矩阵的特征值与特征向量习题
考研数学三矩阵的特征值与特征向量二次型-试卷1_真题-无答案
考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)2. 填空题1. 设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1)T与α2=(1，-1，1)T，则λ=2的特征向量是_______．2. 已知A=相似，则x=_____，y=________．3. 已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=______．4. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的正、负惯性指数分别为p=______，q=_______．5. 二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩阵A=_______，规范形是______．6. 假设二次型f(x1，x2，x3)=(x+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定，则a的取值为_____．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1. 已知A=，求A的特征值、特征向量，并判断A能否对角化，说明理由．2. 已知A=，A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量．3. 已知A=可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵A，使P-1AP=A．4. 已知A暑3阶不可可矩阵，-1和2是A的特征值．B=A2-A-2E，求B的特征值，并问B 能否相似对角化，并说明理由．5. 设3阶矩阵A的特征值λ=1，λ=2，λ=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表出：(Ⅱ)求Anβ．6. 设矩阵A=是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．7. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．8. 已知A～B，A2=A，证明B2=B．9. 已知A2=0，A≠0，证明A不能相似对角化．10. 已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．11. 设A=．12. 设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=(Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式；(Ⅱ)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由．13. 求正交变换化二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形，并写出所用正交变换．14. 已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．15. 设二次犁x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+6y32，求a，b 的值及所用正交变换．16. 已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．17. 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3，(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．18. 设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．19. 已知三元二次型xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．20. 用配方法把二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3化为标准形，并写出所用坐标变换．21. 用配方法化二次型x1x2+2x2x3为标准形，并写出所用满秩线性变换．22. 判断3元二次型f=x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3的正定性．23. 判断n元二次型的正定性．。
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
n
a2 j a22
j 1
a2n 0
n
anj an2 ann
j 1
1 a12 a1n
1
( a)
a22
a2n
0
1 an2 ann
a 是矩阵A的特征值。
1 1
(
2
)
A
1
a
1
1 1
1 1
A
k 1
a
k
1
1
1
b11
设
Ak
1
1
0 1
1 1,2 1 1,
1
（方法最普通，也是 最常用的 ）
3
0
2
(2,2) (2,2)
2
12 1 2 1
（方法二） 1 1 1
设
1
1,
1
1,
0
00,（方但法较普麻通烦，）
已知 1,,, 线性无关，
然后将其正交化即得 1,2,3
（方法三）（方法较好，但太特殊）
已知
2 0 1 3 1 x 0 4 0 5
(1)2
1 0
4 5
(1)2(6)0
因为矩阵A是可以对角化的，所以当1 2 1时，
(EA)X 有两个线性无关的特征向量。
R(EA)1 1 0 1 (E A) 3 0 x 4 0 4
1 0 1 1 0 1 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3
A1 AT
B
1
BT
(A) 1 B B 1A 1B TA T (A)T B
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AAT AT A E BBT BTB E
(A)B A ( )B TAB TAT BAE TA E (A)B T(A)B BTATA BBTE BE
矩阵的特征值和特征向量习题
1 2 2 1 4 6
即A
2
2
1
2
4
3
2 1 2 2 2 6
17
1 4 6 1 2 2 1
故A
2 2
4 2
3 6
2 2
2 1
1 2
7
1 4 6 1
2
2
3
0
2 3
1 9
2 2
4 2
3
2
6 2
2 1
1 2
0 2
3
5 3 2 3
2 3
2
18
解 首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明 它们有相同的特征多项式.
f P1AP ( ) E P1 AP
P1 P P1 AP
P1 E A P E A f A( ), 1, 2 , , n就是 P1 AP的全部特征值.
其次求 P1 AP属于 i的特征向量.
