计算方法6矩阵特征值和特征向量
计算方法6_矩阵特征值和特征向量
Eigenvalues and Eigenvectors
问题的提出
矩阵特征值计算非常重要，在很多方面应用
数值分析中，和矩阵有关的迭代序列的收敛
取决于迭代矩阵的特征值大小
动态系统中，特征值标志着系统是否是稳定
的
振动系统中，微分方程的特征值或者有限元
模型的矩阵系数和系统的固有频率直接相关
问题的解决：目前，求矩阵特征值问题实际采用 的是迭代法和变换法。
6.2 幂法（Power Method）
0 1 [例7.2] 计算矩阵 A＝ 1 1 的特征值 [解] 方法 1：
－ 1 I－ A ＝2 －－ 10 － 1 － 1 1 （ 1 5 ） / 2 1.61803 2 （ 1 5 ） / 2 0.618034
当k充分大时 （ k） k k X （ x ( 1 ) 2 x 2 ） 1 1 1 （ k＋ 1 ） 1 X k1＋ （ 1 x1 ( 1)k＋1 2 x 2 ） （k＋2） 2 （ k） X k1＋ （ 1 x1 ( 1)k＋2 2 x 2 ） 2 X 1 （ k） X 呈现有规律的摆动 (k 2) (k ) 2 ＝ X / X 1 i i 1 ＝ X i(k 2) / X i(k )，i 1,2, , n 又有
称为方阵A的特征多项式。
显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。特征 方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的 次数（重跟按重数计算），因此n阶方阵有n个特 征值。显然，n阶单位矩阵E的特征值都是1。 设n阶方阵 A (aij )的特征值为 λ 1 ,λ 2 ,λ n则有 （1） λ 1 λ 2 λ n a11 a22 ann ;
线性代数矩阵的特征值与特征向量
线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。
在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。
希望能对读者理解这两个概念有所帮助。
1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。
（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。
（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。
（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。
3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。
具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。
（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。
5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。
具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。
6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。
（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。
（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。
矩阵特征值与特征向量的计算方法
矩阵特征值与特征向量的计算方法矩阵是一个广泛应用于线性代数、微积分和物理学等领域的数学对象。
在许多问题中，矩阵和线性变换起着重要作用，并且特征值与特征向量是矩阵理论中的两个核心概念。
本文将介绍矩阵特征值与特征向量的定义、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得A与x的线性组合仍然是x的倍数，即有Ax = λx其中λ为常数，称λ为A的特征值，x为对应于λ的特征向量。
从几何意义上理解，特征向量是不被矩阵变换影响方向，只被影响长度的向量。
特征值则是描述了矩阵变换对于特定方向上的伸缩倍数。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征向量构成的向量空间没有零向量。
证明：设x为A的特征向量，有Ax=λx，则A(cx) =cAx=cλx=λ(cx),即A的任意常数倍(cx)仍是x的倍数，因此cx也是A的特征向量。
特别地，对于λ≠0时，x/λ也是A的特征向量。
2. A的特征值的个数不超过n个。
证明：考虑特征值λ1, λ2,…,λt，对应于各自的特征向量x1,x2,…,xt。
