(完整word版)穷举法
基础算法（一）穷举法
基础算法（⼀）穷举法
基础算法（⼀）穷举法
穷举法的基本思想:从可能的解集合中⼀⼀穷举各元素，⽤题⽬给定的检验条件判定哪些是有⽤的，哪些是⽆⽤的，能使命题成⽴的，即为其解。
穷举法解题思路：
1、对命题建⽴正确的数学模型；
2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；
3、利⽤循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
穷举法的特点：
算法简单，但运算量⼤。
对于可能确定解的范围，⼜⼀时找不到更好的算法时，可以采⽤穷举法。
例1、求满⾜表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
例2、鸡兔同笼问题（在同⼀个笼⼦⾥有鸡和兔⼦若⼲只，从上⾯看，能看到20个头，从下⾯看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）例3、百钱百鸡问题（⼀百块钱要买⼀百只鸡，这⼀百只鸡必须包含母鸡、公鸡和⼩鸡，其中，公鸡5元⼀只，母鸡3元⼀只，⼩鸡1元三只，
问有哪些购买⽅案？）
例4、⽔仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）
在⽤穷举法时，问题必须满⾜两个条件：
1、能够预先确定可能解的个数；
2、对每个解变量的取值，其变化范围也能预先确定。
使⽤穷举法时应注意的问题：
1、减少穷举变量；
2、缩⼩穷举变量的取值范围。
穷举法
基本信息简介穷举法，或称为暴力破解法，是一种针对于密码的破译方法，即将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。
例如一个已知是四位并且全部由数字组成的密码，其可能共有10000种组合，因此最多尝试9999次就能找到正确的密码。
理论上利用这种方法可以破解任何一种密码，问题只在于如何缩短试误时间。
因此有些人运用计算机来增加效率，有些人辅以字典来缩小密码组合的范围。
字符类型字符类型一般可以分为以下5种1.数字型0、1、2、3.4...9等（10个）2.大写字母A、B、C、D...Z等（26个）3.小写字母a、b、c、d...z等（26个）4.特殊字符～、$、#、@、&、()*等（33个）一般较少用5.用户自定义字符。
如果一个多位数并且有可能包含以上所有字符的密码的组合方法一定多的惊人，相对来讲破译的时间也会长的没法接受，有时可能会长达数年之久。
2破译方法概述穷举法是一种针对于密码的破译方法。
这种方法很像数学上的“完全归纳法”并在密码破译方面得到了广泛的应用。
简单来说就是将密码进行逐个推算直到找出真正的密码为止。
比如一个四位并且全部由数字组成其密码共有10000种组合，也就是说最多我们会尝试9999次才能找到真正的密码。
利用这种方法我们可以运用计算机来进行逐个推算，也就是说用我们破解任何一个密码也都只是一个时间问题。
当然如果破译一个有8位而且有可能拥有大小写字母、数字、以及符号的密码用普通的家用电脑可能会用掉几个月甚至更多的时间去计算，其组合方法可能有几千万亿种组合。
这样长的时间显然是不能接受的。
其解决办法就是运用字典，所谓“字典”就是给密码锁定某个范围，比如英文单词以及生日的数字组合等，所有的英文单词不过10万个左右这样可以大大缩小密码范围，很大程度上缩短了破译时间。
在一些领域，为了提高密码的破译效率而专门为其制造的超级计算机也不在少数，例如IBM为美国军方制造的“飓风”就是很有代表性的一个。
3对策现今稍具严密度的密码验证机制都会设下试误的可容许次数以应对使用密码穷举法的破解者。
穷举法
• 观看C语言程序片断
开始 x=1
2x+4(30x)=95?
开始
x=1 是 X<=30? 是 2x+4(30x)=95?
30-
否
否
否
x累加1
是
输出x, x
输出x，30-x x累加1
结束
结束
(P23)练一练：在一个停车场共有24辆车，包
括4个轮子的汽车和3个轮子的摩托车，车轮共 86个，请问3轮摩托车几辆？请你画出流程图
开始
已设定密码P i从0开始逐一尝试， 直至找到符合条件 (i=P)的答案为止 是 i=p? 否 i=i+1 (i累加1)
i=0
输出 i
结束
• 穷举法:就是按照事物发展规律,将问题的所
有可能的答案一一列举,然后根据条件判断 此答案是否合适,合适就保留,不合适就丢弃 的一种方法。
1、今年弟弟6岁，哥哥15岁，当 两人年龄和为65岁时，弟弟几岁？
开始
x=1
否
x<=24?
