矩阵的特征值和特征向量 习题
第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案
n
a2 j a22
j 1
a2n 0
n
anj an2 ann
j 1
1 a12 a1n
1
( a)
a22
a2n
0
1 an2 ann
a 是矩阵A的特征值。
1 1
(
2
)
A
1
a
1
1 1
1 1
A
k 1
a
k
1
1
1
b11
设
Ak
1
1
0 1
1 1,2 1 1,
1
（方法最普通，也是 最常用的 ）
3
0
2
(2,2) (2,2)
2
12 1 2 1
（方法二） 1 1 1
设
1
1,
1
1,
0
00,（方但法较普麻通烦，）
已知 1,,, 线性无关，
然后将其正交化即得 1,2,3
（方法三）（方法较好，但太特殊）
已知
2 0 1 3 1 x 0 4 0 5
(1)2
1 0
4 5
(1)2(6)0
因为矩阵A是可以对角化的，所以当1 2 1时，
(EA)X 有两个线性无关的特征向量。
R(EA)1 1 0 1 (E A) 3 0 x 4 0 4
1 0 1 1 0 1 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3
A1 AT
B
1
BT
(A) 1 B B 1A 1B TA T (A)T B
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AAT AT A E BBT BTB E
(A)B A ( )B TAB TAT BAE TA E (A)B T(A)B BTATA BBTE BE
矩阵的特征值和特征向量习题
1 2 2 1 4 6
即A
2
2
1
2
4
3
2 1 2 2 2 6
17
1 4 6 1 2 2 1
故A
2 2
4 2
3 6
2 2
2 1
1 2
7
1 4 6 1
2
2
3
0
2 3
1 9
2 2
4 2
3
2
6 2
2 1
1 2
0 2
3
5 3 2 3
2 3
2
18
解 首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明 它们有相同的特征多项式.
f P1AP ( ) E P1 AP
P1 P P1 AP
P1 E A P E A f A( ), 1, 2 , , n就是 P1 AP的全部特征值.
其次求 P1 AP属于 i的特征向量.
A i i i , 即 (i E A) i 0,
又 ( i E P1 AP ) i (i P1 P P1 AP) i P1(i E A)P i ,
-1 E A 1 AT A A
1 AT E A 1 A E T A
1 E A 1
14
由此得 1 E A 0,即1是A的一个特征值。
（2）当 A 1且n 2k 1时， E A AT A A A E A A E
1n E A E A
由此知 E A 0,即1为A的特征值。
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 10
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，
习题六特征值与特征向量
习题六 特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值和特征向量()()131200012010100⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 设100212121A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求A 的特征值及特征子空间。
3. 设线性变换ϕ在基123,,εεε下的矩阵是320416482A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求的特征值与特征向量。
4. 设A 、B 都是n 阶方阵，且0A ≠，证明AB 与BA 相似。
若0A =，结论如何？5. 已知矩阵74147144A x -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的特征值，求x 与A 的特征向量。
6. 证明：（1）若A 是n 阶幂等矩阵（即A 2=A ）,则A 的特征值是1或0；（2）若A 是n 阶对合矩阵（即A 2=I ），则A 的特征值是1或-1；（3）反对称实矩阵的特征值为0或纯虚数；（4）n 阶幂零矩阵（A k =0，k 为正整数）只有0为特征值。
7. 设A 的对应于特征值0λ的特征向量为X ，证明： （1） X 是A m 的对应于特征值0m λ的特征向量；（2） 对于多项式()f λ，X 是f(A)的对应于特征值0()f λ的特征向量。
8. 若A 是可逆的，A 、A *、A -1三个矩阵的特征值与特征向量之间的关系如何？9. 设λ是n 阶方阵A 的特征值，证明： （1） 21λλ++是A 2+A+I 的特征值； （2） 若A 可逆，Aλ是A *的一个特征值。
10. 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，12,αα分别是A 的属于12,λλ的特征向量，试证：12αα+不是A 的特征向量。
11. 设 0411100A x y x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦、是实数 （1） 求A 的特征多项式；（2） 若A 相似于对角阵，求x 、y 应满足何种条件； （3） 若A 正交相似于实对角阵，x 、y 又如何？ 12. 设3阶方阵A 的特征值为0，1，-1，对应的特征向量为 X 1=(1,0,0)T , X 2=(1,1,0)T , X 3=(0,1,1)T ,求A 及A 2n 。
3.1 矩阵的特征值和特征向量
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题 习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第 练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵， 具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为 则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲 习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量 分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征 向量 .