利用向量线性无关性可得，至少存在一个向量y不属于x1,x2,…,xt的张成空间内，此时Ay不能被表示成λ1x1,λ2x2,…,λtxt的线性组合，因此Ay与y方向没有重合部分，由此可得λ1, λ2,…,λt最多就是n个。
3. 如果特征向量x1,x2,…,xt彼此不共线，则它们就可以作为Rn空间的一组基。
证明：设x1,x2,…,xt是不共线的特征向量，考虑它们张成的向量空间V，在此空间中，A的作用就是对向量做伸缩变换，且Λ(xj) = λj。
对于每个向量y ∈ V，y可以表示成如下形式：y = c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt由于x1,x2,…,xt构成V的基，因此c1,c2,…,ct唯一确定了向量y。
因此，对于任意的向量y，可以得到:Ay = A(c1x1 + c2x2 + ··· + ctxt)= c1Ax1 + c2Ax2 + ··· + ctAxt= λ1c1x1 + λ2c2x2 + ··· + λtctxt由于{x1,x2,…,xt}是V的一组基，c1,c2,…,ct是唯一确定的，因此Ay也被唯一确定了。
矩阵的特征值与特征向量的简易求法
矩阵的特征值与特征向量的简易求法特征值与特征向量对于矩阵的性质和变换有着重要的意义。
矩阵的特征值可以帮助我们判断矩阵的相似性、可逆性以及矩阵的对角化等；而特征向量可以帮助我们理解矩阵的线性变换、寻找矩阵的基矢量等。
求解矩阵的特征值与特征向量可以采用多种方法。
下面介绍两种常见的简易求法：特征多项式法和幂迭代法。
特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量的一种常见方法。
其步骤如下：步骤1：对于n阶方阵A，求解其特征多项式，即特征方程det(A-λI)=0。
其中，I为单位矩阵，λ为未知数。
步骤2：将特征多项式化简，得到一个关于λ的方程，如λ^n+c1λ^(n-1)+c2λ^(n-2)+...+cn=0。
步骤3：解这个n次方程，得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
步骤4：将每个特征值λi带入原方程(A-λI)X=0，求解对应的特征向量。
特征多项式法适用于任意阶数的方阵，但是对于高阶矩阵，其计算过程可能比较复杂，需要借助数值计算工具。
幂迭代法是一种迭代求解特征值与特征向量的方法，适用于对于方阵的特征值为实数且相近的情况。
其步骤如下：步骤1：选取一个初始向量X(0)，通常是一个n维非零向量。
步骤2：迭代计算：X(k+1)=A*X(k)，其中k为迭代次数，A为待求特征值与特征向量的方阵。
步骤3：计算迭代步骤2中得到的向量序列X(k)的模长，即，X(k)。
步骤4：判断，X(k)-X(k-1)，是否满足预定的精度要求，如果满足，则作为矩阵A的近似特征向量；否则，返回步骤2继续进行迭代。
步骤5：将步骤4得到的近似特征向量作为初始向量继续迭代，直至满足精度要求。
幂迭代法的优点是求解简单、易于操作，但由于其迭代过程，只能得到一个特征值与特征向量的近似解，且只适用于特征值为实数的情况。
在实际应用中，根据具体问题的要求，可以选择适合的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。
除了特征多项式法和幂迭代法，还有QR分解法、雅可比迭代法等其他方法。
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法矩阵在数学与物理等领域中起着重要的作用，而矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义与性质，并探讨了计算矩阵特征值与特征向量的方法。
一、矩阵的特征值与特征向量的定义在介绍矩阵的特征值与特征向量之前，我们先来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示成一个二维数组，其中的元素用于表示矩阵中的各个数值。
矩阵的特征值与特征向量是对矩阵进行分析与求解时非常有用的工具。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的缩放因子，而特征向量则表示在特征值对应的方向上的向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义虽然比较抽象，但是通过对矩阵进行相应的计算可以得到具体的数值结果。
二、计算特征值与特征向量的方法1. 特征值的计算方法计算特征值的方法之一是通过求解矩阵特征方程来完成。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程可以表示为det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
由于特征方程是一个n次多项式方程，所以一般情况下可以得到n个特征值。
特征值的个数与矩阵的阶数相等。
2. 特征向量的计算方法计算特征值后，我们可以通过特征值来求解特征向量。