是 3x+4(24-x)=86? 是 输出x，24-x X累加1
否
结束
开始
x=1
否 X<=30? 是 2x+4(30-x) =96? 是 输出x，30-x 否
x累加1
结束
X<=30?
（1）当找不到符合条件的值时， 可以避免死循环
（2）跳出循环时，x最终的值不同
想想该流程图应如何修改,避免死循环呢？
输出ห้องสมุดไป่ตู้x,
30-x 结束
2、笼中有鸡和兔，共有30个头，95只脚。问 鸡、兔各几只？（设鸡x只)
开始
x=1
是
穷举法
穷举的思想
鸡兔同笼
• 鸡兔同在一个笼子里，共有35个头、94只 脚，请问，笼中鸡有几只、兔有几只？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
算法
• 抬脚法： 鸡、兔都抬2只脚，则多余的是兔的脚。 94-2*35=24 兔子=24/2=12
列举每一种可能
鸡
兔
总脚数
0
35
2*0+4*35
1
34
1*2+4*34
2
33
2*3+4*33
找回密码
• 小婷的邮箱的密码是一个5位数，但由于较 长时间没有打开这个邮箱，她忘记了密码 。小婷的生日是8月1日，她妈妈的生日是9 月1日，所以她特别喜欢用81和91的公倍数 ，她还记得这个密码的百位数是1.你能设计 一个程序帮她找回密码吗？
列举每一种可能
公鸡 0 0 0 …. 20 20 20
母鸡 0 1 2
78 79 80
小鸡 100 99 98
2 1 0
所需钱数
x
y
z
请写出下列程序
For i= to ‘公鸡的数目
for j=
to ‘母鸡的数量
k=
‘小鸡的数量
if
then
print i,j,k
end if
next j
next i
（1）枚举鸡的数目： 0-35只 （2） 确定兔的数目：35-鸡的数目 （3）验证腿的数目：2*鸡+4*兔=? 94 如果相等，就是一个解
dim i,j as integer ‘i表示鸡，j表示兔的数量 for i=0 to 35
j=35-i if 2*i+4*j=94 then
print i,j end if next i
用穷举法求解的基本过程
用穷举法求解的基本过程穷举法又称试探法，是求解复杂问题常用的一种算法。
它被用来求解实际生活中各种数学、物理、化学、经济和社会等问题，它具有良好的实用价值。
穷举法是求解复杂问题的一种有效方法。
一、基本步骤（1）明确问题。
明晰问题，确定问题的求解内容，定义解空间。
（2）构建搜索树。
将解空间的每一个可能情况看作一个结点，绘制搜索树，综合运算问题的知识，将搜索空间分拆成若干小搜索空间，由此得出结点关系。
（3）生成搜索策略。
根据问题特点及给定的条件来确定搜索策略，选择最有效的搜索方式进行搜索，此步骤将决定整个穷举法求解问题的有效性。
（4）开始搜索。
依据构建的搜索树和确定的搜索策略开始搜索，首先检测第一个结点，根据条件检测的结果如果不满足就进行下一个结点的检测，直至找到最终的结果，搜索停止。
（5）结果验证。
检查搜索结果，验证是否符合原问题的要求，确保问题得到正确的求解结果。
二、优缺点（1）算法在求解复杂问题上有良好的实用价值，能够较好地把问题分解为若干小问题。
（2）搜索空间确定时，受限于其解空间的大小，穷举法在处理解空间较大的问题时存在搜索时间长的问题。
（3）穷举法在求解给定问题时，必须要进行大量的计算，计算量较大，影响了算法的效率。
（4）穷举法也缺乏一定的针对性，如果解空间较大，则需要花费更多的时间来完成。
穷举法是求解复杂问题的一种有效的方法，它具有良好的实用价值，综合运用数学、物理、化学、经济和社会等问题，可以有效地搜索出最优解。
但是，该算法也存在搜索时间过长、计算量大、缺乏针对性等弊病，该如何改进才能更好地提高求解复杂问题的效率，因此，对穷举法还有很大的改进空间，需要不断探索新的方法去改进穷举法，从而使它更好地服务于实践生活。
