特征值和特征向量习题集
第五章 特征值与特征向量测试题
特征值与特征向量测试题一、填空题：（每小题5分，共20分）1、设B A ,均为3阶方阵，满足AB B I =+，且A 有特征值0,3,3-，则B 的特征值为 。
2、设A 为n 阶方阵，且0)(=+m I A ，m 为正整数，则=A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且A 可逆，则AB 与BA 相似，这是因为存在可逆矩阵=P ，使得BA ABP P=-1。
4、若 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111 是矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2135212b a 的一个特征向量，则=a ，=b 。
二、选择题：（每小题5分，共20分）1、若矩阵A 可逆，则A 的特征值（ ）(A) 互不相等； (B) 全都相等； (C) 不全为零； (D) 全不为零。
2、已知A 是4阶矩阵，且2)3(=-A I r ，则3=λ是A 的（ ）特征值。
(A) 一重； (B) 二重； (C) 至少二重； (D) 至多二重。
3、n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是（ ）(A) A 有n 个互异的特征值；(B) A 有n 个互异的特征向量；(C) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i i r A I r =-)(λ；(D) 对A 的每个i r 重特征值i λ，有i r 个线性无关的特征向量。
4、下列矩阵中，不能与对角阵相似的是（ ）(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110011； (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201010101； (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200110101； (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛220010001。
三、解答题：（每小题20分，共60分）1、判断矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101121002 是否可对角化；若可以，试求出相应的可逆矩阵P 使得AP P 1-为对角矩阵。
2、设三阶实对称矩阵A 的特征值为1,1321==-=λλλ，对应于1λ的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101ξ，求A 。
3、设B A ,均为n 阶方阵，且n B r A r <+)()(，证明B A ,有公共的特征向量。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题§1 特征值与特征向量1．求下列矩阵的特征值及对应的特征向量：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200210311； （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------011101110。
2．求n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 a a a a a a A 的特征值（0≠a ）。
3．已知12是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---44174147a 的特征值，求a 。
4．已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，2-，3。
（1）求||A ；（2）求1-A 和*A 的特征值；（3）求I A A ++22的特征值。
5．已知n 阶方阵A 满足O I A =+k )(，求||A 。
6．已知方阵A 满足05322=--I A A ，证明I A +2可逆。
7．设4阶方阵A 满足0|2|=+A I ，I AA 2=T ，0||<A ，求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值。
8．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1240011b a 的特征值为1，2，3，求a ，b 。
9．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011100b a A 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足何种关系？10．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=312212a a b A 的一个特征向量，求a ，b 和ξ对应的特征值。
11．已知2-=λ是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2214013b a A 的特征值，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c a 是1-A 的特征值0λ对应的特征向量，求a ，b ，c ，0λ的值。
12．设3阶矩阵A 的特征值为1-，0，1，与之对应的特征向量分别为T a a a )2,3,(1++=a ，T a a )1,1,2(2+--=a ，T a )1,2,1(3-=a 。
若还有02533081085=++-a a a ，求a 与A 。
13．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 11121112A 是可逆矩阵，T b )1,,1(=a 是A 的伴随矩阵*A 的特征向量，且λ是a 对应的特征值，求a ，b ，λ。
特征值与特征向量练习题(通用)
特征值与特征向量编写：陈爱兵审核：黄爱华1.求矩阵3652A轾=犏犏臌的特征值和特征向量.2.已知矩阵A有特征值18λ=及对应特征向量111轾=犏犏臌α，并有特征值22λ=及对应的特征向量212轾=犏-犏臌α，试确定矩阵A.3.已知矩阵8563A轾-=犏-犏臌，向量78轾=犏犏臌α，求4Mα.4.已知矩阵3652A轾=犏犏臌有属于特征值18λ=的特征向量165轾=犏犏臌α，以及属于特征值23λ=-的特征向量211轾=犏-犏臌α.⑴对向量38轾=犏犏臌α，试计算3Aα.⑵对向量83轾=犏犏臌β，试计算5Aβ.5.已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111轾=犏犏臌e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210轾=犏犏臌e ，试求矩阵A 及其逆矩阵1A -.6.已知矩阵123142A B 轾轾==犏犏-犏犏臌臌，. ⑴求A 的特征值12λλ,及对应的特征向量12,αα； ⑵求4A B .7.已知矩阵12532A 轾-犏=犏犏臌，向量416轾=犏犏臌α，求n M α(n 为正整数).8.已知矩阵111A a 轾-=犏犏臌，其中a R Î，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P ¢-.⑴求实数a的值；⑵求矩阵A的特征值及特征向量.。
特征值和特征向量习题集
《3.1.1特征值和特征向量》习题集2(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除《 特征值与特征向量》习题21．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗为什么4. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；(2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，求M 的特征值和特征向量；(3)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．9. 给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．10．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 56 1及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9.(1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M nα； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么参考答案1.【解】 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组⎩⎨⎧ λ＋1x ＋0·y ＝0，－5x ＋λ－6y ＝0， 易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组⎩⎨⎧λ＋1x ＋0·y ＝0，－5x ＋λ－6y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.2．【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则由⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y令x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.3． 