的面积等，解题关键是能够根据题意画出图形，并注意分类讨论思想的运用．。
上海市浦东新区名校2021-2022学年中考一模数学试题含解析
上海市浦东新区名校2021-2022学年中考一模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．在0.3，﹣3，0，﹣3这四个数中，最大的是（ ）A ．0.3B ．﹣3C ．0D ．﹣32．已知关于x 的方程x 2+3x +a =0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣53．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ． D ．4．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒5．如图，已知点 P 是双曲线 y ＝2x上的一个动点，连结 OP ，若将线段OP 绕点 O 逆时针旋转 90°得到线段 OQ ，则经过点 Q 的双曲线的表达式为（ ）A ．y ＝ 3xB ．y ＝﹣ 13xC ．y ＝ 13xD ．y ＝﹣3x6．下列说法正确的是（ ）A ．2a 2b 与–2b 2a 的和为0B ．223a b π的系数是23，次数是4次C ．2x 2y –3y 2–1是3次3项式D ．3x 2y 3与–3213x y 是同类项 7．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ＞3C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣38．将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若140∠=︒则∠2的度数为( )A ．50°B ．110°C ．130°D ．150°9．在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ） A ．20 B ．25 C ．30 D ．3510．如图，已知直线//AB CD ，点E ，F 分别在AB 、CD 上，:3:4CFE EFB ∠∠=，如果∠B ＝40°，那么BEF ∠=（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x（x ＜0）的图象经过菱形OABC 中心E 点，则k 的值为_____．12．如图，在⊙O 中，点B 为半径OA 上一点，且OA ＝13，AB ＝1，若CD 是一条过点B 的动弦，则弦CD 的最小值为_____．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A、C在坐标轴上，点B的坐标是(2,2)．将△ABC沿x轴向左平移得到△A1B1C1，点1B落在函数y=-6x．如果此时四边形11AAC C的面积等于552，那么点1C的坐标是________．14．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．15．我们知道方程组345456x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是12xy=-⎧⎨=⎩，现给出另一个方程组3(23)4(2)54(23)5(2)6x yx y++-=⎧⎨++-=⎩，它的解是____．16．小红沿坡比为1：3的斜坡上走了100米，则她实际上升了_____米．17．抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴只有一个交点，则m的值为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）某公司销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示A B进价（万元/套） 1.5 1.2售价（万元/套） 1.8 1.4该公司计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润12万元．（1）该公司计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？（2）通过市场调研，该公司决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过68万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？19．（5分）解方程21=122xx x---20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6x的图象相交于点A（m，3）、B（–6，n），与x轴交于点C．（1）求一次函数y=kx+b的关系式；（2）结合图象，直接写出满足kx+b>6x的x的取值范围；（3）若点P在x轴上，且S△ACP=32BOCS△，求点P的坐标．21．（10分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）22．（10分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=DC，E为AB边的中点，（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EF，若BD=4，求EF的长．23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．若AC=4，BC=2，求OE的长．试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．24．（14分）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可【详解】∵-3＜30＜0.3∴最大为0.3故选A．【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于0，0大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型．2、B【解析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，∴-2+m=−31，解得，m=-1，故选B ．3、A【解析】分别求得不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，表示在数轴上即可.【详解】312840x x ->⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x>1；解不等式②得，x>2；∴不等式组的解集为：x≥2，在数轴上表示为：故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确求得不等式组中每个不等式的解集是解决问题的关键.4、B【解析】根据旋转的性质可得AC ＝A′C ，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C ，最后根据旋转的性质可得∠B ＝∠A′B′C ．【详解】解：∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，∴AC ＝A′C ，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C ＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，∴∠B ＝∠A′B′C ＝65°．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．5、D【解析】过P ，Q 分别作PM ⊥x 轴，QN ⊥x 轴，利用AAS 得到两三角形全等，由全等三角形对应边相等及反比例函数k 的几何意义确定出所求即可．