特征值与特征向量的求法
幂法求特征值和特征向量
幂法求特征值和特征向量
幂法是一种用于求解特征值和特征向量的迭代算法。
它可以应用于任何具有特征值和特征向量的方阵，并且在实际应用中被广泛使用。
首先，我们需要了解什么是特征值和特征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ是一个实数，那么λ称为A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
幂法的基本思想是通过迭代过程得到一个向量序列，使得每一次迭代后的向量越来越接近于所需的特征向量。
具体步骤如下：
1. 选择一个非零向量b作为初始向量。
2. 迭代计算b的下一个近似向量b' = Ab，即将初始向量乘以
矩阵A。
3. 归一化向量b'，即将b'除以其模长，得到新的向量b。
4. 重复步骤2和步骤3，直到向量b的变化趋于稳定。
在每次迭代过程中，向量b的模长会越来越接近于最大的特征值。
此外，向量b也收敛到与最大特征值对应的特征向量。
需要注意的是，幂法只能找到矩阵A的最大特征值和对应的特征向量。
如果需要找到其他特征值和特征向量，可以通过将矩阵A进行位移变换，使得所需的特征值成为矩阵A的最大特征值。
幂法的收敛速度取决于矩阵A的特征值的大小差异。
如果特征值之间的差异很大，那么幂法将很快收敛。
然而，如果特征值之间的差异很小，那么幂法的收敛速度将较慢。
总之，幂法是一种简单而有效的方法，用于求解矩阵的特征值和
特征向量。
它在很多实际问题中都得到了广泛的应用，例如在机器学习、信号处理和物理学等领域。
数值分析第四章矩阵特征值与特征向量的计算
192.9996. 973
12
➢ 幂法的加速—原点移位法
应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
由比值 r=|2/1|来决定, 但当r接近于1时, 收敛可能
很慢. 这时可以采用加速收敛的方法.
引进矩阵
B=A－0I
其中0为代选择参数. 设A的特征值为1, 2, …, n, 则B的特征值为1－0, 2－0, …, n－0, 而且A, B
10
2 1 0 例 用幂法求矩阵 A 0 2 1
0 1 2
的按模最大的特征值和相应的特征向量.
取 x(0)=(0, 0, 1)T, 要求误差不超过103.
解 y 0 x 0 0 ,0 ,1 T ,
x 1 A 0 0 y , 1 , 2 T , 1 m x ( 1 ) ) a 2 , x
y(1)
x(1)
1
(0,0.5,1)T
x ( 2 ) A ( 1 ) 0 . 5 y , 2 , 2 . 5 T ,2 m x ( 2 ) ) 12 1a . 5 ,
y(2)
x(2) 2
(0.2,0.8,1)T
x ( 3 ) A ( 2 ) 1 . 2 y , 2 . 6 , 2 . 8 T ,3 m x ( 3 ) ) 2 a . 8 ,
x
(
k
1
)
Ax
(k )
A k1 x (0)
在一定条件下, 当k充分大时:
1
x ( k 1) i
x
( i
k
)
相应的特征向量为: x(k1) 4
➢ 幂法的理论依据
n
对任意向量x(0), 有 x(0) tiui ,
i1
x(k1) Ax(k) Ak1x(0)
特征值和特征向量的基本定义及运算
特征值和特征向量的基本定义及运算特征值和特征向量是线性代数中的两个重要概念，广泛应用于机器学习、图像处理、信号处理等领域中。
本文旨在介绍特征值和特征向量的基本定义及运算，并探讨其在实际中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念。
一个 n × n 的矩阵 A 是由 n 行 n 列的元素组成的，并且可以用列向量的形式表示为 A = [a1, a2, ..., an]。
其中，ai 表示矩阵 A 的第 i 列的列向量。
矩阵 A 的特征向量是指一个非零向量 v，满足Av = λv，其中λ 是一个常数，称作该矩阵的特征值。
通常情况下，特征向量 v 与特征值λ 是成对出现的，即一个特征向量对应一个特征值。
二、特征值与特征向量的求解特征值和特征向量的求解是线性代数中的一个经典问题。
一般情况下，可以通过求解矩阵 A 的特征多项式来求解其特征值。
设矩阵 A 的特征多项式为f(λ) = |A - λI|，其中 I 表示单位矩阵。
则 A 的特征值即为方程f(λ) = 0 的根。
对于每个特征值λ，可通过解如下方程组来求解对应的特征向量：(A - λI)v = 0其中，v 表示特征向量，0 表示零向量。
上述方程组的解空间为 A - λI 的零空间，也称为矩阵 A 的特征子空间。
如果矩阵 A 的特征值λ 是重根，则λ 对应的特征向量有多个线性无关的向量。
