特征值与特征向量的求法
特征值与特征向量的求法
满足 A E 0的数为特征值 方程组( A E)X O的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1：求矩阵A的特征 值与特征向量。
1
2
2
A 2 2 4
2 4 2
解：
1 A E 2
2
2
2
4
2 4
2
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
(1 )(2 )2 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 ) (1 )(4 4 2 ) 24 32
T
T
3
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个，求方程组( A E) X O的基础解系；
即得到属于这个特征值的全部线性无关的特征向量。
练习
5 1 3
C 1
5 3, r(C) 2, a ?
3 3 a
=0是C的特征值吗？为什么？
a 3.
例2：求矩阵B的特征 值与特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量， 使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法： A , O.
A (A E) O,
是方程组(A E)X O的非零解, A E 0.
2x2
2x3
0
1 (2,1, 0)T ,2 (2, 0,1)T
为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为
k11 k22（, k1, k2不全为零）。
同理可求3 7的特征向量为3 (1，2，2)T .
其全部特征向量为k3(k 0).
12
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
计算方法第七章(特征值与特征向量)
( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算
n
使得u 0
i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1
1k [1x1
n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只 要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226
0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T
0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0
1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而
方阵的特征值与特征向量
方阵的特征值与特征向量
定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得，称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。
【例如】：对，有及向量，使得，这
说明是的特征值，是对应于的特征向量。
特征值和特征向量的求法：
1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即
（称之为的特征方程）
由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。
2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是
对应于特征值的特征向量。
【例】：求的特征值和特征向量。
解：由，得，解得；
对，求解，得，取对应于的特征向量；
对，求解，得，取对应于的特征向量。
【例】：求的特征值和特征向量。
解：由，解得；
对，解得对应的特征向量；
对，求解，得，取对应的特征向量。
【例】：求的特征值和特征向量。
解：由，解得；
对，解得对应的特征向量；
对，求解，得，
取对应的特征向量。
特征值和特征向量的性质：
1．，
2．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。
3．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。
4．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若
各不相同，则线性无关。
矩阵特征值与特征向量的求法
矩阵特征值与特征向量的求法1. 什么是矩阵的特征值和特征向量？矩阵是线性代数中的一种重要概念，它由行和列组成的二维数组。
在矩阵运算中，特征值和特征向量是非常重要的概念。
特征值（eigenvalue）是一个标量，表示线性变换在某个方向上的缩放因子。
一个方针的特征值是该线性变换在该方向上对原始向量进行缩放或拉伸的倍数。
特征向量（eigenvector）是与特定特征值相关联的非零向量。
它表示在某个方向上进行线性变换后不改变其方向，只改变其长度。
2. 特征值与特征向量的定义设A为n阶矩阵，如果存在数λ和非零列向量x使得Ax = λx则称λ为矩阵A的一个特征值，称x为对应于λ的一个特征向量。
3. 求解矩阵的特征值和特征向量要求解矩阵A的特征值和对应的特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤1：求解特征方程特征方程是一个关于λ的多项式方程，可以通过以下公式得到：det(A - λI) = 0其中，A为矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
步骤2：解特征方程将特征方程化简后，可以得到一个关于λ的代数方程。
解这个方程即可得到矩阵A的特征值。
步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。
求解过程可以使用高斯消元法或其他方法。
4. 示例假设有一个2x2的矩阵A：A = [[a, b], [c, d]]我们想要求解这个矩阵的特征值和对应的特征向量。
步骤1：求解特征方程根据步骤1，我们需要计算det(A - λI) = 0。
其中，A - λI = [[a-λ, b], [c, d-λ]]det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = 0化简上述等式得到一个二次多项式关于λ：λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) = 0这就是特征方程。
步骤2：解特征方程通过求解特征方程，我们可以得到矩阵A的特征值。
步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。
矩阵特征值与特征向量
矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。
我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。
这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。
2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。
对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。
2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。
特征值可以是实数或复数。
3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。
4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。
如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。
5. 特征向量相互之间线性无关。
三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。
特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。
2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。
可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。
四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。
在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。
2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。
例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。
3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。
通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。
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0
an1
an2 ann
称以为未知数的一元 n次方程 A E 0
为A的特征方程 .
记 f A E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的 特征多项式 .
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4. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,,
n , 则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann; (2) 12 n A .
说明 1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
A E x 0 有非零解的 值 , 即满足方程 A E
0的都是矩阵A的特征值.
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3. A E 0
a11 a12
a21
a22
a1n
a2n
解
2 1 1
A E 0 2 0
4
1 3
( 1) 22 , 令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
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当1 1时,解方程A E x 0.由
1 A E 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1 0 ,
4 1 4 0 0 0
得பைடு நூலகம்础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
(k 0).
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当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
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得基础解系
1 p2 2, 1
所以k p2 (k 0)是对应于 2 3 1的全部特征值.
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例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
k 1,2,,m 1
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把上列各式合写成矩阵形式，得
1
1
m1 1
x1
p1
,
x2
p2
,,
xm
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 ,, xm pm 0,0,,0,
1 p3 0, 4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
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例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于 的特征向量，则
(1) m是Am的特征值 m是自然数 .
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值. (3)当A可逆时， -1|A|是A*的特征值。
各不相等,则 p1 , p2 ,, pm 线性无关 .
证明 设有常数 x1, x2 ,, xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0, 类推之，有 1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
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2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
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3 A 2E 4
1 1
0 0
~
1 0
0 1
0 0,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0,
1
所以k p1(k 0)是对应于1 2的全部特征值.
当 2 3 1时,解方程( A E)x 0.由
2 A E 4
1 2
0 0
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例1 求A 3 1的特征值和特征向量. 1 3
解 A的特征多项式为
3 1 (3 )2 1 1 3
8 6 2 (4 )(2 ) 所以A的特征值为1 2, 2 4.
当1 2时,对应的特征向量应满足
3 2 1 x1 0, 1 3 2 x2 0
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即
x1 x2 0,
x1
x2
0.
解得 x1
x2,
所以对应的特征向量可取为 p1
1 . 1
当 2 4时,由
3 4 1 x1 0,即 1 1 x1 0, 1 3 4 x2 0 1 1 x2 0
解得 x1 x2 ,所以对应的特征向量可取为
p2
1 1
.
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例２
求矩阵A
1 4
1 3
0 0
的特征值和特征向量.
1 0 2
解 A的特征多项式为
1 1 A E 4 3
0
0 (2 )(1 )2 ,
1
0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1. 当1 2时,解方程( A 2E)x 0.由
的特征向量.
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(3)AA*=|A|E A*=|A|A-1
A*x=|A|A-1x=|A| -1x 所以-1|A|是A*的特征值。
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二、特征值和特征向量的性质
二、特征值与特征向量的性质
定理2 设1 ,2 ,,m是方阵A的m个特征值, p1 , p2 , , pm依次是与之对应的特征 向量.如果1 ,2 ,,m
第五章 相似矩阵及二次型
第二节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法 四、小结 思考题
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一、特征值与特征向量的概念
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成立,那末, 这样的数 称为方阵 A的特征值 , 非零向 量x称为A的对应于特征值 的特征向量 .