【详解】过P ，Q 分别作PM ⊥x 轴，QN ⊥x 轴，∵∠POQ=90°，∴∠QON+∠POM=90°，∵∠QON+∠OQN=90°，∴∠POM=∠OQN ，由旋转可得OP=OQ ，在△QON 和△OPM 中，90QNO OMP OQN POMOQ OP ＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴△QON ≌△OPM （AAS ），∴ON=PM ，QN=OM ，设P （a ，b ），则有Q （-b ，a ），由点P 在y=3x上，得到ab=3，可得-ab=-3， 则点Q 在y=-3x 上． 故选D ．【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，以及坐标与图形变化，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．6、C【解析】根据多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义逐一判断可得．【详解】A 、2a 2b 与-2b 2a 不是同类项，不能合并，此选项错误；B 、23πa 2b 的系数是23π，次数是3次，此选项错误； C 、2x 2y-3y 2-1是3次3项式，此选项正确；D 、3x 2y 3与﹣3213x y 相同字母的次数不同，不是同类项，此选项错误； 故选C ．【点睛】本题主要考查多项式、单项式、同类项，解题的关键是掌握多项式的项数和次数及单项式的系数和次数、同类项的定义．7、B【解析】试题分析：当x=0时，y=－5；当x=1时，y=a －1，函数与x 轴在0和1之间有一个交点，则a －1＞0，解得：a ＞1．考点：一元二次方程与函数8、C【解析】如图，根据长方形的性质得出EF ∥GH ，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A 求出即可．【详解】∵EF ∥GH ，∴∠FCD=∠2，∵∠FCD=∠1+∠A ，∠1=40°，∠A=90°，∴∠2=∠FCD=130°，故选C.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等，准确识图是解题的关键．9、B【解析】设可贷款总量为y ，存款准备金率为x ，比例常数为k ，则由题意可得：k y x=，4007.5%30k =⨯=， ∴30y x=， ∴当8%x =时，303758%y ==（亿）， ∵400-375=25，∴该行可贷款总量减少了25亿.故选B.10、C【解析】根据平行线的性质，可得CFB ∠的度数，再根据:3:4CFE EFB ∠∠=以及平行线的性质，即可得出BEF ∠的度数．【详解】∵//AB CD ，40ABF ︒∠=，∴180140CFB B ︒︒∠=-∠=，∵:3:4CFE EFB ∠∠=， ∴3607CFE CFB ︒∠=∠=， ∵//AB CD ，∴60BEF CFE ︒∠=∠=，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补，且内错角相等．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、8【解析】根据反比例函数的性质结合点的坐标利用勾股定理解答.【详解】解：菱形OABC 的顶点A 的坐标为（-3，-4），5,=则点B 的横坐标为-5-3=-8，点B 的坐标为（-8，-4），点C 的坐标为（-5,0）则点E 的坐标为（-4，-2），将点E 的坐标带入y=k x （x ＜0）中，得k=8. 给答案为：8.【点睛】此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，掌握坐标轴点的求法和菱形性质是解题的关键.12、10【解析】连接OC，当CD⊥OA时CD的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可.【详解】连接OC，当CD⊥OA时CD的值最小，∵OA=13，AB=1，∴OB=13-1=12，∴BC=2213-12=5，∴CD=5×2=10.故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧 .13、(-5,112)【解析】分析：依据点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，可得点B2的纵坐标为2，再根据点B2落在函数y=﹣6x的图象上，即可得到BB2=AA2=5=CC2，依据四边形AA2C2C的面积等于552，可得OC=112，进而得到点C2的坐标是（﹣5，112）．详解：如图，∵点B的坐标是（2，2），BB2∥AA2，∴点B2的纵坐标为2．又∵点B2落在函数y=﹣6x的图象上，∴当y=2时，x=﹣3，∴BB2=AA2=5=CC2．又∵四边形AA2C2C的面积等于552，∴AA2×OC=552，∴OC=112，∴点C2的坐标是（﹣5，112）．故答案为（﹣5，112）．点睛：本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的性质．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度．14、1【解析】先分别求出第1个、第2个、第3个正方形的面积，由此总结规律，得到第n个正方形的面积，将n=2018代入即可求出第2018个正方形的面积．【详解】：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；…∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：1．故答案为1．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是得到第n个正方形的面积．15、24 xy=-⎧⎨=⎩【解析】观察两个方程组的形式与联系，可得第二个方程组中23122xy+=-⎧⎨-=⎩，解之即可.【详解】解：由题意得23122xy+=-⎧⎨-=⎩，解得24xy=-⎧⎨=⎩.故答案为：24xy=-⎧⎨=⎩.【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，用整体代入法解决这种问题比较方便.16、50【解析】根据题意设铅直距离为x ，根据勾股定理求出x 的值，即可得到结果．【详解】解：设铅直距离为x ，根据题意得：222)100x +=，解得：50x =（负值舍去），则她实际上升了50米，故答案为：50【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，此题关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离.17、1【解析】由抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴只有一个交点可知，对应的一元二次方程x 2-2x+m=2，根的判别式△=b 2-4ac=2，由此即可得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】解：∵抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴只有一个交点，∴△=2，∴b 2﹣4ac=22﹣4×1×m=2；∴m=1．故答案为1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，注：①抛物线与x 轴有两个交点，则△＞2；②抛物线与x 轴无交点，则△＜2；③抛物线与x 轴有一个交点，则△=2．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套；（2）A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．