此时，可求解齐次线性方程组 (A - λI)v = 0 的基础解系，从中选取线性无关的向量作为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质特征值与特征向量有一些重要的性质，其中较为常见的包括：1. 特征值的和等于矩阵的迹设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则有：λ1 + λ2 + ... + λn = tr(A)其中，tr(A) 表示矩阵 A 的迹，即主对角线上元素的和。
2. 特征值的积等于矩阵的行列式设矩阵 A 的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则有：λ1 λ2 ... λn = |A|其中，|A| 表示矩阵 A 的行列式。
第九章矩阵特征值和特征向量的计算
从而：
容易验证：
9.2 幂法的加速与降阶
考虑A－λ0I，因它与A之间特征值有关系：μi=λｉ－λ0,且特征向量不变， 则：
因为此时：
假定最大特征值λ1和最大特征向量V1已求出，并令A(1)=A，现构造：
9.3 反幂法
反幂法用来求A的按模最小的特征值。思想是A与A-1的特征值互为倒数， 用幂法求A-1的最大特征值。
或写为：
一般的计算公式：
处理对称矩阵，下列正交化方法更为有效：
平行迭代法也可用来求按模最小的p个特征值和特征向量：
9.5 QR算法 1、基本步骤：
令A=A1，对A1进行正交分解：
QR算法产生了一个矩阵序列{Ak}，它有两个基本性质： （1）、矩阵序列{Ak}中的每一个矩阵都与A相似：
（2）、若令Hk= Rk Rk-1…. R1则有：
2、QR算法的收敛性问题：
2、定理9.1：假设
2、QR算法举例：求下面矩阵特征值
现用QR算法求解其特征值，首先令A1=A,用Schmidt正交化方法分解：
把A代替A重复上面过程，计算11次得：
9.6 Jacobi算法
其中，D是对角矩阵，它的对角元素是矩阵A的特征值，Jacobi方法 实质上是找一个正交矩阵V，使A正交化。设：
（2）、置k=1，μ=0 （3）、求xr=> λ，| xr |= （4）、计算 Y=X/ λ X=AY
max xi
1 i n
（5）、若| λ－ μ|< ε，输出λ，X,停机，否则转步骤6 （6）、若k<N，k+1=>k，，μ=0， λ=>μ，转步骤3；否则输出失败信息
4、例2：用幂法求矩阵
解：取初始向量Y(0)=(1,1,1)T，用前面公式
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法矩阵在数学与物理等领域中起着重要的作用，而矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义与性质，并探讨了计算矩阵特征值与特征向量的方法。
一、矩阵的特征值与特征向量的定义在介绍矩阵的特征值与特征向量之前，我们先来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示成一个二维数组，其中的元素用于表示矩阵中的各个数值。
矩阵的特征值与特征向量是对矩阵进行分析与求解时非常有用的工具。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的缩放因子，而特征向量则表示在特征值对应的方向上的向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义虽然比较抽象，但是通过对矩阵进行相应的计算可以得到具体的数值结果。
二、计算特征值与特征向量的方法1. 特征值的计算方法计算特征值的方法之一是通过求解矩阵特征方程来完成。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程可以表示为det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
由于特征方程是一个n次多项式方程，所以一般情况下可以得到n个特征值。
特征值的个数与矩阵的阶数相等。
2. 特征向量的计算方法计算特征值后，我们可以通过特征值来求解特征向量。
对于特征值λ，我们需要求解矩阵(A-λI)X=0的非零解，其中X是特征向量。
解特征向量的过程可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来完成，得到的非零解即为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有一些重要的性质，这些性质在矩阵理论与应用过程中都具有重要作用。
1. 特征值和特征向量的对应关系对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值与n个相应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系，即每个特征值对应一个特征向量。
特征值和特征向量