拓展知识5-1 穷举法
拓展知识5-1 穷举法一、什么是穷举法在实际问题中，经常遇到在一定范围内寻求某类事物解的问题。
比如：求水仙花数，因为水仙花数是一个三位数，所以，[100,999]就是给定的范围，水仙花数就是要求的解；又如：百马百担问题，求解决方案，大马数量[1,33]，中马数量[1,50]，小马数量[1,100] 就是给定的范围，解决方案就是要求的解等。
像这类问题，可以通过对指定范围内每种可能的情况进行一一测试，验证其是否是满足条件的解的方法来解决，我们就把这种解决问题的方法称为穷举法。
由于实际问题的指定范围可能很大，所以，穷举法更适合于使用计算机，因此，这类问题可通过程序设计来解决。
二、穷举法解决问题的关键1．确定范围（1）往往实际问题给定的范围不一定很明确，需要我们通过分析来确定范围；（2）所得到的范围还可以利用给定的部分约束条件进一步缩小，以减少程序的运行时间，提高效率。
2．确定解的条件通过对实际问题进行分析，给出判断解的条件，有了判断解的条件才能对每种可能的情况进行一一验证，从而得到问题的解。
三、穷举法解决问题的步骤1．分析问题，确定范围变量，给出解的判断条件；2．用循环或循环的嵌套对范围变量的所有可能情况进行一一测试；3．用选择语句判断每种情况是否符合解的条件；4．输出符合条件的情况。
四、穷举法的优化策略1．减少范围变量范围变量能少用尽量少用，这样可大大减少测试的数量。
例如百马百担问题，对大马、中马、小马均可设一个范围变量dm、zm、xm，其范围分别是：[1,33]，[1,50]，[1,100]，总的测试数量为33*50*100=165000次；在大马、中马具体确定后，小马可利用约束条件dm+zm+xm=100来确定，因此，只需将大马、中马设为范围变量，这样测试数量为33*50=1650次。
可见，减少范围变量的使用可大大减少测试的数量。
2．缩小穷举范围根据实际问题的隐含条件，可将不符合条件的情况去掉，缩小穷举范围，减少穷举变量的值域。
穷举法
计算某个解对应的连续最大R值
培养学生自主建构的意识和能力
1、不应对蕴含穷举思想的问题求解抱通过了事的心态。 、不应对蕴含穷举思想的问题求解抱通过了事的心态。 2、而应基于异中求同的思维，把蕴含穷举思想的问题 、而应基于异中求同的思维， 纳入穷举法的算法系统中来，引导、培养学生自主 纳入穷举法的算法系统中来，引导、 建构信息学知识系统的意识和能力。 建构信息学知识系统的意识和能力。 3、现状。平时做大量试题，比赛时却对类似问题的算 、现状。平时做大量试题， 法确定犹豫不决。知识系统建构不完善的结果。 法确定犹豫不决。知识系统建构不完善的结果。
初识穷举法
穷举法算法结构 按照问题解的特征可以分为“解分量只有 按照问题解的特征可以分为“ 一个” 解分量有多个”二类。 一个”和“解分量有多个”二类。所谓解 分量个数指的是问题解包含特征参数的个 数。
解分量只有一个的情形
这种情形的问题求解由于只有一个解分量， 这种情形的问题求解由于只有一个解分量， 程序结构相对简单。由于只有一个解分量， 程序结构相对简单。由于只有一个解分量， 所以就可用一重循环来穷举所有的可能值， 所以就可用一重循环来穷举所有的可能值， 然后进行条件判断。 然后进行条件判断。
解分量有多个的情况
由于一重循环只能穷举问题解的一个解分量， 由于一重循环只能穷举问题解的一个解分量， 所以当问题解的分量有多个时， 所以当问题解的分量有多个时，就需要用多 重循环嵌套来穷举问题解的所有分量。 重循环嵌套来穷举问题解的所有分量。一般 的处理方法是一层循环穷举一个分量， 的处理方法是一层循环穷举一个分量，如果 个分量， 重循环嵌套。 有3个分量，就需要 重循环嵌套。 个分量 就需要3重循环嵌套
穷举法、贪心法、分枝限界法
