动点问题与特殊平行四边形(1)

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北师版九年级数学上册第1章特殊平行四边形中的旋转、最值、动点问题专题训练 (含答案)

(2)∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE＝ AC＝，∴BD＝BE－DE＝－1
6.解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．
二、最值问题
7．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为( )
A．2 B．4
∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，
∴点O为正方形的角平分线的交点，
∴直线EG必过正方形角平分线的交点
20.解：(1)BG＝DE，BG⊥DE，证明如下：
延长BG交DE于点H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，
(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？
24.已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为点E，F，点Q为斜边AB的中点．
(1)如图①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式是；
(2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

特殊平行四边形动点问题解题技巧

特殊平行四边形动点问题解题技巧《特殊平行四边形动点问题解题技巧：和动点斗志斗勇的日子》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠特殊平行四边形动点问题解题技巧这档子事儿。

咱就说，遇到这种动点问题啊，就像是和一个调皮的小精灵在玩捉迷藏。

它一会儿在这儿，一会儿又跑那儿去了，让人是又好气又好笑。

但咱可不能被它给吓住，得和它斗智斗勇才行。

首先呢，咱得有双“火眼金睛”，能快速地找出题目中的关键信息。

比如这个动点的运动轨迹是啥呀，是沿着边跑，还是在对角线上蹦跶。

这就像是找到了小精灵的行动路线，心里就有底了。

然后呢，咱得学会“以静制动”。

别管它怎么动，咱就把它当成静止的来分析。

比如说，在某个时刻，它在这个位置，那这个时候的图形有啥特点，跟其他条件一结合，能得出啥结论。

嘿，就这么一分析，好像那小精灵也不那么调皮了。

还有啊，要多画画图。

有时候光靠脑子想是不行滴，得动手画出来。

看着那图形在笔下一点点呈现，感觉就像在掌控整个局面一样。

而且呀，多画几种不同时刻的图，说不定就能找到规律，那小精灵的小把戏也就不攻自破啦。

再说说解题的时候，那可得思路清晰啊。

把各种条件、结论像串珠子一样串起来，可不能乱了套。

这就好比在给小精灵设陷阱，让它乖乖地掉进咱的圈套里。

咱还得有点“大胆假设”的精神。

碰到难题别退缩，大胆地去猜测一下，说不定还就猜中了呢。

就算没猜中，那也没啥损失呀，就当给大脑做个热身运动了。

总之，面对特殊平行四边形动点问题，咱可不能怕。

就把它当成一场有趣的挑战，和那个调皮的小精灵好好过过招。

只要咱掌握了这些解题技巧，再加上一点点细心、耐心和恒心，那小精灵最后还不得乖乖就范。

所以呀，大家都别怕，大胆地去和动点战斗吧！让我们在解题的海洋里畅游，享受那份攻克难题后的喜悦和成就感！加油哦，朋友们！。

第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC，PE//AB．(1)用a表示四边形ADPE的周长为．(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由．(3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；(3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；(2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由．4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论．(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．(1)CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；(2)当OD=______时，直线CD平分线段AF；(3)在OD=2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°)，求当C、D、E共线时D的坐标．6.如图在正方形ABCD中，边长为3，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N．(1)当点P与C、D重合时，DM2+BN2的值分别为______、______；(2)当点P不与D、C重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．7.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图②，线段CF、BD之间的数量关系为______，位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③，线段CF、BD之间的数量，位置关系是否成立？______(填“是”或“否”)．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC=3，AB=6．(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为______ ；(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．9.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE。

中考数学压轴题专题07几何图形动点运动问题(学生版+解析版)

专题七几何图形动点运动问题【考题研究】几何动点运动问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究．对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用．动态问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中．【解题攻略】几何动点运动问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换(含三角形的全等与相似)的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想．【解题类型及其思路】动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题,利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。