【解析】（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，根据花11万元购进两种设备销售后可获得利润12万元，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套，根据总价=单价×数量结合用于购进这两种教学设备的总资金不超过18万元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【详解】解：（1）设该公司计划购进A 种品牌的教学设备x 套，购进B 种品牌的教学设备y 套，根据题意得：()()1.5 1.2661.8 1.5 1.4 1.212x y x y +⎧⎨-+-⎩＝＝ 解得：2030x y =⎧⎨=⎩． 答：该公司计划购进A 种品牌的教学设备20套，购进B 种品牌的教学设备30套．（2）设A 种品牌的教学设备购进数量减少m 套，则B 种品牌的教学设备购进数量增加1.5m 套，根据题意得：1.5（20﹣m ）+1.2（30+1.5m ）≤18，解得：m≤203， ∵m 为整数，∴m≤1．答：A 种品牌的教学设备购进数量至多减少1套．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．19、x=-1．【解析】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1解这个方程，得x= -1检验：x= -1时，x-2≠0∴原方程的解是x= -1首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解20、（1）122y x =+；（1）-6＜x ＜0或1＜x ；（3）（-1,0）或（-6,0） 【解析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（1）根据函数图像判断即可；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据三角形的面积公式结合S△ACP=32S△BOC，即可得出|x+4|=1，解之即可得出结论．【详解】（1）∵点A（m，3），B（-6，n）在双曲线y=6x上，∴m=1，n=-1，∴A（1，3），B（-6，-1）．将（1，3），B（-6，-1）带入y=kx+b，得：3216k bk b+⎧⎨--+⎩＝＝，解得，122kb＝＝⎧⎪⎨⎪⎩．∴直线的解析式为y=12x+1．（1）由函数图像可知，当kx+b>6x时，-6＜x＜0或1＜x；（3）当y=12x+1=0时，x=-4，∴点C（-4，0）．设点P的坐标为（x，0），如图，∵S△ACP=32S△BOC，A（1，3），B（-6，-1），∴12×3|x-（-4）|=32×12×|0-（-4）|×|-1|，即|x+4|=1，解得：x1=-6，x1=-1．∴点P的坐标为（-6，0）或（-1，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；（1）根据函数图像判断不等式取值范围；（3）根据三角形的面积公式以及S△ACP=32S△BOC，得出|x+4|=1．21、(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【解析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．22、(1)见解析；（1）1【解析】（1）根据角平分线的作图可得；（1）由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得．【详解】（1）如图，射线CF即为所求；（1）∵∠CAD=∠CDA，∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；又CF是顶角∠ACD的平分线，∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，∵E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=1．【点睛】本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理是解题的关键．23、（15；（2）∠CDE=2∠A．【解析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得到AB的长，从而得到半径AO ．再由△AOE∽△ACB，得到OE的长；（2）连结OC，得到∠1=∠A，再证∠3=∠CDE，从而得到结论．【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：222242AC BC+=+=25∴AO=125∵OD⊥AB，∴∠AOE=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△AOE∽△ACB，∴OE AO BC AC=，∴OE=254 BC AOAC⋅==52.（2）∠CDE=2∠A．理由如下：连结OC，∵OA=OC，∴∠1=∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠2+∠CDE=90°，∵OD⊥AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠3=∠CDE．∵∠3=∠A+∠1=2∠A，∴∠CDE=2∠A．考点：切线的性质；探究型；和差倍分．24、（1）DE与⊙O相切,证明见解析；（2）AC=8. 【解析】(1)解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC,根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．AC=8。
2020-2021学年最新上海市中考数学一模试卷及答案
中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；tanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A．当时，能判断ED∥BC；B.当时，能判断ED∥BC；C.当时，不能判断ED∥BC；D.当时，能判断ED∥BC；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
[试卷合集3套]上海市浦东新区2021届中考数学第一次阶段模拟试题
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中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在平行线l 1、l 2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线l 1、l 2上，若∠l=65°，则∠2的度数是（ ）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65°【答案】A 【解析】如图，过点C 作CD ∥a ，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】如图，过点C 作CD ∥a ，则∠1=∠ACD ，∵a ∥b ，∴CD ∥b ，∴∠2=∠DCB ，∵∠ACD+∠DCB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠1=65°，∴∠2=25°，故选A ．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 2．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）A ．()3,2-B ．()2,3C ．()2,3--D ．()2,3-【答案】D【解析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A （-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D ．【点睛】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.3．