【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量． 4． 【解】 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2) ＝3(A 5α1)＋A 5α2 ＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5．【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3， ∴a ＝－4.(2)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－4 1，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ －2x ＋y ＝04x －2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.6． 【解】 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以c ＋d ＝6，① 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，所以3c －2d ＝－2.②联立①②可得⎩⎨⎧c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －12－1312. 7．【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2－1 0；B ＝A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)设M 的特征值为λ，则由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －3 －2 λ－4＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6. 当λ1＝1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2；当λ2＝6时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得M 属于6的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(3)由Bα＝β，得β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4＝m α1＋n α2＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m ＋n －2m ＋n ，则由⎩⎨⎧3m ＋n ＝－1，－2m ＋n ＝4.解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝2.所以β＝－α1＋2α2. 所以M 50β＝M 50(－α1＋2α2) ＝－M 50α1＋2M 50α2 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋2×650×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×650－32×650＋2. 8．【解】 (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎨⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8. 由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎨⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)由(1)知矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f (λ)＝0，解得矩阵M 的另一个特征值λ＝2.设矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Mα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程并化简得x ′－y ′＋2＝0，即直线l ′的方程为x －y ＋2＝0.9． 【证明】(1)因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1313＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－1323⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，所以α1和α2都是M 的特征向量． 10.【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －5－6 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由(1)可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝α1＋3α2. (3)M 3α＝M 3(α1＋3α2)＝M 3α1＋3M 3α2＝ (－4)3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×73×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43×5＋3×73－43×6＋3×73. M n α＝M n (α1＋3α2)＝M nα1＋3M nα2＝(－4)n ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×7n ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1n ＋1×4n ×5＋3×7n－4n×6＋3×7n. (4)在M nα的结果中，随着n 的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小．。
特征值特征向量复习题
特征值特征向量复习题一、填空1. 已知三阶方阵A 的三个特征值为1，-2，-3，则=A ， 1-A 的特征值为 ，T A 的特征值为 ， *A 的特征值为 。
2. k A k ,0=为正整数，则A 的特征值 。
3. A A =2，则A 的特征值为 。
4. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43213122与 x y 相似，则=x ，=y 。
5. n 阶零矩阵的全部特征向量是 。
6. 若I A ~，则A ＝ 。
7. 若矩阵A 有一个特征值为-1，则=+I A 。
8. 已知三阶方阵A 的特征值为1,2,2，若A 不能对角化，则()=-A I r ，()=-A I r 2 。
若A 能对角化，则()=-A I r ，()=-A I r 2 。
9. 已知三阶方阵A 的行列式6=A ，A 有一个特征值为-2，则*A 必有一个特征值为 ，I A A A 88423+++必有一个特征值为 ，=+++I A A A 88423 。
10. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，则I A A 22-+的特征值为 ，=-+I A A 22 。
11. 已知三阶方阵A 的行列式-2，*A 有一个特征值为6，则1-A 必有一个特征值为 ，A 必有一个特征值为 ，*135A A --必有一个特征值为 ，A A 351--必有一个特征值为 。
12. 设n 阶方阵A 的n 个特征值为1,2,…,n ，则=+I A 。
13. 已知三阶方阵A 的特征值为-1,1,2，它们对应的特征向量分别为321,,X X X ，令()312,,X X X Q =，则AQ Q 1-= 。
14. 若0.5不是方阵A 的特征值，则A I 2- 可逆矩阵。
（填是或不是）15. 设n 阶矩阵A 有特征值2，且I A kA 862=+，则=k 。
二、选择题1. 设A 为n 阶方阵，以下结论中，（ ）成立。
A ． 若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1-A 的属于特征值1-λ的特征向量。
特征值与特征向量练习题
特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。
1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。
特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。
一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。
特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。
特征多项式的根就是矩阵的特征值。
二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。
它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。
设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。
第五章：特征值与特征向量选择题
B A B
C A B
D A1 B1
答案：D
23.若A B，则有
.