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于各个领域的数学和科学问题中。
特征值和特征向量的理解和运用对于解决线性代数中的矩阵方程、特征分解以及一些实际问题有着重要的意义。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得下式成立：A·x=λ·x其中，λ为一个复数，称为矩阵A的特征值，x称为对应于特征值的特征向量。
对于方阵A，可能存在多个特征值和对应的特征向量。
二、特征值和特征向量的性质1. 特征向量的长度无关紧要：特征向量的长度没有具体的要求，只要方向相同即可。
2. 特征向量是线性的：如果v是一个A的特征向量，那么对于任意标量k都有kv仍是A的特征向量。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的：如果λ1≠λ2，则对应的特征向量v1和v2线性无关。
三、求解特征值和特征向量的方法针对不同的方阵A，求解特征值和特征向量的方法也有所不同，常用的方法有以下几种：1. 特征方程法：令A-λI=0，其中I是单位矩阵，解方程A-λI=0可以得到方阵A的特征值λ。
然后将特征值带入方程(A-λI)x=0，求解得到方阵A对应特征值的特征向量。
2. 幂法：通过迭代的方法求解矩阵的特征值和特征向量。
先随机选择一个向量x0，然后通过迭代运算得到序列x0，Ax0，A^2x0，...，A^nx0，其中n为迭代次数。
当n足够大时，序列将收敛到A的特征向量。
3. Jacobi方法：通过迭代矩阵的相似变换，将矩阵对角化。
该方法通过交换矩阵的不同行和列来逐步减小非对角元素，最终得到对角矩阵，对角线上的元素即为特征值。
四、特征值和特征向量的应用特征值和特征向量在很多领域中都有广泛的应用，包括以下几个方面：1. 图像处理：特征值和特征向量可用于图像的降维和特征提取，通过对图像的特征向量进行分析，可以获得图像的主要特征。
2. 特征分析：特征值和特征向量可用于分析复杂系统的稳定性、动态响应和振动特性，如机械系统、电路系统等。
矩阵的特征值和特征向量的应用
矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域中有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义和计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 特征值和特征向量的定义在矩阵A中，如果向量v在进行线性变换后，仍然保持方向不变，只改变了长度，那么v称为A的特征向量，它所对应的标量λ称为A的特征值。
即满足下述等式：Av = λv其中，A是一个n阶方阵，v是一个n维非零向量，λ是一个标量。
2. 计算特征值和特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，需要求解线性方程组(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵，x是一个非零向量。
解这个方程组，可以得到λ的值，即特征值，以及对应的特征向量。
3. 特征值与特征向量的性质- 特征值可以是实数或复数，特征向量通常是复数。
- 特征向量可以相互线性组合，但特征向量的数量不超过矩阵的阶数n。
- 特征值的个数等于矩阵的阶数n，不同特征值对应的特征向量线性无关。
4. 特征值和特征向量在几何中的应用矩阵的特征值和特征向量在几何中有重要的应用，可以帮助我们理解线性变换的性质。
例如，在二维空间中，对应于矩阵的特征向量可以表示空间中的特定方向，特征值代表了沿该方向进行线性变换的比例因子。
5. 特征值和特征向量在物理学中的应用在量子力学中，特征值和特征向量与物理量的测量和量子态的演化密切相关。
例如，在求解薛定谔方程时，特征值对应于能量的可能取值，特征向量对应于量子态的波函数。
6. 特征值和特征向量在数据分析中的应用特征值和特征向量在数据分析中也有广泛的应用。
例如，在主成分分析（PCA）中，特征向量可以帮助我们找到数据集中的主要变化方向，特征值可以衡量这些变化的重要性。
另外，在图像处理中，特征向量可以用于图像压缩和特征提取。
总结：矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在几何、物理学和数据分析等领域都有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以更好地理解线性变换的性质，同时也可以应用于解决实际问题。
矩阵特征值和特征向量的计算方法
例：设
4 1 A 1 0
1 1
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
D1：| z 4 | 1 孤立圆盘
0 1
D2：| z | 2 D3：| z 4 | 2
