特征值和特征向量习题集

《 特征值与特征向量》习题2

1．求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－1 0 5 6的特征值和特征向量．

2. 已知矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

1 22

x 的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－5，β＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

24.

(1)求向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象；

(2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12是矩阵M 的特征向量吗为什么

4. 已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

1

2－1

4，设向量β＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤74，试计算A 5

β的值． 5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，

－3)

(1)求实数a 的值；

(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 6. 已知矩阵A ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

3 3c

d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．

7. 已知矩阵A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°.

(1)求矩阵A 及A 的逆矩阵B ；

(2)已知矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤3

32

4，求M 的特征值和特征向量；

(3)若α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤81在矩阵B 的作用下变换为β，求M 50

β.(结果用指数式表示)

8. 已知二阶矩阵M 的一个特征值λ＝8及与其对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

11，并且矩

阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．

(1)求矩阵M ；

(2)求矩阵M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量α2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．

9. 给定矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤ 23

－13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2及向量α1

＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2

＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证M 和N 互为逆矩阵；

(2)求证α1和α2都是矩阵M 的特征向量．

10．给定矩阵M ＝⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

2

56

1及向量α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－2 9. (1)求矩阵M 的特征值及与其对应的特征向量α1，α2； (2)确定实数a ，b ，使向量α可以表示为α＝a α1＋b α2； (3)利用(2)中的表达式计算M 3

α，M n

α； (4)从(3)中的运算结果，你能发现什么

参考答案

1.【解】 矩阵M 的特征多项式

f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

λ＋1 0－5 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)．

令f (λ)＝0，解得矩阵M 的特征值λ1＝－1，λ2＝6.将λ1＝－1代入方程组

⎩

⎪⎨

⎪⎧ ?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，

易求得⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

7－5为属于λ1＝－1的一个特征向量．将λ2＝6代入方程组

⎩

⎪⎨

⎪⎧

?λ＋1?x ＋0·y ＝0，－5x ＋?λ－6?y ＝0，易求得⎣⎢⎡⎦⎥⎤01为属于λ2＝6的一个特征向量．综上所述，M ＝⎣⎢

⎡⎦

⎥

⎤－1

0 5

6的特征值为λ1＝－1，λ2＝6，属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤

7－5，属于λ2＝6的一个

特征向量为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

01.

2．【解】 矩阵M 的特征多项式为

f (λ)＝⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4

因为λ1＝3为方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1 由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，

设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

x y ，

则由⎩

⎪⎨

⎪⎧

－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0得x ＝－y

令x ＝1，则y ＝－1.

所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 1－1.

3． 【解】 (1)因为2α＋3β＝2⎣⎢

⎡⎦⎥⎤ 3－5＋3⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 2，所以M (2α＋3β)＝⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤

1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1

2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 8－18，所以向量2α＋3β在矩阵M 表示的变换作用下的象为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

8－18. (2)向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不是矩阵M 的特征向量．理由如下：Mγ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－1 －3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－3－7，向

量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3－7与向量γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12不共线，所以向量γ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12不是矩阵M 的特征向量． 4． 【解】 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝λ2

－5λ＋6＝0，

解得λ1＝2，λ2＝3.

当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

21；

当λ2＝3时，

得α2＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

11，

由β＝m α1＋n α2，

得⎩

⎪⎨

⎪⎧

2m ＋n ＝7m ＋n ＝4，

得m ＝3，n ＝1， ∴A 5

β＝A 5

(3α1＋α2) ＝3(A 5α1)＋A 5

α2 ＝3(λ5

1α1)＋λ5

2α2 ＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤435339.

5．【解】 (1)∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，

∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤ 0－3， ∴a ＝－4.

(2)∵A ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

1 －1－4 1，

∴f (λ)＝⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2

－2λ－3.

令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，