特征值和特征向量的物理意义
刚度矩阵特征值和特征向量的物理意义
刚度矩阵特征值和特征向量的物理意义在结构力学中，刚度矩阵是一个非常重要的概念，它描述了结构体系中各个节点之间的刚度关系。
刚度矩阵的特征值和特征向量则是刚度矩阵的两个重要性质，它们具有重要的物理意义。
刚度矩阵的特征值代表了结构体系的刚度大小。
刚度矩阵是一个对称正定矩阵，它的特征值都是正数。
特征值越大，代表结构体系的刚度越大，反之亦然。
因此，通过计算刚度矩阵的特征值，可以对结构体系的刚度进行评估和比较。
在实际工程中，刚度矩阵的特征值可以用来判断结构体系的稳定性和安全性，以及进行结构优化设计。
刚度矩阵的特征向量代表了结构体系的振动模态。
特征向量是一个列向量，它的每个元素代表了结构体系中一个节点的振动位移。
通过计算刚度矩阵的特征向量，可以得到结构体系的振动模态，即不同频率下的振动形态。
这对于结构体系的动力响应分析和振动控制具有重要意义。
例如，在地震工程中，可以通过计算结构体系的振动模态，来评估结构体系在地震作用下的响应情况，以及进行结构抗震设计。
刚度矩阵的特征值和特征向量是结构力学中非常重要的概念，它们具有重要的物理意义。
通过计算刚度矩阵的特征值和特征向量，可以对结构体系的刚度和振动模态进行评估和分析，为结构优化设计
和动力响应分析提供了重要的工具和方法。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。
它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。
一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。
特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。
特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。
对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。
我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。
特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。
二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。
解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。
然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。
三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。
在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。
特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。
通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。
2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。
3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。
特征值与特征向量
特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
它们在矩阵理论和特征分析中有着重要的地位和作用。
本文将介绍特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义特征值与特征向量是矩阵理论中的两个重要概念。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量通常以特定的顺序排列。
特征值和特征向量的求解是一个典型的特征值问题，可通过求解矩阵的特征多项式来获得。
具体方法包括对矩阵进行特征分解、通过特征子空间进行求解等。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值和特征向量的性质特征值与特征向量的性质包括：（1）特征值和特征向量的存在性：对于n阶方阵A，一般情况下存在n个特征值和n个特征向量。
（2）特征值的重数：特征多项式在λ=k处有重根，且k是特征值的充要条件是一阶Jordan块的个数等于λ=k的代数重数。
（3）若矩阵A是对称矩阵，则特征值都是实数。
2. 特征值与特征向量的关系特征值与特征向量之间存在着密切的关系：（1）特征值的求解可以得到特征向量，同时特征向量可以确定对应的特征值。
（2）特征值和特征向量是成对出现的，特征值λ对应的特征向量x组成一个特征对。
（3）特征向量可以通过相似变换保持不变。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在很多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
1. 物理学中的应用特征值与特征向量在量子力学、振动理论、电路分析等物理问题中具有重要意义。
在量子力学中，波函数满足薛定谔方程，特征值和特征向量可以描述量子态及其能量。
在振动理论中，物体的振动与其特征值和特征向量相关，可以通过特征值和特征向量来分析和描述振动的特性。
2. 工程学中的应用特征值与特征向量在工程学中的应用广泛。
例如，在结构动力学中，可以通过特征值和特征向量来分析结构体的振动特性，对于工程结构的优化设计起到重要作用。
特征值和特征向量的用用
[1. 特征的数学意义]我们先考察一种线性变化，例如x,y坐标系的椭圆方程可以写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。
我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。
这里的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。
那么，有没有什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有没有这样的矢量b，使得矩阵A*b这样的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一个特征向量，m 就是对应的一个特征值。
一个矩阵的特征向量可以有很多个。
特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值对应的方程组通解求出，反过来也一样。
