第8章 特征值问题的计算方法
矩阵特征值问题的数值方法.
矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。
所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。
如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。
逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。
上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。
结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。
相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。
(证明略)正交相似变换：中。
正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。
容易验证：。
适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。
矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。
则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。
适当x z —D 。
选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。
矩阵特征值与特征向量的计算_OK
n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0
的根.
A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通
过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，
“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
可得
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11 m ax (11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
i
(
i 1
)
k
i
)
7
i2
所以
8.1.1 幂法
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
max(11
i
(
i 1
)
k
i
)
lim
k
xk
11 max (11 )
i2 1
max (1 )
y=x/max(x)为向量x例的如规,范设化向向量量x=. (2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-
0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.
幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
yk
Axk1
mk max(yk ) xk yk / mk , k 1,2,3,
1 1 1 1
n
n1
n2
1
对应的特征向量为ξn, ξn-1,…, ξ1.
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
第8章 矩阵特征值计算
第八章 矩阵特征值计算1 特征值性质和估计工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。
另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1.1 特征值问题及性质设矩阵n n ⨯∈A R （或n n ⨯C ），特征值问题是：求C λ∈和非零向量n R ∈x ，使λ=Ax x (1.1)其中x 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。
A 的全体特征值组成的集合记为sp()A 。
求A 的特征值问题(1.1)等价于求A 的特征方程()det()0p I λλ=-=A (1.2)的根。
因为一般不能通过有限次运算准确求解()0p λ=的根，所以特征值问题的数值方法只能是迭代法。
反之，有时为了求多项式111()n n n n q a a a λλλλ--=++++的零点，可以把()q λ看成矩阵123101010n a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征多项式（除(1)n -因子不计）。
这是一个Hessenberg 矩阵，可用QR 方法求特征值，从而求出代数方程()0q λ=的根。
矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵A 的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。
本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given 方法和Householder 方法；求任意矩阵全部特征值的QR 算法。
在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。
定理1 设n n R ⨯∈A ，则(1) 设λ为A 的特征值，则λμ-为μ-A I 的特征值；(2) 设12,,,n λλλ是A 的特征值，()p x 是一多项式，则矩阵()p A 的特征值是12(),(),,()n p p p λλλ。
第8章 特征值和特征向量
第8章特征值和特征向量M A T L A B中的命令计算特征值和特征向量很方便，可以得到不同的子结果和分解，这在线性代数教学时很有用。