如图1，在等边△ABC 中，D 是BC 的中点，P 为AB 边上的一个动点，设AP=x ，图1中线段DP 的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．23C ．12D ．43【答案】D【解析】分析： 由图1、图2结合题意可知，当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小=3，这样如图3，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，结合△ABC 是等边三角形和点D 是BC 边的中点进行分析解答即可.详解：由题意可知：当DP ⊥AB 时，DP 最短，由此可得DP 最短=y 最小=3，如图3，过点P 作PD ⊥AB 于点P ，连接AD ，∵△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上的中点，∴∠ABC=60°，AD ⊥BC ，∵DP ⊥AB 于点P ，此时DP=3，∴BD=332sin 602PD =÷=， ∴BC=2BD=4，∴AB=4，∴AD=AB·sin ∠B=4×sin60°=23，∴S △ABC=12AD·BC=1234432⨯⨯=. 故选D.点睛：“读懂题意，知道当DP⊥AB于点P时，DP最短=3”是解答本题的关键.4．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．5．计算：9115()515÷⨯-得（）A．-95B．-1125C．-15D．1125【答案】B【解析】同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．【详解】919111551551515⎛⎫⎛⎫÷⨯-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-1125故选B.【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.6．下列计算正确的是（）A．a4+a5=a9B．（2a2b3）2=4a4b6C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2【答案】B【解析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算．详解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；C 、-2a （a+3）=-2a 2-6a ，故本选项错误；D 、（2a-b ）2=4a 2-4ab+b 2，故本选项错误；故选：B ．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．7．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC ，AC 于点D ，E ，若AE=3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为（ ）A ．16cmB ．19cmC ．22cmD ．25cm【答案】B 【解析】根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行求解即可得答案.【详解】解：根据作法可知MN 是AC 的垂直平分线，∴DE 垂直平分线段AC ，∴DA=DC ，AE=EC=6cm ，∵AB+AD+BD=13cm ，∴AB+BD+DC=13cm ，∴△ABC 的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm ，故选B ．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．8．如图，函数y ＝kx ＋b(k≠0)与y ＝m x (m≠0)的图象交于点A(2，3)，B(－6，－1)，则不等式kx ＋b ＞m x的解集为( )A ．602x x <-<<或B ．602x x -<或C ．2x >D ．6x <-【答案】B【解析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【详解】解：不等式kx+b＞mx的解集为：-6＜x＜0或x＞2，故选B．【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．9．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸【答案】C【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.详解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题10．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____．【答案】a ＞1【解析】根据二次函数的图像，由抛物线y=ax 2+5的顶点是它的最低点，知a ＞1，故答案为a ＞1．12．如图，在△ABC 中，AB=5cm ，AC=3cm ，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于D 、E ，则△ACD 的周长为 cm ．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质得，BD=CD ，则AB=AD+CD ，所以，△ACD 的周长=AD+CD+AC=AB+AC ，解答出即可解：∵DE 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD ，∴AB=AD+BD=AD+CD ，∴△ACD 的周长=AD+CD+AC=AB+AC=8cm ；故答案为8考点：线段垂直平分线的性质点评：本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的周长，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等13．如图是利用直尺和三角板过已知直线l 外一点P 作直线l 的平行线的方法，其理由是__________．【答案】同位角相等，两直线平行．【解析】试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行考点:平行线的判定14．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．【答案】：k ＜1．【解析】∵一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，∴△=24b ac -=4﹣4k ＞0，解得：k ＜1，则k 的取值范围是：k ＜1．故答案为k ＜1．15．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，若S 四边形ABFE =9，则S 三角形EFC =________．【答案】3【解析】分析：由已知条件易得：EF ∥AB ，且EF ：AB=1：2，从而可得△CEF ∽△CAB ，且相似比为1：2，设S △CEF =x ，根据相似三角形的性质可得方程：194x x =+，解此方程即可求得△EFC 的面积. 详解：∵在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AB ，EF ：AB=1：2，∴△CEF ∽△CAB ，∴S △CEF ：S △CAB =1：4，设S △CEF =x ，∵S △CAB =S △CEF +S 四边形ABFE ，S 四边形ABFE =9，∴194x x =+， 解得：3x =，经检验：3x =是所列方程的解.故答案为：3.点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键. 16．