对于特征值λ，我们需要求解矩阵(A-λI)X=0的非零解，其中X是特征向量。
解特征向量的过程可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来完成，得到的非零解即为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有一些重要的性质，这些性质在矩阵理论与应用过程中都具有重要作用。
1. 特征值和特征向量的对应关系对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值与n个相应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系，即每个特征值对应一个特征向量。
矩阵特征值与特征向量的求法
矩阵特征值与特征向量的求法一、矩阵特征值与特征向量的定义矩阵特征值（eigenvalue）是指一个矩阵在某个非零向量上的线性变换结果等于该向量的常数倍，这个常数就是该矩阵的特征值。
而对应于每个特征值，都有一个非零向量与之对应，这个向量就是该矩阵的特征向量（eigenvector）。
二、求解矩阵特征值与特征向量的方法1. 特征多项式法通过求解矩阵A减去λI（其中λ为待求解的特征值，I为单位矩阵）的行列式det(A-λI)=0来求解其特征值。
然后将每个特征值代入到(A-λI)x=0中，即可求得对应的特征向量x。
2. 幂法幂法是一种迭代方法，通过不断地将A作用于一个初始向量x上，并将结果归一化，最终得到收敛到最大（或最小）特征值所对应的特征向量。
具体步骤如下：(1) 选取任意一个非零初始向量x；(2) 将Ax除以x中最大元素得到新的向量y=A*x/max(x)；(3) 将y归一化得到新的向量x=y/||y||；(4) 重复步骤2-3，直到收敛。
3. QR分解法QR分解是将矩阵A分解为Q和R两个矩阵的乘积，其中Q是正交矩阵（即Q^T*Q=I），R是上三角矩阵。
通过不断地对A进行QR分解，并将得到的Q和R相乘，最终得到一个上三角矩阵T。
T的对角线元素就是A的特征值，而对应于每个特征值，都可以通过反推出来QR分解中的Q所对应的特征向量。
4. Jacobi方法Jacobi方法也是一种迭代方法，通过不断地施加相似变换将A转化为对角矩阵D。
具体步骤如下：(1) 选取任意一个非零初始矩阵B=A；(2) 找到B中绝对值最大的非对角元素b(i,j)，记其位置为(i,j)；(3) 构造Givens旋转矩阵G(i,j,k)，使其作用于B上可以消去b(i,j)，即B=G^T*B*G；(4) 重复步骤2-3，直到所有非对角元素均趋近于0。
三、总结以上介绍了求解矩阵特征值与特征向量的四种方法：特征多项式法、幂法、QR分解法和Jacobi方法。
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量
计算方法之计算矩阵的特征值和特征量计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要问题，它在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
本文将介绍计算矩阵特征值和特征向量的方法，包括特征方程法、幂法、反幂法和QR方法。
一、特征值和特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，满足以下方程：Ax=λx其中，x被称为A的特征向量，λ被称为A的特征值。
二、特征方程法特征方程法是计算矩阵特征值和特征向量的一种常用方法，其基本思想是通过求解矩阵的特征方程来求得特征值。
对于一个n阶方阵A，其特征方程为：A-λI，=0其中，I是n阶单位矩阵，A-λI，表示A-λI的行列式。
解特征方程可以得到n个特征值λ₁,λ₂,...,λₙ。
然后，将这些特征值带入原方程组(A-λI)x=0，求解线性方程组得到n个特征向量x₁,x₂,...,xₙ。
三、幂法幂法是一种通过迭代来计算矩阵最大特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=Axₙ，其中xₙ为第k次迭代得到的向量。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于最大特征值对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
四、反幂法反幂法是一种通过迭代来计算矩阵最小特征值和对应的特征向量的方法。
首先，随机选择一个非零向量b₀，并进行归一化，得到单位向量x₀=b₀/，b₀。
然后，通过迭代的方式，计算xₙ₊₁=(A-σI)⁻¹xₙ，其中σ为待求的特征值。
在迭代过程中，向量xₙ的模长会逐渐趋近于特征值σ对应的特征向量。
当迭代收敛后，xₙ就是矩阵A的特征值为σ的特征向量。
五、QR方法QR方法是一种通过迭代来计算矩阵特征值和特征向量的方法。