解题类型：几何动点运动问题常见有两种常见类型：(1)利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程；(2)根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题【典例指引】类型一【探究动点运动过程中线段之间的数量关系】【典例指引1】在△ABC中，∠ACB＝45°，点D为射线BC上一动点（与点B、C不重合），连接AD，以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，判断∠BAD∠CAF（填“＝”或“≠”），并证明：CF⊥BD（2）如果AB≠AC，且点D在线段BC的延长线上运动，请在图2中画出相应的示意图，此时（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）设正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，若AC＝42，CD＝2，求线段CP的长．【举一反三】如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________类型二【确定动点运动过程中的运动时间】【典例指引2】已知：如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的项点B的坐标是(6,4).（1）直接写出A点坐标（______，______），C点坐标（______，______）；P m，且四边形OADP的面积是（2）如图，D为OC中点.连接BD，AD，如果在第二象限内有一点(),1∆面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；ABC（3）如图，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N从点A出发.以每秒2t>，在M，个单位的連度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒()0N运动过程中.当5MN=时，直接写出时间t的值.【举一反三】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB ＝3，BC ＝5，点P 从点A 出发，沿AD 以每秒1个单位的速度向终点D 运动．连结PO 并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长，（用含t 的代数式表示）（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值（3）当点O 在线段AP 的垂直平分线上时，直接写出t 的值．类型三【探究动点运动过程中图形的形状或图形之间的关系】【典例指引3】已知矩形ABCD 中，10cm AB =，20cm BC =，现有两只蚂蚁P 和Q 同时分别从A 、B 出发，沿AB BC CD DA =--方向前进，蚂蚁P 每秒走1cm ，蚂蚁Q 每秒走2cm ．问：（1）蚂蚁出发后△PBQ 第一次是等腰三角形需要爬行几秒?（2）P 、Q 两只蚂蚁最快爬行几秒后，直线PQ 与边AB 平行?如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（AO<AB）且AO、AB的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1:2.（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．类型四【探究动点运动过程中图形的最值问题】【典例指引4】如图，抛物线y＝ax2﹣34x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P 在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PM⊥BC交AB于点M，过点Q作QN⊥BC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题：（1）当t为何值时，点M是边AB中点?（2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【新题训练】1．如图①，△ABC是等边三角形，点P是BC上一动点（点P与点B、C不重合），过点P作PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，连接BN、CM．（1）求证：PM+PN＝BC；（2）在点P的位置变化过程中，BN＝CM是否成立？试证明你的结论；（3）如图②，作ND∥BC交AB于D，则图②成轴对称图形，类似地，请你在图③中添加一条或几条线段，使图③成轴对称图形（画出一种情形即可）．2．如图，在矩形ABCD中，AB=18，AD=12，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点G，点E，F分别是CD与DG上的点，连结EF，(1)求证：CG=2AG.(2)若DE=6，当以E，F，D为顶点的三角形与△CDG相似时，求EF的长.(3)若点E从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C运动，点F从点G出发，以每秒1个单位的速度向点D运动.当一个点到达，另一个随即停止运动.在整个运动过程中，求四边形CEFG的面积的最小值.3．知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起，让两个30°角合在一起成60°，经过拼凑、观察、思考，探究出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图，等边三角形ABC的边长为4cm，点D从点C出发沿CA向A运动，点E从B出发沿AB的延长线BF 向右运动，已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动，运动过程中DE与BC相交于点P，设运动时间为x秒．(1)请直接写出AD长．（用x的代数式表示）(2)当△ADE为直角三角形时，运动时间为几秒？(3)求证：在运动过程中，点P始终为线段DE的中点．4．如图所示，已知抛物线2(0)y ax a =≠与一次函数y kx b =+的图象相交于(1,1)A --，(2,4)-B 两点，点P 是抛物线上不与A ，B 重合的一个动点.（1）请求出a ，k ，b 的值；（2）当点P 在直线AB 上方时，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，设点P 的横坐标为m ，PC 的长度为L ，求出L 关于m 的解析式；（3）在（2）的基础上，设PAB ∆面积为S ，求出S 关于m 的解析式，并求出当m 取何值时，S 取最大值，最大值是多少？5．已知：如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．点P 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm /s ，同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为2cm /s ，过点Q 作QM ∥AB 交AC 于点M ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，∠CPM ＝90°；（2）是否存在某一时刻t ，使S 四边形MQCP ＝ABCD 1532S 矩形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，点P 在∠CAD 的角平分线上．6．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为；问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置?7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积．8．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．（1）①依据题意补全图形；②猜想OE与OF的数量关系为_________________.（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．……请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．9．（1）（问题情境）小明遇到这样一个问题：如图①，已知ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上中点，60ADE ∠=︒，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在的直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现：过D 作//DF AC ，交AB 于F ，构造全等三角形，经推理论证问题得到解决．请直接写出AD 与DE 的数量关系，并说明理由．（2）（类比探究）如图②，当D 是线段BC 上（除,B C 外）任意一点时（其他条件不变）试猜想AD 与DE 的数量关系并证明你的结论．（3）（拓展应用）当D 是线段BC 上延长线上，且满足CD BC =（其他条件不变）时，请判断ADE ∆的形状，并说明理由．10．如图，直线y =﹣23x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =ax 2+103x +c 经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标；（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．11．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点P 是边CD 上一动点，作直线BP ，过A 、C 、D 三点分别作直线BP 的垂线段，垂足分别是E 、F 、G ．（1）如图（a ）所示，当CP ＝3时，求线段EG 的长；（2）如图（b ）所示，当∠PBC ＝30°时，四边形ABCF 的面积；（3）如图（c ）所示，点P 在CD 上运动的过程中，四边形AECG 的面积S 是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC 为多少度时，S 有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．12．已知：如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm BC =，OD 垂直平分A C .点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作PE AB ⊥，交BC 于点E ，过点O 作//QF AC ，分别交AD ，OD 于点F ，G .连接OP ，EG .设运动时间为()t s ()05t <<，解答下列问题：(1)当t 为何值时，点E 在BAC ∠的平分线上？ (2)设四边形PEGO 的面积为()2mS c ，求S 与t 的函数关系式.(3)连接OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OE OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.13．已知：如图1，矩形OABC 的两个顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标是（8，2），点P 是边BC 上的一个动点，连接AP ，以AP 为一边朝点B 方向作正方形P ADE ，连接OP 并延长与DE 交于点M ，设CP ＝a （a ＞0）．（1）请用含a 的代数式表示点P ，E 的坐标．（2）连接OE ，并把OE 绕点E 逆时针方向旋转90°得EF ．如图2，若点F 恰好落在x 轴的正半轴上，求a 与EMDM的值．（3）①如图1，当点M 为DE 的中点时，求a 的值．②在①的前提下，并且当a ＞4时，OP 的延长线上存在点Q ，使得EQ +22PQ 有最小值，请直接写出EQ +22PQ 的最小值．14．如图，边长为6的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AD AB 上的点，AP BE ⊥，P 为垂足．（1）如图①， AF =BF ，AE =23，点T 是射线PF 上的一个动点，则当△ABT 为直角三角形时，求AT 的长；（2）如图②，若AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．15．边长相等的两个正方形ABCO 、ADEF 如图摆放，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连AG ，已知OA 长为3. （1）求证：AOG ADG ∆≅∆;（2）若12∠=∠，AG =2，求点G 的坐标；（3）在（2）条件下，在直线PE 上找点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出点M 的坐标.16．定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“梦想四边形”。