3 1 5
4 D diag(1,1,109)
A D1AD
D1：| z 4 | 1
D2：| z | 199 D3：| z 4 | 1.8
x0
(3)
n
min R(x) xR n
x0
8
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幂法及反幂法 幂法 主特征值
A (aij ) Rnn，有一组完全旳特征向量组， Axi i xi (i 1,2,, n)
{ x1, x2 ,, xn}线性无关
| 1 || 2 | | n |
9
幂法旳其本思想
设A Rnn，则存在正交矩阵Q使
R11 QT AQ
R12 R1n
R22
R2
n
Rnn
其中对角块Rii (i 1,2,, m)为一阶或二阶方阵，
且每个一阶Rii 是A的实特征值，每个二阶对角
块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。
6
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Def
设A Rnn为对称矩阵，x 0，称 R(x) ( Ax, x) (x, x)
A1的特征值为
|
1
1
|
|
1
2
|
|
1
n
； |
对应的特征向量，x1
,
x2 ,,
xn，
对A1应用幂法即可！
23
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反幂法旳迭代公式
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满足 A E 0的数为特征值 方程组( A E)X O的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1：求矩阵A的特征 值与特征向量。
1
2
2
A 2 2 4
2 4 2
解：
1 A E 2
2
2
2
4
2 4
2
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
(1 )(2 )2 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 ) (1 )(4 4 2 ) 24 32
T
T
3
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个，求方程组( A E) X O的基础解系；
即得到属于这个特征值的全部线性无关的特征向量。
练习
5 1 3
C 1
5 3, r(C) 2, a ?
3 3 a
=0是C的特征值吗？为什么？
a 3.
例2：求矩阵B的特征 值与特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量， 使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向 量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法： A , O.
A (A E) O,
是方程组(A E)X O的非零解, A E 0.
2x2
2x3
0
1 (2,1, 0)T ,2 (2, 0,1)T
为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为
k11 k22（, k1, k2不全为零）。
同理可求3 7的特征向量为3 (1，2，2)T .
其全部特征向量为k3(k 0).
12
((22, 0,1,1, 0))T,,3(1，(1，2，2，22) )T线线性性无无关关。
1
1
0
B 4 3 0
1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
பைடு நூலகம்
0 0
1 0
2
,
1
(1,
2,
1)T
.
0
线性无关 的特征向 量只有一个
对3 2,
3
B
2E
4
1 1
0 1
0
4
0 1
0 1 0 0
0 1
0 1 0 0
3 32 24 28.
经试根知，2是一个根。故
上式 ( 2)(2 5 14) ( 2)( 7)( 2)
1 2 2,3 7
对1 2 2, (解( A 2E) X O)
1 2 A 2E 2 4
2 1 2 4 0 0
2
4 4
0
0
2
0
x1
0 1
0 0
1 0 0 3 1 0
0
1 0
0 0 0
x1
0,
x2
0,
x3任意。
3
(0，0，1) . T
1 (1,2, 1)T，3 (0，0，1)T 线性无关.
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个，求方程组( A E) X O的基础解系
即得到属于这个特征值的线性无关的特征向量。
问题 矩阵的k重特征值是否一定有k个线性无关的特征向量？