例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,则常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特征向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特征向量。
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。
还是太抽象了，具体的说，求特征向量的关系，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。
例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特征向量就是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每个特征向量E上面有投影，其特征值v就是权重。
那么每个行向量现在就可以写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。
如果矩阵的秩更小，矩阵的存储还可以压缩。
高等数学中的特征值与特征向量分析
特征值与特征向量是高等数学中一个重要且广泛应用的概念。
它们在线性代数、微分方程、物理学等领域都扮演着重要的角色。
通过对特征值与特征向量的分析，我们可以更深入地了解矩阵和变换的性质，为问题的求解提供更有效的方法。
首先，我们来介绍一下特征向量和特征值。
特征向量是指在线性变换中没有改变方向的向量，即在经过线性变换后，该向量方向保持不变。
特征值则是与特征向量对应的常数，表示在进行线性变换时特征向量所伸缩的比例。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k是一个常数，则k称为A的特征值，而向量x称为A对应于特征值k的特征向量。
特征值和特征向量的分析可以帮助我们解决很多实际问题。
例如，在线性代数中，我们可以通过求解特征值和特征向量来寻找变换矩阵的性质。
在物理学中，特征值和特征向量的应用更加广泛。
在量子力学中，波函数的特征值和特征向量可以告诉我们系统的能量和动态变化；在振动问题中，特征值和特征向量可以帮助我们求解系统的固有频率和振动模式。
在实际应用中，我们需要求解特征值和特征向量的具体方法。
一种常用的方法是使用特征多项式。
我们可以根据矩阵A的特征值的定义，得到特征值λ满足的方程式为|A-λI|=0，其中I是单位矩阵。
通过求解这个方程，我们可以得到A的所有特征值。
然后，我们可以代入特征值，将方程组(A-λI)x=0进行求解，从而得到对应于特征值的特征向量。
另外，特征值和特征向量在对角化方面的应用也是广泛的。
如果一个矩阵A可以被相似变换对角化，那么我们可以通过特征值和特征向量来快速计算A的幂次，从而简化计算过程。
此外，特征值和特征向量还可以帮助我们解决线性方程组和微分方程等问题。
通过对矩阵的特征值和特征向量的分析，我们可以求解系统的稳定性和动态行为。
总之，高等数学中的特征值与特征向量分析是一项重要的工具和技术。
通过对特征值和特征向量进行分析，我们可以深入理解矩阵和变换的性质，为问题的求解提供更有效的方法。
特征值和特征向量物理意义
特征值和特征向量物理意义特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们在物理学、工程学等各个领域都有着广泛的应用。
特征值和特征向量可以帮助我们理解和描述线性变换的特性和行为，对于解决实际问题具有重要的意义。
我们来了解一下特征值和特征向量的物理意义。
特征值是表示线性变换对某个方向的伸缩程度的数值，而特征向量则是表示在该方向上的空间变换不发生改变的向量。
可以这样理解，特征向量是线性变换不改变方向的“方向标志”，而特征值则是线性变换对这个“方向标志”的伸缩程度。
在物理学中，特征向量和特征值的概念被广泛应用于力学、电磁学、量子力学等领域。
以力学为例，我们知道物体在受力作用下会发生形变，而特征向量可以描述这种形变的方向，特征值则可以描述这种形变的程度。
在电磁学中，特征向量可以表示电场和磁场的方向，特征值则可以表示电场和磁场的强度。
在量子力学中，特征向量可以表示粒子的波函数，特征值则可以表示粒子的能量。
在工程学中，特征值和特征向量的应用也是非常广泛的。
以结构工程为例，我们知道在受力作用下，建筑物或桥梁等结构会发生振动。
特征向量可以描述这种振动的模式，特征值则可以描述这种振动的频率。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到结构物的固有振动频率和振动模态，从而评估结构物的稳定性和安全性。
在图像处理和模式识别中，特征值和特征向量也被广泛应用于图像压缩、人脸识别等领域。
特征值和特征向量的求解方法有很多种，其中最常用的是特征值分解和奇异值分解。
特征值分解是将线性变换矩阵分解为特征值和特征向量的形式，而奇异值分解则是将任意矩阵分解为奇异值和特征向量的形式。
这些分解方法为我们分析和解决实际问题提供了有效的数学工具。
总结起来，特征值和特征向量在物理学、工程学等领域中具有重要的物理意义。
它们可以帮助我们理解和描述线性变换的特性和行为，对于解决实际问题具有重要的意义。
特征值和特征向量的应用范围非常广泛，涉及到力学、电磁学、量子力学、结构工程、图像处理、模式识别等多个领域。
特征值 特征向量 物理含义
特征值特征向量物理含义《特征值特征向量的物理含义》特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在物理学中有着广泛的应用和深刻的物理含义。
特征值（eigenvalue）是矩阵运算中的一个概念，它用来描述在特定的变换下，向量发生的拉伸或压缩程度。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征值告诉我们向量在变换下的缩放程度，而特征向量确定了该缩放所发生的方向。
在物理学中，特征值和特征向量的概念被广泛应用于量子力学和振动问题的研究中。
在量子力学中，波函数可以被看作是特征向量，其对应的特征值则表示测量得到的物理量。
特征值告诉我们量子系统的能量级别，而特征向量则表示能量对应的波函数形状。
以振动问题为例，当一个物体受到外力作用时，它会产生振动。
在某些情况下，振动问题可以转化为矩阵的特征值问题。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到系统的固有频率和对应的振动模式。
特征值告诉我们固有频率的大小，而特征向量则表示振动的形状和方向。
另外，特征值和特征向量还可以用于分析矩阵的稳定性和受力分布。
在力学问题中，矩阵可以表示材料的刚度矩阵或效应矩阵。
通过求解特征值和特征向量，我们可以确定结构的稳定性和受力分布。
特征值告诉我们系统的稳定性，而特征向量则表示力的传递路径和受力方向。