注意，本章中的命令只能对二维矩阵操作。
8.1 特征值和特征向量的计算假设A是一个m×n的矩阵，A的特征值问题就是找到方程组的解：其中λ是一个标量，x是一个长度为n的列向量。
标量λ是A的特征值，x是相对应的特征向量。
对于实数矩阵A来说，特征值和特征向量可能是复数。
一个n×n的矩阵有n个特征值，表，λ2，. ..，λn。
示为λ1M A T L A B中用命令e i g来确定矩阵A的特征值和特征向量。
特征向量的规格化，就是每个特征向量的欧几里得范数为1；参见7 .6节。
命令e i g自动完成对矩阵A的平衡化。
这就要求M A T L A B找出一个相似变换矩阵Q，满足条件。
求的特征值比求A的特征值条件更好些。
万一A有一个和机器错误大小一样的元素，平衡化对于计算过程是没有好处的。
带有参数n o b a l a n c e的命令e i g可用来计算没有这个变换矩阵的特征值和特征向量。
命令集7 9特征值和特征向量e i g(A)求包含矩阵A的特征值的向量。
[ X,D]=e i g(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足A X=X D。
为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。
[ X,D]=不经过平衡处理求得矩阵A的特征值和特征向量，也就是e i g(A,’n o b a l a n c e’)不进行平衡相似变换。
b a l a nc e(A)求平衡矩阵。
[ T,B]=b a l a n c e(A)找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T－1AT。
B是用命令b a l a n c e求得的平衡矩阵。
e i g s(A)返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和命令e i g一样，但是不返回全部的特征值。
特征值的解法
θ
选择的能消去
a
s +1 pq
π / 4
此外，若
a
s pp
− aqsq
= 0 ，那么选择 θ = aspq /
aspq
(π / 4) 。注意，若
a
s pq
=
0
那么就不需要旋转了。(当然按目前的策略，若
a
s pq
= 0 ，那末 A
已经是对角形了。) Jacobi 算法产生一个趋向于确定的对角形矩阵的
的 ∞ − 范数为 1。 改进的算法为给定任一向量 u0 ≠ 0 ，对 k = 0,1,2,L ，计算
3
关于特征值和特征向量问题的综述
βk = max(uk ) ,vk = uk βk ,uk+1 = Avk
其中 max (uk ) 表示 uk 中绝对值最大的分量。
（二） Jacobi 法 1、基本原理 Jacobi 法是求实对称矩阵全部特征值的一种有效方法。它不但能
利用平面旋转 R ( p,q) 的相似变换仅仅影响位于第 p,q 行和列的元素。
4
关于特征值和特征向量问题的综述
被修改的元素由
a s+1 ip
=
aisp
cos
θ
+
aisp
sin θ
=
a s+1 pi
a s+1 iq
=
− aisp
sin θ + aisq
cos θ =
a s+1 qi
,i
≠
p,q
a s+1 pp
在实际应用中，特征值问题有着广泛的应用背景，例如微分方程 的刚性比和数值方法的稳定性；动力系统和结构系统的振动问题；电 力系统的静态稳定分析；因子分析模型中的因子载荷、共同度和特殊 方差的估计等，实质上都是矩阵的特征值问题。
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
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Th8.1.1（Jordan分解） n n 设 A C ，有 r个互不相同的特征值i (i 1,, r )
，
其重数分别为 ni (i 1,, r ) ，则一定存在非奇异矩阵
P C nn 使得 P 1 AP diag(J (1 ), J (2 ),, J (r )) J
k 1 n
A u0
k
k
k 其中 k 为 A u0 的模最大分量
幂法迭代算法：
u0 , u0
1
设
yk Auk 1 k yk yk uk
if 输出 uk 和 k
For k=1,2,3,…
uk 和 k均收敛，由算法知 Auk 1 k uk
lim Auk 1 lim k lim uk
1 。
特征子空间：V
x Ax x 0
证明：设 A 有如下Jordan分解：
A Xdiag(J1 ,, J p ) X n n J i C 是属于i 的Jordan块构成的块上三角矩阵 1 1是半单的特征值 J1 1In 令 y X u0
i i
y3 (0.3659 0.8537 1)
T
T
3 4.92
3 T Step4 y4 Au3 (1.5854 3.9268 4.8537) 4 4.8537
u4 y4 u3
4
(0.3266 0.8090 1)
T
特征值及相应的特征向量精确值为:
4.7321
u (0.2679 0.7320 1)
Axn n xn
zk
1
if
k zk zk 1
反幂法每次迭代都需要 求解方程组
Ayk zk 1
输出 zk 和 k
收敛速度取决于
n : n1的大小
带位移的反幂法：
lim uk x1
k
Auk 1 k uk k 1 (k )
几点说明：
定理8.2.1条件不满足时，幂法产生的向量序列 uk
可能有若干个收敛于不同向量的子序列；
幂法的收敛速度取决于 2 : 1 的大小；
A u0
k
1k
X1 y1 X 2 (
J2
1
n n
mi n rank(i I A) 为i 的几何重数。
mi ni
Def 2 设 A C ，对于矩阵 A 的特征值 i ，如果 mi ni ，则称该特征值 i 为 A 的一个半单特征值。
若 A 的所有特征值都是半单的，则称 A是非亏损的。
A是非亏损的等价条件是 A有n个线性无关的特征向量
其中J (i ) diag( J1 (i ),,, J k (i )) C ni ni ;1 i r i