穷举法、贪心法、分枝限界法讲解人：一、穷举法（枚举法）（一）算法思路就是从可能的解的集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件，判定哪些是无用的，哪些是有用的。
能使命题成立，即为其解。
（二）例子（第二章介绍过的货郎担问题）假定以编号为1的城市为始发城市，那么就会有4！=24个不同的路线，我们只要列举出每一条路线并分别计算出相应的费用即可。
从中就可以找出最小费用及对应的路线。
（三）算法复杂度：O(n!)（四）算法评价优点：可得到精确值。
当n较小时，是可行的；缺点：较笨拙，由于须列举所有情况，且记录下每次的情况，需要大量的机时和内存空间。
当n较大时，该算法是不可行性的。
二、贪心法贪心法是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计方法。
（一）引言在给出贪心法的具体定义和算法步骤之前，我们先来看两个例子。
例1 假设有4种硬币，它们的面值分别为1角、5分、2分和1分。
现要找给某顾客3角7分钱，这时，我们几乎不假思索地拿出3个l角、1个5分和1个2分的硬币交给顾客。
我们不仅能很快决定要拿哪些硬币，而且与其它找法相比．我们拿出的硬币的个数肯定是最少的。
在这里，我们实际使用了这样的算法：首先选出一个面值不超过3角7分的最大硬币(1角)，然后从3角7分中减去1角，剩下2角7分再选出一个不超过2角7分的最大硬币(另一个1角)，如此做下去，直到找足3角7分。
例2 如图1—1，其中，顶点可解释为城市，边上的代价可解释为两城市问的里程。
在图中找一条经过所有结点一次的回路，并使里程的总和为最小。
这同样还是货郎担问题。
在解此题时，我们可以按这样一个想法去做：首先在图中选一条代价最小的边。
为了选择下一条边，先要检查一下候选边与已选入的边之间是否满足以下两点：1)不会有三条边(候选边及已入选边)与同一顶点相关联。
2)不会使入选边形成回路，除非入选边的个数已等于图中的顶点总数。
在满足以上两点的候选边中，挑选最短的边作为入选边。
如此做下去，直到得到一个经过所有顶点的回路。
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用穷举法解决问题教学设计
【教材分析】
本节课选自教科版《算法与程序设计》选修第三章的第二节。
本节课讲的是现实生活中解决问题的一种算法——穷举法，实际上是使用for－next循环语句来解决实际问题。
本节要求学生初步了解穷举算法的思想，总结出穷举法解决问题的一般步骤，总结出哪一类的、具有什么特征的问题适合用穷举法来解决。
本课内容是对算法学习的引入，为高中阶段算法的学习打下了基础。
【学情分析】
本节内容的教学对象是高二年级学生，他们已经具备了一定的逻辑思维、分析问题、表达思想等能力。
同时，通过前两个章节的学习与实践，学生已经历了用计算机解决问题的过程与步骤，学会了对计算机程序进行调试，并掌握了顺序、选择、循环三种程序结构，为本节内容的学习提供了良好的基础。
前一节的学习，学生掌握了如何用解析法解决问题，但现实生活中也有很多问题往往无法用解析法找到答案，这时候我们可以尝试采用另外一种方法“穷举法”，从而引出本课内容。
因此对此类问题的归纳求解，学生应该掌握。
【教学目标】
知识与技能：
1、巩固for…next循环语句的格式和运用。
2、了解什么是穷举法以及用穷举法解决问题的一般步骤。
3、了解穷举法具有一定的适用范围。
4、能够根据具体问题的要求，使用穷举法设计算法。
过程与方法：
本节以“百钱买百鸡问题”入手，由浅入深讲解了穷举算法的思路。
通过讨论、对比、总结，熟练掌握穷举算法求解问题的方法。
在编程实践之后，对各种方案进行对比试验，加深穷举算法的理解。
情感态度与价值观：
了解算法和程序设计在计算机解决问题过程中的重要性；体验将算法转变为程序的过程，享受计算机解决问题的快乐；培养学生发现、探索和创新的能力。
【教学重、难点】
