数值计算方法第八章 非线性方程求解

0.42
0.4
4
6
8
10
12 k
14
16
18
20
22
定理8.2（局部收敛性定理） 若函数 ( x) 在
x
*
的邻域 U ( x* , ) 连续可微，x *
是方程 x ( x) 的解，且 ( x) 1，则存在正数
* , 使得对任意 x0 [ x* , x* ], 迭代序列
eps=5e-5;dx=1;x0=0.4;k=4; fprintf('It.no=%2d x[%2d]=%10.6f',k,k,x0) plot(k,x0,'r*') hold on while(dx>eps) k=k+1; x=1/(x0+1)^2; dx=abs(x-x0)/(1+abs(x)); plot(k,x0,'r*') fprintf('It.no=%2d x[%2d]=%10.6f',k,k,x) if mod(k+1,3)==0,fprintf('\n'),end x0=x; end fprintf('\n满足精度要求的迭代次数k=%2d',k) x
x0 [a, b]
迭代序列
x n 1 g ( x n ), (n 0,1, )
都收敛于x*，并有
Ln x * xn x1 x0 1 L
(8-2-2)
注：用定理8、2比定理8、1方便。 如上面的函数取
20 40 g ( x) 2 g ( x) 2 , 2 x 10 ( x 10) 40 x 80 ( x) 2 x [1,2] g 2 1 2 ( x 10) 11 迭代收敛。 误差估计式表明L越小迭代收敛越快。
第八章 非线性方程及非线性方程组的解法
主要内容： 1、对分区间法 2、简单迭代法 3、牛顿法与弦截法 4、抛物线法 5、非线性方程组的解法
研究对象：迭代方法、收敛条件、收敛速度
k-重零点:
若x=a处f(x)满足f(a)=0,f(L)(a)=0,(L=1,2,--,k-1) ,f(L)(a)=/=0(k=1,2,---) （8-1-1） 则称x=a为f(x)的k-重零点（方程f(x)=0的k-重根）. 方程f(x)=0有k-重根等价函数可分解为
f ( x) ( x a) k ( x), (a) 0
(8-1-2)
8-1、对分区间法
对分法的基本思想：
通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根 区间缩小，从而可得方 程的近似根数列{xn }.
设f(x)在区间[a,b]上连续，有f(a)f(b)<0 则由连续函数的介值定理，f(x)在(a,b)必有 零点，称(a,b)为方程f(x)=0的有根区间.
例2、用对分区间法求f(x)的唯一实根，其误 差不超过 1 4
2 10
其中 解：
f ( x) x3 10 x 20 0
易知
f (1) 12 10 20 0
f (2) 2 2 20 20 0
f ( x) 3x 2 10 0, x (, ) f ( x)
function [x_star,k]=bisect923(fun,a,b,ep) % 二分法解f(x)=0 %fun(x)为求根的函数f(x),a,b为初值区间的端点 %ep为精度（默认值为1e-5），当(b-a)/2<ep时终止计算 %x_star为迭代成功时的方程的根，k表示迭代次数 %当输出迭代次数k为0时表示在此区间没有根存在 if nargin<4 ep=1e-5;end fa=feval(fun,a);fb=feval(fun,b); if fa*fb>0 x_star=[fa,fb];N=0;return;end k=1; while abs(b-a)/2>ep x=(a+b)/2;fx=feval(fun,x); if fx*fa<0 b=x;fb=fx; else a=x;fa=fx; end k=k+1; end x_star=(a+b)/2;
单调增的， f ( x) x 2 10 x 20 0 有唯一实根，且在[1，2]内。
对分区间的次数
1 ln(2 1) ln( 10 4 ) 2 n 1 13.28 n 14 ln 2
x （计算结果见教材） 14 1.5945741 即为所求。
fun=inline('x^3+10*x-20','x'); [x,k]=bisect923(fun,1,2,0.0005) x= k= 1.5942 11