i J j ( i )
1
i
J ( ) 且除了 的排列 j i 次序外， J 是唯一的。 1 i J 称作 A 的Jordan标准型
k 1 1 1 k 2 k p
A u0 X J y X2 J y2 X P J y p
k k 1 1 1 k 2 k p
k k 1k X1 y1 X 2 J2 y2 X p J p yp Jp k J2 k k 1 ( X1 y1 X 2 ( ) y2 X p ( ) y p )
特征多项式
( A)
pA ( ) det( I A) 的根的集合：谱集
det( I A) ( 1 ) ( 2 ) ( p ) 其中 n1 n2 np n; i j (i j )
n1 n2
np
称 ni 为i 的代数重数（简称重数）；
k 1 n
j 1
j 1
k j
说明：当k充分大时,
1 的一个近似特征向量为
uk
A u0
k
k 1
特征向量可以相差一个倍数
因为向量 uk
A u0
k
但我们关心的仅是 uk 的方向，故作如下处理： 令 uk
k 1
中含有未知量 1，实际不能计算
j k (1 x1 j ( ) ) x j ) k 1 A u0 j2 n k j k k 1 (1 x1 j ( ) ) x j ) 1 j2 x1 (k ) x1
1
将 y 和 X 如下分块：
1
y ( y , y ,, y ) n1 n2 n p
T 1 T 2
T T p
X ( X1 , X 2 , X p ) n1 n2 n p
1 Ak u0 Xdiag(J1k ,, J k ) X u0 p
X J y X 2 J y2 X P J y p
i i A 2 ; i 1, 2,, n
说明：对称矩阵的特征值总是良态的。
§2 幂法与反幂法/*Power Method and Reversed Power Method*/
幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。
一、幂法的基本思想与算法
1
x
1
n n1 1
i
对A 应用幂法就可以求得矩阵 A的 模最小的特征值和相应的特征向量。
反幂法算法：
z0 , z0 1
若 For k=1,2,3,…
zk 和 k 均收敛，由幂法知
k
lim zk xn lim k n
k
Ayk zk 1 k yk yk zk
T
幂法的收敛性： n n Th8.2.1 设 A C 有 p个互不相同的特征值满足： 1 2 p 且模最大特征值 1 是半单的，如果初始向量 u0在 1
的特征子空间上的投影不为零，则由幂法算法产生的 序列 k 收敛到 向量序列 uk 收敛到 1 的一个特征向量 x1，且数值
Th8.1.2（Schur分解） n n n n 设 A C ，则存在酉矩阵 U C ，使得：
U AU T
H
其中 T 是上三角矩阵，且适当选择 U ，可使 T 的元素 按任意指定的顺序排列。
（圆盘定理）/*Disc Theorem*/ Th8.1.3 设 A (aij ) C nn ，令
) y2 X p (
k
Jp
1
)k y p
加速方法：适当选取 ，对 A I 应用幂法
Ax 1 x Ax x 1 x x
称之为原点平移法
( A I ) x (1 ) x
原点平移法不改变 矩阵 A 的特征向量
幂法可以计算第二个模最大特征值 2
1
其中 B是n-1阶方阵
2为 B 的模最大特征值
二、反幂法的基本思想与算法
反幂法是求一个矩阵的模最小的特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法（又称为反迭代法）。 设 Ax x ，则 A x
1
1
不妨假设 A的特征值为 则 A 的特征值为
1
n n1 1
i
A u0 j A x j j x j
k k
n
n
j k (1 x1 j ( ) ) x j ) 1 j2 n j k Ak u0 (1 x1 j ( ) ) x j ) 1 x1 ( k ) k 1 1 j2
其中 1 , , n 是 A 的n个特征值。
（极大极小定理） Th8.1.5 设 A R n n为对称矩阵，且 A 的特征值为 1 2 n
T uT Au u Au 则有i max min T min max T n n in 0 u u u u u i 1 0 u
其中 k 表示 R n中所有k维子空间的全体。
n
Th8.1.6（Weyl定理） 设 A, B Rnn为对称矩阵，其特征值分别为
则有
1 2 n ; 1 2 n
i i A B 2 ; i 1, 2,, n
注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到， 本身必然存在误差，不妨假设 B A A
常用的方法：降阶方法（收缩技巧） 设已经计算出模最大特征值 1 及其特征向量 x1 对向量 x1 ，采用复的Household变换计算酉矩阵 P
Ax1 1 x1
Px1 1e1 1 1 H PAP e1 PAx1 P1 x1 1e1
H
PAP
0
1 1
B
假设 A C
n n
是可对角化的，即 A 存在如下分解：
1
A X X 其中 diag(1 ,, n ) ; X [ x1 ,, xn ] C nn
不妨假设
1 2 n
对于 u0 C n
u0 1 x1 2 x2 n xn ;i C
y1 Au0 (3 5 5) y1 T 3 u1 ( 1 1) 1 5 1 5 T 23 11 5) Step2 y2 Au1 ( 5 5 y2 T 23 11 2 5 u2 ( 1) 2 25 25
解：Step1
T
Step3
y3 Au2 (1.8 4.2 4.92)
ji
Gi ( A) { z C : z aii aij }; i 1, , n
则 ( A) G1 ( A) G2 ( A) Gn ( A)
Th8.1.4（谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ nn 设 A R n n 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q R T 使得 Q AQ diag(1 ,, n )