A i i i , 即 (i E A) i 0,
又 ( i E P1 AP ) i (i P1 P P1 AP) i P1(i E A)P i ,
-1 E A 1 AT A A
1 AT E A 1 A E T A
1 E A 1
14
由此得 1 E A 0,即1是A的一个特征值。
（2）当 A 1且n 2k 1时， E A AT A A A E A A E
1n E A E A
由此知 E A 0,即1为A的特征值。
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 10
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
习题六特征值与特征向量
习题六 特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值和特征向量()()131200012010100⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 设100212121A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求A 的特征值及特征子空间。
3. 设线性变换ϕ在基123,,εεε下的矩阵是320416482A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求的特征值与特征向量。
4. 设A 、B 都是n 阶方阵，且0A ≠，证明AB 与BA 相似。
若0A =，结论如何？5. 已知矩阵74147144A x -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的特征值，求x 与A 的特征向量。
6. 证明：（1）若A 是n 阶幂等矩阵（即A 2=A ）,则A 的特征值是1或0；（2）若A 是n 阶对合矩阵（即A 2=I ），则A 的特征值是1或-1；（3）反对称实矩阵的特征值为0或纯虚数；（4）n 阶幂零矩阵（A k =0，k 为正整数）只有0为特征值。
7. 设A 的对应于特征值0λ的特征向量为X ，证明： （1） X 是A m 的对应于特征值0m λ的特征向量；（2） 对于多项式()f λ，X 是f(A)的对应于特征值0()f λ的特征向量。
8. 若A 是可逆的，A 、A *、A -1三个矩阵的特征值与特征向量之间的关系如何？9. 设λ是n 阶方阵A 的特征值，证明： （1） 21λλ++是A 2+A+I 的特征值； （2） 若A 可逆，Aλ是A *的一个特征值。
10. 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，12,αα分别是A 的属于12,λλ的特征向量，试证：12αα+不是A 的特征向量。
11. 设 0411100A x y x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦、是实数 （1） 求A 的特征多项式；（2） 若A 相似于对角阵，求x 、y 应满足何种条件； （3） 若A 正交相似于实对角阵，x 、y 又如何？ 12. 设3阶方阵A 的特征值为0，1，-1，对应的特征向量为 X 1=(1,0,0)T , X 2=(1,1,0)T , X 3=(0,1,1)T ,求A 及A 2n 。
矩阵的特征值和特征向量 习题
3
3 例1 计算 3阶实矩阵 A = 2 4 和特征向量.
解 第一步
2 0 2
4 2 的全部特征值 3
计算 A 的特征多项式
λ−3 −2 f ( λ ) = λE − A = − 2 λ
−4
= (λ − 8) (λ + 1) .
2
−4 −2 −2 λ−3
4
第二步
求出特征多项式 f ( λ )的全部根 ,即 A
9
1 其解为λ1 = 1，k1 = −2；λ2 = ，k2 = 1. 4 −1 故k = −2或1时，α 是A 的特征向量。
2 1 1 1 例3.设矩阵A = 1 2 1 可逆，向量α = b 是 1 1 a 1 矩阵A∗的一个特征向量，λ是α 对应的特征值， 其中A∗是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和λ的值。
11
A 3+b = λ A 由此，得方程组 2 + 2b = b λ A a + b + 1 = λ
解方程组得a = 2, b = 1或b = 2。
12
2 1 1 由于 A = 1 2 1 = 3a − 2 = 4， 1 1 a 由方程组的第一个方程知， 4 特征向量α 所对应的特征值λ = = 。 3+b 3+b
8
2 1 1 T 例2.已知向量α = 1, k ,1) 是矩阵A = 1 2 1 的逆阵 （ 1 1 2 −1 A 的特征向量，试求常数k的值。（ 1991年数学5）
解：设λ是α 所属的A 的特征值，即A α = λα，
−1 −1
于是λ Aα = α，即
2 1 1 1 1 λ 1 2 1 k = k 1 1 2 1 1
考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷1
考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设矩阵A A的三个特征值是( )（分数：2.00）A.1，0，－2．B.1，1，－3．C.3，0，－2．D.2，0，－3．√解析：解析：根据特征值的性质：∑λi＝∑a ii．现在∑a ii＝1＋(－3)＋1＝－1，故可排除选项C．显然，矩阵A中第2、3两列成比例，易知行列式｜A｜＝0，故λ＝0必是A的特征值，因此可排除选项B．对于选项A和选项D，可以用特殊值法，由于说明λ＝1不是A矩阵的特征值．故可排除选项A．所以应选D．3.已知A是4阶矩阵，A *是A的伴随矩阵，若A *的特征值是1，－1，2，4，那么不可逆矩阵是( ) （分数：2.00）A.A－EB.2A－EC.A＋2E √D.A－4E解析：解析：因为A *的特征值是1，－1，2，4，所以｜A *｜＝－8，又｜A *｜＝｜A｜n-1，因此｜A｜3＝－8，于是｜A｜＝－2．那么，矩阵A的特征值是：－2，2，－1，．因此，A－E的特征值是－3，1，－2，，因为特征值非0，故矩阵A－E可逆．同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A＋2E不可逆．所以应选C．4.已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T√B.A 2C.A -1D.A－E解析：解析：由于｜λE－A T｜＝｜(λE－A) T｜＝｜λE－A｜，A与A T有相同的特征多项式，所以A 与A T有相同的特征值．由Aα＝λα，α≠0可得到： A 2α＝λ2α，A -1α＝λ-1α，(A－E)α＝(λ－1)α，说明A 2、A -1、A－E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)．所以应选A．5.已知α＝(1，－2，3) T是矩阵A＝( )（分数：2.00）A.a＝－2，b＝6．√B.a＝2，b＝－6．C.a＝2，b＝6．D.a＝－2，b＝－6．