AE A E B
B A B
C 对于相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量
D A与B均与同一个对角矩阵相似
答案：B
24.设A和B是同阶方阵，如果A与B 有相同的特征值，则
.
A A B
B A B
C A B
答案：D
37.设 A、B是n阶实对称矩阵，且 E A E B ，下列结论不正确的是
.
A A B
B A与B相似于同一个对角矩阵
C tr A tr B
D A与B的 n 个特征向量两两正交
答案：D
38.设 A为n阶对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵.在下列矩阵中，不能通过正交变
换化为对角矩阵的是
B2
C 1 2
D1 2 .
答案：C
1 0 0
16.设A 0 1 0 ,在下列矩阵中，与A矩阵相似的矩阵是
.
0 0 2
1 0 0
A B1= 0 1 0
0 0 2
1 1 0
B B2 = 0 1 0
0 0 2
1 0 0
C B3 = 0 1 1
0 0 2
1 0 1
D B4 = 0 2 0.
.
A AB BA
B AT B BT A
C BAB
D ABA
答案：D
39.设矩阵A
1 1
1 1 ,
B
2 2
2 2, C
2 2
2 2
,
则下列结论正确的是
.
A A B
BB C
C A C
D 以上都不对
《特征值与特征向量》习题
———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期：
ﻩ
《３.1.１ 特征值与特征向量》习题 2
错误! １．求矩阵 M＝
的特征值和特征向量．
错误! ２. 已知矩阵 M＝
的一个特征值为３，求另一个特征值及其对应的一个特征
(1)求证 M 和Ｎ互为逆矩阵;
(2)求证 α1 和 α２都是矩阵Ｍ的特征向量.
错误! 错误! １０．给定矩阵 M＝
及向量 α＝
．
(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 α１,α２; (2)确定实数 a,b,使向量 α 可以表示为 α=aα1＋bα2; (3)利用(2）中的表达式计算Ｍ3α，Ｍnα; (４)从(3）中的运算结果，你能发现什么？
来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90°．
(1)求矩阵Ａ及 A 的逆矩阵 B;
错误! （2)已知矩阵 M＝
，求 M 的特征值和特征向量；
错误! （3)若 α＝
在矩阵Ｂ的作用下变换为 β，求Ｍ50β.(结果用指数式表示）
错误! 8． 已知二阶矩阵 M 的一个特征值 λ＝8 及与其对应的一个特征向量 α1＝
错误! 设 λ2=－1 对应的一个特征向量为 α=
，
则由错误!得 x＝－y
令 x＝1,则 y=－１.
错误! 所以矩阵 M 的另一个特征值为－1,对应的一个特征向量为 α=
.
错误! 错误! 错误! ３. 【解】 （1）因为 2α＋3β=2
＋3
＝
,所以Ｍ(2α+3β)=
错误!错误! 错误! ＝
第五章--矩阵的特征值和特征向量
第五章 矩阵的特征值和特征向量习题一 矩阵的特征值和特征向量一、填空题1．A 为n 阶方阵，Ax =0有非零解，则A 必有一特征值为________．2．若l 0为A 的特征值，则A k(k 为正整数)有特征值为________．3．若a 为A 的特征向量，则________为P -1AP 的特征向量． 4．n 阶矩阵A 与_____________有相同的特征值． 二、计算题1.设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----122212221 (1) 试求矩阵A 的特征值；(2) 利用(1)的结果，求矩阵E +A -1的特征值，其中E 是三阶单位矩阵．２．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----632223221的实特征值及对应的特征向量．三、证明题1．设A 满足A 2-3A +2E =0，证明其特征值只能取值1或2．2．若n 阶矩阵A ，存在自然数m ，使得0=mA ，则A 的特征值是０．3．如果A 可逆，λ是A 的特征值，则1-λ是1-A 的特征值．4．证明：)()(),()()(A kTr kA Tr B Tr A Tr B A Tr =+=+．习题二相似矩阵和矩阵可对角化一、填空题1．若A~kE，则A=________．2．若n阶方阵A与B相似，且A2=A，则B2=________．．3．已知A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----533242111，B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛22λ且A~B，则l=________．4．A可对角化当且仅当．5．n阶矩阵A有n个互不相同的特征值是A可对角化的___________．6．判别矩阵A可对角化的方法是．二、 1．设A=[a ij]为三角矩阵，且对角线元素互不相等．试指出A是否有与它相似的对角矩阵，并说明理由．2．矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3142112能否对角化？若能，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．三、判别下列矩阵是否可对角化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120B四、矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11322002x 和B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y 00020001是相似矩阵． 求x 与y ；习题三 实对称矩阵的对角化 一、求正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵．① ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=342432220A ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=120222023B③⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=411141141114C二、设实对称矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-124222421，求可逆矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵．三、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，设矩阵B=A3-5A2试求：(1) 矩阵B的特征值及与其相似的对角阵；(2) 行列式|B|和|A-5E|．四、设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121313，求(1) A的所有特征值与特征向量；(2) 判断A能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P，使A化为对角形矩阵；(3) 计算A m．综合复习题一、空题与选择题1．矩阵________20222002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛与．2．设),(,F M T A n ∈其中T 可逆，则k AT T k _(__________)(1=-为非负整数）， ][)(_,__________)(1x F x f AT T f ∈=- .（][x F 表示数域F 的全体多项式，)(F M n 表示全体n 阶矩阵） 3．相似矩阵有________秩，有相同秩的矩阵_________相似．4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411205123A 的三个特征值为321,,λλλ则 .________.____________321321==++λλλλλλ 5．