总而言之，特征值和特征向量在物理学中具有重要的意义和广泛的应用。
它们不仅能够描述物理量的测量结果和系统的固有特性，还可以用于分析振动问题、结构稳定性和力的传递路径。
通过深入理解特征值和特征向量的物理含义，我们可以更好地理解和解决物理问题。
探究特征值与特征向量在线性代数中的重要性
探究特征值与特征向量在线性代数中的重要性线性代数是数学中一个重要的分支，探究它的意义和应用已经成为一个热门话题。
在线性代数中，特征值与特征向量是两个重要的概念。
本文将探究这两个概念在线性代数中的重要性。
首先，特征向量是一个非零向量，它在一个线性变换下的方向不发生改变，只是乘上一个系数。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax=λx，则x称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
探究特征向量和特征值的重要性，我们可以从不同角度来剖析。
一个重要的应用是在物理上的本征值问题。
在经典力学和量子力学中，许多问题都需要使用特征值和特征向量。
例如，量子力学中，可观测量的本征值对应着物理量的测量结果，而本征向量则代表着物理量所在的位置空间。
本征值问题在物理学中有非常广泛的应用，特别是在量子化学中，本征向量和本征值是对于分子和化学反应进行研究的必备工具。
另一个应用领域是图像处理和计算机视觉中。
通过计算机视觉技术，我们可以处理图像、视频、三维模型等不同类型的数据，使其更适用于计算。
特征向量和特征值在这个领域中也有着重要的应用。
通过特征值分解（EVD, Eigen Value Decomposition）和奇异值分解（SVD, Singular Value Decomposition）等技术，可以实现对于图像的压缩、去噪、重构等功能。
此外，特征值和特征向量也广泛应用于机器学习的领域。
在机器学习中，特征向量和特征值可以用来研究一些数据之间的相似性，帮助我们分类和识别图像、语音、文本等数据类型。
特别是在深度学习的领域中，卷积神经网络（CNNs，Convolutional Neural Networks）中常会使用特征向量和特征值来对图像进行卷积和池化等处理，并实现物体的识别和检测功能。
特征向量和特征值还有许多其他的应用，例如流体力学领域、信号处理、音乐分析等。
在这些领域中，特征向量通常表示对象的主要特性或属性，特征值则表示这些私人辨别特征的程度。
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特征向量体现样本之间的相关程度，特征值则反映了散射强度。
特征向量的几何意义.矩阵(既然讨论特征向量的问题.当然是方阵.这里不讨论广义特征向量的概念)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量.因此.矩阵乘法对应了一个变换.把一个向量变成同维数的另一个向量.那么变换的效果是什么呢?这当然与方阵的构造有密切关系.比如可以取适当的二维方阵.使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度.这时我们可以问一个问题.有没有向量在这个变换下不改变方向呢?可以想一下.除了零向量.没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的.所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意:特征向量不能是零向量).所以一个变换的特征向量是这样一种向量.它经过这种特定的变换后保持方向不变.只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx.你就恍然大悟了.看到了吗?cx是方阵A对向量x进行变换后的结果.但显然cx和x的方向相同).而且x是特征向量的话.ax也是特征向量(a是标量且不为零).所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族. 另外.特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已.对一个变换而言.特征向量指明的方向才是很重要的.特征值不是那么重要.虽然我们求这两个量时先求出特征值.但特征向量才是更本质的东西!比如平面上的一个变换.把一个向量关于横轴做镜像对称变换.即保持一个向量的横坐标不变.但纵坐标取相反数.把这个变换表示为矩阵就是［1 0,0 -1］.其中分号表示换行.显然［1 0,0 -1］＊［a b］＇=［a -b］＇.其中上标＇表示取转置.这正是我们想要的效果.那么现在可以猜一下了.这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变.显然.横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换.那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化).所以可以直接猜测其特征向量是［a 0］＇(a不为0).还有其他的吗?有.那就是纵轴上的向量.这时经过变换后.其方向反向.但仍在同一条轴上.所以也被认为是方向没有变化。
综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。
Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是：T(V)=λ1(V1.V)V1+λ2(V2.V)V2+λ3(V3.V)V3+...从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。
关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，有兴趣的兄弟可以参考IBM的Spiros 在VLDB… 05，SIGMOD ‟06上的几篇文章。
特征向量不仅在数学上，在物理，材料，力学等方面（应力、应变张量）都能一展拳脚，有老美曾在一本线代书里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”，确实令人肃然起敬+毛骨悚然......特征值就是那个矩阵所对应的一元多次方程组的根特征值表示一个矩阵的向量被拉伸或压缩的程度,例如特征值为1111111111,则表示经过变换以后,向量没有被拉伸,在物理上表示做刚体运动,相当与整体框架做了变动,但内部结构没有变化.量子力学中,矩阵代表力学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征植代表力学量的某个可能的观测值。
一个向量（或函数）被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。