中考数学专题17 函数动点问题中平行四边形存在性(解析版)

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x xy y y y+=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y= 234ax x c++经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当△BEC的面积最大时，求出点E的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234ax x c ++得： 16303a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：233384y x x =-++.（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334x -+），∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+∴S △BEC =12×EM ×OC =2EM=2(23382x x -+)=()23234x --+,∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )①当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3，即P (－3，218-)； ②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； ③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，158)；综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标；（2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，∴Q，3)或(1，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), ∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， ∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5，设H (m ，m 2－4m －5)， ∵FH ⊥CE ， ∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ， S 四边形CHEF =12·FH ·CE =12（－m 2+5m ）×4 =－2（m －52）2+252，当m =52时，四边形CHEF 的面积取最大值252，此时H (52，354-).（3）设M （2，m ），N (n ，kn)，B (5,0)，C (0，－5)， ①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +kn=0－5，即n =3，设BC 与MN 交于点H ，则H (52，52-)，MH =12BC =2，∴222552222m ⎛⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3， ②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)，可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-，由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-，解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上， ∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ，设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， ∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n n ，故点M 的坐标为：0），0），（12，0），（12-，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y =34-x 294-x +3. （2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =334x +， ∵点P 的横坐标为t ， ∴M (t ,334t +)， ∵PN ∥y 轴， ∴∠PMC =∠MCO ， ∵MC 平分∠PMO ， ∴∠PMC =∠OMC ， ∴∠MCO =∠OMC ，即OM =OC =3，∴OM 2=9，即223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：t =0（舍）或t =7225，∴当MC 平分∠PMO 时，t =7225. （3）设P (t , 34-t 294-t +3)， ①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，334t +),∴PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ，由勾股定理得：CD =54t -，∴34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-，即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536； ②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3， ∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0，解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2；（2）以AC 为边或对角线分类讨论： A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝23-x 243-x +2的对称轴为x ＝﹣1，设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =23-m 243-m +2 ①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩，解得：m =2，y M =103-，即M (2，103-)； ②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m =－4，y M =103-，即M (－4，103-)； ③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)；综上所述，点M 的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）． 2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，①当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，∴n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；②当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：410Fn m y =+⎧⎨=+⎩,即n =3，F 点坐标为（3，52）；综上所述：点F 的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）． 3.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M ，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴 ∴点E 的纵坐标为2， ∵点E 在直线y ＝﹣x 上， ∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1，设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-；即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-；即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2；即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣1），（﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：∠APO=∠MAH，∴tan∠APO= tan∠MAH，即OA MHOP AH=2，∴OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，∴T(0，92 )；②当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=m=－（舍），∴点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y=43x2﹣83x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， ∴点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4）， S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ， ∴AP =AQ =QE =EP ， ∴四边形AQEP 为菱形， ∵FQ ∥OC ，∴AF FQ AQOA OC AC ==， ∴345AF FQ t ==∴AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ），∵E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上，∴﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4，∴t =14564或t =0（舍去）， ∴E （﹣58，﹣2916）．8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c=-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得： 21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++，∴MN =2712(2)22t t t -++--+=2(2)4t --+， ∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：13a b =-⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4. （2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>32，∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，∴2m－3=|－m2+3m+4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点， ∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上， ∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3. （2）存在，E （0，－3），∴DE =4，由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)， ∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m =或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），，）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-，∴抛物线的解析式为：239344y x x =-++，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， ∴4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， ∴直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)，AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+，∵BC ∥y 轴， ∴43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， ∴CE =()344m -，AE =()544m -， ∵∠DF A =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ， ∴△DFE ∽△ACE ， ∵S 1=4S 2， ∴AE =2DE ，即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56，即m 的值为56.（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+，2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，∴MG =4-2m ，由45MG EG =得：EG =()5424m -, ∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴当m =13时，C 最大，此时n =113，即G (113，14)，E (13，114), 由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (13，114),E (113，14)，综上所述，G 点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ． ①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）①过点M作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∵DE⊥x轴，D（1，4），B（3，0），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵∠MBA＝∠BDE，∴tan∠MBA＝tan∠BDE＝12，∴2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）∴满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；②∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴OP＝1，由∠QPM=∠MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m或m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

人教版八年级下册数学《平行四边形》动点问题带答案

《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD△AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连接MP ，作△MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（）A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合B ．当CQ=4时，△MPA=30°C ．当PD=57时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 【答案】C2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上，AF=6cm ，BF=12cm ，△FBM=△CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形．【答案】3或5秒3. 已知四边形ABCD ，△ABC=45°，△C=△D=90°，含30°角（△P=30°）的直角三角板PMN （如图）在图中平移，直角边MN△BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。