首先，将矩阵A进行QR分解，得到矩阵A=QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然后，计算矩阵B=RQ，重复以上步骤，直到矩阵B收敛。
矩阵的特征值和特征向量的应用
矩阵的特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域中有广泛的应用。
本文将介绍特征值和特征向量的定义和计算方法，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 特征值和特征向量的定义在矩阵A中，如果向量v在进行线性变换后，仍然保持方向不变，只改变了长度，那么v称为A的特征向量，它所对应的标量λ称为A的特征值。
即满足下述等式：Av = λv其中，A是一个n阶方阵，v是一个n维非零向量，λ是一个标量。
2. 计算特征值和特征向量的方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，需要求解线性方程组(A-λI)x = 0，其中I是单位矩阵，x是一个非零向量。
解这个方程组，可以得到λ的值，即特征值，以及对应的特征向量。
3. 特征值与特征向量的性质- 特征值可以是实数或复数，特征向量通常是复数。
- 特征向量可以相互线性组合，但特征向量的数量不超过矩阵的阶数n。
- 特征值的个数等于矩阵的阶数n，不同特征值对应的特征向量线性无关。
4. 特征值和特征向量在几何中的应用矩阵的特征值和特征向量在几何中有重要的应用，可以帮助我们理解线性变换的性质。
例如，在二维空间中，对应于矩阵的特征向量可以表示空间中的特定方向，特征值代表了沿该方向进行线性变换的比例因子。
5. 特征值和特征向量在物理学中的应用在量子力学中，特征值和特征向量与物理量的测量和量子态的演化密切相关。
例如，在求解薛定谔方程时，特征值对应于能量的可能取值，特征向量对应于量子态的波函数。
6. 特征值和特征向量在数据分析中的应用特征值和特征向量在数据分析中也有广泛的应用。
例如，在主成分分析（PCA）中，特征向量可以帮助我们找到数据集中的主要变化方向，特征值可以衡量这些变化的重要性。
另外，在图像处理中，特征向量可以用于图像压缩和特征提取。
总结：矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在几何、物理学和数据分析等领域都有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以更好地理解线性变换的性质，同时也可以应用于解决实际问题。
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1 3
2x10, 6x2 0
解一个属于特征值 λ1 0的特征向量， A的属于特征值 λ1 0的所有特征向量为
kp1(k0为任意常 ). 数
当λ2 7时， 由(A λ2E )x0即方程组
6 3
2x10,解得基础解系 1x2 0
p
2
1 . 3
A的属于特征值 λ2 7的所有特征向量为 kp2(k0为任意常 ). 数
λ f(λ)
1λ21.
1 λ
其有复特征根 λ1 i,λ2i.
方程一般形式
Axx AxIx0 AIx0 AI 0
注意：上面用定义阐述了如何求解矩阵A的特征值 λ和特征向量X。但众所周知，高次多项式求根是 相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时， 矩阵A求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏 感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数值 计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。
定理
对于一阶矩阵A，如果 0 是A的
k重特征根，则A对应于 0 的线性无关特征向量的
个数不大于k，也就是说，(A0E)x0的基础解系
所含向量的个数不大于k.
定理 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
事实 方阵在复数域内总有特征根，但不一定有实
特征根。
例 矩阵 A 0 1的特征值。
1 0
A的特征多项式为
任 取 初 始 X（ 0） ， 向 X（ 0） 量 可 表 示 A的n成 个 线 性 无 的特征xi的 向线 量性组合，即
X（ 0） ＝1x1＋2x2＋＋nxn
那么， X（1）＝AX（0）＝A（1x1＋2x2＋ ＋nxn） ＝A1x1＋A2x2＋ ＋Anxn ＝11x1＋22x2＋ ＋nnxn
一般地有 X（k）＝AX（k－1）＝1k1x1＋2k2x2＋ ＋nknxn
➢数学中方阵的对角化、微分方程组的解等等
6.1 基本概念回顾
DEF6.1 设A是n阶方阵，如果数λ和一维非零向量χ 使关系式Aχ=λχ成立，则称数λ为方阵A的特征值， 非零向量χ称为A的属于特征值λ的特征向量.