It.no= 4 ， x[ 4]= 0.400000， It.no= 5， x[ 5]= It.no= 6， x[ 6]= 0.438459， It.no= 7， x[ 7]= It.no= 8 ， x[ 8]= 0.454516， It.no= 9， x[ 9]= It.no=10 ，x[10]= 0.461090，It.no=11， x[11]= It.no=12， x[12]= 0.463759，It.no=13， x[13]= It.no=14 ，x[14]= 0.464839，It.no=15， x[15]= It.no=16， x[16]= 0.465276，It.no=17 ，x[17]= It.no=18， x[18]= 0.465452，It.no=19 ，x[19]= It.no=20， x[20]= 0.465523，It.no=21， x[21]= It.no=22 ，x[22]= 0.465552 满足精度要求的迭代次数k=22 x = 0.4656
lim a n lim bn x *
n n
且x =x*是方程f(x)=0的根。取xn=(an+bn)/2为 近似根，其误差为
bn a n b a （8-1-3） x xn n 1 2 2 上述方法求非线性方程f(x)=0近似根称为---对分区间法. 算法：8-1（见教材186页）
8-2、简单迭代法
已知方程的根得近似值，由递推公式
xn 1 g ( xn )
产生序列逼近真值。 f ( x) 0 x ( x),
若 xn 收敛于x* , ( x)在x*处连续
x* lim xn 1 lim ( xn ) ( x* )
n n
k
7 8
xk
f ( xk )符号
隔根区间
[1.359375,1.375] [1.359375,1.3671875]
1.3671875 1.36328125
+ -
所以有 1 * x (1.359375 1.3671875) 1.363 2
fun=inline('x^3+4*x^2-10','x'); [x,k]=bisect923(fun,1,2,0.005) x= k= 1.3633 8
x [a, b]
a g ( x) b;
（2）存在常数0<L<1，使
x, y [a, b]
g ( x) g ( y ) L x y
则方程x=g(x)在[a,b]内有唯一根x*，且对 x0 [a, b] ，迭代序列
x n 1 g ( x n ), (n 0,1, )
例3
已知方程10 x x 2 0在[0.3,0.4]内有
k
一根，用两种不同的迭代公式 (1)xk 1 10 x 2 (2)xk 1 lg( xk 2) 进行迭代，观察所得序列的收敛性。
解： 计算结果如下表：
k 0 1 2 3 4 (1)xk
0.3 -0.0047 -1.0108
xn 1 ( xn )
收敛于 x 证明思路：1）迭代函数在邻域内是收敛的；2）迭代 函数在正方形内。 ----------迭代函数满足压缩映象原理的两个条件。
*
1 迭代法的收敛速度(收敛阶) ）
(2)xk
0.3 0.3617 0.3732 0.3753 0.3757
例3‘用不动点迭代格式
xk 1 1/ ( xk 1)2 , (k 0,1, 2,)
求解方程
f ( x) x( x 1)2 1 0
在区间[0，1]的一个实根，初始值x0=0.4, 精确到4位有效数字
即为所求。（称为简单迭代法）
注：在例1中取
x x 3 11x 20 等价方程
3 n
x0 1.5 ，若改写原方程为
xn 1 x 11xn 20
x1 0.125, x2 21.376953, x3 10023.861, 迭代序列发散！ 20 若改写原方程为等价方程 xn 1 x 2 10 n
设f(a)<0，f(b)>0.取x0=(a+b)/2 若f( x0)=0，则x=x0是方程f(x)=0的解。 否则若f( x0) <0，取a=x0, b1=b; 若f( x0) >0，取a1=a, b1= x0,有
ba [a1 , b1 ] [a, b], b1 a1 2
且f(x)在区间[a1,b1]上连续，满足(a1)f(b1)<0.
*
注：给定误差限，可求对分区间的次数。
ba ln(b a) ln x xn n 1 n 1 ln 2 2
*
（8-1-4）
例1、
用二分法求方程 x 3 x 2 10 0在
[1 2]内根的近似值，要求绝 对误差不超过 ， 1 102. 2 解： f ( x) x 3 4 x 2 10在[1 2]上 ，