【答案】27△当P点有8个时，x=22-2；△当△PEF是等边三角形时，P点有4个A．△△B．△△C．△△D．△△【答案】B6.如图，在△ABCD中，AB=8cm，BC=16cm，△A=60°．点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿BC边向点C运动，点E运动速度为2cm/s，点F的运动速度为1cm/s，它们同时出发，同时停止运动，经过s时，EF=AB．7.如图，一根竹竿AB，斜靠在竖直的墙上，P是AB中点，A′B′表示竹竿AB端沿墙上、下滑动过程中的某个位置，则在竹竿AB滑动过程中OP（）A．下滑时，OP增大B．上升时，OP减小C．无论怎样滑动，OP不变D．只要滑动，OP就变化【答案】C8.如图，E是△ABCD边AD上动点，连接CE作△ECDN，过A点作AM△EN，交EN延长线于点M，作矩形AMEF，动点E从A出发，沿着AD方向运动到终点D，在整个运动变化的过程中，记△ECDN的面积为S2，矩形AMEF的面积为S1，则S1+S2大小变化情况是（）A．一直在减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小【答案】C9. 如图，在矩形OAHC 中，OC=8，OA=12，B 为CH 中点，连接AB ．动点M 从点O 出发沿OA 边向点A 运动，动点N 从点A 出发沿AB 边向点B 运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM ，CN ，MN ，设运动时间为t （秒）（0＜t ＜10）．则t= 时，△CMN 为直角三角形．【答案】27或424141 10. 如图，已知矩形ABCD ，AB=8，AD=4，E 为CD 边上一点，CE=5，点P 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA 边向终点A 运动，连接PE ，设点P 运动的时间为t 秒，则当t 的值为时，△PAE 是以PE 为腰的等腰三角形．动点．若点P 从点F 出发，沿F→A→D→C 的路线运动，当△FPE=30°时，FP 的长为__________。

