2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列

一、填空题

1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理

论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f

2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =-

3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10-

4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________．

4.1324,a a a a ><

5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A

B 的所有元素从小到大依

次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________．

5．27

二、解答题

6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，

又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e

e e =2n

n

a n n ==，

∴{e }n a

是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2

12ln2ln2ln2e e e e e e n

n a a

a

++

+=++

+

2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-.

7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n

n a b n

=

． （1）求123b b b ，

，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；

（3）求{}n a 的通项公式．

7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1)

n n a n

+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．

将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得121n n a a

n n

+=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．

（3）由（2）可得12n n a

n

-=，所以a n =n ·2n -1．

8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为

29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

9.（全国卷III 理17）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．

9.解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.

故1(2)n n a -=-或12n n a -=.

（2）若1

(2)n n a -=-，则1(2)3

n

n S --=.由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解.

若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =.

10.（天津文18）设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n （n ∈N *）；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n （n ∈N *）．已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． （1）求S n 和T n ；

（2）若S n +（T 1+T 2+…+T n ）=a n +4b n ，求正整数n 的值．

10.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.（1）解：设等比数列{}n b 的公比为q ，由b 1=1，b 3=b 2+2，可得220q q --=.

因为0q >，可得2q =，故1

2n n b -=.所以122112

n

n n T -=

=--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+，可得134a d +=.由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而

11,1a d ==，故n a n =，所以(1)

2

n n n S +=

. （2）解：由（I ），知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=+++-=--

由12()4n n n n S T T T a b ++++=+可得

11(1)

2222

n n n n n n ++++--=+， 整理得2

340,n n --= 解得1n =-（舍），或4n =.所以n 的值为4.

11.（浙江20）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，

数列{（b n +1?b n ）a n }的前n 项和为2n 2

+n ．

（1）求q 的值；

（2）求数列{b n }的通项公式．

11.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。

（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q

+=，因为1q >，所以2q =. （2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,

, 2.

n n n S n c S S n -=?=?-≥?解得41n c n =-.

由（1）可知1

2

n n a -=，所以1

11(41)()2

n n n b b n -+-=-?，

故2

11(45)(),22

n n n b b n n ---=-?≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+

+-+-

23111

(45)()(49)()73222n n n n --=-?+-?++?+.设

22111

3711()(45)(),2

222

n n T n n -=+?+?++-?≥2211111137()(49)()(45)()22222

n n n T n n --=?+?++-?+-?

所以22111111

344()4()(45)()2

2222

n n n T n --=+?

+?++?--?， 因此2114(43)(),22n n T n n -=-+?≥，又11b =，所以2

115(43)()2

n n b n -=-+?.

12.(天津理18)设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，

322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.

（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ， （i ）求n T ；

（ii ）证明2

21()22()(1)(2)

2n n

k k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N .

12.本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查等差数列求

和的基本方法和运算求解能力.

（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=. 因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.

设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =

所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =

（2）（i ）由（I ），有122112

n

n n S -=

=--，故 111

2(12)(21)22212n n n

k k

n n k k T n n n +==?-=-=-=-=---∑∑.

（ii ）证明：因为

1121

2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21

k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++?===-

++++++++， 所以，3243212

21()2222222()()()2(1)(2)

3243212n n n n

k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑.

13.（江苏20）．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．

（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；

（2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，

并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．

20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．

因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，

即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，

即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得75

32

d ≤≤．

因此，d 的取值范围为75

[,]32

．学@科网

（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．

若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，

即1111 |1|2,3,

,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，

即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211

n n q q b d b n n ---≤≤--．

因为(1,2]m q ∈，则112n m q q -<≤≤，

从而11201n q b n --≤-，1

101

n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．

因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．

下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1

{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）

． ①当2n m ≤≤时，111 2222

111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当1

12m

q <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．

因此，当21n m ≤≤+时，数列12

{}1

n q n ---单调递增，

故数列12{}1n q n ---的最大值为

2

m q m

-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x

当2n m ≤≤时，1

11112111

()()()n

n n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1

{}1n q n --单调递减，

故数列1

{}1n q n --的最小值为

m q m

． 因此，d 的取值范围为11(2)[

,]m m

b q b q m m

-．