设)(x f 是方阵A 的特征多项式，则_______;)(=A f若B A ~,则)(B f = _________.6．下面四个命题中原命题和逆命题都正确的是（ ） （A ）相似矩阵有相同的特征多项式；（B ）设σ是数域F 上向量空间的一个线性变换．A 是σ关于V 的一个基的矩阵，如果λ是σ的特征根，那么λ是A 的特征根；（C ）n 维向量空间的一个线性变换关于V 的两个基的矩阵是相似矩阵； （D ）设)(F M A n ∈，若)(x f A 在数域F 内有单根，则A 可对角化． 7．下列三个矩阵中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A a a a A a a a A 001001,001000,000000321 ① 21~A A ； ② 31~A A ； ③ 32~A A ；④ 321,,A A A 中两两都不相似．（A ）① 正确； (B) ②正确； (C) ③ 正确 ； (D) ④ 正确． 8．设A 是n 阶矩阵，那么① 在复数域C 上A 一定与某一对角矩阵相似； ② 在C 上A 一定与某一上三角矩阵相似；③ 在C 上A 一定与某一下三角矩阵相似．（A ）① 正确； (B) ②，③正确； (C) ①， ② 正确 ； (D) ①，②，③正确． 9．下列矩阵中，不可对角化的仅是（Ａ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0280； (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111； (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1101； （Ｄ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3210． 10．设,0),(,,≠∈T F M T B A n 且B A ,在F 上均可对角化，则① B A + 可对角化； ②AB 可对角化； ③AT T1-可对角化；④ T B T m1-可对角化. *N m ∈（*N 表示全体正整数） （A ），②正确； ( B) ③，④正确； (C) ①，②，③，④正确 ； (D) ① 正确． 二、计算与证明题1．求下列矩阵的全部特征值与特征向量（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200210311A （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=624232426A （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A2．找出1题中可对角化的矩阵A ，并求可逆矩阵X 使AX X 1-为对角矩阵．3．求正交矩阵T 使AT T1-为对角矩阵（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=342432220A (3) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1333313333133331A （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1101111001111011A 4．试证：矩阵A 可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零．5．设n 阶可逆矩阵A 的特征值是n λλλ,,,21 ，证明：1-A 的特征值为11211,,,---n λλλ ． 6．如果任一个n 维非零向量都是n 阶矩阵A 的特征向量，试证明A 是一个数量矩阵．7．A 是一个n 阶实对称矩阵，试证：如果0λ是A 的k 重特征值，则矩阵A E -0λ的秩等于k n -． 自测题一、填空题1．若A 为n 阶矩阵，0=AX 有非零解，则A 必有一特征值为__________． 2．若0λ是A 特征值，则kA （k 为正整数）有特征值为____________．3．若α为A 的特征向量，则AP P 1-的特征向量为_____________．4．若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则A =__________．5．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则1_____;-=A A 的特征值为___________．6．n 阶零矩阵的全部特征向量是___________．7．若kE A ~，则=A ______________．8．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A A =2，则=2B ___________．9．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=20002000,533242111λB A 且B A ~，则._______=λ10．三阶矩阵A 的三个互异特征值为321,,λλλ，它们对应的特征列向量分别为,,,321ααα则矩阵（,,,321ααα）的秩为__________．二、选择题1.设l =2是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵12)31(-A 有一特征值等于( )．(a ) 34 (b ) 43 (c ) 21 (d ) 412.若n 阶矩阵A 的任意一行中n 个元素的和都是a ，则A 的一个特征值为( )．(a ) a (b ) –a (c ) 0 (d ) a -13.设A 是n 阶矩阵，l 1，l 2是A 的特征值，a 1，a 2是A 的分别对应于l 1，l 2的特征向量，则( )．(a ) l 1=l 2时，a 1，a 2一定成比例 (b ) l 1=l 2时，a 1，a 2一定不成比例 (c ) l 1≠l 2时，a 1，a 2一定成比例 (d ) l 1≠l 2时，a 1，a 2一定不成比例4.设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(a ) lE -A =lE -B (b ) |lE -A |=|lE -B |(c ) |lE -A |~lE -B (d ) A 与B 都相似于一个对角矩阵D5.n 阶方阵A 具有n 个特征值是A 与对角矩阵相似的( )(a ) 充分必要条件 (b ) 充分而非必要条件 (c ) 必要而非充分条件 (d ) 既非充分也非必要条件6.矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300030000与下列哪个矩阵相似( ) (a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300000003 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030300010 7.n 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( )．(a ) A 有n 个不全相同的特征值 (b ) A T有n 个不全相同的特征值 (c ) A 有n 个不相同的特征值 (d ) A 有n 个线性无关的特征向量8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则( )．(a ) 方阵A 的秩等于n (b ) 方阵A 有n 个不同的特征值(c ) 方阵A 一定是对称矩阵 (d ) 方阵A 有n 个线性无关的特征向量9.l 1，l 2是n 阶矩阵A 的特征值，X 1，X 2是相应于l 1，l 2的特征向量，对于不全为零的常数c 1，c 2：( )(a ) 当l 1≠l 2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(b ) 当l 1≠l 2时，则X 1，X 2是A 相应于l 1，l 2唯一的两个线性无关的特征向量(c ) 当l 1=l 2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(d ) 当l 1=l 2时，则X 1，X 2必为A 相应于l 1，l 2的线性无关的特征向量 10.