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。
特征值与特征向量的研究对于解决矩阵和线性变换的问题具有重要意义。
本文将为你提供一些特征值与特征向量的练习题，帮助你加深对这些概念的理解。
练习题一：考虑以下矩阵A:A = | 3 4 || 2 1 |问题一：找出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
解答一：首先，我们需要找到矩阵A的特征值λ，通过求解矩阵A的特征方程来得到。
特征方程的形式为| A-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵A-λI的形式：A-λI = | 3-λ 4 || 2 1-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(3-λ)(1-λ)-(4)(2) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ - 5 = 0解方程，得到特征值λ1=5和λ2=-1。
接下来，我们需要找到对应于特征值λ1和λ2的特征向量。
我们可以通过解线性方程组(A-λI)x=0，来得到特征向量。
首先，对于特征值λ1=5，我们可以得到线性方程组：(-2)x1 + 4x2 = 02x1 - 4x2 = 0解方程组，得到x1=2和x2=1。
因此，特征向量v1=(2,1)。
然后，对于特征值λ2=-1，我们可以得到线性方程组：4x1 + 4x2 = 02x1 + 2x2 = 0解方程组，得到x1=-1和x2=1。
因此，特征向量v2=(-1,1)。
练习题二：考虑以下对称矩阵B:B = | 2 -1 || -1 2 |问题二：找出对称矩阵B的特征值和对应的特征向量。
解答二：由于对称矩阵的特征值与特征向量具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来求解。
首先，我们可以通过求解特征方程来得到矩阵B的特征值。
特征方程的形式为| B-λI |=0，其中I是单位矩阵。
我们可以写出矩阵B-λI的形式：B-λI = | 2-λ -1 || -1 2-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(2-λ)(2-λ)-(-1)(-1) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ + 3 = 0解方程，得到特征值λ1=1和λ2=3。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。
1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。
一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。
特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。
特征多项式的根就是矩阵的特征值。
二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。
它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。
设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
线性代数课后答案_习题5和习题6
习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
解：1）11(2)(3)24λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。
当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。
2）123213(1)(9)336λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。
当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
3）201010(1)(1)10λλλλλ--=+--，特征值1,1λ=- 。
当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。
故属于1λ=的特征向量为1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。
当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
4）2310410(1)(2)482λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。
当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
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3
3 例1 计算 3阶实矩阵 A = 2 4 和特征向量.
解 第一步
2 0 2
4 2 的全部特征值 3
计算 A 的特征多项式
λ−3 −2 f ( λ ) = λE − A = − 2 λ
−4
= (λ − 8) (λ + 1) .
2
−4 −2 −2 λ−3
4
第二步
求出特征多项式 f ( λ )的全部根 ,即 A
9
1 其解为λ1 = 1，k1 = −2；λ2 = ，k2 = 1. 4 −1 故k = −2或1时，α 是A 的特征向量。
2 1 1 1 例3.设矩阵A = 1 2 1 可逆，向量α = b 是 1 1 a 1 矩阵A∗的一个特征向量，λ是α 对应的特征值， 其中A∗是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和λ的值。
11
A 3+b = λ A 由此，得方程组 2 + 2b = b λ A a + b + 1 = λ
解方程组得a = 2, b = 1或b = 2。
12
2 1 1 由于 A = 1 2 1 = 3a − 2 = 4， 1 1 a 由方程组的第一个方程知， 4 特征向量α 所对应的特征值λ = = 。 3+b 3+b
8
2 1 1 T 例2.已知向量α = 1, k ,1) 是矩阵A = 1 2 1 的逆阵 （ 1 1 2 −1 A 的特征向量，试求常数k的值。（ 1991年数学5）
解：设λ是α 所属的A 的特征值，即A α = λα，
−1 −1
于是λ Aα = α，即
2 1 1 1 1 λ 1 2 1 k = k 1 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 4 由此得 A A α = A α, 3 3 3 3
−1 −1
3 3 1 2 所以 A α = α, 故λ = 4 4 3 −1 1 2 为矩阵 A 的一个特征值。 3
−1
16
T
= ( −1) E − A = − E − A
n
由此知 E − A = 0,即1为A的特征值。
例5.设λ = 2是非奇异矩阵A的一个特征值， 1 2 试求矩阵 A 的一个特征值。 3
−1
15
解：设α是A的对应于λ = 2的一个特征向量， 即Aα = 2α, 于是 1 2 1 2 4 A α = A ⋅ 2α = Aα = α 3 3 3 3
下面求 A − 5E .
方法一
令 g ( A) = A − 5 E , 因为A 因为 的所有特征值为 λ 1 = 1, λ 2 = −1, λ 3 = 2,
所以g ( A)的所有特征值为 g (λ 1), g (λ 2 ), g (λ 3 ),
22
∴ A − 5 E = g( A) = g (1) g ( −1) g ( 2) = −72.
∴ λ 1 , λ 2 ,⋯, λ n 就是 P −1 AP的全部特征值 .
其次求 P −1 AP属于 λ i 的特征向量 .
∵ Aα i = λ i α i , 即 (λ i E − A)α i = 0,
又 (λ i E − P −1 AP )α i = (λ i P −1 P − P −1 AP )α i
10
λ (3 + k ) = 1 由此得方程组 λ (2 + 2k ) = k
解：矩阵A 的属于特征值λ的特征向量为α，
∗
由于矩阵A可逆，故A 可逆。
∗
于是λ ≠ 0， ≠ 0，且A α = λα . A
∗
两边同时左乘矩阵A，得AA * α = λ Aα， 即Aα = A
λ
α，亦即
2 1 1 1 1 A 1 2 1 b = b 1 1 a 1 λ 1
解
(1) ∵ A2 = E ,
∴ A的特征值为 λ 1 = 1, λ 2 = −1,
故k = 8不是 A的特征值 , 从而 8 E − A可逆 . 一般地 , 对k ≠ ±1, kE − A均可逆 . ( 2)因为 λ ≠ ±1, 所以 ± 1不是 A的特征值 , 于是
1 ⋅ E − A ≠ 0, ( −1) ⋅ E − A ≠ 0.
