正交化方法-特征值与特征向量
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特征值与特征向量的概念与计算
1 ( 1, 1, 0, , 0)T , 基础解系为：
x1 x 2 x n
,, 1) . ( 1 0, 0,
1对应的特征向量： k1 1 k 2 2 k n1 n1 ( k i 不全为零）
22
2 ( 1, 0, 1, , 0)T ,
a a
0 0 0
n 1
( na ) 0
1 0 ( n 1重), 2 na .
21
1 0 ( n 1重),
1 I AX 0, 即
1 1 1 a a a a a a 0 0 0 1 I A 0 0 0 a a a
4
定义 设A是n阶方阵，
若存在数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
3 1 1 1 1 例 A 1 3 , 1 , 1 , 0 . 4 3 2 A 2 , A 4 , A k . 4 2 1 2, 4是A的特征值 , 2， , , 分别是A对应于特征值 4 的特征向量
3 A 1
1 1 1 1 , , , . 3 1 1 0 4 1 A 4 4 , 4 1
2 1 A 2 2 , 2 1 3 A k . 1
系数矩阵
3 1 0 1 0 0 2 I A 4 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 自由未知量 x3 0 p1 0 令 x3 1得基础解系 1
基与正交基,特征值与特征向量
5
因 R(A)=3 ， a1 , a 2 , a3 为 R3 的一个基， 故
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
2 2 4 2 且 b1 a1 a2 a3 ,b2 a1 a2 a3 . 3 3 3 3 2 2 4 2 b1 , b2的坐标分别为： ,1和 ,1, ， 3 3 3 例题5 04，数学一， （ 4分） 3
1 0 0
2
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0
0
1
2 2 3 1
2 3 1 2 3
1 2 2 4 2 3 6 8 7 0 0 0 9 9 6
1 0 0
0
1
0
0
0
1
2 4 3 3 2 1 3 2
1
3
11
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
2.正交向量组的性质（无关性） 定理1 若 n 维向量 a1 , a 2 ,, a r 是一组两两正交的非零向量 a1 , a 2 ,, a r 线性无关. 则 设有 1 , 2 ,, r使 1a1 2 a 2 r a r 0 T 以 a1 左乘上式的两端，得 证
Ax 0的解集S 与基础解系
解集秩R(S ) n r
E , Dnr 同解 A~ r 0 0 方程组求基础解系
Dnr 列为自由变量令自由变 量向量为ei (0,,0,1,0,,0)
向量空间V 与其基Ar
空间的维R(V ) r
n维空间任意n个 线性无关向量组 成其最大无关组
分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的 线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无 关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论 成立。
因 R(A)=3 ， a1 , a 2 , a3 为 R3 的一个基， 故
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
2 2 4 2 且 b1 a1 a2 a3 ,b2 a1 a2 a3 . 3 3 3 3 2 2 4 2 b1 , b2的坐标分别为： ,1和 ,1, ， 3 3 3 例题5 04，数学一， （ 4分） 3
1 0 0
2
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
0
0
1
2 2 3 1
2 3 1 2 3
1 2 2 4 2 3 6 8 7 0 0 0 9 9 6
1 0 0
0
1
0
0
0
1
2 4 3 3 2 1 3 2
1
3
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
2.正交向量组的性质（无关性） 定理1 若 n 维向量 a1 , a 2 ,, a r 是一组两两正交的非零向量 a1 , a 2 ,, a r 线性无关. 则 设有 1 , 2 ,, r使 1a1 2 a 2 r a r 0 T 以 a1 左乘上式的两端，得 证
Ax 0的解集S 与基础解系
解集秩R(S ) n r
E , Dnr 同解 A~ r 0 0 方程组求基础解系
Dnr 列为自由变量令自由变 量向量为ei (0,,0,1,0,,0)
向量空间V 与其基Ar
空间的维R(V ) r
n维空间任意n个 线性无关向量组 成其最大无关组
分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的 线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无 关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论 成立。
矩阵特征值与特征向量的计算
11
整理课件
12
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13
整理课件
14
x (K+2)
整理课件
15
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16
整理课件
17
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18
定理6 设A Rnn有完全特征向量系，若1, 2,…, n为A的n个特征值且满足
12
n
对任取初始向量x(0) Rn，对乘幂公式
x(k) Ax(k 1)
确定的迭代序列{xk}，有下述结论：
z aii
n
aij
j1 ji
, i 1,2, ,n
n
表示以aii为中心，以
j
a ij
1
半径为的复平面上的n个圆盘。
ji
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
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8
定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。
41 0
例1 设有 A 1 0 1 估计A的特征值的范
围。
11 4
解：由圆盘定理：
D 1 :z41 ;D 2 :z02 ; D 3 :z42
D1为弧立圆盘且包含A的一个实特征值1（因为虚根成 对出现的原理），则3≤1≤5。而2、3D2∪D3，则
(A) max i 6. 3 (A) 6.
