矩阵的特征值与特征向量 习题

第五章 矩阵的特征值与特征向量 习题

1 试用施密特法把下列向量组正交化

(1)⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a

(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a 2 设x 为n 维列向量 x T x 1 令HE 2xx T 证明H 是对称的正交阵 3 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----20133

5212; (2)⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛633312321.

4 设A 为n 阶矩阵 证明A T 与A 的特征值相同

5 设0是m 阶矩阵A mn B nm 的特征值 证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

6 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 35A 27A |

7 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E |

8 设矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化 求x

9 已知p (1 1 1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=2135

212b a A 的一个特征向量

(1)求参数a b 及特征向量p 所对应的特征值

(2)问A 能不能相似对角化并说明理由

10 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.

11 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似 求x y 并求一个正交阵P 使P 1AP

12 设3阶方阵A 的特征值为12 22 31 对应的特征向量依次为p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A .

13 设3阶对称矩阵A 的特征值16 23 33 与特征值16对应的特征向量为p 1(1 1 1)T 求A .

14 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A 求A 100