推论：如果χ是矩阵A的属于特征值λ0的特征向量， 那么χ的任何一个非零倍数kχ也是A的属于λ的特征向 量。这是因为Aχ=λ0χ所以A(kχ)=λ 0(kχ)，这说明属 于同一个特征值的特征向量不是唯一的，但一个特征 向量只能属于一个特征值。
矩阵特征值和特征向量
Eigenvalues and Eigenvectors
问题的提出
矩阵特征值计算非常重要，在很多方面应用
➢数值分析中，和矩阵有关的迭代序列的收敛
取决于迭代矩阵的特征值大小
➢动态系统中，特征值标志着系统是否是稳定
的
➢振动系统中，微分方程的特征值或者有限元
模型的矩阵系数和系统的固有频率直接相关
Ax λx可以写成齐次线性方程组 (A λE )x0
方程组有解 AλE0 即
a11λ a12
a21 a22λ
a1n a2n 0
an1
an2 annλ
上式是以 λ为未知量的一元n次方程，称为方阵A
的特征方程，AλE 是 λ的n次多项式，记为 f (λ )
称为方阵A的特征多项式。
显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。特征 方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的 次数（重跟按重数计算），因此n阶方阵有n个特 征值。显然，n阶单位矩阵E的特征值都是1。
取 X (0)
1 1
,
X (1)
A
X (0)
0 1
X (2)
A
X (1)
0 1
1 1
1 2
2 3
11 1 1 1 2
X (3)
A
X (2)
0 1
1 1
2 3
3 5
X (11)
144 233
,
X (12)
233 377
在很多问题中，矩阵的按模最大特征值往往起重要 的作用。例如矩阵的谱半径即按模最大特征值，决 定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的按模最大的特 征值比其余特征值更重要。
X（k）的变化趋势与特征值分 的布有关，幂法根据X（k） 的变化趋势计算矩阵按 模最大的特征值。
以下考虑两种简单情况。
按模最大的特征值只有 一个
设 1 2 3 n ，由上式得到
X（ k ）＝
1
k 1
x
1＋
2
k 2
x
2＋
＋
n
k n
x
n
＝
k 1
1 x 1＋
2
k 2
k 1
x
幂法是计算按模最大特征值及相应的特征向量的数 值方法。简单地说，任取初始向量X(0),迭代计算
X(k+1)=A X(k)
得到迭代序列X(k+1)，k＝0,1,…；再分析X(k+1)与 X(k)之间的关系，就可得到A的按模最大特征值及 特征向量的近似解
幂法分析
在 幂 法 中 ，A假 有设 特矩 征 i,阵 i值 1,2,,n; 其 中 1 2 3 n,并 有 n个 线 性 无 关 特 征 向 xi，量 即 A＝ xi ixi，i1,2,,n.
问题的解决：目前，求矩阵特征值问题实际采用 的是迭代法和变换法。
6.2 幂法（Power Method）
[[解 例 7 ].方2]法计 1：算矩 A＝ 阵 1 0 1 1的特征值
I－A
－1
－－11＝2－－1 0
1 （1 5）/2 1.61803 2 （1 5）/2 0.618034
方法 2：
由以上分析知： 求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和 方程组的解。
例6.1 求矩阵 A 1 2的特征值与特征向量。 3 6
解 A的特征多项式为
1 λ 2 (1 λ )6 ( λ ) 6 λ (λ 7 ),
3 6 λ
故A的特征值为 λ10,λ27.当λ1 0时,由
(A λ1E )x0即方程组
设n阶方阵 A(aij)的特征值为λ1,λ2,λn则有 （1）λ 1 λ 2 λ n a 1 a 1 2 2 a n ;n （2）λ1 λ2λnA .
如果λ λi 是方阵A的一个特征值，由线性方 程组(A λiE )x0 ,求得非零解 xpi, 则 p i 就是A 的对应于特征值 λ i 的特征向量。
2＋
＋
n
k n
k 1
x
n
若 1 0，由于
i 1， i＝ 2，3， ， n 1
对充分大的
k
k有
i 1
0， i＝2，3， ， n 故
X（ k ）
k 1
1
x
1
X（ k ＋1）
k ＋1 1
1
x
1＝
1 X（ k ）
于是得到按模最大的特征值