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9
§3.1 乘幂法与反幂法
3.1.1 乘幂法
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10
整理课件
i p ,q
a(pkp) aq(q k) a(pkq)
a(pkp1)cos2 2a(pkq 1)sin cos aq(q k 1)sin2 a(pkp1)sin2 2a(pkq 1)sin cos aq(k q 1)cos2 a(pkp1) aq(q k 1) sin cos a(pkq 1)(cos2 sin2 )
线性代数11.内积、特征值特征向量的计算
（3）若A、B是同阶正交阵，则AB也是正交阵；
（4）若A是正交阵，则对于线性变换(正交变换）
y Ax，有：y x ，
即正交变换保持向量长度不变
下面给出上述部分性质的证明
A是正交阵 A的列向量组是规范正交组
证明： 对A按列分块：A a1, a2, , an
则：A是正交阵 AT A E
1 1 1
取R3的一组基:
1
0
,
2
2
,
3
2
0
0
3
先正交化：
1
1
1
0
0
2
2
[2, 1] [1, 1]
1
1 1
2 0
0 0
0
2 0
1 1 0 0
3
3
[3, 1] [1, 1]
1
[3 , [2,
2 ] 2 ]
2
2
0
2
0
3 0 0 3
再单位化：
若A是正交阵，则对于线性变换y Ax，有：y x ，
证明： y yT y (Ax)T (Ax)
xT ( AT A)x xT x x
由于正交变换保持长度不变， 对于三维空间内的一个几何体，
正交变换前后任意两点的距离保持不变，
那么该几何体的几何形状必然保持不变
,
5.2 矩阵的特征值与特征向量
x1
设有向量x=
x2
，记：x
[x, x]
x12 x22
xn2
xn
称 x 为向量 x 的长度(或称为向量的模、范数).
如果 x 1，称向量 x 为单位向量.
对于非零向量 x ，显然向量 x 是与向量 x 同向的单位向量. x
（4）若A是正交阵，则对于线性变换(正交变换）
y Ax，有：y x ，
即正交变换保持向量长度不变
下面给出上述部分性质的证明
A是正交阵 A的列向量组是规范正交组
证明： 对A按列分块：A a1, a2, , an
则：A是正交阵 AT A E
1 1 1
取R3的一组基:
1
0
,
2
2
,
3
2
0
0
3
先正交化：
1
1
1
0
0
2
2
[2, 1] [1, 1]
1
1 1
2 0
0 0
0
2 0
1 1 0 0
3
3
[3, 1] [1, 1]
1
[3 , [2,
2 ] 2 ]
2
2
0
2
0
3 0 0 3
再单位化：
若A是正交阵，则对于线性变换y Ax，有：y x ，
证明： y yT y (Ax)T (Ax)
xT ( AT A)x xT x x
由于正交变换保持长度不变， 对于三维空间内的一个几何体，
正交变换前后任意两点的距离保持不变，
那么该几何体的几何形状必然保持不变
,
5.2 矩阵的特征值与特征向量
x1
设有向量x=
x2
，记：x
[x, x]
x12 x22
xn2
xn
称 x 为向量 x 的长度(或称为向量的模、范数).
