B1算法评价和简单穷举

复杂度计算举例
从代码中我们可以看到，我们定义了几个 简单变量和一个大小为n+1的数组，空间消 耗量的数量级就是n，因此空间复杂度是 O(n)。 在时间上，读入数据执行n+1次，s:=a[i]和 y:=y+s各执行n次，s:=s*x执行1+2+……+n 次，因此整个代码简单语句的执行次数约 为(n2-n)/2+3n，忽略掉系数、低阶项和常数 项，其时间复杂度为O(n2)。
时间复杂性
通常情况下，最佳时间复杂度和最差时间 复杂度是比较容易得到的，但意义不大。 平均时间复杂度计算比较繁琐，但可以比 较客观的衡量一个算法所需的运行时间级 别。
空间复杂性
算法在运行过程中所占用的存储空间的大 小被称为“算法的空间复杂性”。 它包括了算法中变量、常量所占用的存储 空间和系统为了实现递归而使用的堆栈空 间。 算法的空间复杂性一般也以关于数量规模n 的数量级形式给出。
由于算法的时间复杂度考虑的是对于问题 规模n的增长率，在实际计算的时候，一般 只需求出它关于n的增长率或阶乘即可，不 需要考虑常数项、低阶项和系数。
时间复杂性
for i := 1 to n-1 do for j := 1 to i-1 do x := x+1 语句x := x + 1的执行次数为(n-1)*(n-2)/2 = 0.5n2-1.5n+1
算法评价
例如：在下列三个程序段中， ① x:=x+1 ② for i:=1 to n do x:=x+1; ③ for j:=1 to n do for k:=1 to n do x:=x+1
含基本操作“x增1”的语句x:=x+1的频度分 别为1，n和 n2 ，则这三个程序段的时间复杂 度分别为O（1），O（n），O（n2 ），分别称 为常量阶、线性阶和平方阶。
复杂度计算举例
read(n, x); b[0] := 1; for i := 0 to n do read(a[i]); y := a[0]; for i := 1 to n do begin b[i] := b[i-1] * x; y := y + a[i] * b[i]; end; write(y);
算法的描述
自然语言描述 图形描述：如流程图、NS图等。 伪代码描述：包含程序设计语言的三大基 本结构及自然语言的一种语言。 类语言描述：类似高级语言的语言，如类C、 类Pascal等。
算法的设计要求
正确性
程序不含语法错误； 程序对几组输入数据能够得出满足规格要求的结果； 程序对精心选择的、典型的、苛刻的、带有刁难性的 几组输入数据能够得出满足规格要求的结果； 程序对一切合法的输入数据都能产生满足规格要求的 结果。
二、引入
例1、编一个程序找出三位数到七位数中 所有的阿姆斯特朗数。阿姆斯特朗数也叫水仙 花数,它的定义如下:若一个n位自然数的各位 数字的n次方之和等于它本身,则称这个自然数 为阿姆斯特朗数。例如 153(153=1*1*1+3*3*3+5*5*5)是一个三位数的 阿姆斯特朗数,8208则是一个四位数的阿姆斯 特朗数。
可读性：有助于阅读和交流、有助于对算法的理 解、有助于对算法的调试和修改。 高效率和低存储：处理速度快、存储容量小。
一个问题？
求 S=20+21+22+23……+2n
解法1：用循环求2i，再累加求和 解法2：利用2i=2i-1*2，再累加求和 解法3：公式2n+1-1
算法评价
有时求解同一个问题常常有多种可用 的算法，在一定的条件下当然要选择 使用好的算法。用什么方法评估算法 的好坏呢？通常使用算法复杂性这一 概念来评估算法。 包括时间复杂度和空间复杂度
算法评价
算法评价主要从算法的正确性、可读性和 复杂性三个方面考虑。
正确性是评价算法的首要条件。一个正确的算 法是指在合理的输入数据下，能在有限的运行 时间内得到正确的结果。 可读性有助于阅读程序、证明算法正确性、便 于编写、调试、修改程序。 复杂性分为时间复杂性和空间复杂性，用于评 价算法在运行时间和占用空间上的程度。
算法评价
泰州二附中 谢志锋
什么是算法
算法是在有限步骤内求解某一问题所使用 的一组定义明确的规则。是对特定问题求 解步骤的一种描述，它是指令的有限序列， 其中每一条指令表示一个或多个操作。
算法的特征
确定性：算法的描述必须无歧义，算法的 执行结果是确定的。 可行性：算法中所描述的操作都是可以通 过已经实现的基本运行执行有限次来实现。 有穷性：算法必须在有限步后结束。 输入：一个算法必须有零个或多个输入量。 输出：一个算法必须有一个或多个输出量， 没有输出的算法是毫无意义的。
复杂度计算举例
空间复杂度是O(n) 时间复杂度是O(3n)≈O(n)
复杂度计算举例