2022-2023学年北师大版九年级数学上学期基础知识讲练1-13 特殊平行四边形动点问题

专题1.13 特殊平行四边形动点问题（专项练习）一、单选题类型一、菱形动点问题1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为()A．4B．245C．6D．4852．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（）A．1B．1.5C．2D．33．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，⊥A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形C．平行四边形—矩形—菱形—矩形D．平行四边形—菱形—平行四边形类型二、矩形动点问题5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将⊥CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）A．2B．1C．2D．36．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（）A．由小变大B．由大变小C．先变大后边小D．先变小后变大7．如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则BAD DOCADO∠+∠∠的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将⊥DCE沿DE所在直线折叠得到⊥DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（）A．52或2B．52C．32或2D．32类型三、正方形动点问题9．如图，正方形ABCD的面积为225cm，点E为BC边上一动点，点F为CD边上一动点，连接AE、AF，点E和点F在运动的过程中始终保持45EAF∠=︒，则CEF∆的周长（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP 于点E．连接EC，若CE CD=，则⊥CDE的面积是（）A．18B．413C．63D．14.411．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动点（不与A重合），以线段AE为边在正方形内作等边⊥AEF，M是边EF的中点，连接PM，则在点E运动过程中，PM的最小值是（）A．332B．532C．7D．312．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H ，连接BH ，那么BHAE 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题类型一、菱形动点问题13．如图（1）是一张菱形纸片，其中135A ∠=︒，1AB =，点E 为BC 边上一动点．如图（2），将纸片沿AE 翻折，点B 的对应点为B '；如图（3），将纸片再沿AB '折叠，点E 的对应点为E '．当AE '与菱形的边垂直时，BE 的长为______．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．15．如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60︒得到CBD ，E ，F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，且AE CF =，有以下结论：⊥四边形ABDC 为菱形；⊥≅ABE CBF ；⊥BEF 为等边三角形；⊥CFB CGE ∠=∠．其中正确结论有__________．（填序号）16．如图，点E 是菱形ABCD 边AB 的中点，点F 为边AD上一动点，连接EF ，将⊥AEF 沿直线EF 折叠得到⊥A 'EF ，连接A 'D ，A 'C ．已知 BC ＝4，⊥B ＝120°，当⊥A 'CD 为直角三角形时，线段AF 的长为______．类型二、矩形动点问题17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．点E 是BC 边上一动点，连接AE ．将⊥ABE沿AE 翻折得到⊥AEF ，连接DF ．当⊥ADF 的面积为52时，线段BE 的长为______．18．已知矩形ABCD 中，AB ＝6．点E 为AD 上一个动点，连接CE ，将CDE △沿CE 折叠，点D 落在点F 处，当点F 为线段AB 的三等分点时，AE 的长为______．19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，当点E 到达点D 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BP ，垂足为点P ，连接CP ，则CP 长的最小值为________．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，若点C 的对应点C ′刚好落在线段AB 的垂直平分线上，则CE 的长度为_____．类型三、正方形动点问题21．如图，在正方形ABCD 中，点P ，Q 分别是AB ，AD 的中点，点E 是CD 边上一个动点，连接PE ，将四边形PBCE 沿PE 折叠，得到四边形PEFH ．（1）若P ，H ，Q 三点在同一条直线上，则BPE ∠的大小为______°；（2）若2AB =，则F ，Q 两点的连线段的最小值为______．22．如图，正方形ABCD 的边长为3，点G 在边AD 上，GD ＝1，GH ⊥BC 于点H ，点E 是边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），EF ⊥CD 于点F ，交GH 于点Q ，点O 、P 分别是EH 和GQ 的中点，连接OP ，则线段OP 的长度为__________．23．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DC 上的动点，且EF ＝4，Q 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则PQ +PB 的最小值是_____．24．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．三、解答题25．如图，将正方形AOBC 放在平面直角坐标系中，点O 是坐标系原点，A 点坐标为（-1，3）．(1)求出点B 、C 的坐标：(2)在x 轴上有一动点Q ，过点Q 作PQ ⊥x 轴，交BC 于点P ，连接AP ，将四边形AOBP 沿AP 翻折，当点O 刚好落在y 轴上点E 处时，求点P 、D 的坐标．26．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，动点P从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时，点Q 从点C 出发，以lcm/s 的速度沿CD 向点D 移动（点P 到达点B 停止时，点Q 也随之停止运动），设点P 运动时间为t 秒．（1）试求当t 为何值时四边形APQD 为矩形；（2）P 、Q 两点出发多长时间，线段PQ 的长度为5cm ．27．已知矩形ABCD 中，E 是AD边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点．（1）求证：BGF FHC ≌；（2）当E 是AD 的中点时，四边形EHFG 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论．28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，⊥DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：⊥当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；⊥当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．参考答案1．B【分析】连接BP，通过菱形ABCD的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出PE PF的值．解：连接BP，如图，⊥菱形ABCD的周长为20，⊥AB=BC=20÷4=5，又⊥菱形ABCD的面积为24，⊥SABC=24÷2=12，又SABC= SABP+SCBP⊥SABP+SCBP=12，⊥111222AB PF BC PE += ， ⊥AB =BC ，⊥()1122AB PE PF += ⊥AB =5，⊥PE +PF =12×25=245．故选：B ．【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．2．B【分析】利用三角形中位线性质求解即可.解：⊥M 、N 分别是线段AE 、AF 的中点，⊥12MN EF =， ⊥点E 在BC 边上从点B 向点C 移动，⊥当点E 运动到点C 的位置时，EF 最小，此时，EF =4-1=3，⊥线段MN 的最小值为1.5.故选：B【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E 运动到点C 的位置时EF 最小是解答此题的关键.3．D【分析】由▱ABCD ，得EB ∥FD ，再证⊥BOE ⊥△DOF （AAS ），得BE =DF ，即可得出四边形BEDF 是平行四边形，可以判定A ；当t =4时，则AE =2t =8，证⊥ADE 是等边三角形，DE =AE =8，再因四边形DEBF 是平行四边形，所以四边形DEBF 是菱形，可判定B ；当t =2时，则AE =2t =4，同理可得四边形DEBF 是菱形，可判定C ；当t ＝6时，则AE =2t =12，在AE 上截取AG =AD =8，连接DG ，证⊥BED >120°≠90°，所以四边形DEBF 不可能是正方形，可判定D ．