2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。

2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。

2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。

2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。

2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。

2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。

若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。

2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。

已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。

2017年新课标Ⅱ文3题：函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{2})$的最小正周期为$\frac{\pi}{2}$。

2017年新课标Ⅲ文4题：已知$\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{1}{4}$，则$\sin2\alpha=-\frac{2}{9}$。

2017年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\sin(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6})+\cos(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{6})}{\sqrt{2}}$的最大值为$\frac{5}{3}$。

60°，C45°，则a的值为（）A．2B．22C．4D．42已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

题目给出了一些已知条件，要求求出未知量。

需要注意的是，有些题目中给出的公式需要进行变形或者利用三角函数的性质来求解。

5已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知a=5，c=2，cosA=？求b。

根据余弦定理，有b^2=a^2+c^2-2ac*cosA。

代入已知数据，得到b^2=29-10cosA。

又因为cosA=2/3，代入得到b^2=23/3，所以b=sqrt(23/3)。

6给出函数y=2sin(2x+π/46)，求将其图像向右平移一个周期后对应的函数。

该函数的周期为π/2，向右平移一个周期即为y=2sin(2x+π/46+π/2)=2cos(2x+23π/92)。

11给出函数f(x)=cos2x+6cos(-x)，求其最大值。

cos(-x)=cosx，所以f(x)=cos2x+6cosx=2cos^2x+4cosx+2cosx+6=2(cosx+1)^2+4.因为cosx的范围为[-1,1]，所以最大值为f(x)=2*2^2+4=12.3给出函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像，求A、ω、φ的值。

根据图像可以看出A=2，ω=2，φ=-π/6.9在△ABC中，B=43°，BC边上的高等于BC，求sinA。

因为BC边上的高等于BC，所以△ABC为等腰三角形，所以∠A=(180-43)/2=68.5°。

因为sinA=BC/AC，所以需要求出AC。

根据正弦定理，有AC/BC=sin∠B/sin∠A，代入已知数据得到AC/BC=sin43°/sin68.5°，所以sinA=sin(180-68.5-43)=sin68.5°=0.927.1给出函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像，求f(x)的单调递减区间。

根据图像可以看出ω>0，且一个周期内有两个极大值点和两个极小值点。

因为cos函数的单调递减区间为[π/2+kπ。

3π/2+kπ]，所以f(x)的单调递减区间为[π/2+kπ。

π+kπ]和[3π/2+kπ。

2π+kπ]，其中k为整数。

2已知tanα>0，求cos2α的大小关系。

tanα>0说明α在第一或第三象限，而cos2α=1-2sin^2α，所以cos2α<1.因此，cos2α<1.10已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2B=1，a=7，c=6，求b。

根据余弦定理，有cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)。

代入已知数据得到cosA=11/14，cosB=3/14.因为23cos2A+cos2B=1，所以23(2cos^2A-1)+(cos^2B-1)=0，即46cos^2A+cos^2B=25.代入cosA和cosB的值，得到b=9.2016·新课标Ⅱ，文15)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=1，则b=__________。

解析：根据余弦定理，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入cosA=1得到b²+c²-a²=2bc，整理得b²-2bc+c²=a²，即(b-c)²=a²，因为b和c都是正数，所以b-c=a，代入得b=a+c。

2016·新课标Ⅲ，文14)函数y=sinx-3cosx图像可由函数y=2sinx的图像至少向右平移______个单位长度得到。

解析：根据函数图像的平移公式，y=sin(x-a)的图像向右平移a个单位长度，所以y=sinx-3cosx的图像可由y=2sin(x-π/6)的图像向右平移π/6个单位长度得到。

2014·新课标Ⅰ，文16)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点。

从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°。

已知山高BC=100m，则山高MN=m。

解析：根据三角函数的定义和正弦定理，可以列出以下方程组：tan∠MAN=BC/AMtan(45°+∠MAC)=BC/ACtan∠MCA=MN/AC解方程得到MN=BC(tan∠MAN+tan(45°+∠MAC))/tan∠MCA，代入数据计算得到MN≈164.7m。

2014·新课标Ⅱ，文14）函数f(x) = sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为_________。

解析：将f(x)化简得到f(x)=sinx*cosφ+cosx*sinφ-2sinφcosx=sin(x-φ)-sinφ，因此f(x)的最大值为1+sinφ，当x=φ+π/2时取到。

2013·新课标Ⅰ，文16)设当x=θ时，函数f(x)=sinx-2cosx 取得最大值，则cosθ=______。

解析：对f(x)求导得到f'(x)=cosx+2sinx，令f'(θ)=0解得cosθ=-2sinθ，代入f(x)得到f(θ)=√5，因此sinθ=-1/√5，cosθ=-2/√5.2013·新课标Ⅱ，文16）函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π/2个单位后，与函数y=sin(2x+3π/2)的图象重合，则φ=_________。

解析：将y=cos(2x+φ)向右平移π/2个单位得到y=cos(2(x+π/4)+φ)，因此φ=3π/4.2011·新课标Ⅰ，文15)已知△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为______。

解析：根据正弦定理和海伦公式，可以计算出BC=√(7²+5²-2×7×5×cos120°)=3√21，以及△ABC的半周长s=(5+3√21+7)/2=15/2+3√21/2，因此△ABC的面积为√(s(s-5)(s-7)(s-3√21))=15√3.2（2015·新课标Ⅰ，文17）已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，sinB=2sinAsinC。

1）若a=b，求cosB；2）设∠B=90°，且a=2，求△ABC的面积。

解析：（1）根据正弦定理和sinB=2sinAsinC，可以得到sinB=2bc/a²，代入a=b得到sinB=2c/b，因此cosB=√(1-sin²B)=√(1-4c²/b²)。

2）根据勾股定理和正弦定理，可以得到b=2√2，c=√2，以及a=√6，因此△ABC的面积为1.在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC。

Ⅰ）求sin∠B；sin∠C。

Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B。

解析：（Ⅰ）根据角平分线定理和正弦定理，可以得到AD/AB=CD/AC，即AD/BC=1/3，以及BD/DC=2，代入正弦定理得到sinB=4/5，sinC=3/5.Ⅱ）根据角平分线定理，可以得到BD/DC=AB/AC，代入BD=2DC得到AB=3AC，代入余弦定理得到cosB=1/4，因此sinB=√(1-cos²B)=√15/4，代入正弦定理得到sinC=√3/4，因此∠B=150°。

2014·新课标Ⅱ，文17）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.Ⅰ）求C和BD；Ⅱ）求四边形ABCD的面积。

解析：（Ⅰ）根据内角和定理，可以得到∠A+∠C=90°，代入AB=1，BC=3得到AC=√10，因此CD=DA=2√2，以及BD=√10，C的坐标为(1,2√2)。

根据勾股定理和正弦定理，可以得到∠ABC=arcsin(2√2/√10)，以及∠BCD=arcsin(1/√10)，代入正弦定理得到BD=2√2sin(∠ABC+∠BCD)。