如图，用10 m 长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积________m 1．【答案】2【解析】设与墙平行的一边长为xm ，则另一面为202x - ， 其面积=2201·1022x x x x -=--， ∴最大面积为241005042ac b a -== ； 即最大面积是2m 1．故答案是2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x1-1x+5，y=3x1-6x+1等用配方法求解比较简单．17．计算：2（a－b）＋3b＝___________．【答案】2a+b．【解析】先去括号，再合并同类项即可得出答案．【详解】原式=2a-2b+3b=2a+b．故答案为：2a+b．18．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为______．【答案】1：1．【解析】试题分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：1.考点：相似三角形的性质.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．求证：CF⊥DE于点F．【答案】证明见解析．【解析】根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．【详解】∵AD∥BE，∴∠A＝∠B．在△ACD和△BEC中∵，∴△ACD≌△BEC（SAS），∴DC＝CE．∵CF平分∠DCE，∴CF⊥DE（三线合一）．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC=CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．20．计算：()10154532π-⎛⎫-+︒--+ ⎪⎝⎭．【答案】1【解析】根据特殊角的三角函数值，零次幂的性质，负整指数幂的性质、绝对值的性质，进行实数的混合运算即可.【详解】()101532π-⎛⎫-︒--+ ⎪⎝⎭ =1+1-3+2=121．有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？【答案】规定日期是6天．【解析】本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设工作总量为1，规定日期为x 天，则若单独做，甲队需x 天，乙队需x+3天，根据题意列方程得1122133x x x x -⎛⎫++= ⎪++⎝⎭ 解方程可得x=6，经检验x=6是分式方程的解．答：规定日期是6天．22．先化简(31a +－a ＋1)÷2441a a a -++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 【答案】1.【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式=223111(2)a a a a -++⨯+-=2(2)(2)11(2)a a a a a -+-+⨯+-=22a a +--； 当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．23．在△ABC 中，AB=AC≠BC ，点D 和点A 在直线BC 的同侧，BD=BC ，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=110°，连接AD ，求∠ADB 的度数．（不必解答）小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图1），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=1．请直接写出线段BE的长为．【答案】（1）①△D′BC是等边三角形，②∠ADB=30°（1）∠ADB=30°；（3）7+3或7﹣3【解析】（1）①如图1中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC 是等边三角形；②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解决问题．（1）当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1）．（3）第①种情况：当60°＜α≤110°时，如图3中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出DE，即可得出结论；第②种情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】（1）①如图1中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=15°，在△ABD和△ABD′中，AB ABABD ABD BD BD'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，∵BD=BD′，BD=BC，∴BD′=BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，在△AD′B和△AD′C中，AD AD D B D C AB AC=⎧⎪=⎨⎪=''⎩'∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=12∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°．（1）∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤110°，如图3中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC=α，∴∠ABC=12（180°﹣α）=90°﹣12α，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=90°﹣12α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=90°﹣12α﹣β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°﹣12α﹣β+90°﹣12α=180°﹣（α+β），∵α+β=110°，∴∠D′BC=60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∴∠AD′B=12∠BD′C=30°，∴∠ADB=30°．（3）第①情况：当60°＜α＜110°时，如图3﹣1，由（1）知，∠ADB=30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB=30°，AD=1，∴DE=3，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'=BC=7，∴BD=BD'=7，∴BE=BD﹣DE=7﹣3；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=12（180°﹣α）=90°﹣12α，∴∠ABD=∠DBC﹣∠ABC=β﹣（90°﹣12α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD=∠ABD′=β﹣（90°﹣12α），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，∴∠D′BC=∠ABC﹣∠ABD′=90°﹣12α﹣[β﹣（90°﹣12α）]=180°﹣（α+β），∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B=∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，∴∠ADB=∠AD′B=150°，在Rt△ADE中，∠ADE=30°，AD=1，∴DE=3，∴BE=BD+DE=7+3，故答案为：7+3或7﹣3．