解：A 、⊥▱ABCD ，⊥AB ∥CD ，即EB ∥FD ，⊥⊥BEO =⊥DFO ，⊥EBO =⊥FDO ，⊥OB=OD，⊥⊥BOE⊥△DOF（AAS），⊥BE=DF，⊥四边形BEDF是平行四边形，故此选项正确，不符合题意；B、当t=4时，则AE=2t=8，⊥AD⊥BD，⊥⊥ADB=90°，在Rt△ABD中，⊥ADB=90°，⊥A=60°，⊥⊥ABC=30°，⊥AD=12AB=8，⊥AD=AE，⊥⊥ADE是等边三角形，⊥DE=AE=8，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是菱形；故此选项正确，不符合题意；C、当t=2时，则AE=2t=4，⊥4182AEAD==，81162ADAB==，AE ADAD AB=，⊥⊥A=⊥A，⊥⊥ADE⊥⊥ABD，⊥⊥AED=⊥ADB=90°，⊥⊥BED=90°，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是矩形；故此选项正确，不符合题意；D、当t＝6时，则AE=2t=12，在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，⊥⊥A=60°，⊥⊥ADG是等边三角形，⊥⊥AGD=60°，⊥⊥AED<60°，⊥⊥BED>120°≠90°，⊥四边形DEBF不可能是正方形；故此选错误，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．4．B【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形．解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边形—矩形故选：B．【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．B【分析】由矩形的性质得出⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：⊥四边形ABCD是矩形，⊥⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，⊥DC'E=⊥C=90°，⊥⊥AC'D=90°，⊥AC，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．B【分析】连接DP，则EF为⊥CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．解：连接DP，⊥E为CD中点，F为CP中点，⊥EF为⊥CDP的中位线，DP，⊥EF＝12在Rt⊥DAP中，由勾股定理得，DP当点P由B向A运动时，AP的长度逐渐减小，⊥DP减小，⊥EF由大变小，故选：B．【点拨】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．7．A【分析】过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，由平行的性质可知,BAD ADE DOC ODE ∠=∠∠=∠，等量代换可得BAD DOC ADO∠+∠∠的值. 解：如图，过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，四边形ABCO 是矩形//AB OC∴//DE AB //,//AB DE DE OC ∴,BAD ADE DOC ODE ∴∠=∠∠=∠1BAD DOC BAD DOC BAD DOC ADO ADE ODE BAD DOC∠+∠∠+∠∠+∠∴===∠∠+∠∠+∠故选：A. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.8．B【分析】由矩形的性质得到CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，⊥A =90°，根据已知条件推出四边形MNCD的矩形，得到⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5，根据折叠的性质得到C ′D ＝CD ＝5，C′E=CE ，根据勾股定理得到MC ′3，再由勾股定理即可得到结论．解：设CE ＝x ，则C ′E ＝x ，⊥矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，⊥CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，AD ⊥BC ，⊥点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM ＝AD ，BN ＝AM ，⊥DM ＝CN ＝4，⊥四边形CDMN 为平行四边形，⊥⊥NCD ＝90°，⊥四边形MNCD 是矩形，⊥⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5由折叠知，C ′D ＝CD ＝5，⊥MC ′3，⊥C ′N ＝5﹣3＝2，⊥EN ＝CN ﹣CE ＝4﹣x ，⊥C ′E 2﹣NE 2＝C ′N 2，⊥x 2﹣（4﹣x ）2＝22，解得，x ＝52，即CE ＝52．故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9．A【分析】先根据正方形的性质得AB =AD =5cm ，⊥BAD =⊥B =90°，把⊥ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到⊥ABG ，接着利用“SAS ”证明 EAG EAF ≌，得到EG =EF =BE +DF ，然后利用三角形周长的定义得到△CEF 的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD ，由此即可解决问题．解：⊥四边形ABCD 为正方形，⊥AB =AD ，⊥BAD =⊥B =90°，又正方形ABCD 的面积为225cm ，⊥5cm AB BC CD DA ====⊥把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到△ABG ，如图，⊥AG =AF ，BG =DF ，⊥GAF =90°，⊥ABG =⊥B =90°，⊥点G 在CB 的延长线上，⊥⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥GAF -⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥ EAG EAF ≌（SAS ），⊥EG =EF ，而EG =BE +BG =BE +DF ，⊥EF =BE +DF ，⊥CEF △的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD =5+5=10cm ．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题．10．D【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE 和△DCF 全等，然后即可得到CF 和DE 的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF 和DE 的关系，再根据勾股定理可以得到DF 2的值，然后即可计算出△CDE 的面积．解：作CF ⊥ED 于点F ，如图所示，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝DC ，⊥CDA ＝90°，⊥⊥ADE +⊥FDC ＝90°，⊥CF ⊥DE ，CD ＝CE ，⊥EF ＝DF ＝12DE ，⊥CFD ＝90°，⊥⊥FDC +⊥DCF ＝90°，⊥⊥ADE ＝⊥DCF ，在△ADE 和△DCF 中，AED DFC ADE DCF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，⊥⊥ADE⊥⊥DCF（AAS），⊥DE＝CF，⊥DF＝12CF，⊥⊥CFD＝90°，CD＝6，⊥DF2+CF2＝CD2，即DF2+（2DF）2＝62，解得DF2＝7.2，⊥S△CDE＝2222DE CF DF DF⋅⋅=＝2DF2＝2×7.2＝14.4，故选：D．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．11．A【分析】连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小，于是得到当P，F，M三点共线时，PM的值最小，连接AM，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，⊥EAM=30°，求得⊥P AM=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．解：如图，连接AM，⊥P是边AD的中点，AD=6，⊥AP=3，连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小⊥此时P，F，M三点共线时连接AM，⊥⊥AEF是等边三角形，M是边EF的中点，⊥AM⊥EF，⊥EAM=30°，⊥⊥P AM=60°，⊥PM AP = 故选 A ．【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．12．B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明⊥DAE ⊥⊥ENH ，得AE =HN ，AD =EN ，再说明⊥BNH 是等腰直角三角形，可得结论．解：如图，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ，，⊥AD =AB ，⊥DM =BE ，⊥点A 关于直线DE 的对称点为F ，⊥⊥ADE ⊥⊥FDE ，⊥DA =DF =DC ，⊥DFE =⊥A =90°，⊥1=⊥2，⊥⊥DFG =90°，在Rt ⊥DFG 和Rt ⊥DCG 中，⊥DF DC DG DG=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥DFG ⊥Rt ⊥DCG （HL ），⊥⊥3=⊥4，⊥⊥ADC =90°，⊥⊥1+⊥2+⊥3+⊥4=90°，⊥2⊥2+2⊥3=90°，⊥⊥2+⊥3=45°，即⊥EDG =45°，⊥EH ⊥DE ，⊥⊥DEH =90°，⊥DEH 是等腰直角三角形，⊥⊥AED +⊥BEH =⊥AED +⊥1=90°，DE =EH ，⊥⊥1=⊥BEH ，在⊥DME 和⊥EBH 中，⊥1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DME ⊥⊥EBH （SAS ），⊥EM =BH ，Rt ⊥AEM 中，⊥A =90°，AM =AE ，⊥EM =，⊥BH ，即BHAE．故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．13【分析】分AE BC '⊥和AE AB '⊥两种情况求解即可．