设n 阶矩阵A 为满秩矩阵，则A ( )(a ) 必有n 个线性无关的特征值 (b ) 必有n 个线性无关的特征向量 (c ) 必相似于一满秩的对角矩阵 (d ) 特征值必不为零 三、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A （1） 试求矩阵A 的特征值；（２）利用（1）的结果，求1-+A E 的特征值．2．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=632223221A 的特征值及特征向量． 3．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=124222421A ，求可逆矩阵Q 使AQ Q 1-为对角矩阵． 4．设A 为n 阶实矩阵，满足0,<=A E AA T ，试求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值．5．已知三阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，矩阵235A A B -=，试求 （1） 矩阵B 的特征值和与B 相似的对角矩阵；(2) 行列式B 和E A 5-.6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021313A ，求 （1）A 的所有特征值与特征向量；（2）判别A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵； （3）计算mA ．四、证明题1．若n 阶矩阵A 满足A A =2，则A 的特征值仅能是0或1．2．若n 阶矩阵A 满足I A =2，则A 的特征值仅能是1或1-．3．设A 满足0232=+-E A A ，证明：A 的特征值只能是1或2．4．设A 是实数域上奇数阶方阵，且0>A ，证明：A 有正特征值．5．设][)(),(x F x f F M A n ∈∈，A 在F 上可对角化，证明：)(A f 在F 上可对角化．二次型习题一 二次型及表示方法一、填空题1．二次型f(x1，x2，x3，x4)=x12+2x22+3x32+4x1x2+2x2x3________．2. 矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型是________． 3．),(21x x q =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21211222)(x x x x 的矩阵为__________. 4．二次型),,,(21n x x x q 经过__________的线性替换总可以化为标准形2222211nn y c y c y c +++ .5．n 阶对称矩阵同时实行行和列的初等变换总可化为_______矩阵.二、写出下列各二次型的矩阵1．23322231212138232x x x x x x x x x ++-+-2．243231212x x x x x x x ++-三、写出下列对称矩阵所对应的二次型1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=012320113113221233121A2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110B四、对于对称矩阵A 与B ，求出可逆矩阵C ，使BAC C T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101112B习题二 化二次型为标准型一、用配方法化下列二次型为标准型.1．31212322214245x x x x x x x -+-+2． 32312164x x x x x x +-二、用初等变化的方法求一奇异矩阵C ，使AC C T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310102021A三、用初等变换法将二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2+2x 2x 3+2x 3x 4化为规范形，并求所作的非退化变换矩阵，且用矩阵验算结果．四、求一正交矩阵P ，使AP P T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1132112332112311A四、试用配方法将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3化为标准形(平方和)和规范形．习题三 正定二次型一、填空题1．实二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12-x 22+3x 32的秩为________，正惯性指数为________，负惯性指数为________．2．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，…，n ，则当t ________时，tE -A 为正定矩阵．3. 若n 阶实对称矩阵A 的秩为r (<n )且A 2=A ，则是________矩阵(正定、半正定，…)，正惯性指数为________．4．____二次型),,,(21n x x x q 成为正定的，如果对于任意一组),,,(21n c c c ______ 都有),,,(21n c c c q _________.5． 5． 对称矩阵A 正定当且仅当A 与_________矩阵合同.6．实对称矩阵A 正定当且仅当A 的一切顺序主子式__________或者A 的一切主子式 ______________.7． 7． 对称矩阵的特征根都是_____________. 二、计算题：1．求α的值，使二次型为正定.(1)3231212322214225x x x x x ax x x x +-+++(2)3231212322212245x x x x x x ax x x --+++2．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101020101，矩阵B =(kE +A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵L ，使B 与L 相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．（1） （1）3．设A 1~A 1和B 1~B 2．试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛22B A判断三元二次型f = x 12+5x 22+x 32+4x 1x 2-4x 2x 3的正定性．三、证明题：1．A 是n 阶实对称矩阵，AB +B TA 是正定矩阵，证明A 可逆．2．设A 是n 阶正定矩阵，证明|A +2E |>2n．3．令A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A OO A , B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛21B O O B ,如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.4．证明：实二次型),,,(21n x x x q 负定的充分必要条件是它的矩阵A 的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.自测题一、填空题1．二次型322123222143212432,,,(x x x x x x x x x x x f ++++=）_______. 2．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314122421A 对应的二次型是_____________________. 3．二次型),,(321x x x f =31212322212224x x x tx x x x ++++是正定的，那么t 应满足不等式_________.4．二次型),,(321x x x f =2322213x x x +-的秩为__________.