化简求得此方程组的一 个基础解系 2 α 1 = 1 . 2
属于 λ 1 = 8的全部特征向量为 k 1α 1 ( k 1 ≠ 0为实 数 ).
6
同理对 λ 2 = λ 3 = −1, 求相应线性方程组 (λ 2 E − A) x = 0的一个基础解系 : − 4 x 1 − 2 x 2 − 4 x 3 = 0, − 2 x 1 − x 2 − 2 x 3 = 0, − 4 x − 2 x − 4 x = 0, 1 2 3 求解得此方程组的一个 基础解系 : 1 α 2 = 0 , − 1 1 α 2 = − 2 . 0
证：由题意，可设A的特征值为λ（n重）， 则 λE − A = 0.
由此可知nλ = trA
所以 nA − trAE = nA − nλE = (−n)n λE − A = 0, 即nA − trAE是奇异矩阵。
26
三、矩阵的相似及对角化
b c a 例11．设a, b, c均为复数，令A = c a b , a b c c a b a b c B = a b c ,C = b c a b c a c a b (1)证明：A, B, C 彼此相似 （2）若BC = CB，则A, B, C的特征根至少有两个等于零．
第四章 习题课
1
典 型
例 题
一、特征值与特征向量的求法 二、特征值与特征向量的应用 三、矩阵的相似及对角化 四、证明所给矩阵为正交矩阵 五、将线性无关向量组化为正 交单位向量组 六、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵
2
一、特征值与特征向量的计算
的特征多项式； 第一步 计算 A 的特征多项式； 求出特征多项式的全部根， 第二步 求出特征多项式的全部根，即得 A 的全部 特征值； 特征值； 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 第三步 将每一个特征值代入相应的线性方程组， 求出基础解系，即得该特征值的特征向量． 求出基础解系，即得该特征值的特征向量．
又 − E − A = − ( E + A) = ( −1) A + E ,
n
∴ A + E ≠ 0;
E − A = − ( A − E ) = ( −1) A − E ,
n
∴ A − E ≠ 0,
故A ± E均为可逆矩阵 .
25
例10.设n阶方阵A的n个特征值相同， 求证：nA − trAE为奇异阵。
3 2
解 利用A的行列式与特征值的重 要关系 A = λ 1 λ 2
⋯ λ n 来计算 A .
令f ( x ) = x 3 − 5 x 2 ,
因为 λ 1 , λ 2 , λ 3 是 A 的全部特征值 ,
21
B = f ( A) = f ( λ 1 ) f ( λ 2 ) f ( λ 3 )
= ( −4)( −6)( −12) = −288.
17
1 4 −6 1 2 −2 故A = 2 −4 −3 2 −2 −1 2 2 6 2 1 2
−1
7 3 1 4 −6 1 2 2 1 = 2 −4 −3 2 −2 1 = 0 9 2 2 6 −2 −1 2 − 2 3
T
( -1) E − A
T
= ( −1) A A − A
T
= ( −1) A − E A = = ( −1) E − A ( −1)
( ( −1) A − E )
T
A
14
由此得 ( −1) E − A = 0, 即 − 1是A的一个特征值。
（2）当 A = 1且n = 2k + 1时，
E − A = A A− A = A− E A = A− E
方法二
因为A 因为 的所有特征值为 λ 1 = 1, λ 2 = −1, λ 3 = 2,
所以 f A ( λ ) = λE − A = (λ − 1)(λ + 1)(λ − 2),
5 E − A = f A (5) = (5 − 1)(5 + 1)(5 − 2) = 72,
A − 5 E = ( −1) 5 E − A = −72.
的全部特征值 . 令f (λ ) = 0, 解之得 λ 1 = 8, λ 2 = λ 3 = −1, 为A的
全部特征值 .
第三步 求出 A的全部特征向量
对 λ 1 = 8, 求相应线性方程组 (λ 1 E − A) x = 0 的一个基础解系 .
5
5 x 1 − 2 x 2 − 4 x 3 = 0, − 2 x1 + 8 x 2 − 2 x 3 = 0, − 4 x − 2 x + 5 x = 0, 1 2 3
所以，当b = 1时λ = 1；当b = −2时λ = 4.
A
13
例4.设n阶方阵A满足A A = E , 试证：
T
（）当 A = −1时， 1是A的一个特征值； 1 − （2）当 A = 1, 且n = 2k + 1时， A的一个特征值。 1是 证：
（）由A A = E 及 A = −1知， 1
7
于是 A的属于 λ 2 = λ 3 = −1 的全部特征向量为 k 2α 2 + k 3α 3 , k 2 , k 3 是不全为零的实数 .