解：⊥当AE BC '⊥时，如图1，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥135C BAD ∠=∠=︒，180C B ∠+∠=︒，BC //AD ，⊥45B ∠=︒，90DAF ∠=︒，⊥1359045BAF ∠=︒-︒=︒，⊥45B BAF ∠=∠=︒，⊥AF =BF ，在Rt BAF ∆中，222,1AB AF BF AB =+=，⊥1)AF BF AB ==== 由折叠得，⊥114515,33BAE EAB B AE BAE ''''︒︒=∠=∠=∠=⨯= ⊥⊥151530EAE EAB B AE ︒︒︒''+'=∠+∠==，又tan ,EF EAF AF∠=⊥tan EF AF EAF =⋅∠=，⊥BE BF EF =-== ⊥当AE AB '⊥时，如图2，即⊥90BAE '︒=，⊥⊥''30B AE B AE BAE ︒∠'=∠=='，过点E 作EG AB ⊥于点G ，则,EG BG AG ==，又⊥AB BG AG =+，1EG =，⊥1EG =， ⊥BE ==综上，BE【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．14．1【分析】取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，当P 与P '重合，P '、E '、F 三点在同一直线上时，PF ﹣PE '有最大值，即为FE '的长．解：如图，取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，⊥PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，⊥在菱形ABCD中，⊥ABC＝120°，⊥⊥ABD＝60°，⊥DAB＝60°，⊥⊥ABD为等边三角形．⊥AB＝BD＝AD＝4．⊥OD＝OB＝2．⊥点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，⊥BF1AB＝1，4⊥⊥ABD＝60°，⊥⊥BE'F为等边三角形，⊥E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．15．⊥⊥⊥⊥【分析】⊥由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；⊥利用SAS即可判定△ABE⊥⊥CBF；⊥由全等三角形的性质可知BE=BF，⊥ABE=⊥CBF，再结合⊥ABC=⊥ABE+EBC=60°，即可求出⊥EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形；⊥由⊥CFB=⊥CFG+⊥BFG，⊥CGE=⊥CFG+FCG即可判断．解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故⊥正确．⊥在△ABE和△CBF中，AB CB BAE BCF AE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥ABE ⊥⊥CBF （SAS ），故⊥正确；⊥⊥ABE ⊥⊥CBF ，⊥BE =BF ，⊥ABE =⊥CBF ，⊥⊥ABC =⊥ABE +⊥EBC =60°，⊥⊥CBF +⊥EBC =60°，即⊥EBF =60°，⊥⊥BEF 为等边三角形，故⊥正确；⊥⊥CFB =⊥CFG +⊥BFG ，⊥CGE =⊥CFG +FCG ，⊥FCG =⊥BFG =60°，⊥⊥CFB =⊥CGE ，故⊥正确；综上，⊥⊥⊥⊥都正确，故答案为：⊥⊥⊥⊥．【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键．16．2或2【分析】分当=90CA D '︒∠时和当=90A DC '︒∠时两种情况讨论求解即可．解：如图1所示，当=90CA D '︒∠时，取CD 中点H ，连接A H '， ⊥1=2A H CD DH '=， ⊥四边形ABCD 是菱形，E 为AB 中点， ⊥1122AE AB CD A H '===，⊥A =180°-⊥B =60°，AB CD ，由折叠的性质可知AE A E '=，AF A F '=，AEF A EF '∠=∠⊥A E A H AB AD ''+==，连接EH ，⊥=AE DH A H '=，AE DH ∥⊥四边形AEHD 是平行四边形，⊥=120AEH B =︒∠∠，AD EH =，⊥由三角形三边的关系可知，当点A '不在线段EH 上时，必有A E A H EH AD ''+>=，这与A H A E CD AD ''+==矛盾，⊥E 、A '、H 三点共线，⊥=60AEF A EF '=︒∠∠，⊥⊥AEF 为等边三角形， ⊥11222AF AE AB BC ====；如图2所示，当=90A DC '︒∠时，连接BD ，ED ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，⊥⊥ABC =120°，四边形ABCD 是菱形，⊥AB =AD ，⊥A =60°，⊥⊥ABD 是等边三角形，⊥E 是AB 中点，⊥DE ⊥AB ，⊥⊥ADE =30°，⊥⊥EDC =90°，⊥此时D A E '、、三点共线，由翻折的性质可得==45AEF A EF '︒∠∠，⊥FG ⊥AE ，⊥A =60°，⊥AEF =45°，⊥⊥AFG =30°，⊥GFE =45°，⊥AF =2AG ，EG =FG ，⊥FG AF ==， ⊥11222AE AG GE AB BC =+===，⊥122AF AF +=，⊥2AF =，故答案为：2或2．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．17．2【分析】过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方程求解即可．解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，⊥⊥ADF的面积为52，⊥15 22 AD FM=，⊥AD＝5，⊥1FM=，⊥AM==⊥⊥ABN=⊥BAN=⊥AMN=90°，⊥四边形AMNB是矩形，⊥AM BN==⊥BNM=90°，AB=MN=3，⊥FN=MN-FM=2，⊥222)2BE BE=+，解得，BE=【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，利用勾股定理列方程．18【分析】根据题意可求出123BF AB ==，243AF AB ==．再根据折叠的性质和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，从而可利用勾股定理求出AD BC ==AE x =，则DE EF x ==．在Rt AEF 中，再次利用勾股定理即可列出关于x 的等式，解出x 即得出答案．解：⊥AB ＝6，点F 为线段AB 的三等分点， ⊥123BF AB ==，243AF AB ==，根据折叠和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，⊥AD BC ===设AE x =，则DE EF x ==．⊥在Rt AEF 中，222AE AF EF +=，⊥2224)x x +=，解得：x = ⊥AE =【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 19．4【分析】因为EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，即可求解．解：⊥动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，⊥AE =CF⊥EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，⊥当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，⊥CP =142BC = 故答案为：4【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P 的位置是解题的关键．20．【分析】利用垂直平分线的性质得出CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案．解：如下图，连接，⊥点C '在AB 的垂直平分线上，⊥点C '在DC 的垂直平分线上，⊥CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，设CE = x ，易得DE = 2x ，由勾股定理得： (2x )2 -x 2= 62，解得： x =（负值舍去）故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是证明⊥DC C '是等边三角形．21． 67.5-【分析】（1）易得45APQ ∠=︒，利用翻折的性质得到67.5BPE HPE ∠∠==︒；（2）连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，得到PF PC ==PQ =P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，计算可得．解：（1）如图1，易得45APQ ∠=︒，⊥67.5BPE HPE ∠∠==︒，故答案为：67.5；（2）如图2，连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，⊥PF PC ==PQ =当P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，--【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．22【分析】取QH 的中点M ，连接OM ，由正方形及矩形的性质得出AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，求出QE ＝2，由三角形中位线定理得出OM ＝12QE ＝1，OM∥EQ ，求出PM 的长，根据勾股定理可得出答案．解：取QH 的中点M ，连接OM ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥A ＝⊥B ＝⊥C ＝⊥D ＝90°，⊥EF ⊥CD ，GH ⊥BC ，⊥四边形AEQG ，四边形GHCD 为矩形，⊥AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，⊥DG＝1，⊥AG＝EQ＝2，⊥O，M分别为EH，QH的中点，⊥OM＝12QE＝1，OM∥EQ，⊥⊥OMP＝90°，⊥P为GQ的中点，M为QH的中点，⊥PQ＝12GQ，QM＝12QH，⊥PM＝PQ+QM＝1113 2222 QG QH GH+==，⊥OP．