平行四边形动点及存在性问题

环球雅思学科教师辅导讲义
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【例3】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 ；
D
B
C
A O x
y P
【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ，c ），C （b ，0），并且a ，b 满足
212116b a a =-+-+．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，
点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停
止运动．设运动时间为t （秒） （1）求B 、C 两点的坐标； （2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形并求出此时P 、Q 两点
的坐标；
（3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形并求出P 、Q 两
x
y A
B
B
E
A
D
Q P C
6、如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，线段OA 、OB 的长(0A <OB )
是方程组⎩⎨⎧=-=6
32y x y
x 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD =52。

(1)求直线AB 的解析式及点C 的坐标； (2)求直线AD 的解析式；
(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
动点问题题型
⒈如图D-01，四边形ABCD 中，AD ∥CB ，且AD>BD ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形
图D-01
⒉如图D-02，在ABC中，点O是AC边上一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于E，交∠ACB的外角平分线于F，
①求证：OE=OF
②当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形证明你的结论
〖提示〗易证∠1=∠2=∠3，得OE=OC
同理OF=OC，得证OE=OF
⒊如图D-03，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D向A以1cm/s的速度移动；如果P、Q同时出发，t(s)表示移动时间（0<t<6），那么：
①当t为何值时，QAP为等腰直角三角形
②求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论
4.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：①当AM的值为______时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形．
图D-03
5.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．
6.如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
7.（1）BD的长是______；
8.（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______．
9.
7.如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q。

（1）求证：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）。

设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形。

8.如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
9.已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的
延长线于G。

（1）求证：△ADE≌△CBF；
10.（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形并证明你的结论。

10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是
AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为／s。

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形吗说明理由；
（2）（2）点 E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形如能，
求出此时的运动时间t的值，如不能，请说明理由。

11.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E， F ．
13.（2）试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
14.（3）在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
15.
12.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF=CE=AE ．
（1）说明四边形ACEF 是平行四边形；
（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由。

13.如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），连接DP 交对角线AC 于E 连接BE ．
（1）证明：∠APD=∠CBE ；
（2）若∠DAB=60°，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的
4
1为什么？
14.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：①求证：△ABN≌△ADN；②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．。