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？【答案】（1）;（2）20分钟.【解析】（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），由题意得60=5a+15，解得a=9，则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．停止加热时，设y=（k≠0），由题意得60=，解得k=300，则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；（2）把y=15代入y=，得x=20，因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．25．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4924；（1）DE的长分别为92或1．【解析】（1）由比例中项知AM AEAE AN＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知DE DCDC AD＝，据此求得AE＝8﹣9 2＝72，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知AM DEAE DC＝，求得AM＝218，由求得AM AEAE AN＝MN＝4924；（1）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【详解】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴AM AEAE AN＝，∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，∵∠D＝90°，∴∠DCE＋∠DEC＝90°，∵EM⊥BC，∴∠AEM＋∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC＋∠AEN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ANE＋∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴DE DCDC AD＝，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝92，∴AE＝8﹣92＝72，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴AM DEAE DC＝，∴AM＝218，∵AM AEAE AN＝，∴AN＝143，∴MN＝4924；（1）∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝92；②∠ENM＝∠ECA，如图1，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，又tan∠HAE＝68 EH DCAH AD＝＝，设DE＝1x，则HE＝1x，AH＝4x，AE＝5x，又AE＋DE＝AD，∴5x＋1x＝8，解得x＝1，∴DE＝1x＝1，综上所述，DE的长分别为92或1．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．26．如图1在正方形ABCD 的外侧作两个等边三角形ADE 和DCF ，连接AF ，BE ．请判断：AF 与BE 的数量关系是，位置关系 ；如图2，若将条件“两个等边三角形ADE 和DCF”变为“两个等腰三角形ADE 和DCF ，且EA=ED=FD=FC”,第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；若三角形ADE 和DCF 为一般三角形，且AE=DF,ED=FC,第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．【答案】（1）AF=BE ，AF ⊥BE ；（2）证明见解析；（3）结论仍然成立【解析】试题分析：（1）根据正方形和等边三角形可证明△ABE ≌△DAF ，然后可得BE=AF ，∠ABE=∠DAF ，进而通过直角可证得BE ⊥AF ；（2）类似（1）的证法，证明△ABE ≌△DAF ，然后可得AF=BE ，AF ⊥BE ，因此结论还成立；（3）类似（1）（2）证法，先证△AED ≌△DFC ，然后再证△ABE ≌△DAF ，因此可得证结论．试题解析：解：（1）AF=BE ，AF ⊥BE ．（2）结论成立．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BA="AD" =DC ，∠BAD =∠ADC = 90°．在△EAD 和△FDC 中，,{,,EA FD ED FC AD DC ===∴△EAD ≌△FDC ．∴∠EAD=∠FDC ．∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA ，即∠BAE=∠ADF ．在△BAE 和△ADF 中，,{,,BA AD BAE ADF AE DF =∠=∠=∴△BAE ≌△ADF ．∴BE = AF ，∠ABE=∠DAF ．∵∠DAF +∠BAF=90°，∴∠ABE +∠BAF=90°，∴AF ⊥BE ．（3）结论都能成立．考点：正方形，等边三角形，三角形全等中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=27，CD=1，则BE的长是()A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=12AB=7在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+(7)2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键2．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．CDACB．BCABC．BDBCD．ADAC【答案】D【解析】根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案．【详解】cosα=BD BC CD BC AB AC==.故选D. 【点睛】熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.3．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。
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上海市浦东新区2021届初三一模数学试卷
2021.01
一、选择题
1. A 、B 两地的实际距离250AB =米，如果画在地图上的距离5A B ''=厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为（ ）
A. 1:500
B. 1:5000
C. 500:1
D. 5000:1 2. 已知在Rt ABC △中，90C ∠=，B α∠=，2AC =，那么AB 的长等于（ ） A.
2sin α B. 2sin α C. 2cos α
D. 2cos α 3. 下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. ()213y k x =-+ B. 21
1y x
=
+ C. ()()212y x x x =+-- D. 227y x x =- 4. 已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ） A. a e a = B. e b b = C.