如果 x 1，称向量 x 为单位向量.
对于非零向量 x ，显然向量 x 是与向量 x 同向的单位向量. x
线性代数-特征值与特征向量
3 4 2 2 例： 1 2 3 1 1 3 4 2 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量. 1 2 3
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即 b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基． 特别地，b1, …, bk 与a1, …, ak 等价（1 ≤ k ≤ r）．
第二步：单位化 设 b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令
3 4 0 0 3 4 2 2 例： l , 1 2 3 0 0 2 3 1 1
一、基本概念
定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量．
[ x, ei ] [ x, ei ] li , i 1, 2, , r 2 [ei , ei ] || ei ||
特别地，若 e1, e2, …, er 是V 的一个标准正交基，则
li [ x, ei ], i 1, 2,, r
向量在标准正交基中坐标的计算公式 问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
一、特征值与特征向量的概念
判断一个方阵A是否可对角化?
1. 求出A的所有特征值:1, ,s.
2. 对于i 1, s,求齐次线性方程组
(iE A)X =0
的基础解系的向量个数n1, ,ns.
s
若 ni =n, 则A可对角化; 否则不可对角化. i 1
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： (1)A与B相似,则det( A) det(B); ( 2)若A与B相似, 且A可逆, 则B也可逆, 且A 1与 B 1相似; (3)A与B相似,则kA与kB相似, k为常数;
二、相似变换的性质
1. 相似变换是等价关系 (1)自 反 性 A与A本身相似. (2)对 称 性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传 递 性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
三、利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A相似于某对角矩阵,则存在可逆矩阵P使得P1AP .
则 Ak Pk P1,
(2) 设1, ,s为不同的特征值. 对于i 1, s, 求
齐次线性方程组将(i E A) X 0的基础解系
{i1, , iri },
ri
ri
则 kijij ,其中ki1, ,kiri不全为零（足以保证 kijij 0）,
i=1
i=1
即为矩阵A对应i的全部特征向量.
四、特征值和特征向量的性质
性质（总结）：
A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E;
3 A的列向量是两两正交的单位向量；
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
二、实对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵．
第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量
[a 3 , b1] b1
2
[a 2 , b1] b1
2
2
b1
b1 +
[a 3 , b2] b2
2
b2
b1= a1
[a 2 , b1 ] b1
2
[a 3 , b1] b1
b1
a 2 在 b1 上的 投影向量
a 3 在b1上的 投影向量
b1
例3
设 a 1 = (1, − 1, − 1) , 求求求向量
α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交。 两两正交。
正交单位向量组： 两两正交， 正交单位向量组： 求求实向量 α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交， 标准正交向量组） 且每个向量长度全为1。 （标准正交向量组） 且每个向量长度全为 。
1( i = j ) 即 (α i ,α j ) = 0( i ≠ j )
1 0 1 0 1 0
x1 = −x3 , ∴ x2 = 0.
−1 取 a3 = 0 即可 即可. 1
− 1 令 x3 = 1，得基础解系 ξ = 0 . 1
2. Schmidt正交化、单位化法。 正交化、单位化法。 正交化 定义5： 定义 ： 正交向量组： 正交向量组：求求实向量
定理：正交向量组是线性无关的。 定理：正交向量组是线性无关的。
线性无关。 设a1 , a 2 , L , a r 为正交向量组 , 则a1 ,L, a r 线性无关。 定理 T 证 设λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λ r a r = 0 两端左乘 a 1 : T T T T ⇒ λ1 a 1 a 1 = 0 ⇒ λ1 a1 a1 + λ 2 a1 a 2 + L + λ r a1 a r = 0
2
[a 2 , b1] b1
2
2
b1
b1 +
[a 3 , b2] b2
2
b2
b1= a1
[a 2 , b1 ] b1
2
[a 3 , b1] b1
b1
a 2 在 b1 上的 投影向量
a 3 在b1上的 投影向量
b1
例3
设 a 1 = (1, − 1, − 1) , 求求求向量
α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交。 两两正交。
正交单位向量组： 两两正交， 正交单位向量组： 求求实向量 α 1 ,α 2 ,L ,α s 两两正交， 标准正交向量组） 且每个向量长度全为1。 （标准正交向量组） 且每个向量长度全为 。
1( i = j ) 即 (α i ,α j ) = 0( i ≠ j )
1 0 1 0 1 0
x1 = −x3 , ∴ x2 = 0.