解析：解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有即有λ＝－4，a＝－2，b＝6，故应选A．6.设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4)E－ A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )（分数：2.00）A.1个B.2个√C.3个D.4个解析：解析：由Aα＝λα，α≠0，有A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2α，α≠0，即α必是A 2属于特征值λ2的特征向量．又知α必是矩阵E－A属于特征值1－λ的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为 (P -1 AP)(P -1α)＝P -1 Aα＝λP -1α，按定义，矩阵P -1 AP的特征向量是P -1α．因为P -1与α不一定共线，因此α不一定是P -1 AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．线性方程组(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A T的特征向量．所以应选B．7.设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若α是A T的特征向量，那么α是A的特征向量．B.若α是A *的特征向量，那么α是A的特征向量．C.若α是A 2的特征向量，那么α是A的特征向量．D.若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量．√解析：解析：如果α是2A的特征向量，即(2Aα)＝λα，α≠0．那么Aα＝λα，所以α是矩阵A属于特征值λ的特征向量．由于(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是A T的特征向量．例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A *的特征向量不一定是A的特征向量；A 2的特征向量也不一定是A的特征向量．所以应选D．8.已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A 2α线性无关，而A 3α＝3Aα－2A 2α，那么矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量是( )（分数：2.00）A.αB.Aα＋2αC.A 2α－Aα√D.A 2α＋2Aα－3α解析：解析：因为A 3α＋2A 2α－3Aα＝0．故 (A＋3E)(A 2α－Aα)＝0＝0(A 2α－Aα)，因为α，Aα，A 2α线性无关，那么必有A 2α－Aα≠0，所以A 2α－Aα是矩阵A＋3E属于特征值λ＝0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量．所以应选C．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设三阶方阵A的特征值分别为－2，1，1，且B与A相似，则｜2B｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－16）解析：解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有｜2B｜＝2 3＝8×(－2)＝－16．10.设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A -1－E｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据已知条件A的特征值为1，2，2，A -1的特征值为1，4A -1－E的特征值为3，1，1，所以｜4A -1－E｜＝3×1×1＝3．11.设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P＝(3α3，α1，2α2 )，则P -1 AP＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为3α3，α1，2α3分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P -1AP＝12.已知A有一个特征值－2，则B＝A 2＋2E必有一个特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为λ＝2是A的特征值，所以根据特征值的性质，λ2＋2＝(－2) 2＋2＝6是B＝A 2＋2E的特征值．13.设A是n阶矩阵，λ＝2是A的一个特征值，则2A 2－3A＋5E必定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如果λ是A的一个特征值，α是对应于λ的一个特征向量，则Aα＝λα，因此有 A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2 a．因此可知 (2A 2－3A＋5E)α＝2A 2α－3Aα＋5α＝(2λ2－3λ＋5)α，所以2×2 2－3×2＋5＝7一定是2A 2－3A＋5E的一个特征值．14.设A是3阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是5，即＝5，化为矩阵形式，可得满足A一定有一个特征值为5．15.已知A＝ A *是A的伴随矩阵，那么A *的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：根据矩阵A的特征多项式可得矩阵A的特征值为7，1，1．又因为｜A｜＝λi，可得｜A｜＝7．因为如果Aα＝λα，则有A *α＝α，因此A *的特征值是1，7，7．16.矩阵A 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，1解析：解析：｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ－1 )(λ－1＋)，所以A的特征值为λ1＝2，λ2 1＋，λ3＝1－三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3.1 矩阵的特征值和特征向量
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题 习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第 练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵， 具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为 则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量 分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征 向量 .