重点：用穷举法解决问题的一般步骤；能根据具体问题的要求，提高运用穷举法解决问题的能力。
难点：哪一类问题适合穷举法，确定穷举的范围以及评价穷举效率的高低。
【教学方法】
本节内容理论性和实践性都比较强，所以用演示、实践、讨论、任务驱动等多种形式的教学活动让枯燥的内容和生动有趣的任务结合起来。
【教学课时】
1课时
【教学环境】
硬件：机房一间，多媒体教学系统一套
软件：Visual Basic软件、自制的课件
【教学过程】
一、导入
上节课我们学习用解析法解决问题，用解析法解决问题的过程是：分析问题→抽取数学模型→导出解析表达式→设计算法→编写代码→调试运行程序。
用解析法解决问题具有高效、快捷的特点，但是解析法也有“束手无策”的时候，有些问题即使可以用解析法，但求解过程和
步骤也很复杂。
这个时候，我们可以尝试采用另外一种方法，就是我们今天要给大家介绍的穷举法。
二、新授
（一）什么是穷举法
教师活动：穷举法我们不难理解，它是将求解对象一一列举出来，然后逐一加以分析、处理，并验证结果是否满足给定的条件，穷举完所有对象，问题将最终得以解决。
那我们说生活中你遇到过穷举法解决问题吗？
学生活动：遇到过。
教师活动：比如说？
学生活动：密码记不起来的时候，我们要一个一个去试；要开门却不知道是哪把钥匙我们也只能一把一把去试；警察办案的时候将犯罪嫌疑人一一列举出，然后逐个排查，最终确定罪犯是谁。
（二）用穷举法解决问题的一般步骤
接下来我们用穷举法解决一个问题——“百钱买百鸡”问题：公元前5世纪，我国数学家张丘建在《算经》一书中提出了一个“百钱买百鸡问题”。
问题如下：鸡翁一值钱5，鸡母一值钱3，鸡雏三值钱1。
百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母和鸡雏各几何？
那么对于此题，用现代文是这样描述的：一只公鸡值五文钱，一只母鸡值三文钱，三只小鸡值一文钱，问一百文钱买一百只鸡，可以买多少只公鸡、母鸡和小鸡。
当然这个题它还有一个隐性条件就是说你买回来的公鸡、母鸡和小鸡必须是一个整数。
1.分析问题
我们计算一下，假设公鸡数为x，母鸡数为y，小鸡数为z，可列出方程：
大家发现问题了没有？三个未知数，两个方程，没有办法求解。
我们只能一一去试，具体到本题就是将x、y、z的各种可能的值代入方程，看是否满足两个方程，如果满足，就是一组解。
2.确定穷举对象的范围那我们来看看x的值可能有哪些。
根据题目的意思可知0≤x≤20。
母鸡呢？0≤y≤33.小鸡呢？0≤z≤100。
虽然确定了x、y和z的范围，但我们不可能毫无规律的随便取一个x、y、z的值进行尝试，一般总是按照一定规律来取值的，过程如右图。
3.验证条件、编程实现我们每取一组解都要判断它们是否满足这两个方程。
那么我们看一下，对于这一部分我们用什么语句来实现？循环语句。
几层循环？三层循
环。
最外层循环控制x的值，第二层循环控制y的值，第三层循环控制z的值。
好我们写出来。
For x=0到20配next x，For y=0到33配next y，For z=0到100配next z。
那这一部分呢？用什么语句？判断语句。
怎么写？if x+y+z=100 5*x+3*y+z/3=100，这两个条件要同时满足用什么连接？用and连接。
满足这两个条件就输出x、y、z的值，然后end if结束。
好下面我启动VB录入代码来解决这个问题，在我录入的过程中大家去思考这样一个问题：循环执行的次数是多少？能不能再少一些？也就是程序可不可以优化？
教师活动：问题解决了，那么现在请你思考我刚才提出的问题。
学生回答：循环执行72114次。
可以再少一些。
当母鸡和公鸡确定了的时候，小鸡就不用再穷举了，直接用z=100-x-y表示。
教师活动：你能不能用优化的思想改写这个程序？
学生活动：上台修改程序。
修改后的代码如下：
dim x as integer
dim y as integer。