−1 取 a3 = 0 即可 即可. 1
− 1 令 x3 = 1，得基础解系 ξ = 0 . 1
2. Schmidt正交化、单位化法。 正交化、单位化法。 正交化 定义5： 定义 ： 正交向量组： 正交向量组：求求实向量
定理：正交向量组是线性无关的。 定理：正交向量组是线性无关的。
线性无关。 设a1 , a 2 , L , a r 为正交向量组 , 则a1 ,L, a r 线性无关。 定理 T 证 设λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λ r a r = 0 两端左乘 a 1 : T T T T ⇒ λ1 a 1 a 1 = 0 ⇒ λ1 a1 a1 + λ 2 a1 a 2 + L + λ r a1 a r = 0
一特征值与特征向量概念
二、性质
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
高等数学线性代数特征值、特征向量与二次型教学ppt(5)
为A的
.
二、特征值与特征向量的求法
Ax x (A E)x 0,
(A E)x 0有非零解 A E 0.
设0是方阵A的一个特征值, 则由 ( A 0E)x 0,
可求得非零解x p0,
p0就是A对应于0的一个特征向量.
求矩阵A的特征值及特征向量的步骤 :
(1)计算 A E ; (2)求 A E 0的所有根,即A的所有的特征值;
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个标准正交基.
三、正交矩阵与正交变换
定义6 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
若A (1,2 , ,n ),则AT A E等价于
1T
T 2
1,
2
,
nT
,n E
由例1知道,1 2 3 3 a11 a22 a33,
定理3
123 4 | A | .
设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2, , n
(重特征值按重数算), 则
(1) 12 n A ;
(2) 1 2 n a11 a22
(注: trA称为矩阵A的迹)
ann trA.
所以P是正交矩阵.
2 2 1 2 2 1
3
3
3
3
3
3
PT
P
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
第五章特征值和特征向量
2. 标准化（单位化）
令 1
1 1
,2
2 2
,L , r
r r
则1, 2, …r就是一组长度都是1的正交向量组.
注： 先正交化，后标准化，次序不可颠倒.
2 3 1
例7
将1
1
,
2
1
,
3
4
1
证: （1）显然成立. 下面证明（2）和（3）.
(2) x x, x 2 x, x x
即数乘向量x的长度||x||等于| |与||x||的乘积.
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
定义3 当 x 0, y 0 时，
arc cos [x, y]
xy
称为 n维向量 x与y的夹角.
定义4 当[x, y] 0时，称向量 x与 y 正交(或垂直)
定义4' 如果x与y的夹角为 2 ，则称x与y正交.
显然，零向量与任何向量都正交.
定义5 若一个向量组中任意两个向量都正交， 则称此向量组为正交向量组.
1
0
正交规范化.
解: 先将1， 2， 3进行正交化，取
2
1
1
1
,
1
2
2
1,2 1, 1
1
3 2 1
1 1
4 6
1
1
5 3
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A是由3维向量组成的向量组， 只要a1 , a2 , a3线性无关，它就是 R3的一个 基，b1 , b2用基表示，即 Ax B有解，解x的列向量即坐标（线性 表示系数）
解
2 1 1 4 2 A | B 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
b在基中的坐标实际上就 是b用基向量组线性表示的 系数， 设向量空间的基组成的 向量组用A表示，则向量b用基A线性 表示即AX b有解，解的列向量就是 线性表示坐标 V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
4
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
2 1 2 例4: 设 A a1 , a2 , a3 2 1 2 , 1 2 2 1 4 B (b1 , b2 ) 0 3 , 4 2
验证 a1 , a 2 , a3 是 R3 的一个基，并求 b1 , b2 在这个基中的坐标.