正惯性指数为__________,负惯性指数为__________.5．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为n ,,2,1 ，则当t =______时，A tE 为正定矩阵.6．若n 阶实对称矩阵A 的秩为)(n r <且A A =2，则是_______矩阵，正惯性指数为___________.7．二次型的规范形由_____________唯一确定；复二次型的规范形由____唯一确定.8．实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的特征值___________.9．若A 是实对称矩阵且可逆，则将Ax x f T =化为y A y f T 1-= 的线性变换为_____________.10．设A 为n 阶实对称矩阵，那么TAA 是_______(对称、非对称、对角).二、选择题i. i. 1.设A ，B 均为n 阶方阵，x =(x 1，x 2，…，x n )T ，且X T AX = X TBX ，当( )时，A =B ．(a ) 秩(A )=秩(B ) (b ) A T=A (c ) B T=B (d ) A T=A 且B T=Bii.ii.2.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= X T AX 为正定的充分必要条件是( )．(a ) |A |>0 (b ) 存在n 阶可逆矩阵C ，使A =C TC(c ) 负惯性指数为零 (d ) 对于某一x =(x 1，x 2，…，x n )T≠0，有X TAX >0．iii.iii.3.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= x 12+2x 1x 2+tx 22+3x 32，当t =( )时，其秩为2．(a ) 0 (b ) 1 (c ) 2 (d ) 3iv.iv.4.设A ，B 为同阶可逆矩阵，则( )(a ) AB =BA(b ) 存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B (c ) 存在可逆矩阵C ，使C TAC =B (d ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使PAQ =Bv. v.5.设A 为正定矩阵，则下列矩阵不一定是正定的是( )(a ) A T (b )A -1(c ) A +E (d ) A -Evi.vi. 6.设A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量X ，都有X T AX =0，那么( )．(a ) |A |=0 (b ) |A |>0 (c ) |A |<0 (d ) 以上都不是vii. vii. 7.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是( )．(a ) 所有k 阶子式为正(k =1，2，…，n ) (b ) A 的所有特征值非负(c ) A -1为正定矩阵 (d ) 秩(A )=nviii. viii. 8.设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 是( )(a ) 实对称矩阵 (b ) 正定矩阵 (c ) 可逆矩阵 (d ) 正交矩阵ix.ix.9.下列矩阵为正定的是( )．(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200032021 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200042021 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200052021 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛520210002 x. x. 10.设A 、B 是n 阶正定矩阵，则( )是正定矩阵．(a) A*+B* (b) A*-B* (c) A*B* (d) k1A*+k2B*三、对二次型32212221442x x x x x x f --+=分别作下列两个非退化线性替换.（1） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********y y y x x x(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132121001101121y y y x x x四、试用配方法将二次型3231212322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形（平方和）和规范形.五、用初等变换法将二次型43322142322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f -+++++= 化为标准形，求所作的非退化矩阵，并用矩阵验算结果.六、已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++==a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵.七、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵2)(A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵A ，使B 与A 相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.八、设1A 与2A 相似，1B 与2B 相似.试证⎪⎪⎭⎫⎝⎛11B A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛22B A .九、判断三元二次型3221232221445x x x x x x x f -+++=的正定性. 十、A 是n 阶实对称矩阵，A B AB T+是正定矩阵，证明：A 可逆.十一、设A 是n 阶正定矩阵，证明：nE A 22>+.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
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《 特征值与特征向量》习题21．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 5 6的特征值和特征向量．2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24.(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵M 的特征向量吗为什么4. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值． 5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；(2)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3324，求M 的特征值和特征向量；(3)若α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50β.(结果用指数式表示)8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．9. 给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵；(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．10．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2561及向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3α，M nα； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么参考答案1.