而如果你通过数学公式的转换，可以把原 式转为(…((an*x+an-1)*x+an-2)…+a1)*x+a0 的形式，这样的话，代码就可以变为 y:=a(n); for i := n-1 downto 0 do y := y * x + a(i); 这样一来，空间复杂度还是O(n)，而时间 复杂度（加上读入a(i)的代码）为 O(2n)≈O(n)。
穷举法求解的问题必须满足两个条件： ⑴可预先确定每个状态的元素个数n； ⑵状态元素a1，a2，…，an的可能值为一个 连续的值域。
设ai1—状态元素ai 的最小值；aik—状态元素ai 的 最 大 值 (1≤i≤n) ， 即 a11≤a1≤a1k ， a21≤a2≤a2k ， ai1≤ai≤aik，……，an1≤an≤ank for a1←a11 to a1k do fo a2←a21 to a2k do …………………… for ai←ai1 to aik do …………………… for an←an1 to ank do if 状态(a1，…，ai，…，an)满足检验条 件 then 输出问题的解；
寻找问题的本质，减少重复操作
编程复杂度
相对而言，“编程复杂度”的要求要 略低一些。但是在竞赛中，如果建立的算 法实现起来十分繁琐，自然不利于比赛。 所以，在建立模型时（特别是在竞赛中） 这点也要纳入考虑之中。
穷举
一、穷举法
穷举法是基于计算机特点而进行 解题的思维方式。一般是在一时找不 出解决问题的更好途径（即数学上找 不到求解公式或规则）时，根据问题 中的部分条件（约束条件），将所有 的可能解的情况列举出来，然后一一 验证是否符合整个问题的求解要求， 而得到问题的解。
算法评价
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循 环三种）和原操作（指固有数据类型的操 作）构成的，则算法时间取决于两者的综 合效果。 为了便于比较同一问题的不同算法，通过 的做法是，从算法中选取一种对于所研究 的问题（或算法类型）来说是基本运算的 原操作，以该基本操作重复执行的次数作 为算法的时间度量。
复杂度计算举例
O(n2)的代码效率还是比较低的，我们看看 有没有什么办法来加快一下。 我们容易发现，我们其实并不需要每次都 把xk重新计算一遍，而只需要把前一次得到 的xk-1在乘上一个x就可以了，因此我们就 可以考虑先把xk都生成好，然后再乘上系数， 最后累加一下就可以了。 我们来看代码。
算法复杂度的优化
空间换时间
一个算法中的时间复杂度和空间复杂度往往是 矛盾的，但在一定条件下也是可以相互转换的。 在空间允许的前提下，把一些需要反复计算的 数据直接存储起来，以提高程序的执行效率。 这是优化算法的一种常用方法。
尽可能的利用前面已有的结论
如数学公式、递推法、构造法、动态规划等策 略
我们在考察其时间复杂度的时候，只看它 的最高阶，忽略系数、低阶和常数，因此 它的时间复杂度为O(n2)。
时间复杂性
对于大多数算法而言，其时间复杂性会根 据输入数据的不同而不同
最佳时间复杂度：根据最优输入数据得到的最 小值。 最差时间复杂度：根据最差输入数据得到的最 大值。 平均时间复杂度：根据概率、统计计算出来的 对所有输入数据的平均值。
复杂度计算举例
从代码可以看到，由于加入了一个新的数 组b，因此空间消耗达到了2n，但空间复杂 度还是O(n)。 而时间上，读入ai还是需要执行简单指令 n+1次，但累加部分只需要执行简单指令2n 次，因此，总共需要执行简单指令3n+1次， 其时间复杂度为O(3n+1)≈O(n)
复杂度计算举例
s:=0; for a:=1 to n-2 do for b:=a to n-2 do for c:=b to n-2 do if (a+b>c) and (b+c>a) and (c+a>b) and (a+b+c=n) then s:=s+1; s:=0; for a:=1 to n-2 do for b:=a to n-2 do begin c:=n-a-b; if (a+b>c) and (b+c>a) and (c+a>b) and (c>=b) then s:=s+1; end;
细心的同学们可能已经发现了，b这个数组 不是必须的，我们只要用一个简单变量就 可以了。因此把代码修改如下：
复杂度计算举例
read(n, x); b := 1; for i := 0 to n do read(a[i]); y := a[0]; for i := 1 to n do begin b := b * x; y := y + a[i] * b; end; write(y);
时间复杂性
算法在计算机中运行需要耗费一定的时间， 它大致等同于计算机执行简单操作（如赋 值操作、比较操作等）所需的时间与算法 中进行简单操作的次数的乘积。 通常我们把算法中所包含的简单操作的次 数的多少称为“算法的时间复杂性”。