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 掌握基与正交基的定义，掌握向量内积与长 度的概念与性质，掌握正交向量组的性质与 基的正交化方法。掌握特征值与特征向量概 念，会求矩阵的特征值与特征向量 重点
正交基与基的正交化上
讲授方法 投影与板书结合
1 0 0
2
0
1
0
0
1
2 2 3 1
2 3 1 2 3
1 2 2 4 2 3 6 8 7 0 0 0 9 9 6
1 0 0
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1
2 4 3 3 2 1 3 2
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分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的 线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无 关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论 成立。
3
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
结论2：齐次线性方程组 Ax 0的基础解系是其解集的 一个基 3.过渡矩阵概念： 设向量空间V有两个基A、B, A : 1 , 2 , r , B : 1 , 2 , r .如存在
Ax 0的解集S 与基础解系
解集秩R(S ) n r
Er , Dnr A~ 同解 0 0 方程组求基础解系
矩阵C，使得：B AC , 则称C为由基A到基B的过渡矩阵
4.向量由基线性表示的系数——坐标
若向量组a1 , a2 ,, ar 是向量空间 V的一个基，则 V可表示为：
V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
数组1 , 2 ,, r 是向量b在基a1 , a2 ,ar中的坐标
5
因 R(A)=3 ， 故 a1 , a 2 , a3 为 R3 的一个基，
2 2 4 2 且 b1 a1 a2 a3 ,b2 a1 a2 a3 . 3 3 3 3 2 2 4 2 b1 , b2的坐标分别为： ， ,1和 ,1, 3 3 3 例题5 （ 04，数学一， 4分） 3
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
向量组A与其 最大无关组 Ar
向量组秩R( A) r
A~ （行阶梯）求 秩与最大无关组
Ar 线性表示A中向量 组B即Ar x B有解
Er , Dn r ( Ar , B) ~ 0 0 同解方程组求解
Dnr的列向量即线性表示系 数
3 1 1 1 1 1 0 2 3 1 0 2 1 （A, B ) ～ ～ ～ ( E , A B) 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 3 2 所以，应填C 1 2
基－坐标－内积－长度－正交－正交组－正交基－求与已 知向量正交的向量－正交组性质－正交化方法－特征值与 特征向量－特征多项式－特征向量求法
练习册 交：P37P38 和P41－42
内容概括 任意最大无关组组成的基经过施密特正交化以后，
可变成以内积、长度和施瓦茨不等式为基础定义的 规范正交基。特征值与特征向量则依赖于行列式和 齐次线性方程组求解。
1
友情提示
本次课讲第五章第一、二节，向量组的内 积与正交，特征值概念 下次课讲第五章第二三节，特征值，相 似矩阵与对角化 下次上课时交作业P41～42
2
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量 一、向量空间的最大无关组——基的概念 1.基的定义 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a 2 ,, a r ∈V, 满足 （i） a1 , a 2 ,, a r线性无关； （ii）V 中 任 一 向量都由 a1 , a2 ,, ar 线性表示， 那么，向量组 a1 , a 2 ,, a r 称为向量空间 V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间. 特别地：如果向量空间 V 没有基 则 V 的维数为0。 0 维向量空间只含一个零向量 0. n 2.结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 R 的 n 一个基，由此可知 R 的维数为 n .
2
第十二讲：方程组解的解构与向量空间
1 1 1 1 从R 的基A : 1 ____ 0 , 2 1 到 B : 1 1 , 2 2 的过渡矩阵为：
分析：从基 A到基B的过渡矩阵为 C，则B AC,即C A1 B － 1 C A1 B （1，2 ） （ 1，2 ） ,即AX B的解
解
2 1 1 4 2 A | B 2 1 2 0 3 1 2 2 4 2
b在基中的坐标实际上就 是b用基向量组线性表示的 系数， 设向量空间的基组成的 向量组用A表示，则向量b用基A线性 表示即AX b有解，解的列向量就是 线性表示坐标 V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
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第十二讲：方程组解的解构与向量空间
2 1 2 例4: 设 A a1 , a2 , a3 2 1 2 , 1 2 2 1 4 B (b1 , b2 ) 0 3 , 4 2
验证 a1 , a 2 , a3 是 R3 的一个基，并求 b1 , b2 在这个基中的坐标.