【解】 矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组⎩⎪⎨⎪⎧?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 56的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤7－5，属于λ2＝6的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.2．【解】 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则由⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y令x ＝1，则y ＝－1.所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.3． 【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量． 4． 【解】 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1， ∴A 5β＝A 5(3α1＋α2) ＝3(A 5α1)＋A 5α2 ＝3(λ51α1)＋λ52α2 ＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.5．【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， ∴a ＝－4.(2)∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3.令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.6． 【解】 由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤33cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以c ＋d ＝6，①由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2， 可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，所以3c －2d ＝－2.② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＋d ＝6，3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－12－13 12. 7．【解】 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 02－10；B ＝A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0. (2)设M 的特征值为λ，则由条件得⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －3 －2 λ－4＝0，即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0. 解得λ1＝1，λ2＝6.当λ1＝1时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2；当λ2＝6时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 324⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得M 属于6的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(3)由Bα＝β，得β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤81＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4， 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4＝m α1＋n α2＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3m ＋n －2m ＋n ， 则由⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝－1，－2m ＋n ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.所以β＝－α1＋2α2. 所以M 50β＝M 50(－α1＋2α2) ＝－M 50α1＋2M 50α2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＋2×650×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×650－32×650＋2. 8．【解】 (1)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244.(2)由(1)知矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f (λ)＝0，解得矩阵M 的另一个特征值λ＝2.设矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Mα2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程并化简得x ′－y ′＋2＝0，即直线l ′的方程为x －y ＋2＝0.9． 【证明】 (1)因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1313＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1在矩阵M 的作用下，其象与其共线，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α1和α2都是M 的特征向量． 10.【解】 (1)矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －5－6 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－4，λ2＝7.易求得属于特征值λ1＝－4的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6，属于特征值λ2＝7的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2)由(1)可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 9＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得a ＝1，b ＝3，所以α＝α1＋3α2.(3)M 3α＝M 3(α1＋3α2)＝M 3α1＋3M 3α2＝(－4)3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×73×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43×5＋3×73－43×6＋3×73. M n α＝M n (α1＋3α2)＝M nα1＋3M nα2＝(－4)n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5 6＋3×7n×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤?－1?n ＋1×4n ×5＋3×7n?－4?n ×6＋3×7n . (4)在M nα的结果中，随着n 的增加，特征向量α1对结果的影响越来越小．。