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
特征值与特征向量的研究对于解决矩阵和线性变换的问题具有重要意义。
本文将为你提供一些特征值与特征向量的练习题，帮助你加深对这些概念的理解。
练习题一：考虑以下矩阵A:A = | 3 4 || 2 1 |问题一：找出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
解答一：首先，我们需要找到矩阵A的特征值λ，通过求解矩阵A的特征方程来得到。
特征方程的形式为| A-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵A-λI的形式：A-λI = | 3-λ 4 || 2 1-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(3-λ)(1-λ)-(4)(2) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ - 5 = 0解方程，得到特征值λ1=5和λ2=-1。
接下来，我们需要找到对应于特征值λ1和λ2的特征向量。
我们可以通过解线性方程组(A-λI)x=0，来得到特征向量。
首先，对于特征值λ1=5，我们可以得到线性方程组：(-2)x1 + 4x2 = 02x1 - 4x2 = 0解方程组，得到x1=2和x2=1。
因此，特征向量v1=(2,1)。
然后，对于特征值λ2=-1，我们可以得到线性方程组：4x1 + 4x2 = 02x1 + 2x2 = 0解方程组，得到x1=-1和x2=1。
因此，特征向量v2=(-1,1)。
练习题二：考虑以下对称矩阵B:B = | 2 -1 || -1 2 |问题二：找出对称矩阵B的特征值和对应的特征向量。
解答二：由于对称矩阵的特征值与特征向量具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来求解。
首先，我们可以通过求解特征方程来得到矩阵B的特征值。
特征方程的形式为| B-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵B-λI的形式：B-λI = | 2-λ -1 || -1 2-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(2-λ)(2-λ)-(-1)(-1) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ + 3 = 0解方程，得到特征值λ1=1和λ2=3。
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第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题
1
试用施密特法把下列向量组正交化
(1)⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a
(2)⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a
2 设x 为n 维列向量 x T x
1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交
阵
3
求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----20133
521
2; (2)⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛633312321.
4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同
5 设
0是m 阶矩阵A m n B n m 的特征值
证明
也是n 阶矩阵BA 的特
征值. 6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 2
7A | 7
已知3阶矩阵A 的特征值为1
2
3
求|A *
3A
2E |
8
设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=50413102x A 可相似对角化
求x
9 已知p (1 1
1)T
是矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值
(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由
10
试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----020212022化为对角
阵.
11 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=Λy 45
相似 求x y 并
求一个正交阵P 使P 1AP
12 设3阶方阵A 的特征值为1
2
2
2
3
1 对应的特征
向量依次为p 1
(0
1 1)T
p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A .
13 设3阶对称矩阵A 的特征值
1
6
2
3
3
3 与特征值
1
6对应的特征向量为p 1
(1 1
1)T 求A .
14
设⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=340430241A 求A 100。