第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
班级： 时间： 年 月 日；星期
教学目的 掌握基与正交基的定义，掌握向量内积与长 度的概念与性质，掌握正交向量组的性质与 基的正交化方法。掌握特征值与特征向量概 念，会求矩阵的特征值与特征向量 重点
正交基与基的正交化上
讲授方法 投影与板书结合
1 0 0
2
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1
2 2 3 1
2 3 1 2 3
1 2 2 4 2 3 6 8 7 0 0 0 9 9 6
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2 4 3 3 2 1 3 2
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分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的 线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无 关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论 成立。
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
结论2：齐次线性方程组 Ax 0的基础解系是其解集的 一个基 3.过渡矩阵概念： 设向量空间V有两个基A、B, A : 1 , 2 , r , B : 1 , 2 , r .如存在
Ax 0的解集S 与基础解系
解集秩R(S ) n r
Er , Dnr A~ 同解 0 0 方程组求基础解系
矩阵C，使得：B AC , 则称C为由基A到基B的过渡矩阵
4.向量由基线性表示的系数——坐标
若向量组a1 , a2 ,, ar 是向量空间 V的一个基，则 V可表示为：
V {b / b 1a1 2a2 r ar，1， ，r R}
数组1 , 2 ,, r 是向量b在基a1 , a2 ,ar中的坐标
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因 R(A)=3 ， 故 a1 , a 2 , a3 为 R3 的一个基，
2 2 4 2 且 b1 a1 a2 a3 ,b2 a1 a2 a3 . 3 3 3 3 2 2 4 2 b1 , b2的坐标分别为： ， ,1和 ,1, 3 3 3 例题5 （ 04，数学一， 4分） 3
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量
向量组A与其 最大无关组 Ar
向量组秩R( A) r
A~ （行阶梯）求 秩与最大无关组
Ar 线性表示A中向量 组B即Ar x B有解
Er , Dn r ( Ar , B) ~ 0 0 同解方程组求解
Dnr的列向量即线性表示系 数
3 1 1 1 1 1 0 2 3 1 0 2 1 （A, B ) ～ ～ ～ ( E , A B) 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 3 2 所以，应填C 1 2
基－坐标－内积－长度－正交－正交组－正交基－求与已 知向量正交的向量－正交组性质－正交化方法－特征值与 特征向量－特征多项式－特征向量求法
练习册 交：P37P38 和P41－42
内容概括 任意最大无关组组成的基经过施密特正交化以后，
可变成以内积、长度和施瓦茨不等式为基础定义的 规范正交基。特征值与特征向量则依赖于行列式和 齐次线性方程组求解。
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友情提示
本次课讲第五章第一、二节，向量组的内 积与正交，特征值概念 下次课讲第五章第二三节，特征值，相 似矩阵与对角化 下次上课时交作业P41～42
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第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量 一、向量空间的最大无关组——基的概念 1.基的定义 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a 2 ,, a r ∈V, 满足 （i） a1 , a 2 ,, a r线性无关； （ii）V 中 任 一 向量都由 a1 , a2 ,, ar 线性表示， 那么，向量组 a1 , a 2 ,, a r 称为向量空间 V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间. 特别地：如果向量空间 V 没有基 则 V 的维数为0。 0 维向量空间只含一个零向量 0. n 2.结论1：任何 n 个线性无关的 n 维向量都是向量空间 R 的 n 一个基，由此可知 R 的维数为 n .
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第十二讲：方程组解的解构与向量空间
1 1 1 1 从R 的基A : 1 ____ 0 , 2 1 到 B : 1 1 , 2 2 的过渡矩阵为：
分析：从基 A到基B的过渡矩阵为 C，则B AC,即C A1 B － 1 C A1 B （1，2 ） （ 1，2 ） ,即AX B的解