如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。
这是特征值的数学涵义；至于特征值的物理涵义，根据具体情况有不同的解释。
比如动力学中的频率，稳定分析中的极限荷载，甚至应力分析中的主应力矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！用matlab求矩阵最大特征值的特征向量用函数[V,D]=eig(A)矩阵D的对角元存储的是A的所有特征值，而且是从小到大排列的矩阵V的每一列存储的是相应的特征向量所以应该是V的最后一个列就是最大特征值的特征向量特征向量-定义数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非退化的向量，其方向在该变换下不变。
该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。
图1给出了一幅图像的例子。
一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。
特征空间是相同特征值的特征向量的集合。
这些概念在纯数学和应用数学的很多领域发挥着巨大的作用—在线性代数，泛函分析，甚至在一些非线性的情况中也有着显著的重要性。
“特征”一词来自德语的eigen。
1904年希尔伯特首先在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。
eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。
空间上的变换—如平移(移动原点)，旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其它变换—可以通过它们在向量上的作用来显示。
向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。
矩阵特征向量-性质（1）变换的特征向量是指在变换下不变或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
特征向量的特征值是它所乘的那个缩放因子。
特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
变换的主特征向量是对应特征值最大的特征向量。
特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
有限维向量空间上一个变换的谱是其所有特征值的集合。
例如，三维空间旋转的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。
该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。
特征值1是旋转的谱当中唯一的实特征值。
特征向量-参看：特征平面例子随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。
考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一个特征向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一个特征向量。
因为指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特征值是1。
另一个例子是，薄金属板关于一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。
这个伸展是一个有特征值2的变换。
从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。
但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。
例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样（图2.）。
振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一个空间中的一个向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。
如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。
驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。
和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。
驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。
因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。
特征向量-特征值方程从数学上看，如果向量v与变换满足则称向量v是变换的一个特征向量，λ是相应的特征值。
其中是将变换作用于v得到的向量。
这一等式被称作“特征值方程”。
假设是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中vi是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。
由此，可以直接以坐标向量表示。
利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。
上述的特征值方程可以表示为：但是，有时候用矩阵形式写下特征值方程是不自然甚或不可能的。
例如在向量空间是无穷维的时候，上述的弦的情况就是一例。
取决于变换和它所作用的空间的性质，有时将特征值方程表示为一组微分方程更好。
若是一个微分算子，其特征向量通常称为该微分算子的特征函数。
例如，微分本身是一个线性变换因为（若M和N是可微函数，而a和b是常数）考虑对于时间t的微分。
其特征函数满足如下特征值方程：,其中λ是该函数所对应的特征值。
这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长，如果λ是负的，它就按比例衰减。
例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。
该特征值方程的一个解是N = exp(λt)，也即指数函数；这样，该函数是微分算子d/dt的特征值为λ的特征函数。
若λ是负数，我们称N的演变为指数衰减；若它是正数，则称指数增长。
λ的值可以是一个任意复数。
因此d/dt的谱是整个复平面。
在这个例子中，算子d/dt作用的空间是单变量可微函数的空间。
该空间有无穷维（因为不是每一个可微函数都可以用有限的基函数的线性组合来表达的）。