1a e a
= D.
11a b a b =
5. 如图，在ABC △中，点D 、F 是边AB 上的点，点E 是边AC 上的点，如果ACD B ∠=∠，DE BC ∥，EF CD ∥，下列结论不成立的是（ ）
A. 2AE AF AD =⋅
B. 2AC AD AB =⋅
C. 2AF AE AC =⋅
D. 2AD AF AB =⋅
6. 已知点()1,2A 、()2,3B 、()2,1C ，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ） A. 点A 、B 、C B. 点A 、B C. 点A 、C D. 点B 、C
二、填空题
7. 如果线段a 、b 满足
52a b =，那么
a b
b
-的值等于 ； 8. 已知线段MN 的长为4，点P 是线段MN 的黄金分割点，那么较长线段MP 的长是 ； 9. 计算：2sin30tan 45-= ；
10. 如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 度； 11. 已知AD 、BE 是ABC △的中线，AD 、BE 相交于点F ，如果3AD =，那么
AF = ；
12. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为 ；
13. 如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向 ； （填“向上”或“向下”）
14. 如果()12,y 、()23,y 是抛物线()2
1y x =+上两点，那么1y 2y ；（填“>”或“<”） 15. 如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC △的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知ABC △的边BC 长60厘米，高AH 为40厘米，如果2DE DG =，那么DG = 厘米；
16. 秦九昭的《数学九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，12AC =，5BC =，AD AB ⊥，0.4AD =，过点D 作DE AB ∥交CB 的延长线
于点E ，过点B 作BF CE ⊥交DE 于点F ，那么BF = ；
17. 如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”，现将抛物线()2
1:11C y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为()3,3，那么新抛物线2C 的表达式为 ；
18. 如图，ABC △中，10AB =，12BC =，8AC =，点D 是边BC 上一点，且:2:1BD CD =，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC △分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、
AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为 ；
三、解答题 19. 已知向量关系式()
1
32
a x
b x -=+，试用向量a 、b 表示向量x .
20. 已知抛物线223y x x m =++-的顶点在第二象限，求m 的取值范围.
21. 如图，已知AD BE CF ∥∥，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，且6AB =，8BC =. （1）求
DE
DF
的值； （2）当5AD =，19CF =时，求BE 的长.
22. 如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD ，现将一根木棒MN 放置在该燕尾槽中，木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N 与点C 重合，且经过点A ，已知燕尾角，54.5B ∠=外口宽180AD =毫米，木棒与外口的夹角26.5MAE ∠=，求燕尾槽的里口宽BC 。
（精确到1毫米）
【参考数据：sin54.50.81≈，cos54.50.58≈，tan54.5 1.40≈，sin 26.50.45≈，cos26.50.89≈，tan 26.50.50≈】
23. Rt ABC △中，90ACB ∠=，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD CA =，DE AB ⊥. （1）求证：2CA CE CB =⋅；
（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ，求证：CH AB ⊥.
24. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像经过点()2,4A 、()5,0B 和()0,0O .
（1）求二次函数的解析式；
（2）联结AO ，过点B 作BC AO ⊥于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求BAP ∠的余切值；
（3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO △与ABP △相似时，求点M 的坐标.
25. 四边形ABCD 是菱形，90B ∠≤，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF AE ⊥，
EF 与边CD 交于点F ，且3EC CF =.
（1）如图1，当90B ∠=时，求ABE S △与ECF S △的比值； （2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；
（3）如图3，联结AF ，当AFE B ∠=∠且2CF =时，求菱形的边长.
参考答案一、选择题
二、填空题
=-13
AB b a
26
17
25
三、解答题。