18年高考真题——理科数学(全国1卷)

第 1 页 共 6 页 2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理)（全国I卷） 一．选择题(共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1．设121izii，则||z（ ） （A）0 (B）12 （C）1 (D)2

2．已知集合2|20Axxx，则RA（ ） （A）|12xx （B)|12xx(C）|1|2xxxx(D）|1|2xxxx 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如右饼图。则下面结论中不正确的是（ ） （A)新农村建设后，种植收入减少 （B）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 （C）新农村建设后，养殖收入增加了一倍 （D）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．设nS为等差数列na的前n项和，若3243SSS,12a，则5a（ ） （A）12 （B）10 （C）10 （D)12 5．设函数321fxxaxax，若fx为奇函数，则曲线yfx在点0,0处的切线方程

为（ ） （A）2yx （B）yx (C）2yx （D)yx 6．在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB( ） （A）3144ABAC （B）1344ABAC (C)3144ABAC （D）1344ABAC 7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截

此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

（A）334 （B)233 (C）324 （D）32

8．设抛物线C：24yx的焦点为F,过点2,0且斜率为23的直线与

C

交于,MN两点,则FMFN（ ） （A）5 (B)6 （C）7 （D)8

9．已知函数0ln0xexfxxx，gxfxxa。若gx存在2个零点,则a的取值范围是 第 2 页 共 6 页

（ ) (A）1,0 （B）0, （C）1, （D）1, 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边

,ABAC.ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为

III。在整个图形中随机取一点,此点取自I，II，III的概率分别记为123,,ppp,则（ ） (A）12pp （B）13pp (C）23pp (D）123ppp

11．已知双曲线C:2213xy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,MN。若OMN为直角三角形,则||MN( ） （A）32 (B）3 （C）23 (D）4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积

的最大值为（ ） （A）334 (B)233 （C）324 （D)32 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．若,xy满足约束条件220100xyxyy，则32zxy的最大值为________.

14．记nS为数列na的前n项和，若21nnSa,则6S_____________。 15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________种。（用数字填写答案）

16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是__________。 三．解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答) （一）必考题：60分。

17．（本小题12分）在平面四边形ABCD中，090ADC，045A，2AB，5BD。

⑴求cosADB；⑵若22DC,求BC。 18．（本小题12分）如图，四边形ABCD为正方形,,EF分别 为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的 位置,且PFBF。⑴证明:平面PEF平面ABFD；⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 第 3 页 共 6 页

19．（本小题12分）设椭圆C：2212xy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点

M

的坐标为2,0.⑴当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；⑵设O为坐标原点，证明：OMAOMB. 20．(本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决

定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为01pp,且各件产品是否为不合

格品相互独立。⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点0p；⑵现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以⑴中确定的0p作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（本小题12分）已知函数1lnfxxaxx。⑴讨论fx的单调性;⑵若fx存在两个极值

点12,xx,证明:12122fxfxaxx。 （二）选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4:坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx。

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30。 ⑴求2C的直角坐标方程；⑵若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程。 23．［选修4—5：不等式选讲]（本小题10分)已知|1||1|fxxax.⑴当1a时，求不等式1fx的解集;⑵若0,1x时不等式fxx成立,求a的取值范围. 第 4 页 共 6 页

2018年普通高等学校招生全国统一考试（I卷)解答 一．选择题 CBABD AADCA BA

二．填空题 13．6；14．63;15．16;16．332

17．解：⑴在ABD中,由正弦定理得sinsinBDABAADB,故052sin45sinADB，得2sin5ADB。由题设知，090ADB，所以223cos1sin5ADBADB； ⑵由题设及⑴知，2cossin5BDCADB。在BCD中，由余弦定理得 2222cos25BCBDDCBDDCBDC，所以5BC.

18．证明：⑴由题BFPF,BFEF，又PFEFF,故BF平面PEF。又BF平面

ABFD，所以平面PEF平面ABFD；

⑵作PHEF，垂足为H.由⑴得，PH平面ABFD。以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方

向，||BF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz。由⑴知DEPE,又2DP，1DE，

故3PE.又1PF，2EF，故PEPF.可得32PH,32EH。则0,0,0H，30,0,2P，31,,02D,331,,22DP,且30,0,2HP





为平面ABFD的法向量。设DP与平面ABFD所

成角为，则343sin||4||||3HPDPHPDP为所求。 19．解:⑴由已知得1,0F，l：1x。由题可知1,22A或1,22A，故22AMk，所

以AM的方程为222yx;

⑵当l与x轴重合时，00OMAOMB;当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线,所以OMAOMB；当l与x轴不重合也不垂直时,设l：10ykxk，1122,,,AxyBxy,则

12x，22x,直线,MAMB的斜率之和为12121212112222MAMBkxkxyykkxxxx 第 5 页 共 6 页

1212

12

23422xxxxkxx。由22112ykxxy得2222214220kxkxk,故2122421kxxk，

21222221kxxk，因此22121222

22423423402121kkxxxxkk

,从而0MAMBkk，故

,MAMB的倾斜角互补,所以OMAOMB.综上，OMAOMB。

20．解：⑴由题可知1822201fpCpp,因此1817222021181fpCpppp 172

2021101Cppp。令0fp，得0.1p。当0,0.1p时，0fp；当0.1,1p时，

0fp.所以fp的最大值点为00.1p；

⑵由⑴知0.1p.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知180,0.1YB,202254025XYY，所以40254025490EXEYEY；

②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元。由于400EX，故应该对余下的产品作检验。

21．解：⑴fx的定义域为0,，222111axaxfxxxx。①若2a，则0fx，

当且仅当21ax时0fx，故fx在0,单调递减；②若2a,令0fx得，242aax。当2402aax或242aax时0fx，当224422aaaax时0fx。所以fx在22440,,,22aaaa单调递减，在2244,22aaaa单调递增； ⑵由⑴知，fx存在两个极值点当且仅当2a。因fx的两个极值点12,xx满足210xax，故121xx。不妨设12xx，则21x。因1212212121222lnln2ln1121fxfxxxxaaxxxxxxxx,