【点拨】本题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题得关键．23．2【分析】延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝B′C﹣2，根据勾股定理即可得到结论．解：如图所示：要，延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，⊥BC＝AB＝4，⊥BB′＝8，⊥B ′C B ′Q ＝B ′C ﹣2＝2，⊥PB ′+PQ 的值最小是2，即PQ +PB 的最小值是2，故答案为：2．【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到P 点的位置是解题的关键．24．11【分析】分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可解：⊥EF 经过CD 边中点O 时，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，⊥点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ⊥11,22OC CD EC BC ==． ⊥CE=CO =1，⊥45CEO ∠=︒，由折叠得11(180)((18045)67.522FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ⊥22.5FPE BPE ∠=∠=︒．⊥45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，⊥45BPF ∠=︒，⊥PG ＝FG=x +1，⊥BP =2x +1，由勾股定理得1)PF x =+，由折叠得PB=PF ，⊥211)x x +=+，解得x =．⊥12BP =>，⊥点P 在AB 外，不符合题意；⊥EF 经过AD 边中点O '，如图，此时，190452FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒， ⊥BP=BE =1；⊥EF 经过AB 中点O ''，如图，⊥O ''B=BE ，⊥45EO B ''∠=︒．由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，设PF=x ，则,O P PB x ''==，1x +=，⊥1，即1，综上，BP 的长为11，故答案为：11．【点拨】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．25．(1)B （3，1）、C （2，4） (2)D （3，5）、P （73，3）【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H∥证明⊥AGO⊥⊥OHB，根据三角形全等的性质可得出结论；（2）根据对称性和全等的性质可得D（3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．解：(1)分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；⊥四边形AOBC是正方形⊥AO= BO，⊥AOB =90°⊥⊥AGO⊥⊥OHB⊥ AG= OH，OG= BH⊥A点坐标为（-1，3）⊥ AG =3，OG=1⊥ OH =3，BH=]⊥B（3，1）同理可得C（2，4）(2)⊥点O与点E关于AP成轴对称⊥AO=AE，AP⊥OE且平分OE⊥E（0，6）根据上面全等可以得到D（3，5）⊥点P的纵坐标是3⊥点P在直线BC上⊥设直线BC为y = kx + b，由条件可得20 30k bk b+=⎧⎨+=⎩，解之得-310k b =⎧⎨=⎩ ⊥y =-3x +10当y =3时，73x =⊥P （73，3）【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．26．（1）2；（2）当出发1s 或3s 时，线段PQ 的长度为5cm ．【分析】（1）由矩形的性质，得AP DQ =，继而列出关于t 的一元一次方程即可解题；（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，先证明四边形APED 是矩形，再根据矩形的性质解得EQ 的长，最后在Rt PQE △中，根据勾股定理解题即可．解：（1）四边形APQD 为矩形．AP DQ ∴=，26t t ∴=-，36t =，2t ∴=,∴当2t =时四边形APQD 为矩形;（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，90A D DEP ∠∠∠===︒，∴四边形APED 是矩形．2AP DE t ∴==，63EQ CD DE CQ t ∴=--=-，在Rt PQE △中，222PE EQ PQ +=，2(63)9t -=，1t =，3t =，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．【点拨】本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．27．（1）详见分析；（2）当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形，证明详见分析【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可；(2)根据菱形的判定解答即可．解：(1)⊥点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，⊥FH⊥BE，12FH BE=，BF＝FC，⊥⊥CFH＝⊥FBG，FH＝BG，⊥⊥BGF⊥⊥FHC；(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形．当E是AD的中点时，AE＝ED，⊥四边形ABCD是矩形，⊥AB＝CD，⊥A＝⊥D=90︒，⊥⊥ABE⊥⊥DCE，⊥BE＝CE，⊥BE＝2FH，CE＝2FG，⊥FH＝FG =1122BE CE EG EH=＝＝，⊥EH＝HF＝FG＝GE，⊥四边形EGFH是菱形．【点拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答．28．(1)见分析(2)⊥3；⊥6【分析】（1）利用AAS证△NDE⊥⊥MAE，得出NE＝ME，进而得出结论；（2）⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值；⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由⊥DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值．解：(1)证明：⊥四边形ABCD是菱形⊥AB⊥CD⊥⊥DNE＝⊥AME，⊥NDE＝⊥MAE⊥点E是AD边的中点⊥AE＝DE⊥△NDE⊥⊥MAE（AAS）⊥NE＝ME⊥四边形AMDN是平行四边形(2)解：⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥⊥DAB＝60°⊥⊥ADM=30°⊥AM=12AD=3故答案为：3．⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM⊥⊥DAB＝60°⊥⊥AMD为等边三角形⊥AM=AD在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥AM=6故答案为：6．【点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键．。

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例一：如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=−x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD.
(1)若点A的坐标是(−4,4).
①求b，c的值；
②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；
(2)是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形?若存在，请直接写出一个符合条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由。

例二：如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2,0),点B(4,0),点D(2,4)，与y轴交于点C，
作直线BC，连接AC，CD.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长。

例三：如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2−2ax−3a(a<0)与x轴交于A,B
两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示)；
(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点,若△ACE的面积的最大值为5
4
，求a的
值；
(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。

例四：如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于
点D（6，3），交x轴于点C（12，0）
（1）求直线CD的函数表达式；
（2）动点P在x轴上从点（-10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.
①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA=∠B，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值.
例五：如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B.
（1）求抛物线的解析式.
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标. （3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由.
例一：
例二：
例三：
例四：
例五：。